惯性导航原理说课讲解
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(P 1iP 2jP 3k)(xiyjzk)(P 1iP 2jP 3k)
进行四元数乘法运算，整理运算结果可得
四元数表示转动 方向余弦
x' x
y
'
C
y
z ' z
其中方向余弦矩阵 C
22 (P P 1 12 P 2 P 22P 3)P 32
2(P 1P 2P 3) 2P 22P 12P 32
zn轴 一与个自z t 轴由重方合位，角而或游x 与n动x方t及位y角t 与。y n之间相差
5. 平台坐标系—— Oxp ypzp
平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标
系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标 原点位于飞行器的重心处。对于平台惯导 系统，平台坐标系是通过平台台体来实现 的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。
四元数表示转动 矢量旋转
如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后 的矢量为 R’，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现
R' q Rq1
含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由 q 决定
四元数表示转动 坐标系旋转
如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转，得到新坐标系 OX’Y’Z’ 一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V
2(P 1P 3P 2) 2(P 2P 3P 1)
惯性导航原理
i
在惯性导航中常用的坐标系有 1. 地心惯性坐标系—— Oxi yi zi 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运
动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它 不参与地球的自转。惯性坐标系是惯性敏感元件 测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中 分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向 无关紧要，但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的 方向上，而x、y轴则在地球的赤道平面内，并指 向空间的两颗恒星。
所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标 系。地理坐标系的原点选在飞行器重心处， x指向东，y指向北，z沿垂线方向指向天 （东北天）。
4. 导航坐标系—— Oxn ynzn
导航坐标系是在导航时根据导航系统工作 的需要而选取的作为导航基准的坐标系。 指北方位系统：导航坐标系与地理坐标系 重合；自由方位系统或游动自由方位系统：
Vx i y j zk Ve xiyjzk
Vx'i'y'j'z'k' Ve'x'iy'jz'k
四元数表示转动 方向余弦
Ve'q1Veq 将该投影变换式展开，也就是把
Ve xiyjzk Ve'x'iy'jz'k
qP 1iP 2jP 3kq 1P 1iP 2jP 3k
代入上述投影变换式
x'iy'jz'k
定义 qq*q 2P 1 2P 2 2P 3 2
q 1 则称为规范化四元数
四元数基本性质 逆 除法
5．逆四元数
q 1 1 q * qq
当 q 1 时 q1 q*
6．四元数的除法
若 qhM 则 q Mh1 若 hqM 则 q h1M
不能表示为 q M （含义不确切 ） h
四元数表示转动 约定
λ 称作标量部分， P1iP2jP3k 称作矢量部分
四元数的另一种表示法 q , P P 泛指矢量部分
提示：四元数与刚体转动的关系
四元数基本性质 加减法
qP 1iP 2jP 3k
M v1 i2j3k
1．四元数加减法
qM
( v ) ( P 1 1 ) i ( P 2 2 ) j ( P 3 3 ) k
( 3 P 3 v P 12 P 21 )k
或简单表示为 q M v P v P P
※ 关于相乘符号
※ 关于交换律和结合律
四元数基本性质 共轭 范数
3．共轭四元数
仅向量Biblioteka Baidu分符号相反的两个四元数
q(,P) 和 q*(,P) 互为共轭
可证明： (q)h*h*q*
q 4．四元数的范数
一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转， 转角为θ，
转轴 n 与参考系各轴间的方向余弦值为cosα、cosβ、cosγ。
则表示该旋转的四元数可以写为
qcossincosisincosjsincosk
22
2
2
cossinn
22
为特征四元数 （范数为 1 ）
四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）
或简单表示为
q M v , P
四元数基本性质 乘法
2．四元数乘法
q M ( P 1 i P 2 j P 3 k ) v ( 1 i 2 j 3 k )
(v P 11 P 22 P 33 )
( 1 P 1 v P 23 P 32 )i
( 2 P 2 v P 31 P 13 )j
Vx i y j zk
矢量 V 在新坐标系上 OX’Y’Z’ 的投影为
Vx'i'y'j'z'k'
则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：
Ve'q1Veq
式中 Ve xiyjzk Ve'x'iy'jz'k
分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OX’Y’Z’ 上的映像
四元数 映象图解
2. 地球坐标系—— Oxe yeze
地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯 性坐标系以地球自转角速率 旋w转e ，地球坐标系的
原点在地球中心，Oz
轴与
e
Oz
轴i 重合，Oxe
ye
在赤道平面
内，x轴指向格林威治经线，y轴指向东经90度方
向。
3. 地理坐标系—— Oxt yt zt
地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器
6. 机体坐标系——
Oxb ybzb
机体坐标系是固连在机体上的坐标系。机 体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处， x沿机体横轴指向右，y沿机体纵轴指向前， z垂直于oxy，并沿飞行器的竖轴指向上。
3.2四元数理论
四元数 表示
四元数：描述刚体角运动的数学工具 (quaternions) 针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。
四元数的表示
由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数
q 1 P 1 iP 2jP 3 k
或者省略 1，写成
qP 1iP 2jP 3k
i, j, k 服从如下运算公式：
四元数 组成部分
i, j, k 服从如下运算公式
i ij jk k 1 ijjik jkkji kiikj
qP 1iP 2jP 3k
进行四元数乘法运算，整理运算结果可得
四元数表示转动 方向余弦
x' x
y
'
C
y
z ' z
其中方向余弦矩阵 C
22 (P P 1 12 P 2 P 22P 3)P 32
2(P 1P 2P 3) 2P 22P 12P 32
zn轴 一与个自z t 轴由重方合位，角而或游x 与n动x方t及位y角t 与。y n之间相差
5. 平台坐标系—— Oxp ypzp
平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标
系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标 原点位于飞行器的重心处。对于平台惯导 系统，平台坐标系是通过平台台体来实现 的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。
四元数表示转动 矢量旋转
如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后 的矢量为 R’，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现
R' q Rq1
含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由 q 决定
四元数表示转动 坐标系旋转
如果坐标系 OXYZ 发生 q 旋转，得到新坐标系 OX’Y’Z’ 一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量 V
2(P 1P 3P 2) 2(P 2P 3P 1)
惯性导航原理
i
在惯性导航中常用的坐标系有 1. 地心惯性坐标系—— Oxi yi zi 地心惯性坐标系不考虑地球绕太阳的公转运
动，地心惯性坐标系的原点选在地球的中心，它 不参与地球的自转。惯性坐标系是惯性敏感元件 测量的基准，在导航计算时无需在这个坐标系中 分解任何向量，因此惯性坐标系的坐标轴的定向 无关紧要，但习惯上将z轴选在沿地轴指向北极的 方向上，而x、y轴则在地球的赤道平面内，并指 向空间的两颗恒星。
所在位置的东向、北向和垂线方向的坐标 系。地理坐标系的原点选在飞行器重心处， x指向东，y指向北，z沿垂线方向指向天 （东北天）。
4. 导航坐标系—— Oxn ynzn
导航坐标系是在导航时根据导航系统工作 的需要而选取的作为导航基准的坐标系。 指北方位系统：导航坐标系与地理坐标系 重合；自由方位系统或游动自由方位系统：
Vx i y j zk Ve xiyjzk
Vx'i'y'j'z'k' Ve'x'iy'jz'k
四元数表示转动 方向余弦
Ve'q1Veq 将该投影变换式展开，也就是把
Ve xiyjzk Ve'x'iy'jz'k
qP 1iP 2jP 3kq 1P 1iP 2jP 3k
代入上述投影变换式
x'iy'jz'k
定义 qq*q 2P 1 2P 2 2P 3 2
q 1 则称为规范化四元数
四元数基本性质 逆 除法
5．逆四元数
q 1 1 q * qq
当 q 1 时 q1 q*
6．四元数的除法
若 qhM 则 q Mh1 若 hqM 则 q h1M
不能表示为 q M （含义不确切 ） h
四元数表示转动 约定
λ 称作标量部分， P1iP2jP3k 称作矢量部分
四元数的另一种表示法 q , P P 泛指矢量部分
提示：四元数与刚体转动的关系
四元数基本性质 加减法
qP 1iP 2jP 3k
M v1 i2j3k
1．四元数加减法
qM
( v ) ( P 1 1 ) i ( P 2 2 ) j ( P 3 3 ) k
( 3 P 3 v P 12 P 21 )k
或简单表示为 q M v P v P P
※ 关于相乘符号
※ 关于交换律和结合律
四元数基本性质 共轭 范数
3．共轭四元数
仅向量Biblioteka Baidu分符号相反的两个四元数
q(,P) 和 q*(,P) 互为共轭
可证明： (q)h*h*q*
q 4．四元数的范数
一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转， 转角为θ，
转轴 n 与参考系各轴间的方向余弦值为cosα、cosβ、cosγ。
则表示该旋转的四元数可以写为
qcossincosisincosjsincosk
22
2
2
cossinn
22
为特征四元数 （范数为 1 ）
四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）
或简单表示为
q M v , P
四元数基本性质 乘法
2．四元数乘法
q M ( P 1 i P 2 j P 3 k ) v ( 1 i 2 j 3 k )
(v P 11 P 22 P 33 )
( 1 P 1 v P 23 P 32 )i
( 2 P 2 v P 31 P 13 )j
Vx i y j zk
矢量 V 在新坐标系上 OX’Y’Z’ 的投影为
Vx'i'y'j'z'k'
则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：
Ve'q1Veq
式中 Ve xiyjzk Ve'x'iy'jz'k
分别称为矢量 V 在坐标系 OXYZ 和 OX’Y’Z’ 上的映像
四元数 映象图解
2. 地球坐标系—— Oxe yeze
地球坐标系是固连在地球上的坐标系，它相对惯 性坐标系以地球自转角速率 旋w转e ，地球坐标系的
原点在地球中心，Oz
轴与
e
Oz
轴i 重合，Oxe
ye
在赤道平面
内，x轴指向格林威治经线，y轴指向东经90度方
向。
3. 地理坐标系—— Oxt yt zt
地理坐标系是在飞行器上用来表示飞行器
6. 机体坐标系——
Oxb ybzb
机体坐标系是固连在机体上的坐标系。机 体坐标系的坐标原点o位于飞行器的重心处， x沿机体横轴指向右，y沿机体纵轴指向前， z垂直于oxy，并沿飞行器的竖轴指向上。
3.2四元数理论
四元数 表示
四元数：描述刚体角运动的数学工具 (quaternions) 针对捷联惯导系统，可弥补欧拉参数在描述和解算方面的不足。
四元数的表示
由一个实单位和三个虚数单位 i, j, k 组成的数
q 1 P 1 iP 2jP 3 k
或者省略 1，写成
qP 1iP 2jP 3k
i, j, k 服从如下运算公式：
四元数 组成部分
i, j, k 服从如下运算公式
i ij jk k 1 ijjik jkkji kiikj
qP 1iP 2jP 3k