专题一 几何证明之三角形中的存在性问题 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(解析版)

2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题专题一几何证明之三角形中的存在性问题1、如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限．（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由．解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD，∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D，∴D（k+2，2）；（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2），∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2，∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD，∴＝+，解得：k＝2．（3）∠BPD＝∠BCD+∠A；理由如下：过点P作PE∥AB，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．2、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C．（1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证△A'CD是等边三角形；（2）如图2，设AC中点为E，A'B'中点为P，AC＝a，连接EP．在旋转过程中，线段EP的长度是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数，如果不存在，请说明理由．（1）证明：∵AB∥CB'，∴∠BCB'＝∠ABC＝30°，∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转，∴∠ACA'＝30°．又∵∠ACB＝90°，∴∠A'CD＝60°．又∵∠CA'B'＝∠CAB＝60°，∴△A'CD是等边三角形．（2）当θ＝120°时，EP的长度最大，EP的最大值为a．解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长，此时θ＝∠ACA′＝120°，∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°，∴A′C＝AC＝A′B′＝a，∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′＝90°∴CP＝A′B′＝a，EC＝a，∴EP＝EC+CP＝a+a＝a．3、如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连结FO、EO．设F点移动的时间为t．（1）求A、B两点的坐标；（2）计算：当△EFO面积最大时，t的值；（3）在（2）的条件下，边BC上是否还存在一个点D，使得△EFD≌△FEO？若存在，请直接写出D点的坐标；若不存在，试说明理由．解：（1）∵CO＝2，∴C（2，0）．又∵AO＝3OC＝6，∴A（0，6），可设BO＝x，且x＞0；则：BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；又∵BC＝AB，∴（2+x）2＝36+x2，故：x＝8，∴B（﹣8，0）；（2）过F点作FK⊥BC于K，可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，则：BF＝5t，TO＝FK＝3t；∴AT＝6﹣3t，又∵FE∥BC，∴△AFE∽△ABC，而AO⊥BC交EF于T，则：＝，∴＝，即：EF＝10﹣5t，故：S△EFO＝EF×TO＝（10﹣5t）×3t，即：S△EFO＝﹣（t﹣2）t＝，∴当t＝1时，△EFO的面积达到最大值；（3）在（2）的基础上，E、F分别是AC、AB的中点，若使D为BC的中点时，＝＝＝，又∵＝＝，∴FO＝ED，EO＝FD，EF＝FE，∴△EFD≌△FEO（SSS），∵C（2，0），B（﹣8，0）∴D（﹣3，0）．故：存在满足条件的D点，其坐标为（﹣3，0）．4、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0），B（0，b），C（c，0）．且满足：+（c+1）2+（b+2c）2＝0．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在y轴上是否存在点D，使得∠BCD＝45°？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵+（c+1）2+（b+2c）2＝0，≥0，（c+1）2≥0，（b+2c）2≥0，∴a﹣4＝0，c+1＝0，b+2c＝0，解得，a＝4，b＝2，c＝﹣1，∴BC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，AC2＝25，∴BC2+AB2＝AC2．∴△ABC是直角三角形；（2）解：AB＝＝2，当BA＝BP，点P在点B的上方时，OP＝2+2，此时，点P的坐标为（0，2+2），当BA＝BP，点P在点B的下方时，OP＝2﹣2，此时，点P的坐标为（0，2﹣2），当AB＝AP时，∵OA⊥BP，∴OP＝OB＝2，此时，点P的坐标为（0，2），当PA＝PB时，设点P的坐标为（y，0），PB＝2﹣x，PA＝，则2﹣x＝，解得，x＝﹣3，此时，点P的坐标为（0，﹣3），综上所述，△ABP为等腰三角形时，点P的坐标为（0，2+2）或（0，2﹣2）或（0，2）或（0，﹣3）；（3）解：假设存在点D，使得∠BCD＝45°，点D的坐标为（0，b），作DH⊥BC于H，CD＝，BD＝2﹣b，在Rt△CDH中，∠BCD＝45°，∴CH＝DH＝CD＝，∴BH＝﹣，在Rt△BHD中，BH2+DH2＝BD2．即（﹣）2+（）2＝（2﹣b）2．解得，x1＝（舍去），x2＝，∴点D的坐标为（0，）．5、已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）问题发现如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是，线段DE与DF的位置关系是；（2）拓展探究如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．理由：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．证明：如解图①，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；（3）如图③，连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∵，∴AE＝CF＝2+4＝6，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，∴，∴．6、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，∠ADE的度数为．（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB＝12，求CF的最大值．解：（1）如图1中，设AD交EC于点O，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝CA，∠ACE＝∠ACB＝∠B，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣120°）＝30°，故答案为30°．（2）（1）中的结论还成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝30°，又∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝30°，又∵CE＝BD，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝∠BAC＝120°，即∠DAE＝120°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°．（3）∵AB＝AC，AB＝12，∴AC＝12，∵∠ADE＝∠ACB＝30°且∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴，∴AD2＝AF•AC，∴AD2＝12AF，∴，∴当AD最短时，AF最短、CF最长，易得当AD⊥BC时，AF最短、CF最长，此时．，∴CF＝AC﹣AF＝12﹣3＝9，∴CF的最大值为9．7、等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，M、N分别在直线BC、CD上．（1）如图1所示，M、N分别在线段BC、CD上，若AM⊥MN，求证：AM＝MN．（2）若M、N分别在线段BC、CD外（还在直线BC、CD上），根据题意，画出图形，那么（1）的结论是否依然成立，若成立，写出证明过程；若不成立，说明原因；（3）如图2，若AM＝MN，求证：AM⊥MN．解：（1）延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠NMC＝∠BAM，∵等腰直角△ABC和等腰直角△ACD，∴∠MCD＝135°，∴∠BCH＝45°，∴△BHC为等腰直角三角形，∴BC＝BH，∵AB＝BC，∴AB＝BH，∴BC是AH的垂直平分线，∴AM＝BH，∴∠BHM＝∠BAM，∴∠NMC＝∠BHM，∵∠NMC+∠MNC＝45°，∠BHM+∠MHC＝45°，∴∠MHC＝∠MNC，∴HM＝MN，∴AM＝MN；（2）（1）的结论依然成立，第一种情况：如图3所示，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM；由（1）可知，MC是AH的垂直平分线，∴AM＝MH，∴∠BAM＝∠BHM，∵AM⊥MN，∴∠NMC+∠AMB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠NMC＝∠BAM，∴∠BHM＝∠NMC，∵∠MHN＝∠BHM+45°，∠MNH＝∠NMC+45°，∴∠MHN＝∠MNH，∴MN＝MH，∴AM＝MN；第二种情况：如图4所示，仿照第一种情况的证明方法，可以证明AM＝MN；（3）如图2，延长DC，交AB的延长线于H，连接HM，由（1）可得BC是AH的垂直平分线，∴HM＝AM＝MN，∴∠MAB＝∠MHB，∠MHC＝∠MNC∵∠MHB+∠MHC＝45°，∠MNC+∠NMC＝45°，∴∠MHB＝∠NMC，∵∠MHB＝∠MAB，∴∠BAM＝∠NMC，∵∠BAM+∠AMB＝90°，∴∠AMB+∠NMC＝90°，∴∠AMN＝90°，∴AM⊥MN．8、如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．（1）如图1，求证：AO＝BO．（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．解：（1）如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．（2）如图2，设AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，设AE与CF的交点为M，∵AC＝，∴BC＝AC＝，∵CE＝，∴CD＝CE＝，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，∴S△CEF＝CE•FH＝××＝，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF＝CF•ME＝×ME＝ME，∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，∴S△CFG＝CF•GM＝××＝．9、如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，∠ABO＝30°，AB＝2，OB＝OC．（1）如图1，求点A、B、C的坐标；（2）如图2，若点D在第一象限且满足AD＝AC，∠DAC＝90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC＝∠BDC．请探究BE、CE、AE之间的数量关系．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，AB＝2，∴OA＝1，OB＝，∴A（0，1），B（﹣，0），∵OB＝OC，∴C（，0）．（2）过点D作DM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，由题意，y轴是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∴∠ABO＝∠ACO＝30°，∵∠DAC＝90°，x轴⊥y轴，∴∠DAM＝∠ACO＝30°，又AD＝AC，∠AMD＝∠CAO，∴△AMD≌△COA（AAS），∴DM＝AO，AM＝CO，∵AO＝1，CO＝，∴DM＝ON＝1，AM＝，∴D（1，+1），∴DN＝+1，又BN＝OB+ON＝+1，∴△BND是等腰直角三角形，∴∠DBN＝45°，∴△GBO是等腰直角三角形，∴BG＝OB＝＝；（3）由（2）可知：∠DBN＝45°，∠DCB＝30°+45°＝75°，∴∠BDC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵∠BEC＝∠BDC，∴∠BEC＝60°，延长EB至F，使BF＝CE，连接AF，∵∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠ACE+∠ABE＝180°，∵∠ABF+∠ABE＝180°，∴∠ABF＝∠ACE，又∵AB＝AC，BF＝CE，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAB，∴∠FAE＝∠BAC＝120°，∴FE＝AE，∴BE+CE＝BE+BF＝FE＝AE，即BE+CE＝AE．11、已知：点B、C在∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上（1）特殊情况：如图1，当∠MAN＝90°时，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．（2）一般情况：如图2，当∠MAN为任意锐角时，若∠BED＝∠CFD＝∠MAN，则（1）式结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．证明：（1）如图①中，∵∠MAN＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF（AAS）．（2）如图2，（1）中结论仍然成立，理由：如图②中，∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BAE+∠ABE，∵∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠CAF+∠ACF，∠1＝∠2，∴∠BAE＝∠ACF，∵AB＝AC，11、（1）如图1，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，求证：△AOD≌△BOC；（2）如图2，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN．①作∠MAB，∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？为什么？②过点E任作一条直线，交AM于点D，交BN于点C．证明：DE＝CE；③试说明无论DC的两个端点在AM，BN上如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值就不变．解：（1）∵AD∥BC，∴∠D＝∠B，∠A＝∠C，∵AD＝BC，∴△AOD≌△BOC（ASA）；（2）①∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠BAE+∠ABE＝（∠MAB+∠ABN）＝90°，∴∠AEB＝180°﹣∠BAE﹣∠ABE＝90°，即∠AEB为直角；②延长AE，交BN于点F，∵AM∥BN，∴∠MAF＝∠AFB，∵∠MAE＝∠BAE，∴∠BAF＝∠AFB，∴BA＝FB，∵∠AEB为直角，∴AE＝EF，∵∠DAE＝∠EFC，∠AED＝∠CEF，∴△DAE≌△CFE（ASA），∴ED＝EC；③由②中结论可知，AB＝BF，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总有△DAE≌△CFE，总有AD＝CF；所以总有AD+BC＝2EF＝AB．。