大学物理电势
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大学物理-电势
Va E dl a E dl
讨论
a
a
1)电势零点的选择(参考点)
任意 视分析问题方便而定
参考点不同电势不同
10
通常：
理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点
实际应用中或研究电路问题时取大地、仪器外 壳等
2)电势的量纲
SI制：单位 V (伏特)
量纲
V
W q
L2 MT
3I
1
3)电势是一个长程物理量
b b
a
f dl q E dl Wa Wb
a
a
b E dl
Wa
Wb
a
q
q 与试验电荷无关
根据静电场 Wa Wb 的环路定理 q q
E dl Va Vb
a
称 a b两点电势差
若选b点的势能为参考零点 则
a点的电势：
势能零点
势能零点
VA VB
11
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
()
4πε0 rA rB
（2）r R
VA VB
rB rA
E
dr
0
o A B A dr B
R
drrA r
r
rB
20
（3）r R 令 rB V 0
Q 1 1
VA VB
（4）r R
()
4πε0
rA R
q
x2 R2
x
R，VP
q 4πε0 x
V
dl
q
q
4πε0 R
4πε0 x2 R2
R
r
xo x
Px
o
x
大学物理电势
Q
+ r+ rA
r
rB
Q
4π 0
rB rA
dr r2
er
er
Q (1 1)
4π 0 rA rB
8 –7 电势
第八章静电场
（2） r R
VA VB
rB rA
E1
dr
0
（3） r R
令 rB , V 0
r +
+ +
R
o
+
+
Q
++
+ e+
+ r+ rA
A
r
dr
rB
B
由
VA
VB
A
iA
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
第八章静电场
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
A
E1
dqqdrqP
dV
dE
8 –7 电势
第八章静电场
讨论
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r，
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
E dl
AB
8 –7 电势
电势差
第八章静电场
U AB VA VB
E dl
AB
(将单位正电荷从 A移到 B电场力作的功.)
注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
静电场力的功 WAB q0VA q0VB q0U BA
+ r+ rA
r
rB
Q
4π 0
rB rA
dr r2
er
er
Q (1 1)
4π 0 rA rB
8 –7 电势
第八章静电场
（2） r R
VA VB
rB rA
E1
dr
0
（3） r R
令 rB , V 0
r +
+ +
R
o
+
+
Q
++
+ e+
+ r+ rA
A
r
dr
rB
B
由
VA
VB
A
iA
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
第八章静电场
q1 q2
r1 r2
q3
r3
E3
E2
A
E1
dqqdrqP
dV
dE
8 –7 电势
第八章静电场
讨论
求电势 的方法
➢ 利用
VP
dq
4π 0r
（利用了点电荷电势 V q / 4π 0r，
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
E dl
AB
8 –7 电势
电势差
第八章静电场
U AB VA VB
E dl
AB
(将单位正电荷从 A移到 B电场力作的功.)
注意 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关； 电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.
静电场力的功 WAB q0VA q0VB q0U BA
大学物理课件电势梯度
大学物理课件-电势梯度
contents
目录
• 电势梯度的定义 • 电势梯度的性质 • 电势梯度在物理中的应用 • 电势梯度的计算实例 • 电势梯度与物理学其他概念的关系
01 电势梯度的定义
定义与公式
定义
电势梯度是描述电场中电势随位置变 化的物理量，表示为▽Φ。
公式
▽Φ = -E，其中E是电场强度矢量，Φ 是电势。
物理意义
电势梯度的方向表示电场强度矢量场的方向，即电场线方向。
计算方法
在标量场中，梯度的方向可以通过求导数的方法得到，即▽ = grad 。
电势梯度的计算方法
计算公式
电势梯度的计算公式为▽·E = ρ/ε0， 其中▽表示哈密顿算子，E表示电场强 度矢量，ρ表示电荷密度，ε0表示真 空电容率。
计算步骤
时，需要考虑这些元件的影响。
复杂电场的电势梯度计算
总结词：非线性关系 总结词：方向判断
详细描述：在复杂电场中，电势梯度与电场强度 之间的关系可能变得非线性。例如，在点电荷产 生的电场中，电势梯度随距离的增加而减小，但 仍然与电场强度成正比。
详细描述：在复杂电场中，判断电势梯度的方向 需要考虑电场线的分布和方向。通常，电势梯度 的方向与电场线增加的方向一致。
02 电势梯度的性质
电势梯度的标量性质
标量性质
电势梯度是一个标量，表示电势在空间中的变化率，没有方向。
计算公式
电势梯度等于电场强度在三维空间中的散度，计算公式为▽·E = ρ/ε0。
物理意义
电势梯度表示单位距离内的电势变化量，可用于描述电场中电势的 变化趋势。
电势梯度的方向
方向判定
电势梯度的方向由负梯度的方向确定，即电势降低的方向。
contents
目录
• 电势梯度的定义 • 电势梯度的性质 • 电势梯度在物理中的应用 • 电势梯度的计算实例 • 电势梯度与物理学其他概念的关系
01 电势梯度的定义
定义与公式
定义
电势梯度是描述电场中电势随位置变 化的物理量，表示为▽Φ。
公式
▽Φ = -E，其中E是电场强度矢量，Φ 是电势。
物理意义
电势梯度的方向表示电场强度矢量场的方向，即电场线方向。
计算方法
在标量场中，梯度的方向可以通过求导数的方法得到，即▽ = grad 。
电势梯度的计算方法
计算公式
电势梯度的计算公式为▽·E = ρ/ε0， 其中▽表示哈密顿算子，E表示电场强 度矢量，ρ表示电荷密度，ε0表示真 空电容率。
计算步骤
时，需要考虑这些元件的影响。
复杂电场的电势梯度计算
总结词：非线性关系 总结词：方向判断
详细描述：在复杂电场中，电势梯度与电场强度 之间的关系可能变得非线性。例如，在点电荷产 生的电场中，电势梯度随距离的增加而减小，但 仍然与电场强度成正比。
详细描述：在复杂电场中，判断电势梯度的方向 需要考虑电场线的分布和方向。通常，电势梯度 的方向与电场线增加的方向一致。
02 电势梯度的性质
电势梯度的标量性质
标量性质
电势梯度是一个标量，表示电势在空间中的变化率，没有方向。
计算公式
电势梯度等于电场强度在三维空间中的散度，计算公式为▽·E = ρ/ε0。
物理意义
电势梯度表示单位距离内的电势变化量，可用于描述电场中电势的 变化趋势。
电势梯度的方向
方向判定
电势梯度的方向由负梯度的方向确定，即电势降低的方向。
大学物理 电势 电势差
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
2. 电势差 电场中任意两给定位置P、Q之间的电势 差（即电压） 定义为UPQ 。
U pQ u p uQ
Q
Wp q0
WQ q0
ApQ q0
E dl 单位: 伏特 (V ) 。 p
电势差 U PQ 表示静电场力移动单位正电荷由 P 沿任一路径到 Q 所做的功。
e dS u (r ) 4π 0 r S
e dl 电荷线密度为λe 的带 u (r ) 电体产生的电势： 4π 0 r L
大学物理 第三次修订本
9
第6章 静电场
电势的计算方法
（1）利用定义式
需知在积分路径上 E 的函数表达式。 有限大带电体，选无限远处电势为零。
（2）利用叠加原理
第6章 静电场
6.5 电势 电势差
一、电势 电势差 1.电势 定义静电场中位置P处的电势 为单位 检验电荷在位置P处所具有的电势能，
up
Ap "0" q0
Wp q0
"0" p
E dl
物理含义： 将单位正电荷从P点沿任意路径移到电 势能为零点时, 电场力所作的功。
大学物理 第三次修订本
1
离带电直线的距离
大学物理 第三次修订本
18
第6章 静电场
例4两个半径分别为R1 ，R2的球面同心放置, 所 带电量为Q1和Q2, 皆为均匀分布。求电势分布。 解
Q1 u1 4πε0 r Q1 u1 4πε0 R1
(r R1 )
R2
o
Q1
R1
Q2
(r R1 )
第6章 静电场
2. 电势差 电场中任意两给定位置P、Q之间的电势 差（即电压） 定义为UPQ 。
U pQ u p uQ
Q
Wp q0
WQ q0
ApQ q0
E dl 单位: 伏特 (V ) 。 p
电势差 U PQ 表示静电场力移动单位正电荷由 P 沿任一路径到 Q 所做的功。
e dS u (r ) 4π 0 r S
e dl 电荷线密度为λe 的带 u (r ) 电体产生的电势： 4π 0 r L
大学物理 第三次修订本
9
第6章 静电场
电势的计算方法
（1）利用定义式
需知在积分路径上 E 的函数表达式。 有限大带电体，选无限远处电势为零。
（2）利用叠加原理
第6章 静电场
6.5 电势 电势差
一、电势 电势差 1.电势 定义静电场中位置P处的电势 为单位 检验电荷在位置P处所具有的电势能，
up
Ap "0" q0
Wp q0
"0" p
E dl
物理含义： 将单位正电荷从P点沿任意路径移到电 势能为零点时, 电场力所作的功。
大学物理 第三次修订本
1
离带电直线的距离
大学物理 第三次修订本
18
第6章 静电场
例4两个半径分别为R1 ，R2的球面同心放置, 所 带电量为Q1和Q2, 皆为均匀分布。求电势分布。 解
Q1 u1 4πε0 r Q1 u1 4πε0 R1
(r R1 )
R2
o
Q1
R1
Q2
(r R1 )
大学物理 电势
任意带电体的电场（视为点电荷系）中
EEi
i b
Aabq0
Edl
a
b
q0 a Ei dl
a•
i
q0qi ( 1 1)
i 4 0 ria rib
b •
L q1 q2 q i qn1 qn
结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力 所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置 有关，而与路径无关。
1
EdS
S
ε0
qi(内 )
静电场是有源场
静电场是有源、无旋（保守）场
L E d l s ( E ) d S 0 E 0无旋场
二、电 势 差 与 电 势
1、电势能 ( Electric Potential Energy )
静电场是保守场，静电场力是保守力。静电场力所做的功 就等于电荷电势能增量的负值。
解：（1）根据电势迭加原理
UO
4 i1
qi 4πε0ri
4q q
4πε0r πε0r
q q
r
o
q q
例5：在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q 的四 个点电荷，各顶点到正方形中心 O 的距离为 r。 求：1）O 点的电势；2）把试探电荷 q0 从无穷远处 移到 O 点时电场力所作的功；3）电势能的改变。
已选无限远处为电势零点，即使用此公式的前提条件
为有限大带电体且选无限远处为电势零点。）
例1：一均匀带电圆环，已知：R、q 。 求：轴线上的电势分布
解： 方法一：点电荷电势 + 电势叠加原理
dU dq 4πε0r
U dU
1
大学物理第2章 电势能 电势
4
Wa b
q0 q 4 0
b
a
q0 q r dr 3 r 4 0
b
a
1 d(r r ) 2 r3
q0 q 4 0
b
a
q0 q 1 dr 2 3 2 r 4 0
b
a
q0 q 1 2rdr 3 2 r 4 0
b
b
a
dr r2
q0 q 4 0
rR 0 Er Q 4 r 2 r R 0
球面内部任意一点的电势为
V (r )
r
r R
R E dl E dl E dl
r R
沿电场线积分
dr
Q 4 0 R
15
E dl Er dr
求电场的空间分布，并求在点(2,3,3)处的电 场强度。解：根据公式得
E V (2x+3y)i (3x z) j yk
代入x，y，z坐标便得到在处的电场强度为 r r r r E 2 , 3 , 3 13i 6 j 3k SI
27
沿电场线积分
(r Ra17 )
V (r )
Rb
Ra
E dl
Rb
Ra
1 1 Er dr ( ) 4 0 Ra Rb
Q
（2）两球面之间一点b的电势为
V (r )
V (r ) E dl
r Rb
Rb
r
Rb
E dl E dl
21
2.3.2 电势梯度
Va Vb E dl
《大学物理》第三章电势S
i
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
" p"
或： d
40 ri dq d 40 r
z • 你能否迅速算出“非均匀带电球面（只知道总电量）”
在球心处的电势？ • 如果用“路径积分法”，本题应如何解？
例计算均匀带电q 的园环轴线上任一点的电势。 解： 用“电势叠加法” y （以无穷远处 先考虑点电荷dq对电势的贡献 dq 的电势为0） dq d 4 0 r r q dq q R d 0 4 r 40 r 0 x o x Q 2 2 4 0 x 2 R 2 r x R
球面A 产生的电势分布
球面B 产生的电势分布
qA r R A A 4 0 RA q r RA A A 4 0 r
r RB r RB
qB B 4 0 RB qB B 4 0 r
A B
qB
qA R A
r RA
qA qB 4 0 RA 4 0 RB
E
●
●
dr
P2
2
空间变化率:
d E cos dr d E ( d dr dr ) Max
当
0
时
E
●
有最大值
沿电场方向电势随空间的变化率最大，就把这一最大值称为
1
P 1
dr
●
P2
2
该点的电势梯度 d ( ) Max 定义电势梯度--- grad
则：E dl a b
dl
a
E
E dl
0
dl
b
——场强与等势面正交。
若再取小位移 dl 与电场同向（由点 a到点b′） 则：E dl a b 0 , a b
大学物理电势ppt课件
大学物理电势ppt课件目录•电势基本概念与性质•点电荷与连续分布电荷电势•导体与绝缘体在电场中电势特性•电势能、电势差及等势面•电场力做功与路径无关性讨论•总结回顾与拓展延伸01电势基本概念与性质电势定义及物理意义电势定义描述电场中某点电势能的性质，反映单位正电荷在该点所具有的电势能。
物理意义表示电场中某点对电荷的吸引或排斥能力，是标量，具有相对性。
电势单位与量纲单位伏特（V）量纲ML^2T^-2A^-1（质量、长度、时间和电流的强度量纲的组合）电势与电场关系电场强度与电势梯度关系电场强度等于电势梯度的负值。
电场线与等势面关系电场线总是垂直于等势面，且指向电势降低的方向。
多个点电荷在某点产生的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生电势的代数和。
连续分布电荷电势叠加连续分布电荷在某点产生的电势等于电荷分布区域内各点电荷元在该点产生电势的代数和。
点电荷电势叠加电势叠加原理VS02点电荷与连续分布电荷电势描述点电荷间相互作用力，是电势计算的基础。
库仑定律单位正电荷在电场中某点具有的电势能。
电势定义$V =frac{kQ}{r}$，其中$k$为静电力常量，$Q$为场源电荷量，$r$为到场源电荷的距离。
点电荷电势公式点电荷电势计算连续分布电荷电势求解方法叠加原理对于多个点电荷或连续分布电荷产生的电势，可应用叠加原理进行求解。
积分方法对于连续分布电荷，需采用积分方法计算电势，如线积分、面积分或体积分。
常见连续分布电荷均匀带电直线、均匀带电平面、均匀带电球体等。
均匀带电直线电势通过高斯定理和积分方法求解，结果与观察点到直线的垂直距离和线电荷密度有关。
均匀带电平面电势利用高斯定理和叠加原理，可求得电势与观察点到平面的距离和平面电荷密度之间的关系。
均匀带电球体电势采用高斯定理和积分方法，可得到球体内外任意一点的电势表达式。
典型连续分布电荷电势实例分析030201电荷分布对电势影响电荷分布形状不同形状的电荷分布产生的电势分布不同，如点电荷、线电荷、面电荷和体电荷等。
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本次课内容提要
➢ Conservativity of Electrostatic Field 静电场的保守性
➢ Potential energy,Potential Difference and
Electric Potential 电势能，电势差和电势
➢ Superposition Principle of Electric Potential 电势的叠加原理
电势的相对性
例：无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。
解：无限长带电直线的场强：E
(1)选无穷远为电势 0 点
2 0r
P
P
Edl
P
Edr
o
(2)选
r 2 0r dr
距离直线1米处
2
0
(ln ln
无意义
r
)
r Pr
为电势 0 点
A q0
b E dl
a
q0q 1
40 ra
1 rb
电场力作功等于(始
b
末两点的点函数之差)
电势能的减少：
A q0
a
E dl
WPa WPb
q0
*电势能属于电荷与电场所共有 WPa
WPb
2.电势能零点的选取
*电势能之差有绝对意义， *电势能只有相对意义
1
4 0r
0q
dq
q
4 0r
4 0
q x2 R2
例3: 两个绝缘的均匀带正电的薄球壳，半径分 别以为无穷RA远，处R为B电，势所零带点总，电求量空分间别电为势q分A ，布。qB。
qB
RB
P1
RA
qA P3 P2
Q>0
Review
(r) Q 4 0r
(r) Q 4 0R
rR
rR
P1
1
A1
B1
qA
4 0r1
qB
4 0r1
P2 qB
2
A2
B
qA
4 0r2
qB
4 0RB
RB
P1 P3 3 A B
RA
qA P3 P2
qA qB
4 0RA 4 0RB
无限带电体电势 0 点不宜选无穷远
电势迭加原理：电荷系的电场中某点的电势为各
带电体单独存在时在该点产生电势的代数和
a a E dl
a
( E1
E2
En )
dl
a E1 dl a E2 dl a En dl
n
1 2 n i
ra
q0 a
dr F
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无 关，电场力为保守力，静电场为保守场。
2.点电荷系统: q1, q2, …, qn的电场.
E E1 E2 ... Ei
q0
p2 p1
E
dr
q0
p2 p1
E1
dr
q0
p2 p1
电势差 Uab 为电场力移动单位正电荷从 a 点到 b 点所 作的功。
b
A q0 a E dl q0U ab
电场力的功等于电势差与检验电荷电量的乘积。
三、注意几点
1.电势是标量，只有正负之分
2. 电势 0 点的选取与电势能0 点的选取相同
“0”
a a E dl •通常选无穷远为电势 0 点
原则上可任意选取
无限远处为势能零点
通常
理论上取
（电荷分布有限）
电荷分布至无限远时，不 能取无限远处为参考点
工程上取 地球为势能零点
选b点为势能
零点WPb=0 0
b E dl
a
"0"
WPa q0 a E dl
3.电势 , 电势差Uab
4
解：由
qi
i1 4 0ri
q r
q
1 (q q q q)
o
4 0r
0
q
q
例2：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求
圆环轴线上一点的电势 V。
解：将圆环分割成无限多 个电荷元：
d dq 4 0r
环上各点到轴线等距。
q dq r
R
ox
Px
d
3.电势总是连续变化的! 4.电势为电场力移动单位正电荷从场点到无穷 远所作的功。
四、电势的计算方法 (一)由定义求电势
“0”
a a E dl
通常用于：高度对称的场（由高斯定理可方便 地求出场强，或已知场强表达式） 。
例1点电荷电场的电势
a r E dl
选积分路经沿电场线方向，则有：
E2
dr
...
q0
p2 p1
En
dr
各项都与路径无关，则总电场力作功与路径无关。
静电力为保守力，静电场为保守场。
二、环路定理
LE dl 0
1.定理表述：静电场中电场强度沿闭合路径 的线积分等于零。
三、电势能、电势、电势差
1.电势能EP
只有对保守场，才能引入势能的概念 电场力是保守力，可引入势能的概念
只取决于场源电荷 q
例2：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：
球壳内、外的电势分布。无穷远为电势0点
解：球壳内、外的场强
E1
0
E2
1
4 0
q r2
•I区：球壳内电势
rR
R
II
1
r
E1 dl
R
E2
dl
dl
0 R E 2dr
P
2
0
(ln 1
ln
r)
P
2 0
ln
1 r
r 1, P 0
r 1, P 0
b a
E dl
q0 ab
Edl
cos
b
A q0 a Edl cos
dl cos dr
b
A q0 a Edr
点电荷的场
A q0
rb ra
1q
4 0 r 2 dr
q
q0q 1 1
4 0 ra rb
b rb
dl r
WPa q0
除去q0的因素 电势定义：
"0" WPa q0 a E dl
a
WPa q0
E dl
a
电势差: Uab a b
单位：伏特，V
b b
a E dl b E dl a E dl E dl a E dl
a
r
E dr cos 0
r
q
4 0 r 2
dr
q
4 0r
dl q ra E
q 4 0r
•正电荷的场中各点电势为正
0
•负电荷的场中各点电势为负
0
q 0
o
r
•电势能与电势的区别
沿电场线方向电势降低
V
o
r
q 0
WP 可正可负，取决于 q 和 q0
i 1
点电荷系
n
i 1
i
n
i 1
qi
4 0ri
连续分布带电体
Q
将带电体分割成无限多个电荷元
d dq 4 0r
rP dq
V体 d V体
dq
4 0r
V体
点电荷系电势的计算
例1：在正方形四个顶点上各放置 +q、+q、-q、-
q 四个电荷，求正方形中心 o 点的电势 。
II I qo
M
与点电荷的场相同！
RE r
II
均匀带电球壳 II
I qo R
I qo R
qE
4 0 R 2
场强分布
q
4 0 R
电势分布
oR
r
oR
r
在球面处场强不连续，而电势是连续的。
(二) 由电势迭加原理求电势
通常用于：•单个对称性较差的带电体的场
•几个分立的带电体的场
•电荷连续分布，可分解成基本带电体的场
// dr
// E
q
I o
r
R
P
E r
R
1
4
0
q r2
dr
q
4 0 R
球内区域是一个等势区！电势都等于球面上的电势
•II区：球壳外电势
rR
2
r E2 dl
dl //
dr//
E
r E 2dr
r
1
4 0
q r2
dr
q
4 0r
➢Electric Potential Gradient 电势梯度
一、静电场的保守性-电场力的功
1.点电荷的场
静电力对运动电荷作功
在 q 的电场中将检验电 荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场力作功为：
➢ Conservativity of Electrostatic Field 静电场的保守性
➢ Potential energy,Potential Difference and
Electric Potential 电势能，电势差和电势
➢ Superposition Principle of Electric Potential 电势的叠加原理
电势的相对性
例：无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。
解：无限长带电直线的场强：E
(1)选无穷远为电势 0 点
2 0r
P
P
Edl
P
Edr
o
(2)选
r 2 0r dr
距离直线1米处
2
0
(ln ln
无意义
r
)
r Pr
为电势 0 点
A q0
b E dl
a
q0q 1
40 ra
1 rb
电场力作功等于(始
b
末两点的点函数之差)
电势能的减少：
A q0
a
E dl
WPa WPb
q0
*电势能属于电荷与电场所共有 WPa
WPb
2.电势能零点的选取
*电势能之差有绝对意义， *电势能只有相对意义
1
4 0r
0q
dq
q
4 0r
4 0
q x2 R2
例3: 两个绝缘的均匀带正电的薄球壳，半径分 别以为无穷RA远，处R为B电，势所零带点总，电求量空分间别电为势q分A ，布。qB。
qB
RB
P1
RA
qA P3 P2
Q>0
Review
(r) Q 4 0r
(r) Q 4 0R
rR
rR
P1
1
A1
B1
qA
4 0r1
qB
4 0r1
P2 qB
2
A2
B
qA
4 0r2
qB
4 0RB
RB
P1 P3 3 A B
RA
qA P3 P2
qA qB
4 0RA 4 0RB
无限带电体电势 0 点不宜选无穷远
电势迭加原理：电荷系的电场中某点的电势为各
带电体单独存在时在该点产生电势的代数和
a a E dl
a
( E1
E2
En )
dl
a E1 dl a E2 dl a En dl
n
1 2 n i
ra
q0 a
dr F
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无 关，电场力为保守力，静电场为保守场。
2.点电荷系统: q1, q2, …, qn的电场.
E E1 E2 ... Ei
q0
p2 p1
E
dr
q0
p2 p1
E1
dr
q0
p2 p1
电势差 Uab 为电场力移动单位正电荷从 a 点到 b 点所 作的功。
b
A q0 a E dl q0U ab
电场力的功等于电势差与检验电荷电量的乘积。
三、注意几点
1.电势是标量，只有正负之分
2. 电势 0 点的选取与电势能0 点的选取相同
“0”
a a E dl •通常选无穷远为电势 0 点
原则上可任意选取
无限远处为势能零点
通常
理论上取
（电荷分布有限）
电荷分布至无限远时，不 能取无限远处为参考点
工程上取 地球为势能零点
选b点为势能
零点WPb=0 0
b E dl
a
"0"
WPa q0 a E dl
3.电势 , 电势差Uab
4
解：由
qi
i1 4 0ri
q r
q
1 (q q q q)
o
4 0r
0
q
q
例2：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求
圆环轴线上一点的电势 V。
解：将圆环分割成无限多 个电荷元：
d dq 4 0r
环上各点到轴线等距。
q dq r
R
ox
Px
d
3.电势总是连续变化的! 4.电势为电场力移动单位正电荷从场点到无穷 远所作的功。
四、电势的计算方法 (一)由定义求电势
“0”
a a E dl
通常用于：高度对称的场（由高斯定理可方便 地求出场强，或已知场强表达式） 。
例1点电荷电场的电势
a r E dl
选积分路经沿电场线方向，则有：
E2
dr
...
q0
p2 p1
En
dr
各项都与路径无关，则总电场力作功与路径无关。
静电力为保守力，静电场为保守场。
二、环路定理
LE dl 0
1.定理表述：静电场中电场强度沿闭合路径 的线积分等于零。
三、电势能、电势、电势差
1.电势能EP
只有对保守场，才能引入势能的概念 电场力是保守力，可引入势能的概念
只取决于场源电荷 q
例2：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：
球壳内、外的电势分布。无穷远为电势0点
解：球壳内、外的场强
E1
0
E2
1
4 0
q r2
•I区：球壳内电势
rR
R
II
1
r
E1 dl
R
E2
dl
dl
0 R E 2dr
P
2
0
(ln 1
ln
r)
P
2 0
ln
1 r
r 1, P 0
r 1, P 0
b a
E dl
q0 ab
Edl
cos
b
A q0 a Edl cos
dl cos dr
b
A q0 a Edr
点电荷的场
A q0
rb ra
1q
4 0 r 2 dr
q
q0q 1 1
4 0 ra rb
b rb
dl r
WPa q0
除去q0的因素 电势定义：
"0" WPa q0 a E dl
a
WPa q0
E dl
a
电势差: Uab a b
单位：伏特，V
b b
a E dl b E dl a E dl E dl a E dl
a
r
E dr cos 0
r
q
4 0 r 2
dr
q
4 0r
dl q ra E
q 4 0r
•正电荷的场中各点电势为正
0
•负电荷的场中各点电势为负
0
q 0
o
r
•电势能与电势的区别
沿电场线方向电势降低
V
o
r
q 0
WP 可正可负，取决于 q 和 q0
i 1
点电荷系
n
i 1
i
n
i 1
qi
4 0ri
连续分布带电体
Q
将带电体分割成无限多个电荷元
d dq 4 0r
rP dq
V体 d V体
dq
4 0r
V体
点电荷系电势的计算
例1：在正方形四个顶点上各放置 +q、+q、-q、-
q 四个电荷，求正方形中心 o 点的电势 。
II I qo
M
与点电荷的场相同！
RE r
II
均匀带电球壳 II
I qo R
I qo R
qE
4 0 R 2
场强分布
q
4 0 R
电势分布
oR
r
oR
r
在球面处场强不连续，而电势是连续的。
(二) 由电势迭加原理求电势
通常用于：•单个对称性较差的带电体的场
•几个分立的带电体的场
•电荷连续分布，可分解成基本带电体的场
// dr
// E
q
I o
r
R
P
E r
R
1
4
0
q r2
dr
q
4 0 R
球内区域是一个等势区！电势都等于球面上的电势
•II区：球壳外电势
rR
2
r E2 dl
dl //
dr//
E
r E 2dr
r
1
4 0
q r2
dr
q
4 0r
➢Electric Potential Gradient 电势梯度
一、静电场的保守性-电场力的功
1.点电荷的场
静电力对运动电荷作功
在 q 的电场中将检验电 荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场力作功为：