课时跟踪检测(六) 系统题型——函数的性质及其应用
高中数学课时跟踪检测：函数与方程
高中数学课时跟踪检测：函数与方程一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1,则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0,即231＋1＋a ＝0,解得a ＝－12. 答案：－122．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大,另一个根比2小,则实数m 的取值范围是______．解析：设函数f (x )＝x 2＋mx －6,则根据条件有f (2)＜0,即4＋2m －6＜0,解得m ＜1. 答案：(－∞,1)3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2,f (－1)＝1,则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为______．解析：依题意得⎩⎨⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，由此解得b ＝－4,c ＝－2.由g (x )＝0得f (x )＋x ＝0, 该方程等价于⎩⎨⎧x ＞0，－2＋x ＝0， ①或⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0.②解①得x ＝2,解②得x ＝－1或x ＝－2. 因此,函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3. 答案：34．(连云港调研)已知函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点,则实数b 的取值范围为________．解析：由已知,函数f (x )＝2－x 2－x ＋b 有一个零点,即函数y ＝x －b 和y ＝2－x 2的图象有1个交点,如图,其中与半圆相切的直线方程为y ＝x ＋2,过点(0,2)的直线方程为y ＝x ＋2,所以满足条件的b 的取值范围是b ＝－2或－2＜b ≤ 2.答案：{－2}∪(－2,2]5．(苏州质检)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －cos x ,则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．解析：作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象如图所示,可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为3.答案：36．(泰州中学上学期期中)已知函数y ＝f (x )的周期为2,当x ∈[－1,1]时,f (x )＝x 2,那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象,如图,结合图象知,共有10个交点．答案：10二保高考,全练题型做到高考达标1．设x 0为函数f (x )＝2x ＋x －2的零点,且x 0∈(m ,n ),其中m ,n 为相邻的整数,则m ＋n ＝________.解析：函数f (x )＝2x ＋x －2为R 上的单调增函数,又f (0)＝1＋0－2＝－1＜0,f (1)＝2＋1－2＝1＞0,所以f (0)·f (1)＜0,故函数f (x )＝2x ＋x －2的零点在区间(0,1)内,故m ＝0,n ＝1,m ＋n ＝1.答案：12．(镇江中学检测)已知函数f (x )＝2x ＋2x －6的零点为x 0,不等式x －4＞x 0的最小的整数解为k ,则k ＝________.解析：函数f (x )＝2x ＋2x －6为R 上的单调增函数,又f (1)＝－2＜0,f (2)＝2＞0,所以函数f (x )＝2x ＋2x －6的零点x 0满足1＜x 0＜2,故满足x 0＜n 的最小的整数n ＝2,即k －4＝2,所以满足不等式x －4＞x 0的最小的整数解k ＝6.答案：63．已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1,2)内,则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k , 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1,2)内时,f (1)·f (2)＜0, 即(5－k )(10－k )＜0,解得5＜k ＜10. 当f (1)＝0时,k ＝5.综上,k 的取值范围为[5,10)． 答案：[5,10)4．(太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内,则实数m 的取值范围是________．解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知,⎩⎨⎧m ≠2，f －1·f0＜0，f 1·f 2＜0，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1＜0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]＜0，解得14＜m ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，125．(无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥1，x ·log 2x ＋1，x ＜1，若方程f (x )－mx ＝0恰好有3个零点,则实数m 的取值范围为________．解析：当x ≥1时,方程f (x )－mx ＝0变为1－mx ＝0,解得x ＝1m;当－1＜x ＜1时,方程f (x )－mx ＝0变为x [log 2(x ＋1)－m ]＝0,解得x ＝0或x ＝2m －1. 因为f (x )－mx ＝0恰好有3个零点,所以1m≥1,且－1＜2m －1＜1,解得0＜m ＜1,故实数m 的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)6．(镇江调研)已知k 为常数,函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －1，x ≤0，|ln x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同的解,则实数k 的取值范围为________．解析：作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示,若关于x 的方程f (x )＝kx ＋2有且只有4个不同解,当直线y ＝kx ＋2与y ＝ln x 的图象相切时,设切点为(m ,n ),可得n ＝ln m ,y ＝ln x 的导数为y ′＝1x (x ＞1),可得k ＝1m,则n ＝km ＋2,解得m ＝e 3,k ＝e －3,则实数k 的取值范围为(0,e －3)．答案：(0,e －3)7．(苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x ＞0，2x ＋1，x ≤0，若直线y ＝ax 与y ＝f (x )交于三个不同的点A (m ,f (m )),B (n ,f (n )),C (t ,f (t ))(其中m ＜n ＜t ),则n ＋1m＋2的取值范围是________．解析：由已知条件可得⎩⎨⎧2m ＋1＝am ，ln n ＝an ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋1m ＝a ，ln n n ＝a ，所以n ＋1m ＋2＝n ＋ln nn,令g (n )＝n ＋ln nn,当f (x )＝ln x ,x ＞0与y ＝ax 相切时,由f ′(x )＝1x ,得1x＝a ,又ln x ＝ax ,解得x ＝e,所以要满足题意,则1＜n ＜e.由g ′(n )＝1＋1－ln nn 2＞0,所以g (n )＝n ＋ln nn在(1,e)上单调递增,所以g (n )＝n ＋1m ＋2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e .答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，e ＋1e 8．(南京、盐城一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x )＝2x ＋m2x ,设g (x )＝⎩⎨⎧f x ，x ＞1，f－x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点,则实数t 的取值范围是________．解析：因为f (x )为奇函数,所以f (－x )＝－f (x ),即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x ),解得m ＝－1,故g (x )＝⎩⎨⎧2x －2－x ， x ＞1，2－x －2x，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x ＞1时,g (x )单调递增,此时g (x )＞32;当x ≤1时,g (x )单调递减,此时g (x )≥－32,所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32时,y ＝g (x )－t 有且只有一个零点．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，329．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ,(1)判断命题：“对于任意的a ∈R,方程f (x )＝1必有实数根”的真假,并写出判断 过程;(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点,求实数a 的取值范围．解：(1)“对于任意的a ∈R,方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．依题意,f (x )＝1有实根,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根,因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立,即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根,从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意,要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点, 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －1＞0，f 0＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ＞0，1－2a ＜0，34－a ＞0，解得12＜a ＜34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.10．(通州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1,g (x )＝a 2x 2＋bx ＋1.若函数f (x )有两个不同零点x 1,x 2,函数g (x )有两个不同零点x 3,x 4.(1)若x 3＜x 1＜x 4,试比较x 2,x 3,x 4的大小关系;(2)若x 1＝x 3＜x 2,m ,n ,p ∈(－∞,x 1),f ′mg n ＝f ′n g p ＝f ′pg m,求证：m ＝n ＝p .解：(1)因为函数g (x )的图象开口向上,且零点为x 3,x 4, 故g (x )＜0⇔x ∈(x 3,x 4)． 因为x 1,x 2是f (x )的两个不同零点, 故f (x 1)＝f (x 2)＝0.因为x 3＜x 1＜x 4,故g (x 1)＜0＝f (x 1),于是(a 2－a )x 21＜0. 注意到x 1≠0,故a 2－a ＜0. 所以g (x 2)－f (x 2)＝(a 2－a )x 22＜0, 故g (x 2)＜f (x 2)＝0,从而x 2∈(x 3,x 4), 于是x 3＜x 2＜x 4.(2)证明：记x 1＝x 3＝t ,故f (t )＝at 2＋bt ＋1＝0,g (t )＝a 2t 2＋bt ＋1＝0,于是(a －a 2)t 2＝0.因为a ≠0,且t ≠0,故a ＝1. 所以f (x )＝g (x )且图象开口向上．所以对∀x ∈(－∞,x 1),f ′(x )递增且f ′(x )＜0,g (x )递减且g (x )＞0. 若m ＞n ,则f ′(n )＜f ′(m )＜0,1g n＞1g p＞0,从而g (p )＞g (n )＞0,故n ＞p .同上,当n ＞p 时,可推得p ＞m .所以p ＞m ＞n ＞p ,矛盾．所以m ＞n 不成立． 同理,n ＞m 亦不成立． 所以m ＝n .同理,n ＝p . 所以m ＝n ＝p .三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(镇江期中)函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |＋3，x ＞0，－x 2－2x －2，x ≤0，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋4b＋1＝0有4个不同的实数根,则实数b 的取值范围是________．解析：令t ＝f (x ),则原方程等价于t 2＋bt ＋1＋4b ＝0.作出函数f (x )的图象如图所示．由图象可知,当t ＞3,－2≤t ＜－1时,函数y ＝t 和y ＝f (x )各有两个交点, 要使方程f 2(x )＋bf (x )＋4b ＋1＝0有4个不同的实数根, 则方程t 2＋bt ＋1＋4b ＝0有两个根t 1,t 2,且t 1＞3,－2≤t 2＜－1.令g (t )＝t 2＋bt ＋1＋4b ,则由根的分布可得⎩⎨⎧g－2＝5＋2b ≥0，g－1＝2＋3b ＜0，g3＝10＋7b ＜0，解得－52≤b ＜－107. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，－1072．(南京调研)设函数f k (x )＝2x ＋(k －1)·2－x (x ∈R,k ∈Z)． (1)若f k (x )是偶函数,求不等式f k (x )＞174的解集; (2)设不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4的解集为A ,若A ∩[1,2]≠∅,求实数m 的取值范围; (3)设函数g (x )＝λf 0(x )－f 2(2x )－2,若g (x )在x ∈[1,＋∞)上有零点,求实数λ的取值范围．解：(1)因为f k (x )是偶函数,所以f k (－x )＝f k (x )恒成立, 即2－x ＋(k －1)·2x ＝2x ＋(k －1)·2－x , 所以k ＝2. 由2x ＋2－x ＞174,得4·22x －17·2x ＋4＞0, 解得2x ＜14或2x ＞4,即x ＜－2或x ＞2,所以不等式f k (x )＞174的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． (2)不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4,即为2x －2－x ＋m ·2x ≤4, 所以m ≤2－x －2x ＋42x ,即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4·12x －1.令t ＝12x ,x ∈[1,2],则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,设h (t )＝t 2＋4t －1,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,则h (t )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54.由A ∩[1,2]≠∅,即不等式f 0(x )＋mf 1(x )≤4在[1,2]上有解, 则需m ≤h (t )max ,即m ≤54.所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)函数g (x )＝λ(2x－2－x)－(22x＋2－2x)－2在x ∈[1,＋∞)上有零点,即λ(2x －2－x )－(22x ＋2－2x )－2＝0在x ∈[1,＋∞)上有解, 因为x ∈[1,＋∞),所以2x －2－x ＞0,所以问题等价于λ＝22x ＋2－2x ＋22x －2－x 在x ∈[1,＋∞)上有解．令p ＝2x ,则p ≥2,令u ＝p －1p,则u 在p ∈[2,＋∞)上单调递增, 因此u ≥32,λ＝u 2＋4u.设r (u )＝u 2＋4u ＝u ＋4u ,则r ′(u )＝1－4u 2,当32≤u ≤2时,r ′(u )≤0,即函数r (u )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2上单调递减,当u ≥2时,r ′(u )≥0,即函数r (u )在[2,＋∞)上单调递增,所以函数r (u )在u ＝2时取得最小值,且最小值r (2)＝4, 所以r (u )∈[4,＋∞),从而满足条件的实数λ的取值范围是[4,＋∞)．。
高考数学复习讲义：函数的性质及其应用
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)换元法：形如求 y＝ ax＋b＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的 值域或最值，常用代数换元法、三角换元法结合题目条件将 原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解． (3)分离常数法：形如求 y＝acxx＋＋db(ac≠0)的函数的值域或 最值常用分离常数法求解．
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0 恒成立， ∴－xln(－x＋ a＋x2)－xln(x＋ a＋x2)＝0 恒成立， ∴xln a＝0 恒成立，∴ln a＝0，即 a＝1. 答案：1
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[把握考情]
1.函数单调性的判断及应用：主要考查判断函数 的单调性、求单调区间；利用单调性求参数的取 值范围、比较大小、求最值等； 2.函数奇偶性的判断及应用：主要考查判断函数 常规角度 的奇偶性，利用奇偶性求值等； 3.函数周期性的判断及应用：主要考查函数周期 性的判断，利用周期性求函数值等． 主要以选择、填空题为主，难度中档或中偏高档 函数的性质常与解不等式、函数的零点、命题的 创新角度 真假性、导数等交汇命题
上单调递减，故不正确；选项 C 中的函数是偶函数，在(0，
＋∞)上单调递增，故正确；选项 D 中的函数是奇函数，在 R
上单调递增，故不正确．故选 C. 答案：C
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2.[考法二]定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)，且在
[－1,0]上单调递减，设 a＝f( 2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，
图象法 若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象 可作出，可由图象的升、降写出它的单调性
导数法 先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负 得函数的单调性
人教A高中数学选修22新课改地区课时跟踪检测六 函数的极值与导数 含解析
课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练 对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0， 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时，y ′>0； 当－1<x <3时，y ′<0.∴当x ＝－1时，函数有极大值5； 3∉(－2,2)，故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427，0B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x . 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427，当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由题图知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点，分别为1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3D ．－1，－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由题意知f ′(1)＝0，f (1)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1，b ＝－3. 5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b )，令f ′(x )＝0，解得x ＝b ，由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值，则有0<b <1.当0<x <b 时，f ′(x )<0；当b <x <1时，f ′(x )>0，符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，∵函数f (x )既有极大值又有极小值，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0，解之得a >2或a <－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题 7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x .当a ≤0时，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)； 当a >0时，g (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．②当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0,1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意．③当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a >12时，0<12a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 8．已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行．(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差．解：y′＝3x2＋6ax＋3b.∵x＝2是函数的极值点，∴12＋12a＋3b＝0，即4＋4a＋b＝0，①又图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，∴y′|x＝1＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0.②由①②解得a＝－1，b＝0，此时y′＝3x2－6x＝3x(x－2)．(1)令y′>0，即3x(x－2)>0，解得x<0或x>2，令y′<0，即3x(x－2)<0，解得0<x<2，∴函数的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．(2)由(1)可知x＝0是极大值点，x＝2是极小值点，又y＝f(x)＝x3－3x2＋c，∴y极大值－y极小值＝f(0)－f(2)＝c－(8－12＋c)＝4.二、综合过关训练1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1 B．－2e－3C．5e－3D．1解析：选A因为f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，所以f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)e x－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]e x－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1＝(x＋2)(x－1)e x－1.令f′(x)>0，解得x<－2或x>1，令f′(x)<0，解得－2<x<1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为()A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：选A 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23，故选A.3．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎨⎧f ′(0)<0，f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.4．已知可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )(如图)，设F (x )＝f (x )－g (x )，则( )A ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极大值点B ．F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点C ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是F (x )的极值点D ．F ′(x 0)≠0，x ＝x 0是F (x )的极值点解析：选B 由题图知可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线为l ：y ＝g (x )，又F (x )＝f (x )－g (x )在x 0处先减后增，∴F ′(x 0)＝0，x ＝x 0是F (x )的极小值点．故选B.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.答案：－2或26．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x 2－12ln x ＋1的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12·1x ＝4x 2－12x ，∵函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(a －1，a ＋1)内存在极值，∴f ′(x )＝4x 2－12x 在区间(a －1，a ＋1)上有零点，而f ′(x )＝4x 2－12x 的零点为12，故12∈(a －1，a ＋1)，故a －1<12<a ＋1，解得－12<a <32，又a －1≥0，∴a ≥1. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32. 答案：⎣⎡⎭⎫1，32 7．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8，从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．8．求函数f (x )＝x 3－3x 2－a (a ∈R)的极值，并讨论a 为何值时函数f (x )恰有一个零点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x ，函数f (x )的定义域为R ， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )－a－4－a在x ＝2处有极小值，极小值为f (2)＝－4－a .函数y ＝f (x )恰有一个零点即y ＝f (x )的图象与x 轴只有一个交点(如图)，所以⎩⎨⎧f (0)>0，f (2)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a >0，－4－a >0或⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，－4－a <0，解得a <－4或a >0，所以当a >0或a <－4时，函数f (x )恰有一个零点．。
高考数学二轮总复习课时跟踪检测函数的图象与性质理
课时追踪检测 ( 三)函数的图象与性质一、选择题1．函数 f ( x ) ＝3x 2lg 3x ＋1 的定义域是 ()＋1－ xA ． － 1，＋∞1 3B ．－，131 1C ． －3， 3D ． [0,1)lg 3x ＋ 1 ≥0， 分析： 选 D 要使函数存心义，需1－ x >0，即 0≤ x <1.1－ x112．已知函数 f ( x ) ＝－ x ＋log 21＋ x ＋ 1，则 f 2 ＋ f － 2的值为()A ． 2B ．－ 21C ． 0D ． 2log 23分析：选A f ( x ) 的定义域为 ( － 1,1) ，由 f ( － x ) － 1＝ 1－f ( x ) 知 f ( x ) － 1 为奇函数，1111 则 f2 － 1＋f － 2 － 1＝ 0，所以 f 2 ＋f－ 2 ＝ 2.3．函数 y ＝ ln(2 － | x |) 的大概图象为 ()分析：选 A 令 f ( x ) ＝ln(2 － | x |) ，易知函数 f ( x ) 的定义域为 { x | － 2<x <2} ，且 f ( － x )＝ln(2 － | － |) ＝ ln(2 － | x |) ＝ ( x ) ，所以函数 f ( x ) 为偶函数， 清除选项 C 、D ；当 ＝ 3时，x f x 231f2 ＝ ln 2<0，清除选项 B ，应选 A ．4．(2019 ·开封模拟 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 知足 f ( x ) ＝－ f ( x ＋ 2) ，当 x ∈ (0,2]时， f ( x ) ＝2x ＋ log 2 ，则 f (2 019) ＝ ( )1A． 5 B．2C． 2 D．－ 2分析：选D 由 f ( x)＝－ f ( x＋2)，得 f ( x＋4)＝f ( x)，所以函数 f ( x)是周期为 4 的周期函数，所以 f (2 019) ＝f (504 ×4＋ 3) ＝f (3) ＝f (1 ＋2) ＝－f (1) ＝－ (2 ＋ 0) ＝－ 2，应选 D．5．(2019 ·陕西四校联考 ) 已知函数lg ax＋4 ，x>0，＝ 3，f ( x)＝且 f (0)＋ f (3)x＋2，x≤0，则实数 a 的值是( )A． 1 B． 2C． 3 D． 4分析：选 B 由题意知， f (0)＝2，由于 f (0)＋ f (3)＝3，所以 f (3) ＝ 1，所以f (3) ＝lg(3 a ＋4) ＝ 1，解得a＝ 2. 应选 B．x＋2， x≤2，6．(2019 ·皖中名校联考) 若函数f ( x) ＝( a>0，且a≠1) 的最大值是1＋ log a x，x>24，则a的取值范围是 ( )A． (0,1) ∪ (1,2] B． (0,1) ∪(1 ，2]C． (0,1) D． (0,1) ∪(1，32]分析：选 C 若a>1，则函数 1＋ log a x在x>2 时单一递加，没有最大值，所以必有 0<a<1. 此时 1＋ log a x在x>2 时，知足f ( x)< f (2) ＝ 1＋ log a2. 而f ( x) ＝x＋ 2 在 x≤2时的最大值是4. 所以应有 1＋ log a2≤4，解得 0<a≤32. 故 0<a<1.7．已知函数f ( x) ＝x2＋1， x>0，则以下结论正确的选项是() cos 6π＋x，x≤0，A．函数f ( x) 是偶函数B．函数f ( x) 是减函数C．函数f ( x) 是周期函数D．函数f ( x) 的值域为 [ －1，＋∞)分析：选 D由函数f(x)的分析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠ f(－1)，则 f ( x)不是偶函数．当 x>0时， f ( x)＝x2＋1，则 f ( x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值 f ( x)>1；当 x≤0时， f ( x)＝cos x，则 f ( x)在区间(－∞，0]上不是单一函数，且函数值 f ( x)∈[－1,1]，所以函数 f ( x)不是单一函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞) ．应选 D．8． ( 2019·湖北、山东部分要点中学第一次联考 ) 已知定义在 R 上的函数f ( x) 知足f ( x＋6) ＝f ( x) ，且y＝f ( x＋ 3) 为偶函数，若f ( x) 在 (0,3) 内单一递减，则下边结论正确的选项是()A ． f ( － 4.5)< f (3.5)< f (12.5)B ． f (3.5)< f ( －4.5)< f (12.5)C ． f (12.5)< f (3.5)< f ( －4.5)D ． f (3.5)< f (12.5)< f ( －4.5)分析：选 B 易知函数 f ( x ) 的最小正周期T ＝6，f ( x ) 的图象对于直线 x ＝ 3 对称，∴ f (3.5)＝ f (2.5) ， f ( － 4.5) ＝ f (1.5) ， f (12.5)＝ f (0.5) ． 又 f ( x ) 在 (0,3)内 单 调 递 减 ，∴ f (3.5)< f ( － 4.5)< f (12.5) ，应选 B ．9．(2019 ·江西名校高三一检 ) 已知函数 f ( x ) ＝ 3| x －k －1| ＋ cos x 的图象对于 y 轴对称，若函数 g ( x ) 恒知足 g ( k ＋ x ) ＋g (3 － x ) ＋ 2＝ 0，则函数 g ( x ) 的图象的对称中心为 ()A ． (1,1)B ． (1 ，－ 1)C ． (2,1)D ． (2 ，－ 1)分析： 选 B 依题意，函数f ( x ) 为偶函数，故 k ＝－ 1，则g ( k ＋ x ) ＋ g (3 － x ) ＋ 2＝0，即 g ( － 1＋x ) ＋ g (3 － x ) ＝－ 2，故函数 g ( x ) 的图象的对称中心为 (1 ，－ 1) ，应选 B ．10. (2019 ·山东部分要点中学第一次联考) 已知二次函数f ( x ) 的图象如下图，则函数 ( x ) ＝ (x x) ·e 的图象为 ()g f分析：选 A 由图象知， 当 x <－ 1 或 x >1 时，f ( x )>0 ，则 g ( x )>0 ；当－ 1<x <1 时，f ( x )<0 ， 则 ( )<0 ，由选项可知选 A ．g x11．已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间 [0 ，＋∞ ) 上单一递加，若f ln x －f ln 1x，则 x 的取值范围是 ()2<f (1)A ． 0， 1B ． (0 ， e)e 1C ． e ， eD ． (e ，＋∞)分析：选C∵函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，1∴ f (ln x ) － f ln x ＝ f (ln x ) － f ( － ln x ) ＝ f (ln x ) ＋ f (ln x ) ＝ 2f (ln x ) ，f ln 1x － f ln ∴ x < (1) 等价于 | f (ln )|< f (1) ．2 f x又 f ( x ) 在区间 [0 ，＋∞ ) 上单一递加，故 f ( x ) 在 R 上单一递加，1∴－ 1<ln x <1，解得 e <x <e.12．(2019 ·洛阳模拟 ) 若函数 f ( x ) 同时知足以下两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1) ? x ∈ R ，都有 f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ 0；f x 1 － f x 2<0.(2) ? x 1，x 2∈ R ，且 x 1≠ x 2，都有1－ x 2x① f ( x ) ＝ sin x ；② f ( x ) ＝－ 2x 3；③ f ( x ) ＝ 1－x ；④ f ( x ) ＝ ln( x 2＋ 1＋x ) ． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是 ( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析： 选 B 由条件 (1) ，得 f ( x ) 是奇函数，由条件 (2) ，得 f ( x ) 是 R 上的单一递减函 数．对于①， f ( x ) ＝sinx 在 R 上不但一，故不是“优美函数”；对于②，f ( x ) ＝－ 2x 3 既是奇函数，又在 R 上单一递减，故是“优美函数”；对于③，f ( x ) ＝ 1－ x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f ( x ) 在 R 上单一递加，故不是“优美函数”．应选B ．二、填空题x－ xa ＝ ________.13．若 f ( x ) ＝ 2 ＋2 lg a 是奇函数，则实数分析： ∵函数 f ( x ) ＝ 2x ＋ 2－x lg a 是奇函数，∴ f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝0，即 2x ＋ 2－x lg a ＋2－x＋2x lg a ＝ 0，(2 x ＋ 2－x )(1 ＋ lg a ) ＝ 0，∴ lg a ＝－ 1，∴ a ＝ 1 .101答案： 1014．(2019 ·广东百校联考 ) 已知 f ( x ) ，g ( x ) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且g (0) ＝ 0，当 x ≥0时，f ( x ) － g ( x ) ＝ x 2＋ 2x ＋ 2x ＋ b ( b 为常数 ) ，则 f ( －1) ＋ g ( －1) ＝ ________.分析： 由f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数可知 f (0) ＝ 0，所以 f (0) －g (0) ＝2 0＋ b ＝ 0，得 b ＝－ 1，所以 f(1) － (1) ＝ 4，于是 f (－1) ＋ (－1)＝－f (1) ＋ (1) ＝－ [ f (1) － (1)] ＝－g g g g4.答案： －4115．(2019 ·山西八校联考 ) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数，且知足 f ( x ＋ 2) ＝－ f x ，11当 2≤ x ≤3时， f ( x ) ＝ x ，则 f － 2 ＝________.111 5分析： ∵ f ( x ＋ 2) ＝－ f x ，∴ f ( x ＋ 4) ＝ f ( x ) ，∴ f － 2 ＝ f 2 . 又 2≤x ≤3时， f ( x ) ＝x ，55 11 5∴ f 2 ＝ 2，∴ f －2 ＝2.答案：5216. 函数 f ( x ) 是定义在 [ －4,4] 上的偶函数，其在 [0,4] 上的图象如下图，那么不等式f xcos x <0 的解集为 ________．分析： 当 x ∈ πy ＝ cos x >0.0，时，2 π， 4当 x ∈ 2 时， y ＝ cos x <0.联合 y ＝ f ( x ) ，x ∈ [0,4] 上的图象知，πf xf xx 为偶函数，当 1<x < 2时，cos x <0. 又函数 y ＝ cos f xπ 所以在 [ － 4,0] 上，cos x <0 的解集为 －2，－1 ，f x － ππ 所以 cos x <0 的解集为 ，－ 1 ∪ 1，22.ππ答案： － 2，－1 ∪ 1，2。
高中数学课时跟踪检测：函数及其表示
高中数学课时跟踪检测：函数及其表示一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．(淮安调研)函数f (x )＝lg5－x 2的定义域是________．解析：由lg(5－x 2)≥0,得5－x 2≥1, 即x 2≤4,解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝lg 5－x 2的定义域是[－2,2]．答案：[－2,2]2．(苏州高三期中调研)函数y ＝1lnx －1的定义域为________．解析：由⎩⎨⎧x ＞1，ln x －1≠0，解得x ＞1,且x ≠2,所以函数的定义域为(1,2)∪(2,＋∞)．答案：(1,2)∪(2,＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a ＝________.解析：令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1,则4a －1＝6,解得a ＝74.答案：744．已知f (x )是一次函数,满足3f (x ＋1)＝6x ＋4,则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0), 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b , 依题设,3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4, ∴⎩⎨⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －235．(盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1，若f (0)＝3,则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3,所以a －2＝3,即a ＝5,所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：96．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ， x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________,函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12,所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52.当x ＞1时,f (x )∈(0,1),当x ≤1时,f (x )∈[－3,＋∞), 所以f (x )∈[－3,＋∞)． 答案：－52[－3,＋∞)二保高考,全练题型做到高考达标1．(如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 22－x，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3,f (log 212)＝2log 212－1＝6,所以f (－2)＋f (log 212)＝9.答案：92．(苏州期末)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________． 解析：画出f (x )的图象如图所示,可看出函数的值域为(－∞,1]．答案：(－∞,1]3．(南京名校联考)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．(南通调研)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________． 解析：由题意得⎩⎨⎧1－x ≠0，x ＋1＞0⇒x ＞－1且x ≠1,所以函数f (x )的定义域是(－1,1)∪(1,＋∞)． 答案：(－1,1)∪(1,＋∞)5．(启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3,3],则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3,3],所以x ∈[－3,3],x 2－1∈[－1,2],所以y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①,f (x )＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x ),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x ),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ),满足．综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．(扬州一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数,则f (g (2))＝________.解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数,所以当x ＞0时,－x ＜0,则f (－x )＝2x －2＝－f (x ), 所以f (x )＝－2x ＋2,即g (x )＝－2x ＋2.所以g (2)＝－22＋2＝－2,f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a －1x ＋1，x ≤1，a x －1，x ＞1，若f (1)＝12,则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12,可得a ＝12,所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：149．(泰州一调)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2,则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎨⎧x ≥2，2x －3＞2或⎩⎨⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10．(无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义,需f (x )＞0,由f (x )的图象可知,当x ∈(2,8]时,f (x )＞0.答案：(2,8]11．(南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ,且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上,函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方,试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1,可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0),故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ,由题意得⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意,得x 2－x ＋1＞2x ＋m ,即x 2－3x ＋1＞m ,对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1,则问题可转化为g (x )min ＞m , 又因为g (x )在[－1,1]上递减,所以g (x )min ＝g (1)＝－1, 故m ＜－1,即实数m 的取值范围为(－∞,－1)．12．(南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)＝1,f (－1)＝5,且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式； (2)已知集合U ＝[1,4],B ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝f x x 2，x ∈U,求∁U B .解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 因为f (1)＝1,f (－1)＝5,且图象过原点,所以⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得a ＝3,b ＝－2,所以f (x )＝3x 2－2x .(2)y ＝f x x 2＝3－2x,当x ∈[1,4]时,函数y ＝3－2x是增函数,当x ＝1时,y 取得最小值1；当x ＝4时,y 取得最大值52,所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52,又集合U ＝[1,4],故∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤52，4.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0,函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a ),则a ＝________.解析：当a ＞0时,1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ,解得a ＝－32,不合题意；当a ＜0时,1－a ＞1,1＋a ＜1,由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a , 解得a ＝－34,所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ),若当0≤x ≤2时,f (x )＝x (2－x ),则当－4≤x ≤－2时,f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x ),当－4≤x ≤－2时,0≤x ＋4≤2, 所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2),所以当－4≤x ≤－2时,f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离．在某种路面上,某种型号汽车的x 2200＋mx ＋刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝n (m ,n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100,n ＝0,所以y＝x2200＋x100(x≥0)．(2)令x2200＋x100≤25.2,得－72≤x≤70.因为x≥0,所以0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
课时跟踪检测(六) 函数的表示方法
课时跟踪检测（六） 函数的表示方法层级一 学业水平达标1．某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数解析：选B 题表中列出了两个变量：考试次数和成绩之间的对应关系，根据函数的定义可得B 正确．2．观察下表：则f [g (3)－f A ．3 B ．4 C ．－3 D ．5解析：选B 由题表知，g (3)－f (－1)＝－4－(－1)＝－3，∴f [g (3)－f (－1)]＝f (－3)＝4. 3．如果f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( ) A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则有f (t )＝1t1－1t＝1t －1，故选B. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.5．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.6．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－14的值为________． 解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－14＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 答案：－17．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝mx (m ≠0)，则F (x )＝kx ＋mx .由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x(x ≠0)．答案：F (x )＝3x ＋5x (x ≠0)8．已知函数f (x )＝x 2－mx ＋n ，且f (1)＝－1，f (n )＝m ，则f (－5)＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝－1，f (n )＝m ⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝－1，n 2－mn ＋n ＝m⇒⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝－2，(n －m )(n ＋1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，m ＝1.∴f (x )＝x 2－x －1，∴f (－5)＝29. 答案：299．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.10．已知函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋5，0<x ≤1，－2x ＋8，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫1π，f ()－1的值； (2)画出这个函数的图象； (3)求f (x )的最大值．解：(1)∵32>1，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝－2×32＋8＝5. ∵0<1π<1，∴f ⎝⎛⎭⎫1π＝1π＋5＝5π＋1π.∵－1<0，∴f (－1)＝－3＋5＝2. (2)这个函数的图象如图．在函数y ＝3x ＋5的图象上截取x ≤0的部分， 在函数y ＝x ＋5的图象上截取0<x ≤1的部分， 在函数y ＝－2x ＋8的图象上截取x >1的部分． 图中实线组成的图形就是函数f (x )的图象． (3)由函数图象可知，当x ＝1时，f (x )取最大值6.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x ＋1)＝x 2－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( ) A ．f (x －1)＝x 2＋5x －9 B ．f (x －1)＝x 2－x －3 C ．f (x －1)＝x 2－5x ＋9D ．f (x －1)＝x 2－x ＋1解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2－3(x ＋1)＋5， 所以f (x )＝x 2－3x ＋5，f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2 D ．－4 解析：选B 由已知有f ⎝⎛⎭⎫43＝2×43＝83. f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－43＋1＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＝2×23＝43. 所以f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝83＋43＝4.3．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12x (x >0)B ．y ＝24x (x >0) C ．y ＝28x (x >0) D ．y ＝216x (x >0) 解析：选C 正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为x4，由勾股定理得(2y )2＝⎝⎛⎭⎫x 42＋⎝⎛⎭⎫x 42，∴y 2＝x 232，即y ＝28x (x >0)． 4．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2， x ＜1，x 2＋ax ， x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 的值为________．解析：由已知得f (0)＝2，则f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2. 答案：26.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f (x )的解析式为________________．解析：设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝－2. ∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤67.某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y (元)关于用电量x (度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？解：(1)当0≤x ≤100时，设函数关系式为y ＝kx . 将x ＝100，y ＝65代入，得k ＝0.65.∴y ＝0.65x . 当x ＞100时，设函数关系式为y ＝ax ＋b . 将x ＝100，y ＝65和x ＝130，y ＝89代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 100a ＋b ＝65，130a ＋b ＝89.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.8，b ＝－15.∴y ＝0.8x －15.综上可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.65x ，0≤x ≤100，0.8x －15，x >100.(2)由(1)知收费标准为：用户月用电量不超过100度时，每度电0.65元；超过100度时，超出的部分，每度电0.80元．(3)当x ＝62时，y ＝62×0.65＝40.3(元)； 当y ＝105时，∵0.65×100＝65<105，故x >100， ∴105＝0.8x －15，x ＝150.即若用户月用电62度时，则用户应缴费40.3元；若用户月缴费105元，则该用户该月用了150度电．8．等腰梯形ABCD 的两底边分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，作MN ⊥AD 于M 交边AB 、BC 、CD 于N ，设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域．解：如图，作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足， 依题意，有AH ＝a 2，AG ＝32a .①当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ， 由于AM ＝x ，∠BAD ＝45°，∴MN ＝x ， ∴y ＝12x 2⎝⎛⎭⎫0≤x ≤a 2. ②当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，MN ＝a2，BN ＝x －a 2，∴y ＝12·a 2⎣⎡⎦⎤x ＋⎝⎛⎭⎫x －a 2 ＝12ax －a 28⎝⎛⎭⎫a 2＜x ≤3a 2. ③当M 位于点G 右侧时，AM ＝x ，MN ＝MD ＝2a －x . ∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝－12x 2＋2ax －54a 2⎝⎛⎭⎫32a ＜x ≤2a . 综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤0，a 2，12ax －a 28，x ∈⎝⎛⎦⎤a 2，3a 2，－12x 2＋2ax －54a 2，x ∈⎝⎛⎦⎤3a 2，2a .。
课时跟踪检测对数函数图象及性质的应用
课时跟踪检测对数函数图象及性质的应用对数函数是一类重要的数学函数，它在数学和实际应用中起着重要的作用。
对数函数的图象及其性质的应用是我们学习对数函数的重要一环。
本文分析对数函数图象及性质的应用题目。
1.【例1】已知函数f(x)=log₃(5-x)，求函数f(x)的解析式，并求解关于f(x)的方程4f(x)-1=0的解。
解：函数f(x)是以3为底的对数函数，即f(x)=log₃(5-x)。
那么，f(x)的定义域为[0,5)，在这个区间上的函数值可以通过计算log₃(5-x)来得到。
关于f(x)的方程4f(x)-1=0，我们需要求解f(x)的值满足该方程。
将f(x)的解析式代入该方程，得到4log₃(5-x)-1=0，即log₃(5-x)=1/4、根据对数函数的定义，我们有3^(1/4)=5-x。
解这个方程，得到x=5-3^(1/4)。
因此，函数f(x)的解析式为f(x)=log₃(5-x)，以及方程4f(x)-1=0的解为x=5-3^(1/4)。
2.【例2】已知函数f(x)=log₃(2x-1)，求函数f(x)的值域。
解：函数f(x)是以3为底的对数函数，即f(x)=log₃(2x-1)。
要求函数f(x)的值域，我们需要找到函数f(x)的最小值和最大值。
由于对数函数的定义域为x>0，所以2x-1>0，即x>1/2、所以f(x)在定义域内取值，我们可以通过求导数来找到函数的最值点。
对函数f(x)=log₃(2x-1)求导数，得到f'(x)=2/(ln3*(2x-1))。
由于f'(x)>0，所以函数f(x)是严格递增的。
所以函数f(x)的最小值在定义域的左边界x=1/2处取得，最大值为无穷大。
所以函数f(x)的值域为(负无穷大，正无穷大)。
3.【例3】已知函数f(x)=log₂(x+3)，求函数f(x)的定义域和值域。
解：函数f(x)是以2为底的对数函数，即f(x)=log₂(x+3)。
课时跟踪检测 函数及其表示(重点高中)
课时跟踪检测（四） 函数及其表示(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：选D 由1－2x ＞0，且x ＋1≠0，得x ＜12且x ≠－1，所以函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12. 3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74. 4．(2018·石家庄质检)设函数f (x )＝{ 2x ＋n ，x ＜1，2x ，x ≥1，若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫34＝2，则实数n 的值为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ， 当32＋n ＜1，即n ＜－12时， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫34＝2⎝⎛⎭⎫32＋n ＋n ＝2， 解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫34＝log 2⎝⎛⎭⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4， 解得n ＝52，符合题意，故选D.5．(2017·山东高考)设f (x )＝{ x ，0＜x ＜1，(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.6.(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤1，12x ，x ＞1，则f (f (4))＝________.解析：依题意得f (4)＝log 124＝－2，所以f (f (4))＝f (－2)＝2－2＝14.答案：147.函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为________．解析：要使原函数有意义，则{2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x ＜2，且x ≠1.所以函数f (x )＝ln (2x －x 2)x －1的定义域为(0,1)∪(1,2)．答案：(0,1)∪(1,2)8.已知函数f (x )＝{ x 2＋2ax ，x ≥2，x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝9＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)9.如图，已知点A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积．解：(1)因为点B (1,4)在反比例函数y ＝mx 上，所以m ＝4. 又因为点A (n ，－2)在反比例函数y ＝m x ＝4x 上，所以n ＝－2.又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y ＝kx ＋b 上的点，则{ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得{k ＝2，b ＝2，即y ＝2x ＋2，所以反比例函数的解析式为y ＝4x ，一次函数的解析式为y ＝2x ＋2. (2)因为y ＝2x ＋2，令x ＝0，得y ＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积S ＝12×2×2＝2.10．设函数f (x )＝{ ax ＋b ，x ＜0，x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得{－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得{a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝{－x ＋1，x ＜0，x，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f (f (x ))的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞)D ．[－9,1)解析：选B f (f (x ))＝f (lg(1－x ))＝lg [1－lg(1－x )]，则{1－x ＞0，－lg (1－x )＞0⇒－9＜x ＜1.2．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎨⎧1x，x >1，，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 3．设函数f (x )＝{ 3x －1，x ＜1，x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围为________．解析：由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a ＜1时，有3a －1≥1， 所以a ≥23，所以23≤a ＜1.当a ≥1时，有2a ≥1， 所以a ≥0，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫23，＋∞4．已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m ＞n )，映射f 由下表给出：则f (3,5)＝． 解析：由题表得f (x ，y )＝{x ，x ＝y ，x －y ，x ＞y ，x ＋y ，x ＜y .可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x ＞x ，∴f (2x ，x )＝2x －x ， 则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x ≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x ≤x ＋4成立；当x ≥3(x ∈N *)时，2x ＞x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}5.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x (吨)，3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，x ≤45时，乙的用水量也不超过4吨，y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4且5x ＞4，45<x ≤43时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8； 当乙的用水量超过4吨时，即3x ＞4，x >43时，y ＝2×4×1.8＋3(5x －4)＋3(3x －4)＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎨⎧14.4x ，0≤x ≤45，x －4.8，45＜x ≤43，x －9.6，x ＞43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，45时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫45＜26.4； 当x ∈⎝⎛⎦⎤45，43时，y ≤f ⎝⎛⎭⎫43＜26.4； 当x ∈⎝⎛⎭⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4， 解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝7.5吨，所交水费为y 甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，所交水费y 乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．6.已知x 为实数，用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f (x )，若存在m ∈R 且m ∉Z ，使得f (m )＝f ([m ])，则称函数f (x )是Ω函数．(1)判断函数f (x )＝x 2－13x ，g (x )＝sin πx 是否是Ω函数(只需写出结论)；(2)已知f (x )＝x ＋ax ，请写出a 的一个值，使得f (x )为Ω函数，并给出证明． 解：(1)f (x )＝x 2－13x 是Ω函数，g (x )＝sin πx 不是Ω函数．(2)法一：取k ＝1，a ＝32∈(1,2)，则令[m ]＝1，m ＝a 1＝32，此时f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤32＝f (1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2，k 2＋k )，令[m ]＝k ，m ＝a k ，则一定有m －[m ]＝ak －k ＝a －k 2k∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．法二：取k ＝1，a ＝12∈(0,1)，则令[m ]＝－1，m ＝－12，此时f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎦⎤－12＝f (－1)， 所以f (x )是Ω函数．证明：设k ∈N *，取a ∈(k 2－k ，k 2)，令[m ]＝－k ，m ＝－a k ，则一定有m －[m ]＝－ak －(－k )＝k 2－ak∈(0,1)，且f (m )＝f ([m ])，所以f (x )是Ω函数．。
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课时跟踪检测（六）系统题型——函数的性质及其应用1．给出下列四个函数：①y＝1x；②y＝|x|; ③y＝lg x；④y＝x3＋1，其中奇函数的序号是()A．①B．②C．③D．④解析：选A①y＝1x满足f(－x)＝－f(x)，为奇函数；②y＝|x|满足f(－x)＝f(x)，为偶函数；③y＝lg x是对数函数，为非奇非偶函数；④y＝x3＋1不满足f(－x)＝－f(x)，不是奇函数．故选A.2．(2019·湖南师范大学附属中学月考)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)都是偶函数，且f(1)＝1，则f(－1)＋f(7)＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C∵y＝f(－x)为偶函数，∴f(－(－x))＝f(－x)，∴f(－x)＝f(x)，∴y＝f(x)为偶函数，∴当x＝1时，有f(－1)＝f(1)＝1.又y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(－x＋2)＝f(x＋2)，∴f(x－2)＝f(x＋2)．则f(x)＝f(x＋4)，∴函数y＝f(x)为周期函数，且周期为4.∴f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝1.故f(－1)＋f(7)＝2.故选C.3．(2019·株洲统一考试)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x，则不等式f(x)>0的解集用区间表示为()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－1,0)∪(1，＋∞)解析：选D∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x<0，则－x>0，∵当x>0时，f(x)＝x2－x，∴f(－x)＝x2＋x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－x，x<0.当x>0时，由f(x)>0得x2－x>0，解得x>1或x<0(舍去)，此时x>1.当x＝0时，f(0)>0不成立．当x<0时，由f(x)>0得－x2－x>0，解得－1<x<0.综上，x∈(－1,0)∪(1，＋∞)．故选D.4．(2019·吉林模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上是增函数．又因为函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f (－25)＝f (－1)<f (0)＝f (80)<f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．故选D.5．(2019·湖北华大新联盟考试)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B 易知，函数f (x )＝2|x －a |＋3的增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]．因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a >1.故选B.6．(2019·海南阶段性测试)已知函数f (x )＝2 019x ＋log 2 019(x 2＋1＋x )－2 019－x ＋3，则关于x 的不等式f (1－2x )＋f (x )>6的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为函数y 1＝2 019x －2 019－x是奇函数，函数y 2＝log 2 019(1＋x 2＋x )为奇函数，所以函数g (x )＝2 019x －2 019－x ＋log 2 019(x 2＋1＋x )为奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f (1－2x )＋f (x )>6，即g (1－2x )＋3＋g (x )＋3>6，即g (x )>g (2x －1)，∴x >2x －1，∴x <1，∴不等式f (1－2x )＋f (x )>6的解集为(－∞，1)．故选A.7．(2019·惠州一中期中)如果奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选D 由函数f (x )为奇函数可知f (－x )＝－f (x )，因此f (x )－f (－x )x<0可化为不等式2f (x )x <0，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f (x )>0.再由f (2)＝0，可得f (－2)＝0，由函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，可得函数f (x )在(－∞，0)上也为增函数，结合函数f (x )的单调性示意图可得，所求不等式的解集为{x |－2<x <0 或0<x <2}．故选D.8．(2019·曲阜期中)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，且∀x ∈R ，f (x )＝f (2－x )，则f (2 018.5)＝( )A ．－18B.18C ．0D ．1解析：选A ∵∀x ∈R ，f (x )＝f (2－x )，且f (x )为奇函数，∴f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4，故f (2 018.5)＝f (2.5)＝f (－1.5)＝－f (1.5)＝－f (0.5)，∵x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，∴f (2 018.5)＝－f (0.5)＝－0.53＝－18.故选A.9．函数f (x )＝x ＋2x －1的值域为________．解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝⎛⎭⎫12＝12，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 10．已知f (x ＋1)＝－x 2＋1，则y ＝1f (x )的单调递增区间为________． 解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝－(t －1)2＋1＝－t 2＋2t ，则f (x )＝－x 2＋2x .所以y ＝1f (x )＝1－x 2＋2x，定义域为(0,2)，且f (x )的对称轴为x ＝1，所以内层函数u ＝f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又因为外层函数y ＝1u 在(0，＋∞)单调递减，则根据复合函数的“同增异减”原则，可知原函数y ＝1－x 2＋2x的单调递增区间为(1,2)．答案：(1,2)11．(2019·湖南四校联考)若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2.又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧－a2≤2，a2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]12．已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求当函数f (x )取得最值时x 的值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取0<x 2<x 1≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2.∵0<x 2<x 1≤1，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0. ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增， 当x ＝1时函数f (x )取得最大值1， ∴f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，函数f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ； 当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ， 当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，函数f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在( 0, －a 2 ]上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4.。