大学物理-电势
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大学物理-电势
Va E dl a E dl
讨论
a
a
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
10
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
V
W q
L2 MT
3I
1
3)电势是一个长程物理量
b b
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E dl
Wa
Wb
a
q
q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
E dl Va Vb
a
称 a b两点电势差
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
势能零点
势能零点
VA VB
11
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
()
4πε0 rA rB
（2）r R
VA VB
rB rA
E
dr
0
o A B A dr B
R
drrA r
r
rB
20
（3）r R 令 rB V 0
Q 1 1
VA VB
（4）r R
()
4πε0
rA R
q
x2 R2
x
R，VP
q 4πε0 x
V
dl
q
q
4πε0 R
4πε0 x2 R2
R
r
xo x
Px
o
x
大学物理第三章电势
2 π AR + 3 λ e E3 = 6 πε 0 r
方向沿径向向外
18
（2）选距离轴线的距离为 l ( l > R ) 处为电势 零点，计算圆柱体内、 零点，计算圆柱体内、外各点的电势分 布。 注意： 求各点电势（电势分布） 注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。 区域讨论，分区方式与场强相同。 电势零点位置选择： 电势零点位置选择： “无限长”柱状带电 无限长” 对 体产生的电场， 体产生的电场，绝对不 能选无穷远处为电势零 点，只能选其它任一点 为电势零点。 为电势零点。
qo =∫ ⋅
5
静电场的保守性（静电场环路定理） 二、 静电场的保守性（静电场环路定理）
L2
∫
L
E ⋅ dl = 0
a
.
qo
L1
b
.
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 在静电场中， 分等于零。 对任何静电场， 分等于零。即：对任何静电场，电场强度的 线积分都只取决于起点和终点的位置， 线积分都只取决于起点和终点的位置，而与连 接起点和终点间的路径无关。 接起点和终点间的路径无关。
15
例2（1197）一半径为R的“无限长”圆柱形带 1197）一半径为 的 无限长” 电体， 电体，其电荷体密度为 ρ = A r ( r ≤ R ) 式中A为常数 为常数。 式中 为常数。在此圆柱体外再罩一半 径为R 无限长” 径为 1 、线电荷密度为 λ e 的“无限长”圆 试求： 筒，试求： 圆柱体内、 （1）圆柱体内、外各点的电场强度分布 （2）选距离轴线的距离为 l ( l > R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、 处为电势零点，计算圆柱体内、 外各点的电势分布。 外各点的电势分布。 （3）柱表面与柱壳之间的电势差。 柱表面与柱壳之间的电势差。
大学物理电势ppt课件
电势定义
$V = frac{kQ}{r}$，其中$k$为静电力常量，$Q$为场源电荷量，$r$为到场源电荷的距离。
点电荷电势公式
点电荷电势计算
对于多个点电荷或连续分布电荷产生的电势，可应用叠加原理进行求解。
叠加原理
对于连续分布电荷，需采用积分方法计算电势，如线积分、面积分或体积分。
积分方法
均匀带电直线、均匀带电平面、均匀带电球体等。
大学物理电势ppt课件
目录
电势基本概念与性质 点电荷与连续分布电荷电势 导体与绝缘体在电场中电势特性 电势能、电势差及等势面 电场力做功与路径无关性讨论 总结回顾与拓展延伸
01
CHAPTER
电势基本概念与性质
电势定义及物理意义
电势定义
描述电场中某点电势能的性质，反映单位正电荷在该点所具有的电势能。
实际应用举例
04
CHAPTER
电势能、电势差及等势面
电荷在电场中具有的势能，与电荷量及所在位置有关。
电势能定义
通过电场力做功来计算，公式为W=qU，其中W为电势能，q为电荷量，U为电势差。
电势能计算
电势能具有相对性，与零电势点的选择有关。
电势能性质
电势能概念及计算
电场中两点间电势的差值，等于单位正电荷从一点移动到另一点时电场力所做的功。
常见连续分布电荷
连续分布电荷电势求解方法
均匀带电直线电势
通过高斯定理和积分方法求解，结果与观察点到直线的垂直距离和线电荷密度有关。
均匀带电平面电势
利用高斯定理和叠加原理，可求得电势与观察点到平面的距离和平面电荷密度之间的关系。
均匀带电球体电势
采用高斯定理和积分方法，可得到球体内外任意一点的电势表达式。
$V = frac{kQ}{r}$，其中$k$为静电力常量，$Q$为场源电荷量，$r$为到场源电荷的距离。
点电荷电势公式
点电荷电势计算
对于多个点电荷或连续分布电荷产生的电势，可应用叠加原理进行求解。
叠加原理
对于连续分布电荷，需采用积分方法计算电势，如线积分、面积分或体积分。
积分方法
均匀带电直线、均匀带电平面、均匀带电球体等。
大学物理电势ppt课件
目录
电势基本概念与性质 点电荷与连续分布电荷电势 导体与绝缘体在电场中电势特性 电势能、电势差及等势面 电场力做功与路径无关性讨论 总结回顾与拓展延伸
01
CHAPTER
电势基本概念与性质
电势定义及物理意义
电势定义
描述电场中某点电势能的性质，反映单位正电荷在该点所具有的电势能。
实际应用举例
04
CHAPTER
电势能、电势差及等势面
电荷在电场中具有的势能，与电荷量及所在位置有关。
电势能定义
通过电场力做功来计算，公式为W=qU，其中W为电势能，q为电荷量，U为电势差。
电势能计算
电势能具有相对性，与零电势点的选择有关。
电势能性质
电势能概念及计算
电场中两点间电势的差值，等于单位正电荷从一点移动到另一点时电场力所做的功。
常见连续分布电荷
连续分布电荷电势求解方法
均匀带电直线电势
通过高斯定理和积分方法求解，结果与观察点到直线的垂直距离和线电荷密度有关。
均匀带电平面电势
利用高斯定理和叠加原理，可求得电势与观察点到平面的距离和平面电荷密度之间的关系。
均匀带电球体电势
采用高斯定理和积分方法，可得到球体内外任意一点的电势表达式。
大学物理静电场3(电势)ppt课件
最新课件
9
单个点电荷的场的电势 U q
2）电势叠加原理（标量叠加）
q
Up Edl
Eidl
1
4
0r r1 r2
p
p
P Ei dl
qi
q2
4 0ri
或对连续分布带电体
U p
dq
4 0r
q
最新课件
dq
r
p
r3
ri
q3
qi
p
Up=?
10
Ua
i
qi
40ri
一个点电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个点电 荷单独存在时在该点所产生电势的代数和。——电势 叠加原理
电势叠加原理 习题最指新课导件 P65 16
34
形状如图所示的绝缘细线，其上均匀分布着
正电荷。已知电荷线密度为λ，两段直线长 均为a，半圆环的半径为a。求环心O点的电 势？
电势叠加原理
求电势能和电力
习题指导P65 17
最新课件
35
３．有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距 中心O点a/2处，有一电量为q的正点电荷，如图所 示，则通过该平面的电场强度通量为：
b
W a W bA a bq 0 aE d r
二、电势差：
移动单位正电荷从电场中a 点到b点，静电力所做 的功，为静电场中两点的电势差:
U abU aU ba bEdr最 新W 课q 件aW qb 描只述与电电场场的有性关质6
➢某点 (a点) 的电势：
首先设定电势0点（b点）：
Ua
b
Edr
积分与路径无关
最新课件
4
对任何静电场，电场强度的线积分都只取决于起 点和终点的位置而与积分路径无关－－静电场的
大学物理电势
Q
+ r+ rA
r
rB
Q
4π 0
rB rA
dr r2
er
er
Q (1 1)
4π 0 rA rB
8 –7 电势
第八章静电场
（2） r R
VA VB
rB rA
E1
dr
0
（3） r R
令 rB , V 0
r +
+ +
R
o
+
+
Q
++
+ e+
+ r+ rA
A
r
dr
rB
B
由
VA
VB
A
iA
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
第八章静电场
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
A
E1
dqqdrqP
dV
dE
8 –7 电势
第八章静电场
讨论
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r，
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
E dl
AB
8 –7 电势
电势差
第八章静电场
U AB VA VB
E dl
AB
(将单位正电荷从 A移到 B电场力作的功.)
注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
静电场力的功 WAB q0VA q0VB q0U BA
+ r+ rA
r
rB
Q
4π 0
rB rA
dr r2
er
er
Q (1 1)
4π 0 rA rB
8 –7 电势
第八章静电场
（2） r R
VA VB
rB rA
E1
dr
0
（3） r R
令 rB , V 0
r +
+ +
R
o
+
+
Q
++
+ e+
+ r+ rA
A
r
dr
rB
B
由
VA
VB
A
iA
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
第八章静电场
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
A
E1
dqqdrqP
dV
dE
8 –7 电势
第八章静电场
讨论
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r，
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
E dl
AB
8 –7 电势
电势差
第八章静电场
U AB VA VB
E dl
AB
(将单位正电荷从 A移到 B电场力作的功.)
注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
静电场力的功 WAB q0VA q0VB q0U BA
大学物理课件电势梯度
大学物理课件-电势梯度
contents
目录
• 电势梯度的定义 • 电势梯度的性质 • 电势梯度在物理中的应用 • 电势梯度的计算实例 • 电势梯度与物理学其他概念的关系
01 电势梯度的定义
定义与公式
定义
电势梯度是描述电场中电势随位置变 化的物理量，表示为▽Φ。
公式
▽Φ = -E，其中E是电场强度矢量，Φ 是电势。
物理意义
电势梯度的方向表示电场强度矢量场的方向，即电场线方向。
计算方法
在标量场中，梯度的方向可以通过求导数的方法得到，即▽ = grad 。
电势梯度的计算方法
计算公式
电势梯度的计算公式为▽·E = ρ/ε0， 其中▽表示哈密顿算子，E表示电场强 度矢量，ρ表示电荷密度，ε0表示真 空电容率。
计算步骤
时，需要考虑这些元件的影响。
复杂电场的电势梯度计算
总结词：非线性关系 总结词：方向判断
详细描述：在复杂电场中，电势梯度与电场强度 之间的关系可能变得非线性。例如，在点电荷产 生的电场中，电势梯度随距离的增加而减小，但 仍然与电场强度成正比。
详细描述：在复杂电场中，判断电势梯度的方向 需要考虑电场线的分布和方向。通常，电势梯度 的方向与电场线增加的方向一致。
02 电势梯度的性质
电势梯度的标量性质
标量性质
电势梯度是一个标量，表示电势在空间中的变化率，没有方向。
计算公式
电势梯度等于电场强度在三维空间中的散度，计算公式为▽·E = ρ/ε0。
物理意义
电势梯度表示单位距离内的电势变化量，可用于描述电场中电势的 变化趋势。
电势梯度的方向
方向判定
电势梯度的方向由负梯度的方向确定，即电势降低的方向。
contents
目录
• 电势梯度的定义 • 电势梯度的性质 • 电势梯度在物理中的应用 • 电势梯度的计算实例 • 电势梯度与物理学其他概念的关系
01 电势梯度的定义
定义与公式
定义
电势梯度是描述电场中电势随位置变 化的物理量，表示为▽Φ。
公式
▽Φ = -E，其中E是电场强度矢量，Φ 是电势。
物理意义
电势梯度的方向表示电场强度矢量场的方向，即电场线方向。
计算方法
在标量场中，梯度的方向可以通过求导数的方法得到，即▽ = grad 。
电势梯度的计算方法
计算公式
电势梯度的计算公式为▽·E = ρ/ε0， 其中▽表示哈密顿算子，E表示电场强 度矢量，ρ表示电荷密度，ε0表示真 空电容率。
计算步骤
时，需要考虑这些元件的影响。
复杂电场的电势梯度计算
总结词：非线性关系 总结词：方向判断
详细描述：在复杂电场中，电势梯度与电场强度 之间的关系可能变得非线性。例如，在点电荷产 生的电场中，电势梯度随距离的增加而减小，但 仍然与电场强度成正比。
详细描述：在复杂电场中，判断电势梯度的方向 需要考虑电场线的分布和方向。通常，电势梯度 的方向与电场线增加的方向一致。
02 电势梯度的性质
电势梯度的标量性质
标量性质
电势梯度是一个标量，表示电势在空间中的变化率，没有方向。
计算公式
电势梯度等于电场强度在三维空间中的散度，计算公式为▽·E = ρ/ε0。
物理意义
电势梯度表示单位距离内的电势变化量，可用于描述电场中电势的 变化趋势。
电势梯度的方向
方向判定
电势梯度的方向由负梯度的方向确定，即电势降低的方向。
大学物理第2章 电势能 电势
4
Wa b
q0 q 4 0
b
a
q0 q r dr 3 r 4 0
b
a
1 d(r r ) 2 r3
q0 q 4 0
b
a
q0 q 1 dr 2 3 2 r 4 0
b
a
q0 q 1 2rdr 3 2 r 4 0
b
b
a
dr r2
q0 q 4 0
rR 0 Er Q 4 r 2 r R 0
球面内部任意一点的电势为
V (r )
r
r R
R E dl E dl E dl
r R
沿电场线积分
dr
Q 4 0 R
15
E dl Er dr
求电场的空间分布，并求在点(2,3,3)处的电 场强度。解：根据公式得
E V (2x+3y)i (3x z) j yk
代入x，y，z坐标便得到在处的电场强度为 r r r r E 2 , 3 , 3 13i 6 j 3k SI
27
沿电场线积分
(r Ra17 )
V (r )
Rb
Ra
E dl
Rb
Ra
1 1 Er dr ( ) 4 0 Ra Rb
Q
（2）两球面之间一点b的电势为
V (r )
V (r ) E dl
r Rb
Rb
r
Rb
E dl E dl
21
2.3.2 电势梯度
Va Vb E dl
《大学物理》第三章电势S
i
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
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a
注意：电势差是绝对的，电势大小是相对的，与
电势零点的选择有关。
b
Va a E dl Vb
为了确定 a 点的电势值，可以选定 b 点的电势
值为零，则 a 点的电势值为：
令
Vb 0 ,
b
Va
E dl
a
V 0点
Va a E dl
电场中某点的电势等于将单位正电荷从该点经
任意路径移到零势点时电场力所作的功；也等于单
q
4 π 0r
P dr
r
q
V q
4 π 0r
q 0, V 0 q 0, V 0
15
（2）电势叠加原理
点电荷系 E Ei
i
Vp E dl Ei dl
p
iP
VP
VPi
i
i
qi
4 π 0ri
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
p
E2
E1
表明：一个点电荷系的电场中任一点的电势，等于每
8
Aab (Wb Wa )
电势能的参考点选择是任意的，
若取 b 点为电势能的零点 （零势点Wa ab q0E dl
势能零点
Wa q0 A
E dl
试验电荷 q0在电场中某点的电势能，在数值上等
于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。
9
点电荷的电场中
rdA dlq0Erddllcos4θπqεq00rr3drr
dl
dA
4
qq0
π 0r 2
dr
Aab
qq0
4 π 0
rb dr r ra 2
qq0 ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
结果： Aab 仅与 q0 的始末位置有关，与路径无关。 3
任意带电体的电场（视为点电荷系）中
q0
b
E
b
E dl
(Wb
Wa
)
a
q0 q0
a
(积分大小与 q0无关，反映了电场在 a、b 两点的性质。)
b
E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va
Vb
称为 a、b两点的电势差。
意义：把单位正电荷从A点沿任意路径移到B点的过
程中，静电场力所做的功。
11
电势差
b
Uab Va Vb
E dl
L
s
7
二、电 势 差 与 电 势 1、电势能 ( Electric Potential Energy )
静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场力所做的功 就等于电荷电势能增量的负值。
Aab ab q0 E dl
(Wb Wa ) W
Aab
0, Wb Wa
0, Wb Wa
电势能的大小是相对的， 电势能的差是绝对的。
Va a E dl
Va
P0
E
dl
a
（选无穷远为电势零点） （选 P0 为电势零点）13
电势差
b
Uab Va Vb
E dl
a
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在 电场中移动时电场力所做的功。
静电场力的功
Aab q0Va q0Vb q0Uab
公式小结：
零势点
b
一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和。
这一结论称作电势叠加原理。
16
电荷连续分布带电体电场中的电势
第一种方法：将带电体分为许
多电荷元dq(点电荷)，利用点电 荷的电势公式积分:
qr VP
dq
（电势叠加法）
4π 0r
d+q
dq
P
dV
dE
第二种方法：按电势的定义式进行计算：（场强积分法）
3）环路定理反映了静电场是保守场（或叫无旋场），
可引入电势能的概念。
6
静电场的两条基本定理：
静电场的环路定理： E dl 0 L
静电场是保守场 （或无旋场）
静电场的高斯定理：
E dS
1
S
ε0
qi (内)
静电场是有源场
静电场是有源、无旋（保守）场
E dl ( E ) dS 0 E 0 无旋场
（Circuital Theorem of Electrostatic Field）
q0 E dl q0 E dl
a1b
a2b
q0( E dl E dl ) 0
1
b
a
2E
a1b
b2a
l E dl 0
静电场中，场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
5
7.4 静电场力的功 电势
1
静电场的性质： 1）电荷在电场中受到电场力
电场强度 E
2）当电荷在电场中移动时， 电场力要对电荷作功。
电势 V
先从库仑定律和场强叠加原理出发，证明静电 场力的功与路径无关，说明静电场是保守场，然后 引入描述静电场的另一个物理量 —— 电势。
一、静电场的环路定理
2
1、 静电场力所做的功
E Ei
b •
i b
Aab q0 a E dl b
q0 a Ei dl
L a•
q1 q2 qi qn1
i
q0qi ( 1 1 )
i 4 0 ria rib
qn
结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力
所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置
有关，而与路径无关。
4
2、 静电场的环路定理
位正电荷在该点的电势能。
12
电势零点的选择：
• 对有限带电体一般选 无穷远为电势零点。
Va a E dl
物理意义 把单位正试验电荷从点Ａ移到无穷远 时，静电场力所作的功。
• 在实际问题中，常选地球或仪器外壳的电势为零。
• 对无限带电体不宜选无穷远为电势零点，只能选 有限区域的某一位置为电势零点。
Va a E dl Va Vb a E dl
Wa q0Va
Aab q0 (Va Vb )
14
电势的计算
Va a E dl
零势点 & Va a E dl
3、电势叠加原理
（1）点电荷电场中的电势
取无穷远为电势零点，由定义式有
VP
E dl
P
r
Edr
qdr r 4 πε0r 2
说明：
E dl 0
l
1）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路
定理检验一个电场是不是静电场。
b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a
a E1dl c E2dl
0 不是静电场！
d
b
cE
2）环路定理要求电场线不能闭合。
VP
例：若选择无限远处为电
势能零点，试验电荷 q0 在 点电荷 q 的电场中，A 点 处的电势能为：
Wa a q0 E dl
0
q0
1
4 0
q dr r2
q0q
4 0ra 10
2、电势 电势差
b
Aab a q0 E dl (Wb Wa )
Wa
b a q0 E dl
（Wb 0）
注意：电势差是绝对的，电势大小是相对的，与
电势零点的选择有关。
b
Va a E dl Vb
为了确定 a 点的电势值，可以选定 b 点的电势
值为零，则 a 点的电势值为：
令
Vb 0 ,
b
Va
E dl
a
V 0点
Va a E dl
电场中某点的电势等于将单位正电荷从该点经
任意路径移到零势点时电场力所作的功；也等于单
q
4 π 0r
P dr
r
q
V q
4 π 0r
q 0, V 0 q 0, V 0
15
（2）电势叠加原理
点电荷系 E Ei
i
Vp E dl Ei dl
p
iP
VP
VPi
i
i
qi
4 π 0ri
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
p
E2
E1
表明：一个点电荷系的电场中任一点的电势，等于每
8
Aab (Wb Wa )
电势能的参考点选择是任意的，
若取 b 点为电势能的零点 （零势点Wa ab q0E dl
势能零点
Wa q0 A
E dl
试验电荷 q0在电场中某点的电势能，在数值上等
于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功。
9
点电荷的电场中
rdA dlq0Erddllcos4θπqεq00rr3drr
dl
dA
4
qq0
π 0r 2
dr
Aab
qq0
4 π 0
rb dr r ra 2
qq0 ( 1 1 )
4 π 0 ra rb
结果： Aab 仅与 q0 的始末位置有关，与路径无关。 3
任意带电体的电场（视为点电荷系）中
q0
b
E
b
E dl
(Wb
Wa
)
a
q0 q0
a
(积分大小与 q0无关，反映了电场在 a、b 两点的性质。)
b
E
dl
Wa
a
q0
Wb q0
Va
Vb
称为 a、b两点的电势差。
意义：把单位正电荷从A点沿任意路径移到B点的过
程中，静电场力所做的功。
11
电势差
b
Uab Va Vb
E dl
L
s
7
二、电 势 差 与 电 势 1、电势能 ( Electric Potential Energy )
静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场力所做的功 就等于电荷电势能增量的负值。
Aab ab q0 E dl
(Wb Wa ) W
Aab
0, Wb Wa
0, Wb Wa
电势能的大小是相对的， 电势能的差是绝对的。
Va a E dl
Va
P0
E
dl
a
（选无穷远为电势零点） （选 P0 为电势零点）13
电势差
b
Uab Va Vb
E dl
a
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在 电场中移动时电场力所做的功。
静电场力的功
Aab q0Va q0Vb q0Uab
公式小结：
零势点
b
一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和。
这一结论称作电势叠加原理。
16
电荷连续分布带电体电场中的电势
第一种方法：将带电体分为许
多电荷元dq(点电荷)，利用点电 荷的电势公式积分:
qr VP
dq
（电势叠加法）
4π 0r
d+q
dq
P
dV
dE
第二种方法：按电势的定义式进行计算：（场强积分法）
3）环路定理反映了静电场是保守场（或叫无旋场），
可引入电势能的概念。
6
静电场的两条基本定理：
静电场的环路定理： E dl 0 L
静电场是保守场 （或无旋场）
静电场的高斯定理：
E dS
1
S
ε0
qi (内)
静电场是有源场
静电场是有源、无旋（保守）场
E dl ( E ) dS 0 E 0 无旋场
（Circuital Theorem of Electrostatic Field）
q0 E dl q0 E dl
a1b
a2b
q0( E dl E dl ) 0
1
b
a
2E
a1b
b2a
l E dl 0
静电场中，场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 。
静电场力是保守力，静电场是保守场。
5
7.4 静电场力的功 电势
1
静电场的性质： 1）电荷在电场中受到电场力
电场强度 E
2）当电荷在电场中移动时， 电场力要对电荷作功。
电势 V
先从库仑定律和场强叠加原理出发，证明静电 场力的功与路径无关，说明静电场是保守场，然后 引入描述静电场的另一个物理量 —— 电势。
一、静电场的环路定理
2
1、 静电场力所做的功
E Ei
b •
i b
Aab q0 a E dl b
q0 a Ei dl
L a•
q1 q2 qi qn1
i
q0qi ( 1 1 )
i 4 0 ria rib
qn
结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力
所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置
有关，而与路径无关。
4
2、 静电场的环路定理
位正电荷在该点的电势能。
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电势零点的选择：
• 对有限带电体一般选 无穷远为电势零点。
Va a E dl
物理意义 把单位正试验电荷从点Ａ移到无穷远 时，静电场力所作的功。
• 在实际问题中，常选地球或仪器外壳的电势为零。
• 对无限带电体不宜选无穷远为电势零点，只能选 有限区域的某一位置为电势零点。
Va a E dl Va Vb a E dl
Wa q0Va
Aab q0 (Va Vb )
14
电势的计算
Va a E dl
零势点 & Va a E dl
3、电势叠加原理
（1）点电荷电场中的电势
取无穷远为电势零点，由定义式有
VP
E dl
P
r
Edr
qdr r 4 πε0r 2
说明：
E dl 0
l
1）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路
定理检验一个电场是不是静电场。
b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a
a E1dl c E2dl
0 不是静电场！
d
b
cE
2）环路定理要求电场线不能闭合。
VP
例：若选择无限远处为电
势能零点，试验电荷 q0 在 点电荷 q 的电场中，A 点 处的电势能为：
Wa a q0 E dl
0
q0
1
4 0
q dr r2
q0q
4 0ra 10
2、电势 电势差
b
Aab a q0 E dl (Wb Wa )
Wa
b a q0 E dl
（Wb 0）