2016年北京高考(理科)数学分类汇编-第3讲：导数汇总-共8页
2016年北京高考数学理科答案与解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =-I .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =33. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10--=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=aOCBAyx14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴ ∵222a c b+=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4AC +=cos A C +()A A A =++ A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v，，，(210)CD =--u u u v，，设n v为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩v u u u v v v u u u v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n θ=<v u u u⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-u u u u r u u u r∴()1,,BM λλ=--u u u u rOx yz PABCD∵BM ∥面PCD ，n u u r为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=u u u u r r即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+Q∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos My θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<<L ，对于第一个“G 时刻”，有11i i a a a >≥，1231i i =-L ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =-L ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=-L ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a +L ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年高考数学理真题分类汇编：导数及其应用
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程 是_______________。
【答案】21y x =--三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1） 当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2a x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′xx x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ． 所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－． 即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
2016年北京高考(理科)数学分类汇编-第3讲：导数汇总
导数一、选择题1．（5分）（2016•海淀区校级一模•民大附中）已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3] D．[﹣6，0]2．（5分）（2016•海淀区二模）函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）（2016•海淀区校级模拟•人大附中）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．二、填空题4．（5分）（2016•丰台区二模）已知x=1，x=3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，且f（x）在x=处的导数f′（）＜0，则f（）=．5．（5分）（2016•海淀区校级一模•民大附中）边界为y=0，x=e，y=x，及曲线y=上的封闭图形的面积为．6．（2016•海淀区校级模拟•农大附中）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．7．（5分）（2016•房山区二模）定积分dx的值为．三、解答题8．（13分）（2016•西城区二模）设a∈R，函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．9．（13分）（2016•西城区一模）已知函数f（x）=xe x﹣ae x﹣1，且f′（1）=e．（1）求a的值及f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1﹣x2|＞ln．10．（13分）（2016•海淀区一模）已知函数f （x）=ln x+﹣1，g（x）=（Ⅰ）求函数f （x）的最小值；（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅲ）求证：直线y=x不是曲线y=g（x）的切线．11．（14分）（2016•海淀区二模）已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）12．（13分）（2016•朝阳区一模）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．13．（14分）（2016•东城区一模）设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．14．（13分）（2016•石景山区一模）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．15．（13分）（2016•顺义区一模）已知函数f（x）=x2﹣lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．16．（13分）（2016•通州区一模）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a≠0）．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的零点；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．17．（13分）（2016•海淀区校级模拟•人大附中）已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．18．（14分）（2016•丰台区一模）已知函数f （x ）=xlnx ．（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：f （x ）≥x ﹣1； （Ⅲ）若在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的最小值．19．（2016•东城区二模）（本小题共14分）已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（Ⅲ）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围．20．（13分）（2016•昌平区二模）已知函数f （x ）=e ax ，g （x ）=﹣x 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ），且曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（0，c ）处具有公共切线．设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）．（Ⅰ）求c 的值，及a ，b 的关系式；（Ⅱ）求函数h （x ）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x 1，x 2∈[0，1]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤e ﹣1，求a 的取值范围．21．（13分）（2016•朝阳区二模）已知函数f（x）=﹣+（a+1）x+（1﹣a）lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=3时，求曲线C：y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，若曲线C：y=f（x）上的点（x，y）都在不等式组所表示的平面区域内，试求a的取值范围．22．（2016•海淀区校级模拟•农大附中）已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．23．（14分）（2016•海淀区校级模拟•清华附中）已知函数f（x）=e（x2﹣3ax+a2））（a＞0）（1）求函数f（x）单调区间；（2）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．24．（14分）（2016•海淀区校级一模•民大附中）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．25．（13分）（2016•海淀区校级模拟•北方交大附中）已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）求证：f（x）≥1；（Ⅱ）若x﹣1＞alnx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．26．（13分）（2016•房山区二模）已知函数f（x）=（a≠0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．27．（13分）（2016•房山区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的极大值；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a的取值范围．28．（13分）（2016•大兴区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论）。
2016年高考数学(理)北京卷参考答案
数学（理）（北京卷）参考答案第1页（共8页）绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D （5）C（6）A（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （ 9 ）1-（10）60 （11）2（12）6 （13）2（14）2(,1)-∞-三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理及题设得所以222cos 2a c b B ac +-===又因为0πB <∠<， 所以π4B ∠=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3π4A C +=．cos A C+3πcos()4A A =+-()A A A =++A A =+ πsin()4A =+因为3(0,π)4A ∈，所以当π4A ∠=cos A C +取得最大值1．数学（理）（北京卷）参考答案第2页（共8页）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名．根据分层抽样方法，C 班的学生人估计为81004020⨯=人． （Ⅱ）在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38=（Ⅲ）10μμ<．三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值．数学（理）（北京卷）参考答案第3页（共8页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ． 所以AB ⊥PD ．又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB ．（Ⅱ）取AD 中点为O ，连结CO ，PO ．因为PA PD =， 所以PO ⊥AD ．又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． 因为CO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥CO ．因为CD AC ==所以CO ⊥AD ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =- ，，，(210)CD =--，， 设n为平面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ，011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与平面PCD 夹角θ有数学（理）（北京卷）参考答案第4页（共8页）sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===（Ⅲ）设存在M 点使得BM ∥平面PCD设AMAPλ=，()0,','M y z 由（Ⅱ）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-所以()1,,BM λλ=--因为BM ∥平面PCD ，n为PCD 的法向量 所以0BM n ⋅=即102λλ-++=所以1=4λ所以综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求．数学（理）（北京卷）参考答案第5页（共8页）（18）（共13分）解：（Ⅰ）()e a x f x x bx -=+所以()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ 所以(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-②由①②解得：2a =，e b =（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，所以222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-所以()g x 的最小值是22(2)(12)e 1g -=-=- 所以()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．数学（理）（北京卷）参考答案第6页（共8页）（19）（共14分）解：（Ⅰ）由已知，112c ab a ==， 又222a b c =+，解得2,1,a b c ==所以椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. 所以00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. 所以0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅数学（理）（北京卷）参考答案第7页（共8页）故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆上一点()2cos ,sin P θθ， 直线PA ：()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. 所以sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.所以2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.数学（理）（北京卷）参考答案第8页（共8页）（20）（共13分）解：（Ⅰ）(){}25G A =，． （Ⅱ）因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． （Ⅲ）设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾． 从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年北京高考数学真题及答案(理科)
数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页）绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =（A ）{0,1} （B ）{0,1,2} （C ）{1,0,1}-（D ）{1,0,1,2}-（2）若,x y 满足20,3,0,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥ 则2x y +的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4（D ）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页）（4）设,a b 是向量．则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知,R x y ∈，且0x y >>，则（A ）110x y-> （B ）sin sin 0x y ->（C ）11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）ln ln 0x y +>（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）16（B ）13（C ）12（D ）1（7）将函数πsin(2)3y x =-图象上的点π(,)4P t 向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图象上，则 （A ）12t =，s 的最小值为π6 （B）t =，s 的最小值为π6 （C ）12t =，s 的最小值为π3（D）t =，s 的最小值为π3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）正（主）视图数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
（II）当 a b 4 时， f x x3 4x2 4x c ， 所以 f x 3x2 8x 4 ．
第 6页 （共 33页）
令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得 x 2 或 x 2 ．
3
f x 与 f x 在区间 , 上的情况如下：
x
f x
（I）求曲线 y f x.在点 0, f 0 处的切线方程；
（II）设 a b 4 ，若函数 f x 有三个不同零点，求 c 的取值范围；
（III）求证： a2 3b＞0 是 f x.有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）
y
bx
c
;（Ⅱ）
c
0,
32 27
;（III）见解析.
ln x, 0 x 1,
4.（2016 四川文、理）设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= ln x, x 1,
图象上点 P1，P2 处的切线，
l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,& BPD 30 .
过 P 作直线 BD 的垂线，垂足为 O .设 PO d
则
SPBD
1 2
BD d
1 2
PD
PB sin
BPD ，
即 1 x2 2 3x 4 d 1 x 2sin 30 ，解得 d
x
.
2
2
x2 2 3x 4
而 BCD 的面积 S 1 CD BC sin BCD 1 (2 3 x) 2 sin 30 1 (2 3 x) .
第 1页 （共 33页）
2016年北京市高考数学理科试题(Word版,含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,y R,且x y o，则（A）-（B）（C）(-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设a R ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则 =____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点。
2016年北京高考数学理科卷解析
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学解析戴又发本试卷共5页。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合}2{<=x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，则=B A （A ）}1,0{ （B ）}2,1,0{（C ）}1,0,1{- （D ）}2,1,0,1{- 【解析】由)2,2(}2{-=<=x x A ，}3,2,1,0,1{-=B ，得 =B A }1,0,1{-，故选（C ）（2）若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-0302x y x y x ，则y x +2的最大值为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5【解析】画出可行域，可知可行域为三角形区域，其三顶点坐标为： （1，2），（0，0），（0，3），分别代入目标函数y x +2，得 最优解为（1，2），y x +2的最大值为4，故选（C ）（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【解析】进入循环体前1,1,0===b a k ，kk =ka=b输入a k =0,b=a第一次进入循环体后1,21=-=b a ；由于b a ≠，使得1=k 后，第二次进入循环体2-=a ； 由于b a ≠，使得2=k 后，第三次进入循环体1=a ； 此时b a =，退出循环，所以2=k ．故选（B ）．（4）设b a ,是向量，则“b a =”是“b a b a -=+”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【解析】由于b a b a -=+的充分必要条件为22)()(b a b a -=+，22)()(b a b a -=+的充分必要条件为0=⋅b a ．所以“b a =”既不是“b a b a -=+”的充分条件，也不是“b a b a -=+”的必要条件．故选（D ）．（5）已知R y x ∈,，且0>>y x ，则（A ）011>-yx （B ）0sin sin >-y x （C ）0)21()21(<-yx（D ）0ln ln >+y x【解析】且0>>y x ，得011<-yx ，（A ）不成立； 又因为x sin 不是单调函数，（B ）不成立； 而x)21(是单调递减函数，所以（C ）成立． 故选（C ）．(6)某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为111 侧（左）视图正（主）视图 俯视图（A ）61 （B ）31 （C ）21（D ）1 【解析】该三棱锥的高为１，底面为一个直角 边长为１的等腰直角三角形，所以体积为 6112131=⨯⨯=V ，故选（A ）．(7)将函数)32sin(π-=x y 图象上的点),4(t P π向左平移)0(>s s 个单位长度得到点P '.若P '位于函数x y 2sin =的图像上，则（A ）21=t ，s 的最小值为6π （B ）23=t ，s 的最小值为6π（C ）21=t ，s 的最小值为3π （D ）23=t ，s 的最小值为3π【解析】由点),4(t P π在函数)32sin(π-=x y 图象上，得21=t ； 将点)21,4(πP 向左平移s 个单位长度后，得到点)21,4(s P +'π. 将点)21,4(s P +'π的坐标代入x y 2sin =，得21)22sin(=+s π，又0>s ． 所以s 的最小值为6π．故选（A ）．（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】当取到两个球都是红球时，乙盒将得到一个红球， 当取到两个球都是黑球时，丙盒将得到一个黑球，红球、黑球各占一半．所以乙盒得到红球与丙盒得到黑球的个数相等； 当从袋中任意取出两个球不同色时，乙盒中不可能得到红球，丙盒中不可能得到黑； 所以，乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，故选（B ）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设R a ∈，若复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则=a ________． 【解析】复数))(1(i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，可知))(1(i a i ++是实数．其虚部01=+a ，所以1-=a ，应填1-．（10）在6)21(x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）【解析】6)21(x -的展开式中，含有2x 的项为2242660)2(1x x C =-⨯⨯，所以2x 的系数为60，应填60．（11）在极坐标系中，直线01sin 3cos =--θρθρ与圆θρcos 2=交于A ，B 两点， 则=AB _______________.【解析】圆θρcos 2=的直径为2，圆心为)0,1(，由于直线01sin 3cos =--θρθρ过圆心，所以=AB 2，应填2．（12）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若61=a ，053=+a a ，则=6S _____. 【解析】由053=+a a 知04=a ，又61=a ，所以2-=d ，46-=a ，所以662616=⨯+=a a S ，应填6．（13）双曲线)0,0(12222>>=b a by －a x 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则=a ____________. 【解析】由题意及双曲线的性质得b a =，8222=+=b a c ，所以=a 2．应填2．（14）设函数⎩⎨⎧>-≤-=ax x ax x x x f ,2,3)(3①若0=a ，则)(x f 的最大值为_______________；② 若)(x f 无最大值，则实数a 的取值范围为_____________． 【解析】作出函数的图象，数形结合．①由0=a ，只需求)0(3)(3≤-=x x x x g 的最大值即可．因为33)(2-='x x g ，所以在0≤x 时，)(x g 的最大值为2)1(=-g ，所以应填2．②求x x x g 3)(3-=与x x h 2)(-=的交点，得1,0,1-=x ，当1-<a 时，)(x f 无最大值， 所以实数a 的取值范围是)1,(--∞，应填)1,(--∞．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）在∆ABC 中，333a cb +=+ （I ）求B ∠ 的大小（II cos cos A C + 的最大值．【解析】（Ⅰ）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B .又因为π<∠<B 0，所以4π=∠B .（Ⅱ）由（Ⅰ）知43π=∠+∠C A .)43cos(cos 2cos cos 2A A C A -+=+π)4cos(sin 22cos 22sin 22cos 22cos 2π-=+=+-=A A A A A A , 因为430π<∠<A ，所以当4π=∠A 时，C A cos cos 2+取得最大值1.（16）（本小题13分）A 、B 、C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通（I ） 试估计C 班的学生人数；（II ） 从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III ）再从A 、B 、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小，（结论不要求证明）【解析】（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法，C 班的学生人数估计为40208100=⨯. （Ⅱ）设事件i A 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，5,,2,1⋅⋅⋅=i ， 事件j C 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，8,,2,1⋅⋅⋅=j ， 由题意可知，51)(=i A P ，5,,2,1⋅⋅⋅=i ；81)(=j C P ，8,,2,1⋅⋅⋅=j . 4018151)()()(=⨯=j i j i C P A P C A P ,5,,2,1⋅⋅⋅=i ,8,,2,1⋅⋅⋅=j .设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，ＡＢＣＤＰ3323133222122111C A C A C A C A C A C A C A C A E = 45352515342414C A C A C A C A C A C A C A因此)()()()()()()()()(3323133222122111C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P E P +++++++=8340115)()()()()()()(45352515342414=⨯=+++++++C A P C A P C A P C A P C A P C A P C A P （Ⅲ）01μμ<.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ， PA ⊥PD ,PA ＝PD,AB ⊥AD,AB ＝1,AD ＝2,AC ＝CD 5 , （I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（III ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM//平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。
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导数
一、选择题
1．（5分）（2019•海淀区校级一模•民大附中）已知函数f（x）=e x﹣2ax，函数g（x）=﹣x3﹣ax2．若不存在x1，x2∈R，使得f′（x1）=g′（x2），则实数a的取值范围为（）
A．（﹣2，3）B．（﹣6，0）C．[﹣2，3] D．[﹣6，0]
2．（5分）（2019•海淀区二模）函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（5分）（2019•海淀区校级模拟•人大附中）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）
A．B．9 C．D．
二、填空题
4．（5分）（2019•丰台区二模）已知x=1，x=3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，
且f（x）在x=处的导数f′（）＜0，则f（）=．
5．（5分）（2019•海淀区校级一模•民大附中）边界为y=0，x=e，y=x，及曲线y=上的封闭图形的面积为
．
6．（2019•海淀区校级模拟•农大附中）如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．
7．（5分）（2019•房山区二模）定积分dx的值为．
三、解答题
8．（13分）（2019•西城区二模）设a∈R，函数f（x）=．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；
（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．
9．（13分）（2019•西城区一模）已知函数f（x）=xe x﹣ae x﹣1，且f′（1）=e．
（1）求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在两个不相等的正实数根x1，x2，证明：|x1﹣x2|＞ln．
10．（13分）（2019•海淀区一模）已知函数f （x）=ln x+﹣1，g（x）=
（Ⅰ）求函数f （x）的最小值；
（Ⅱ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线y=x不是曲线y=g（x）的切线．
11．（14分）（2019•海淀区二模）已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）
12．（13分）（2019•朝阳区一模）已知函数f（x）=x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P（1，3）可作多少条直线与曲线y=f（x）相切？并说明理由．
13．（14分）（2019•东城区一模）设函数f（x）=ae x﹣x﹣1，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln＞．
14．（13分）（2019•石景山区一模）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）若f（x）＞kx﹣xcosx对恒成立，求实数k的最大值．
15．（13分）（2019•顺义区一模）已知函数f（x）=x2﹣lnx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x+t，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．
16．（13分）（2019•通州区一模）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣）e ax（a≠0）．
（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．
17．（13分）（2019•海淀区校级模拟•人大附中）已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．
18．（14分）（2019•丰台区一模）已知函数f （x ）=xlnx ．
（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：f （x ）≥x ﹣1； （Ⅲ）若
在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的最小值．
19．（2019•东城区二模）（本小题共14分）
已知2()2ln(2)(1)f x x x =+-+，()(1)g x k x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；
（Ⅲ）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围．
20．（13分）（2019•昌平区二模）已知函数f （x ）=e ax ，g （x ）=﹣x 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ），且曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（0，c ）处具有公共切线．设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）．
（Ⅰ）求c 的值，及a ，b 的关系式；
（Ⅱ）求函数h （x ）的单调区间；
（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x 1，x 2∈[0，1]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤e ﹣1，求a 的取值范围．
21．（13分）（2019•朝阳区二模）已知函数f（x）=﹣+（a+1）x+（1﹣a）lnx，a∈R．
（Ⅰ）当a=3时，求曲线C：y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，若曲线C：y=f（x）上的点（x，y）都在不等式组所表示的平面区域内，试求a的取值范围．
22．（2019•海淀区校级模拟•农大附中）已知函数f（x）=x2+2alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．
23．（14分）（2019•海淀区校级模拟•清华附中）已知函数f（x）=e（x2﹣3ax+a2））（a＞0）
（1）求函数f（x）单调区间；
（2）函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是否存在最小值，若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
24．（14分）（2019•海淀区校级一模•民大附中）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围
（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]时，函数g（x）的最小值是3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由
（3）当x∈（0，e]时，求证：e2x2﹣x＞（x+1）lnx．
25．（13分）（2019•海淀区校级模拟•北方交大附中）已知函数f（x）=lnx+．
（Ⅰ）求证：f（x）≥1；
（Ⅱ）若x﹣1＞alnx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．
26．（13分）（2019•房山区二模）已知函数f（x）=（a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣﹣lnx，若g（x）在区间（0，2）上有两个极值点，求实数a的取值范围．
27．（13分）（2019•房山区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中．（Ⅰ）当a=﹣2时，求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，e）上仅有一个零点，求a的取值范围．
28．（13分）（2019•大兴区一模）已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论）。