得旋转曲面的方程
几种常用的二次曲面与空间曲线
1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的 圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz
常用的二次曲面方程及其图形
这些交线都是椭圆。
3） 再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4） 如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2） 当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3） 当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4） 当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义 图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
常用的二次曲面方程及其图形
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
旋转曲面公式
旋转曲面公式旋转曲面公式是数学中常见的一类曲面方程。
在平面上，旋转曲面是通过绕着直线或点旋转形成的曲面。
旋转曲面公式是表达这类曲面的数学方程形式，非常有用且广泛应用于工程、物理和计算机图形学领域。
本文将介绍旋转曲面公式的定义、种类、基本特性和应用。
一、定义旋转曲面是指在平面上绕一个直线或一个点旋转所形成的曲面。
旋转曲面通常是由一条曲线绕着一定的轴或点旋转而生成。
旋转曲面公式是表达这类曲面的方程形式。
二、种类1. 绕x轴旋转当曲线绕x轴旋转时，生成的曲面被称为“圆锥面”或“圆锥体”（如果包含了内部）。
2. 绕y轴旋转当曲线绕y轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转椭球面”或“旋转椭球体”（如果包含了内部）。
3. 绕z轴旋转当曲线绕z轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转双曲面”，“旋转抛物面”或“旋转超球面”等。
三、基本特性1. 参数化形式旋转曲面可以用参数化的形式表示。
考虑曲线在xy平面上的表示形式r(t)。
为了将曲线绕z轴旋转，定义参数u表示绕z轴旋转的角度，曲面上每个点的坐标可以用下列参数化方程表示：x(u,t) = r(t)cos(u)y(u,t) = r(t)sin(u)z(u,t) = h(u)其中，r(t) 和 h(u) 是曲线在xy平面上和在z轴上的函数表示。
2. 等距线和平行线旋转曲面上的等距线是该曲面上的一条线，该线上的所有点到轴线（旋转轴）的距离相等。
相比之下，平行线是该曲面上的两条直线，它们不相交且距离相等。
对于圆锥面和旋转椭球面，等距线是从顶点或焦点到曲面上各点所在直线；对于旋转双曲面和旋转抛物面，等距线是与两极相切的曲面上的一条曲线。
3. 对称性旋转曲面具有一些特殊的对称性质。
根据对称平面或对称点的位置，旋转曲面可以被分为各种对称类型。
例如，对于绕x轴旋转的圆锥体，它有一个顶点和一条中心轴，因此它具有中心对称性；对于绕y轴旋转的旋转椭球体，它具有两个焦点和一条中心轴，具有反演和中心对称性。
旋转抛物面的曲面方程
旋转抛物面的曲面方程
旋转抛物面是一种曲面，它由将一个抛物线绕着它的对称轴旋转一周得到。
抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c ，对称轴为 x 轴，旋转角度为 360°。
要求求出旋转抛物面的曲面方程，可以使用以下步骤：
1、将抛物线绕着 x 轴旋转一周，得到的曲面方程为：
x^2 + y^2 = 4px
其中 p 为抛物线的焦距。
2、将抛物线的方程 y = ax^2 + bx + c 代入曲面方程中，得到： x^2 + (ax^2 + bx + c)^2 = 4px
3、将式子化简，得到旋转抛物面的曲面方程：
x^2 + (a^2)x^4 + (2ab)x^3 + [(b^2) + (2ac)]x^2 + (2bc)x + (c^2) = 4px
这就是旋转抛物面的曲面方程。
通过这个方程，我们可以计算出旋转抛物面上任意一点的坐标，进而研究它的性质和应用。
- 1 -。
点向式方程绕坐标轴旋转所得曲面方程
点向式方程是描述三维空间中曲面的一种常用形式。
当我们希望将一个曲面绕坐标轴进行旋转时，我们可以利用点向式方程来推导出旋转后得到的曲面方程。
本文将从点向式方程的基本概念开始介绍，然后详细讨论如何将曲面绕坐标轴旋转，并给出相应的数学推导和例题演练。
一、点向式方程的基本概念1.1 点向式方程的定义点向式方程是描述三维空间中曲面的一种常用形式，通常表示为：\[F(x, y, z) = 0\]其中F(x, y, z)为一个关于x、y、z的函数。
1.2 点向式方程的特点点向式方程的特点是可以直观地解释曲面的形状和性质，便于进行几何分析和计算。
二、绕坐标轴旋转得到曲面方程的推导2.1 绕x轴旋转的推导当我们希望将一个曲面绕x轴进行旋转时，可以利用以下公式来推导旋转后得到的曲面方程：\[x = x\]\[y' = ycos\theta - zsin\theta\]\[z' = ysin\theta + zcos\theta\]其中，x、y、z为原始坐标系中的坐标，x、y'、z'为旋转后坐标系中的坐标，θ为旋转的角度。
2.2 绕y轴和z轴旋转的推导类似地，当我们希望将一个曲面绕y轴或z轴进行旋转时，可以利用类似的公式来进行推导，只需将公式中的坐标轴和旋转角度进行相应的替换即可。
三、数学推导和例题演练3.1 绕x轴旋转的数学推导接下来，我们将以一个具体的例子来演示如何利用点向式方程进行绕x 轴旋转的数学推导。
设曲面的点向式方程为：\[z = f(x, y)\]我们将该曲面绕x轴旋转θ角度，根据之前的推导公式，可以得到旋转后的曲面方程：\[z' = ysin\theta + f(x, y)cos\theta\]3.2 绕y轴和z轴旋转的数学推导类似地，我们也可以以具体的例子来演示如何利用点向式方程进行绕y 轴或z轴旋转的数学推导，使读者能够更好地理解和掌握该知识点。
四、总结通过本文的介绍和讨论，我们可以看到点向式方程是描述三维空间中曲面的一种常用形式，而绕坐标轴旋转得到曲面方程是点向式方程的一种应用。
利用坐标变换求解旋转曲面的方程
：
推 广到空 间直 角坐 标系 中 ， 有结 论 如下 ： ２１空间直 角坐标 系下 ， ． 一点 绕坐 标轴 旋 转 后 ， 旧坐 标 的关 系 ： 新 程为 ＋ ＝ ２ ５ １ 点 ｐｘ ｖ ｚ 绕 ｘ 正 向旋 转 ｄ角 而 成 ） （， ，） 轴 实 际上 ，直 线 Ｌ 平 行 于 ｚ 且与 Ｚ 是 辅 轴 的角 Ｐ（ ， ， ） ， ， 则 ｘｖｚ 距 离 为 ５的直线 ，易知 Ｌ绕 Ｚ 轴旋 转一 周 所 成 旋转 曲面是 圆柱 面 十 ＝ ２ ，这与 上 ５ ＺＳ ｉ Ｏ ￣ｌ 述 方法 结果 一致 ： …
：
兰
Ｃｈｉ ｗ ｅ ｎｏ ｏ ｉ ｓ ａ ｄ Ｐｒ ｄｕ ｔ ｎａ Ｎｅ Ｔ ｃｈ ｌ ｇ ｅ ｎ ｏ ｃ ｓ
文化 与教 育技 术
利用 坐 标变换 求解旋 转 曲面 的方程
牛 春 霞
ｆ 化 工 职业 技 术 学院基 础 部 ， 苏 南京 ２ ０４ ） 南京 江 １０ ８
摘 要 ： 统教材 上 的定 义一般 都 是 指旋 转轴 和母 线在 同一 个 平 面上 ， 传 这种 描 述具 有 局 限性 ， 形 成旋 转 曲面 的一 种特 殊 形式 ， 是 文
１ ： ０
贝 ｛ ：Ｏ－ｉ ；Ｘｄｓ ＋。 Ｓ Ｃ ｙ￣ ｎ ｏ Ｏ
Ｉ． ，
… ｒ ： ＋ 五２ ３
—
因为点 Ｐｘｙｚ在直线 ｈ ｚ ｙ Ｊ ，，） （ １３：－
其他 情况 同理 。 因为点 Ｐ ｘ， ｖ， ）在 曲线 Ｃ上 ， ｚ 以上方 法 只适 合 曲线 与旋转 轴 在一 个平 ｘｎ ￣ ．ａ ｃｓ ＝ｉ ２。 ， 面 ， 曲线 在坐 标平 面 的情 形 ， 有 很大 的局 所 以有 ｒ （ ｉ ｙｏ 且 它 Ｉ ＸＯＯ ｙ ｉ ＝ ０ Ｃ Ｓ ｓ ￣ Ｉ ｎ
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且有
x12 y12 z12 1, （4）
2x12 2 y12 z12 2, (5)
再设
x x1 y y1 z z1 t
1 0 1
那么
x1 x t, y1 y, z1 z t， （6）
通过曲线 且母线垂直于坐标面的柱面称为 曲线 对坐标面射影的射影柱面，该柱面与坐标 面的交线叫做曲线 在坐标面上的射影曲线.
实例：设空间曲线为
{ :
F (x,y,z)0, G( x, y,z)0,
如果我们从上式中依次消去一个元，可得
F1 ( x , y ) 0 , F2 (x, z) 0, F3 ( y, z) 0,
柱面
定义 在空间,由平行于定方向且与一定曲 线相交的一族平行直线所生成的曲面称为柱面
定方向叫做柱面
母线
的方向,定曲线叫
柱面的准线，那
族平行直线中的
每条直线都叫柱
面的母线.
观察柱面的形
准
成过程:
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
x2 (y 1)2 (z 1)2 14,
(10)
x 2y 2z 3 0.
再设(x1, y1, z1)为准线圆（10）上的点，那么过(x1, y1, z1)的母线为
x x1 y y1 z z1 1 2 2
且有
x12 （y1 1)2 (z1 1)2 14,
若为准线上的任意一点，则过的母线方程为：
x x1 y y1 z z1
X
Yபைடு நூலகம்
Z
且：
F1(x1,y1, z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
例1 柱面的准线方程为
{x2 y2z21, 2x22 y2z22,
而母线的方向数是 1，01，求这柱面的方程.
解 设M1(x1, y1, z1)是准线上的点，那么M1(x1, y1, z1)的母线为
反之，以原
z
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
准线
锥面是直纹面
锥面的准线不
唯一，和一切母线
顶点 0
y
都相交的每一条曲
x
线都可以作为它的
母线.
例1、求顶点在原点，准线为
x2
y2
a
2
b2
1
z c
的锥面的方程。
解 设M1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，那么过M1的母线为
从柱面方程看柱面的特征：
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面， 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
,
母线// z
轴
x2 2 pz 抛物柱面, 母线// y轴
1. 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
2. 双曲柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
o
y
O
y
x
x
空间曲线的射影柱面
例2 已知圆柱面的轴为 x y 1 z 1，点（1，-2，1）在此圆柱面上， 1 2 2
求这个圆柱面的方程.
解 因为圆柱面的母线平行于其轴，所以母线的方向数即为轴的 方向数1，-2，-2.如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用例1的解 法，问题就解决了.
因为空间的圆，总可以看成是某一球面与某一平面的交线，这里的圆柱面的 准线圆，可以看成是以轴上的点（0，1，1）为球心,点（0，1，1）到已知点（1，-2，1） 的距离d= 14为半径的球面x2 (y 1)2 (z 1)2 14与过已知点（1，-2，1）且垂直于 轴的平面x 2y 2z 3 0的交线，即准线圆的方程为
(6)代入（4）及（5）得
(x t)2 y2 (z t)2 1, (7)
2(x t)2 2y2 (z t)2 2, (8)
以（2）乘以（7）再减去（8）得
(z t)2 0,
所以 t z， （9） （9）代入（7）或（8），即得所求柱面方程为
(x z)2 y2 1.
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与 二次曲面
曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨 迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形．
F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
消去x1,y1,z1得到三元一次方程 F(x,y,z)=0为满足条件的锥面方程
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (tx, ty, tz) t nF ( x, y, z).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
xyz
(4)
x1 y1 z1
x1 2y1 2z1 3 0,
由以上四式消去参数x1，y1, z1即得所求的圆柱面的方程为
8x2 5y2 5z2 4xy 4xz 8yz 18y 18z 99 0.
定理 在空间直角坐标系中,只含两个元(坐标)的三 元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于 所缺元(坐标)的同名坐标轴.
锥面及其方程
定义：在空间中，通过一个定点且与定曲线相交的一族 直线所产生的曲面叫做锥面
定点叫做锥面的顶点，定曲线叫锥面的准线
设锥面的准线：
F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0
顶点为A(x0,y0,z0)
如果M1(x1,y1,z1)为准线上的任意点则锥面过M1的母线是
x x0 y y0 z z0 且 x1 x0 y1 y0 z1 z0
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
y x
柱面及其方程
定义：由平行于定方向且与一条定直线相交的一族平 行直线所产生的曲面叫做柱面
定曲线叫做柱面的准线，平行直线中的每一条直线叫 柱面的母线
下面我们来推导柱面的方程。
设准线方程为：
F1(x,y,z)=0 F2(x,y,z)=0 母线的方向数为：X，Y，Z