Part11 静电场能量及其分布
第十章静电场中的能量
第十章静电场中的能量1电势能和电势一、静电力做功的特点1．静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qEl cos θ.其中θ为静电力与位移方向之间的夹角．2．特点：在静电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关．(1)静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似．(2)无论是匀强电场还是非匀强电场，无论是直线运动还是曲线运动，静电力做功均与路径无关．二、电势能1．电势能：电荷在电场中具有的势能，用E p表示．2．静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量．表达式：W AB＝E p A－E p B.(1)静电力做正功，电势能减少；(2)静电力做负功，电势能增加．3．电势能的大小：电荷在某点(A点)的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力做的功E p A＝W A0.4．电势能具有相对性电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为零．(1)电势能E p是由电场和电荷共同决定的，是电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能．(2)电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关。
确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。
(3)电势能是标量，有正负但没有方向。
在同一电场中，电势能为正值表示电势能大于零势能点的电势能，电势能为负值表示电势能小于零势能点的电势能。
5．静电力做功与电势能变化的关系(1)W AB＝E p A－E p B.静电力做正功，电势能减少；静电力做负功，电势能增加．(2)在同一电场中，正电荷在电势高的地方电势能大，而负电荷在电势高的地方电势能小．三、电势1．定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比．2．公式：φ＝E p q。
(1)φ取决于电场本身；(2)公式中的E p 、q 均需代入正负号。
3．单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V ,1 V ＝1 J/C.4．电势高低的判断：(1)电场线法：沿电场线方向，电势越来越低．(2)电势能判断法：由φ＝E p q知，对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高．5．电势的相对性：只有规定了零电势点才能确定某点的电势，一般选大地或离场源电荷无限远处的电势为0.6．电势是标量，只有大小，没有方向，但有正、负之分，同一电场中电势为正表示比零电势高，电势为负表示比零电势低．7．电场中某点的电势是相对的，它的大小和零电势点的选取有关．在物理学中，常取离场源电荷无限远处的电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零．8．电势虽然有正负，但电势是标量．在同一电场中，电势为正值表示该点电势高于零电势，电势为负值表示该点电势低于零电势，正负号不表示方向．2 电势差一、电势差1．定义：电场中两点之间电势的差值，也叫作电压．U AB ＝φA －φB ，U BA ＝φB －φA ，U AB ＝－U BA .2．电势差是标量，有正负，电势差的正负表示电势的高低．U AB >0，表示A 点电势比B 点电势高．3．单位：在国际单位制中，电势差与电势的单位相同，均为伏特，符号是V .4．静电力做功与电势差的关系(1)公式：W AB ＝qU AB 或U AB ＝W AB q. (2)U AB 在数值上等于单位正电荷由A 点移到B 点时静电力所做的功．二、电势差的理解1．电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关．2．电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低，且U AB ＝－U BA ，与零电势点的选取无关．3．电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差．三、静电力做功与电势差的关系1．公式U AB＝W ABq或W AB＝qU AB中符号的处理方法：把电荷q的电性和电势差U的正负代入进行运算，功为正，说明静电力做正功，电荷的电势能减小；功为负，说明静电力做负功，电荷的电势能增大．2．公式W AB＝qU AB适用于任何电场，其中W AB仅是电场力做的功，不包括从A到B移动电荷时其他力所做的功．3．电势和电势差的比较1．定义：电场中电势相同的各点构成的面．2．等势面的特点(1)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功．(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟电场强度的方向垂直．(3)电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面．3．等势面的特点及应用(1)在等势面上移动电荷时静电力不做功，电荷的电势能不变．(2)电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面，由此可以绘制电场线，从而可以确定电场的大致分布．(3)等差等势面密的地方，电场强度较强；等差等势面疏的地方，电场强度较弱，由等差等势面的疏密可以定性确定场强大小．(4)任意两个等势面都不相交．4．几种常见电场的等势面(如图1所示)图1(1)点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面．(2)等量异种点电荷的等势面：点电荷的连线上，从正电荷到负电荷电势越来越低，两点电荷连线的中垂线是一条等势线．(3)等量同种点电荷的等势面①等量正点电荷连线的中点电势最低，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最高，从中点沿中垂线向两侧，电势越来越低．②等量负点电荷连线的中点电势最高，两点电荷连线的中垂线上该点的电势最低．从中点沿中垂线向两侧，电势越来越高．(4)匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面．3 电势差与电场强度的关系一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．在匀强电场中，两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积．2．公式：U AB ＝Ed .二、公式E ＝U AB d的意义 1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与这两点沿电场强度方向距离之比．2．电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势．3．电场强度的另一个单位：由E ＝U AB d可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V /m.1 V/m ＝1 N/C.三、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．公式E ＝U AB d及U AB ＝Ed 的适用条件都是匀强电场． 2．由E ＝U d可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势． 式中d 不是两点间的距离，而是两点所在的等势面间的距离，只有当此两点在匀强电场中的同一条电场线上时，才是两点间的距离．3．电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．4．电势差的三种求解方法(1)应用定义式UAB ＝φA －φB 来求解．(2)应用关系式UAB ＝WAB q来求解． (3)应用关系式UAB ＝Ed(匀强电场)来求解．5．在应用关系式UAB ＝Ed 时可简化为U ＝Ed ，即只把电势差大小、场强大小通过公式联系起来，电势差的正负、电场强度的方向可根据题意另作判断．四、利用E ＝U d定性分析非匀强电场 U AB ＝Ed 只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题．(1)在非匀强电场中，公式U ＝Ed 中的E 可理解为距离为d 的两点间的平均电场强度．(2)当电势差U 一定时，场强E 越大，则沿场强方向的距离d 越小，即场强越大，等差等势面越密．(3)距离相等的两点间的电势差：E 越大，U 越大；E 越小，U 越小．五、用等分法确定等势线和电场线1．在匀强电场中电势差与电场强度的关系式为U ＝Ed ，其中d 为两点沿电场方向的距离． 由公式U ＝Ed 可以得到下面两个结论：结论1：匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC ＝φA ＋φB 2，如图1甲所示． 图1结论2：匀强电场中若两线段AB ∥CD ，且AB ＝CD ，则U AB ＝U CD (或φA －φB ＝φC －φD )，同理有U AC ＝U BD ，如图乙所示。
静电场分布规律
静电场分布规律
静电场是由静止电荷在空间中产生的电场。
静电场的分布规律可以通过电场强度分布、电势分布、电荷分布和介电常数分布等方面来描述。
1、电场强度分布
静电场中某一点的电场强度E是由该点的电荷密度ρ和介电常数ε所决定的。
电场强度分布可以通过对电荷密度和介电常数的空间分布进行积分来计算。
在二维平面上，电场强度分布可以用公式Ex=∫ρ(x,y)z dz，Ey=∫ρ(x,y)x dx来计算，其中Ex和Ey分别表示x和y方向上的电场强度分量。
2、电势分布
静电场中某一点的电势Φ是由该点的电荷密度ρ和介电常数ε所决定的。
电势分布可以通过对电荷密度和介电常数的空间分布进行积分来计算。
在二维平面上，电势分布可以用公式Φ=∫ρ(x,y)z dz来计算。
3、电荷分布
静电场中的电荷分布可以影响电场强度和电势的分布。
在大多数情况下，电荷分布是不均匀的，因此需要通过实验或测量来确定电荷分布。
电荷分布也可以通过对物体进行充电或放电来改变。
4、介电常数分布
介电常数分布可以影响静电场的分布。
在某些情况下，介电常数分布可能是不均匀的，这将对电场强度和电势的分布产生影响。
介电常数分布也可以通过对物体进行掺杂或其他处理来改变。
总之，静电场的分布规律可以通过电场强度分布、电势分布、电荷分布和介电常数分布等方面来描述。
这些分布规律可以通过实验或测量来确定，也可以通过对物体进行充电或放电、掺杂等处理来改变。
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【下载后获高清完整版-独家优质】高中物理：静电场中的能量-必考知识点+例题详解1.电势能与电势⑴电势能：就像一个有质量的物体在重力场中具有重力势能一样，一个带电的电荷在电场中也有电势能。
回忆一下重力势能的描述：物体从某点运动到指定的零势能点，重力所做的功即为物体在该点的重力势能。
类似的，描述电势能也需要预先指定零势能点，带电电荷从某点运动到指定零势能点，电场力做的功称为电荷在该点的电势能。
电场中如果不做特殊说明的话一般指定无穷远处为零势能点。
所以通俗理解的话，一个电荷在某点的电势能就等于电场力把电荷从该点移动无穷远处所做的功，当然这个功可能是正功也可能是负功，所以电势能也可以是正值也可以是负值。
（注意，电势能一定是针对某个处于电场中的电荷来讲的）⑵电势：场强描述的是场的力的性质，电势则描述了场的能量性质，由场源电荷和具体位置决定，与处于电场中的检验电荷无关。
电势的直观理解是，如果场中某点的电势是φ，则当一个电荷量为q的电荷放在该点时，该电荷所具有的电势能为反之，我们也可以利用这个关系式去求电场中某点的电势，用电荷在电场中某一点的电势能除以它的电荷量所得的比值即为这一点的电势，，注意从电势的定义式上看，实际上已经默认了电势零点就是电势能的零点，也就是无穷远处。
①定义上看，电势等于场强对距离的积分当场源电荷Q为正电荷时，电势φ是正值，当场源电荷Q为负电荷时，电势φ也是负值。
从电场力做功正负的角度来看也容易理解这点。
②等势面必须垂直于电场线，否则电荷在等势面上移动就会受到电场力做的正功或负功，从而与等势面矛盾。
③顺着电场线的方向，电势将逐渐降低。
这也很好理解，因为电场力做正功，电势必然降低。
④电场中任意两点的电势差值称为电势差：电势差是一个只与电场及位置有关的量，在数值上等于场强对路径的积分显然，匀强电场中，，d为AB之间沿着电场线的距离。
积分为零意味着AB两点等电势。
*电势或电势差在距离上的导数即为场强。
...必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结归纳
千里之行，始于足下。
...必修三第十章静电场中的能量微公式版知识
点总结归纳
必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结归纳：
1. 静电场中的电势能：电场中的电荷在电场力作用下移动时会做功，其功可以转化为电势能。
电势能的表达式为 U = qV ，其中 q 是电荷量，V 是电势。
2. 静电场中的电场能量：静电场在存在电荷时具有能量，称为电场能量。
电场能量的表达式为 W = (1/2)ε₀E²，其中ε₀是真空电容率，E 是电
场强度。
3. 静电场的能量密度：静电场中的能量分布在空间中，单位体积内的能量称为能量密度。
能量密度的表达式为 u = (1/2)ε₀E²，其中ε₀是真空
电容率，E 是电场强度。
4. 静电场的能量守恒定律：静电场中的能量不会产生或消失，只会转化形式，遵循能量守恒定律。
5. 点电荷系的电势能：点电荷系的总电势能可以看作是各个电荷之间相互作用电势能的总和。
6. 电场的能量密度的积分表达式：电场的能量密度可以通过对空间中所有点的能量密度进行积分，得到电场的总能量。
7. 惯性负荷的移动：当惯性负荷从一个电势较高的位置移动到一个电势较低的位置时，它会释放出一部分能量。
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锲而不舍，金石可镂。
8. 静电势能的应用：静电势能可以用于描述电场的储能特性，例如电容器的电荷和电势能的关系、电容器的能量和电势差的关系。
以上是必修三第十章静电场中的能量微公式版的知识点总结归纳。
静电场的能量
q
连接后, 腔内电场消失, 腔外电场不变, 所以 静电场能量减少.
答案(B)
太原理工大学大学物理
例3 为电容器充电. 在电源保持连接的情况下, 把电介质插入, 则静电能 . (填增大、减小、不变)
解：电源保持连接时，两极板间的电 压一定，插入介质后，C增大 由 得静电能增加
思考： 若将“电源保持连接”改为“电源断开”, 结果如何？
We 1 2 e 0 r E V 2
对于电容器中充有各向同性的电介质
1 2 1 e 0 r E DE 2 2
说明： 1）公式对任意电场成立。 2）电场的能量密度与场强的平方成正比， 场强越大，能量密度越大。 太原理工大学大学物理
3.一般电场的能量 对于非均匀电场，电场能量密度应为空间 坐标的函数，任何带电系统的电场中所储存的 总能量为：
dr
q E2 2 4 πr
r
o
R
取半径为r-r+dr 的球壳, 体积 dV= 4πr2dr 体积元中电场能为 dW dV 1 E 2 dV e e 2 太原理工大学大学物理
整个电场中能量 1 We E 2 dV V 2
0dV
0 R R
R
0
0dV
2
R
1 2 E2 4 r 2 dr 2
1 q 2 4 r dr 2 2 4 r
q2 8 R
2 2 2
解二 看成电容器（孤立导体球）
1q q q We 2 C 2 4 R 8 R
太原理工大学大学物理
例2 如图，一带电量为q的球形导体置 于一任意形状的空腔导体中. 若用导 线将两者连接，则系统静电场能将 (A)增加. (B)减少. (C)不变. (D)无 法确定. 解：连接前, 腔内外均有电场.
静电场的能量
ϕa =
Q 4πε 0 a
因此静电场总能量为
W=
Q2 8πε 0 a
方法之二:
1 v v W = ∫ E ⋅ Dd V 2 ∞
因为球内电场为零， 故只须对球外积分
2 Q 2 drdQ = W= ∫ r 2 2 2 (4πε 0 r ) 8πε 0
ε0
Q2r = . 2 8πε 0 a r
式中右边第二项散度体积分化为面积分
v v v r →∞ → 0 ∫ ∇ ⋅ (ϕD)dV = ∫ ϕD ⋅ dS
所以
1 W = ∫ ρϕdV 2
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。 解 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球 面上，方法之一:
1 1 W = ∫ ρϕdV = Qϕ a 2 2
第一项是设想体系的电 荷集中于原点上时在外 场中的能量 第二项是体系的电 偶极矩在外电场中 的能量 第三项是四极 子在外电场中 的能量
W (0 ) = Qϕ e (0 )
W
(2 )
(1)
v v = p ⋅ Ee (0 )
只有在非均匀场 中四极子的能量 才不为零
W
v 1 t = − D : ∇Ee 6
六、静电场的能量 电荷体系与 外电场的相互作用
1、静电场能量
1 v v W = ∫ E ⋅ DdV 2 ∞
由E=-∇ϕ和∇⋅D=ρ得 v v v v v E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇ ⋅ (ϕD) + ϕ ∇ ⋅ D v = −∇ ⋅ (ϕD) + ρϕ 因此
v 1 1 W = ∫ ρϕdV − ∫ ∇ ⋅ (ϕD )dV 2 2
代入得
3 1 3 ∂ ∂2 W = ∫ ρ ϕ e (0 ) + ∑ xi ϕ e (0) + ∑ xi x j ϕ e (0) + L dV 2! i , j =1 ∂xi ∂xi ∂x j i =1 1 ∂ ∂2 ϕ e (0 ) + ∑ Dij ϕ e (0) + L = Qϕ e (0 ) + ∑ pi 6 i, j ∂xi ∂xi ∂x j i 1 t v = Qϕ e (0 ) + p ⋅ ∇ϕ e (0 ) + D : ∇∇ϕ e (0 ) + L 6
静电场的能量课件
3
能量释放
通过放电，电容器可以释放储存的能量，将静电能转化为其他形式的能量。
电势的计算
点电荷 连续分布 多个电荷
电势V = k * q / r 电势V = ∫(k * dq) / r 电势V = Σ(k * q) / r
应用举例
范德格拉夫发生器
范德格拉夫发生器利用静电场 产生高电压来实现静电示波和 电荷分离等实验。
闪电
闪电是由大气中的静电放电所 产生的，形成令人震惊的光和 声现象。
日常生活中的静电
静电在日常生活中有许多应用， 如防静电地毯、喷墨打印机、 带有静电贴纸的玩具等。
静电能
1 定义
静电能是电荷在电场中 具有的能量，与电荷量 和电势差有关。
2 电场能量
3 储能器
电场能量可以通过电场 能量密度来计算，它是 单位体积内的电场能量。
电容器是储存静电能的 一种设备，可以通过累 积和释放电荷来储存和 释放能量。
静电势能
电荷分布
静电势能由电荷的分布和电势 差决定，与电场中的电荷位置 有关。
Байду номын сангаас电势差
电势差是从一个位置移动单位正电荷所需的 功，与静电场的能energy有关。
库仑定律
定律表述
库仑定律描述了两个电荷之 间的作用力与它们的电荷量 和距离的平方成反比。
数学表达
库仑定律公式为F = k * (q1 * q2) / r^2，其中F是作用力， q1和q2是电荷量，r是距离。
应用举例
库仑定律可以解释电子和原 子核之间的静电吸引力和排 斥力，以及导体和绝缘体之 间的电荷作用。
静电场的能量PPT课件
静电场是指由静止的电荷所产生的包围其周围的能量场。静电场具有很多重 要的特性和应用，让我们一起深入了解。
高考物理复习：静电场中的能量
(1)在电场中,两点之间电势的差值叫作电势差。
(2)公式:UAB=φA-φB,UAB=-UBA。
(3)静电力做功与电势差的关系: UAB=
。
知识点二
等势面
1.定义:电场中电势相等的各点组成的面。
2.四个特点。
(1)等势面一定与电场线垂直。
(2)在同一等势面上移动电荷时静电力不做功。
把一带正电荷的物体C置于A附近,贴在A、B下部的金属箔片都张开,则
( C )
A.此时A带正电,B带负电
B.此时A电势低,B电势高
C.移去C,贴在A、B下部的金属箔片都闭合
D.先把A和B分开,然后移去C,贴在A、B下部的金属箔片都闭合
解析:由静电感应可知,A带负电,B带正电,A、B的电势相等,选项A、B错误。
训练突破
1.(多选)空间存在如图所示的静电场,a、b、c、d为电场中的四个点,则
( AD )
A.a点的电场强度比b点的大
B.d点的电势比c点的低
C.质子在d点的电势能比在c点的小
D.将电子从a点移动到b点,静电力做正功
解析:a点的电场线比b点的电场线密,根据电场线的疏密程度表示电场强度
的大小,可知a点的电场强度比b点的电场强度大,故A正确。根据沿着电场
的位置如图所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的
是(
)
ABD
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,静电力做功为9 eV
思维点拨根据a、b、c三点的电势关系可以找出等势面,进而求出等势面
知识点四
物理-静电场的能量
力需克服静电场力作的功dw;
再计算电量由0累积到Q的过程，外力的总功：
Q
dW 0 dW
如：前面例1（均匀带电球面的静电能）
Q
W
q
dq Q2
0 4 0 R
8 0R
++ +
+O
+Q
+ +
+R +
+++
三、连续分布电荷系统的静电能
思路(二)：考察带电体上所电荷元间
的相互作用能 带电体上任到一个电荷元dq，设
4 0r
q1q2
4 0
dr r r2
q1q2
4 0r
一、电荷系统的自能与相互作用能
3、带电体系的总静电能
q2 q3 q1
qi
qn
某电荷系统A
每个带电体的自能 电荷系统的总能
所有带电体的相互作用能
一、电荷系统的自能与相互作用能
例3：求两个半径分别为 R1、R2，电量为 Q1、Q2，相 距为 d(d R1, R2 ) 的两个均匀带电球面的静电能。
Q1 + +
+ +
O1
+ + +
+ R1 +
+++
d( R1, R2 )
+ +
+
+ O2
+ Q2
+ +
+ R2 +
+++
自能：
W1
Q1 8 0R1
W2
Q2 8 0R2
;
相互作用能： W12
静电场中的电介质电场的能量详解PPT课件
思 分析对称性 路
D • dS q0i D D 0r E E
S
例：p209页例题1，2
第11页/共43页
练习. 已知:导体球 R Q
介质 r
求:
球外任一点的
E
导体球的电势 V
解: 作同心球面 为高斯面得
D • dS Q
S
D 4r 2 Q
Q
D 4r 2
E
D 0r
Q 4 0r r 2
静电平衡条件
1、导体内部场强处处为零。 2、场强方向处处与导体表面垂直。 推论：导体是一个等势体；导体表面是一个等势面。
静电平衡时导体上的电荷分布
1、静电平衡时，导体内部无净电荷，电荷只能分布在导体表面 2、当空腔导体内部无带电体时，空腔导体和实心导体一样，内
部场强处处为零；电荷全部分布在导体的外表面。
非均匀电场的能量计算要用积分的办法 dV
W
V
wedV
V
1 E 2dV
2
1
V
2
DEdV
第32页/共43页
例1、计算球形电容器的能量
已知 RA RB q
解：
场强分布
q
E 4r 2
取体积元 dV 4r 2dr
q q
r RA
RB
dW
wdV
1 E 2dV
2
1(
2
q
4r 2
)2 4r 2dr
能量
◎
E0 C
(
d1 q
d2
)
q
0S 0S
(
d1
d2 )
0S
uA uB d1 d2 d t
q
q
A E0 E E0 B
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Topic # 11—静电场能量及其分布 n静电场的能量
n能量分布
1
2
n 电容器类两导体系统
n 能量公式
2
2
e 111 222 q W CU qU C
===
3
n 带电系统的电场能量
n 分析
i) 因静电场，电荷无相对运动，电场能量仅有位能、 没有动能。
ii) W e 的值与建立电场的过程无关，仅取决于带电系 统的最终状态：系统的电荷 q k 、电位j k (k =1,2,¼,n) (Why)
4
n 带电系统的电场能量
n 分析
iii) 在ii)的基础上，设个导体以相同的速率充电，即 在某一瞬间，可记各导体的电荷值为
mq 1 , mq 2 ,…, mq n （
） 1 | 0 | 0
0 = ® = = = t t t m m 所有的电荷都按
相同的比率增长
} ]{ [ } { q
a j = 在该瞬间，各导体的电势值为 m j 1 , m j 2 ,…, m j n
5
n 带电系统的电场能量
n 分析
1
e 11
q j 3
33 q j 2
22 q j 11
mq m j 22
mq m j n
n n q j 33
mq m j n n
mq m j L L
0 :0 t t ® 0 0
t m = = 0
() 1
t t m = = 终时刻
6
n 带电系统的电场能量
n 计算
(d )d()d k k k q mq q m == d (d )d k k k k k A m q m q m
j j =×= 在dt 时间内，外源在k 号导体上充电引起的电荷变化量
电位与电场力作功的关系
j
q W - = 移动(d q) k
的增量电荷，外源须作功
7
n 带电系统的电场能量
n 计算
t =0® t = t 0 (全过程)，外源对 k 号导体所作的功
1
=d d k k k k A A m q m
j = òò 1
1
1 0
1
=d 1
2 n
n k k k k k n
k k k A A m q m q j j == = = = åå ò
å
8
n 带电系统的电场能量
n 计算
k k
mq k i
e 1
1
(1)
2 n
k k
k W A q j = == å 上述功将全部转化为能量 存储在电场中
因静电场，电荷无相对运动，电场能量仅 有位能、没有动能
9
n 带电系统的电场能量
n 推广
对于具有面电荷分布的带电导体 d k
k S q S
s = ò ( ) 12 e 1 1 ()
1 d
2 1 d 2 1
d 2 k
k S k
k n n
k k S C n
k k S S S S S W S
S
S j
j s j s sj = = = =+++ = ===== = å ò åò ò L
10
n 带电系统的电场能量
n 推广
体电荷分布形态的电荷(体电荷密度为r )
e 11
d d 22 S V
W S V
sj rj =+ òò
11
n 例
例2-12 用场的观点计算平行板电容器中的W e
U
1 2
12
n 例
场的观点
e 1
1 2 n
k k
k W q j = = å
13
n 例 n 已知
I.
设电容器正、负极板的电位分别为j 1 、 j 2
12 U
j j -= II. 设电容器正、负极板所带电荷量分别为q 1 、 q 2
12
q q =-
14
n 例
n 计算
( ) 2
e 1 1122
12 1
2 11 22 1 2 1 2
k k
k W q q q q qU j j j j j = = =+ =- = å
15
n 分析
n 将场域按等位面和等通量面（由通量线构成的面） 划分为一系列小区域
n 当分割小到一定程度时，每个小区域内的电场可 近似认为是均匀电场Þ该区域近似为一平行板电
容器
S
d 等位面
等通量面
E
v
16
n 计算
n 平行板电容器
对于极板面积为S 、极板间距为d 的平行板电容器
q S DS
s == d
S d D DS U Q C e e
=
= = D
U Ed d
e
==
17
n 计算
n 小平行板电容器
2
2
2 e 2 111 222 11
22 S U W CU U Sd d d E V DEV e e e æö === ç÷
èø == 2
2 e e 1 22 W D w E V e e
¢ ===
小平行板电容器的能量密度 e e
W w V ¢ = 能量密度
18
n Observations
1. W e 系以
方式分布在整个电场空间 对于各向异性媒质 e w ¢ e 1 2
w D E
¢ =· v v
e 1 d (2)
2 V
W D E V
=· ò v v
19
n Observations
2. W e 的计算：
对于带电系统，静电场中
e 1
1 2 n
k k k W q
j = = å e 1 d 2 V
W D E V
=· ò v v 在时变场中（此时，交变磁场产生电场），或运动
电荷的电场中，只能依赖于
求得 e w ¢。