十字相乘法分资料
因式分解-十字相乘法
因式分解-十字相乘法一、十字相乘法分解因式十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：1、首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即()()()x a x b x a b x ab ++=+++2将上式反过来，()()()x a b x ab x a x b 2+++=++得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a 和b ，例如，为了分解因式x px q 2++，就需要找到满足下列条件的a 、b ；a b pab q +==⎧⎨⎩如把762-+x x 分解因式，首先要把二次项系数2x 分成x x ⨯，常数项-7分成)1(7-⨯，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项，右边两个数的积为常数项。
交叉相乘的和为x x x 67)1(=⨯+-⨯，正好是一次项。
从而)1)(7(762-+=-+x x x x 。
2、二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax bx c 2++中，当a ≠1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2762x x -+，首先要把二次项系数2分成1×2，常数项6分成()()-⨯-23，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。
右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为()()13227⨯-+⨯-=-，正好是一次项系x =-+762x )1)(7(-+x x xx⇓⨯⇓71-xx x 67=+-数，从而得()()2762232x x x x -+=--。
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目录
01
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02
十字相乘法的基本原理
03
十字相乘法的应用
04十字相乘法ຫໍສະໝຸດ 注意事项05十字相乘法的扩展应用
01
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02
十字相乘法的基本原理
定义与公式
定义：十字相乘法是一种解一元二次方程的方法，通过将方程的系数分解为两个因数的乘积，从而找到方程的解。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有括号时。
分解因式时，要注意符号的变化，特别是当多项式中含有分数时。
分解因式时要注意完全平方数的问题
分解因式时要注意完全平方数的问题，避免出现错误的结果。
分解因式时要注意符号问题，确保结果的正确性。
分解因式时要注意因式的分解是否彻底，避免出现不必要的错误。
应用场景：求解一元二次不等式时，当不等式的系数较大或较为复杂时，使用十字相乘法可以简化计算过程
注意事项：在使用十字相乘法时，需要确保分解后的两个一次项的乘积为正，否则会导致不等号方向错误
举例说明：通过具体的一元二次不等式实例，展示十字相乘法的应用和求解过程
求解一元二次函数极值
定义：一元二次函数极值是指函数在某点的导数为零，且该点两侧的函数值异号
代数方程：十字相乘法可用于解二次方程和一元高次方程
矩阵运算：十字相乘法在矩阵的乘法中也有应用
分式化简：十字相乘法可以用于化简分式，简化计算过程
在物理和工程领域的应用
线性代数方程组的求解
工程中的结构分析、流体动力学等领域
物理中的动力学方程求解
矩阵运算中的分块矩阵相乘
因式分解法(十字相乘法)知识讲解
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法二：
2x2-2x-12 = （x+2）(2x-6)
x
2 = 2（x+2)(x-3)
2x
-6
x×（-6）+2x×2=-2x
(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
例1、（2）
12x2 29x 15
3x
5
4x
3
(9x) (20x) 29x
所以： 原式 (3x 5)(4x 3)
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
1、十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
2、用十字相乘法把形如x2 + px +q 二次三项式 分解因式
3、 x2+px+q=（x+a）（x+b） 其中q、p、a、b之 间的符号关系
q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )且（a、b符号）与p符 号相同 当q<0时， q分解的因数a、b( 异号) （其中绝对值较大 的因数符号）与p符号相同
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
十字相乘法完整版
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
= (a + d) (b – c)
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
分组分解法
十字相乘法
x
2 1 1 2
3x
5 10 10 5
例题解析：10=2×5=1×10=（-1）×（-10）=（—2）×（-5）只有
5x 6 x 11x
3x2 11x 10 (x 2)(3x 5)
3 、5 x 2 6 x y 8 y 2
x
2y 2y y y
5x
4y 4y 8y 8y
例题解析：8y2 (2y)(4y) (2y)(4y) y(8y) (y)(8y) ，只
2、 x 4 5 x 2 4
x2
1 1 2 2
x2
4 4 2 2
例题解析：把 x2 看作 x ， x4 可以看作 x2 。4 分解为 2×2、1×4、
（-2）×（-2）、（-1）×（-4）只有分解为（-1）×（-4）时有
( x2 ) (4 x2 ) (5x2 )
x 4 5 x 2 4 ( x 2 1)( x 2 4 )
则有 (x a)(x b) x 2 (a b)x ab
2、因式分解：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把 这个因式分解，分解因式技巧掌握： ①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式 ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示 ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
通法在握：系数为 1 的二次三项式，利用十字相乘法因式分解的一般步骤：
（1）竖分二次项和常数项 （2）交叉相乘并相加
（3）检验确定，横写因式 顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 寻找的两数 a 和 b 的符号数如何确定的？
x 2 px q ( x a )( x b)
当 q>0 时，a、b 同号，且 a、b 的符号和 p 的符号相同。 当 q<0 时，a、b 异号且绝对值较大的因数符号与 p 的符号相同。 例题 2：因式分解
资料：十字相乘法
十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。
但是，如果使用不对，就会犯错。
（一）原理介绍通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一：搞笑（也是高效）的方法。
男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。
男生和女生的比例是1：1。
方法二：假设男生有A，女生有B。
（A*75+B85）/（A+B）=80整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。
方法三：男生：75 580女生：85 5男生：女生=1：1。
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=CX=（C-B）/（A-B）1-X=（A-C）/A-B因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5答案：C分析：男教练：90% 2%82%男运动员：80% 8%男教练：男运动员=2%：8%=1：42.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2答案：B分析：职工平均工资15000/25=600男职工工资：580 30600女职工工资：630 20男职工：女职工=30：20=3：23．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。
十字相乘法知识点总结
十字相乘法知识点总结1. “哎呀，十字相乘法就是把二次项系数分解成两个数相乘，常数项也分解成两个数相乘，然后交叉相乘再相加，看是不是等于一次项系数呀！”就像妈妈切菜一样，把一个大的任务分成小块来处理。
比如算2x^2+5x+3，2 可以分成 1 和 2，3 可以分成 1 和 3，交叉相乘1×3+2×1 不就正好等于 5 嘛！2. “嘿，用十字相乘法可得细心点哟！要像找宝藏一样仔细去找那些能凑对的数！”就好像在一堆玩具里找自己最喜欢的那个。
比如3x^2+7x+2，3 只能分成 1 和 3，2 只能分成 1 和 2，很快就能发现1×2+3×1 等于 5 啦！3. “你们知道吗，十字相乘法可有意思啦！就像是拼图游戏，要把合适的部分拼在一起。
”比如解 4x^2+8x-5，4 可以分成 2 和 2，-5 可以分成1 和-5，试试就知道怎么组合啦！4. “哇塞，十字相乘法不难呀，就是找对搭配嘛！这多像我们搭配衣服呀，要好看就得搭对。
”像算 5x^2-6x+1，5 分成 1 和 5，1 还是 1，找找就能发现搭配的窍门啦！5. “哈哈，十字相乘法其实很简单呀，只要多试试就能掌握啦，就像骑自行车一样，一开始难，后来就熟练啦！”比如面对 6x^2+5x-6，6 可以有很多分法，慢慢试就找到合适的啦！6. “哎呀呀，十字相乘法不就是那么回事嘛，把数字拆来拆去，总能找到合适的组合呀！”就好像搭积木，要找到合适的那块放上去。
比如算3x^2-4x-4，3 分成 1 和 3，-4 可以分成 2 和-2，找找规律呀！7. “十字相乘法呀，可别小瞧它哦，这可是解决好多问题的好办法呢！就像我们的秘密武器！”就像碰到 2x^2+3x-2，2 分成 1 和 2，-2 分成 1 和-2，动动脑筋就能搞定啦！8. “嘿，学十字相乘法得有点耐心哦，就像钓鱼一样，得等鱼儿上钩。
”比如解 6x^2-7x+2，6 有多种分法，耐心点就能找到啦！9. “哇，十字相乘法可神奇啦，能让那些复杂的式子变简单呢，就像魔法一样！”比如算 4x^2-9x+2，4 分成 2 和 2，2 还是 2，是不是很神奇呀！10. “十字相乘法真的很有用呀，学会了它就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！”就像面对 5x^2+6x-8，5 分成 1 和 5，-8 分成 2 和-4，用十字相乘法不就解开啦！。
十字相乘法
一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式方法叫做十字相乘法。
即对于二次三项式x²+bx+c，若存在p+q=b，pq=c ，则x²+bx+c=(x+p)(x+q)
1.在对x²+bx+c分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c>0，则p、q同号，若c<0，则p、q异号，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q的符号。
2.若x²+bx+c中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止。
二、首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax²+bx+c (a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a₁a₂，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c₁c₂，
把a₁，a₂，c₁，c₂排列如下：
若a₁c₂+a₂c₁=b，即ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。
（1）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”。
（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上。
三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分组处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解即先对题目进行分组，然后再分解因式。
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因式分解 : (1)x2+6x+9
(2)x2- 8x+16 (3)2x2+5x-3 (4)3x2-8x+4
①5a2+7a-6 ②6y2-11y-10 ③ 7x2－13x＋6
• 小结：十字相乘法的一般步骤
• 课后作业：一 6、7 三 2、4 写在作业本上
思考2：
(1)若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-b)
则m的值为（ ）
解：由已知 x2+mx-10= (x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab
对应系数相等，则 a+b,-10=ab
a,b 1,-10 -1,10 2,-5 -2,5
m=a+b -9 9
-3 3
公式法中常用的乘法公式
• 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) • 完全平方和公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 • (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc • 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) • 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
你能找到什么规律吗?
例1：把下列二次三项式分解因式： （1）x2-3x+2 （2） x2+4x-12
解：（1）x2-3x+2
x
-1 x(-2)+x(-1)=-3x
x -2
十字相乘法
所以，x2-3x+2=(x-1)(x-2)
（2）x2+4x-12
x
-2 x(-2)+x(+6)=4x
x
+6 所以，x2+4x-12=(x-2)(x+6)
(3) b4-2b2-8 (4) a3-5a2b+6ab2
分析：整体代换
思考1：如何把下列多项式分解因式：
6(2p-q)2-11(q-2p)+3
分析：整体代换
2(2p-q) +3
6(2p-q)2-11(q-2p)+3 3(2p-q)
+1
=6(2p-q)2+11(2p-q)+3
=[2(2p-q)+3][3(2p-q)+1] =(4p-2q+3)(6p-3q+1)
③ (x+1)(x-4)= x2 – 3x-
4
④ (x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
观察与思考
① x2 5x 6 (x 2)(x 3) ② y2- 8y+15 =(y-3)( y-5) ③ x2 – 3x-4=(x+1)(x-4)
④ x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
则a,b的值为（
）
分析：x2-3x+a
x
-5
x
-b
+a=(-5)(-b) -3x=-bx-5x
a=-10 b=-2
另解：由已知 x2-3x+a= (x-5)(x-b) =x2-(5+b)x+5b
对应系数相等，则 3=5+b,a=5b
可得 b=-2 , a=-10
(2)若 x2+mx-10=(x+a)(x+b)其中a,b为整数，
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
例2：把下列二次三项式分解因式： （1）12x2-5x-2 （2） 5x2+6xy-8y2
解：（1）12x2-5x-2 =(3x-2)(4x+1) 3x -2 4x +1
x2-5x+6 x2-5x-6 X2+5x-6 X2+5x+6
对于x2+px+q
（1）当常数项q为正数时，把它分解为两个同号 因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
（2）当常数项q为负数时，把它分解为两个异号 因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次 项系数的符号相同．
注意：当常数项是正数时，分解 的两个数必同号，即都为正或都 为负，交叉相乘之和得一次项系 数。当常数项是负数时，分解的 两个数必为异号，交叉相乘之和 仍得一次项系数。因此因式分解 时，不但要注意首尾分解，而且 需十分注意一次项的系数，才能 保证因式分解的正确性。
十字相乘法分解因式
濮阳市第一中学数学组
课前复习
• 什么是因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式， 叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个 多项式分解因式.
• 前面我们都学习了那些分解因式的方法？ 提取公因式法、公式法.
计算
① (x 2)(x 3) x2 5x 6 ② (y-3)( y-5)= y2- 8y+15
试将 x2 6x 16 分解因式
x2 6x 16 x2 6x 16
x8 x2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提 出负号再因式分解 。
将下列多项式因式分解
1) x2+3x-4
(2) x2-3x-43
3) x2+6xy-16y2 (4) x2-11xy+24y2
5) x2y2-7xy-18 (6) x4+13x2+36
十字相乘法的一般步骤：
（1）把二次项和常数项分解; （2）尝试十字图，使经过十字交叉线相乘相加 后得到一次项; （3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果.
“拆两头，凑中间”练一练：一、1-6
练一练： 一、将下列各式分解因式
x2 5x 6 x2 7x 12 x2 x 6 x2 3x 10
x2-4x-12
（2）5x2+6xy-8y2 =(x+2y)(5x-4y) x +2y 5x -4y
练习： 1、6x2-23x+10
2、8x2-22x+15 2、14a2-29a-15 3、4m2+7mn-36n2
4、10(y+1)2-
思考1：如何把下列多项式分解因式： (1) (a+b)2+8(a+b)-20 (2) 6(2p-q)2-11(q-2p)+3