暑期拾遗-数学-江苏-高二T同步(正切函数的性质与图象3星)

同步：正切函数的性质与图象★★★
导入
3 min.
前面我们已经学过正切线，那本节课首先练习正切线的画法：
正切线是AT ．
现在我们来作正切函数的图象．
教学目标
1.理解体会作切函数图象的作法；
2.理解掌握正切函数及其图象的性质，以及其性质的简单应用.
知识梳理
2 min
1.正切函数x y tan =的图象：
①正切函数x y tan =的定义域：()z k k x ∈+≠2
π
π
②为了研究方便，再考虑一下它的周期： ()()()⎪⎭
⎫
⎝⎛∈+≠∈=--=++=
+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且
⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈+
≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan π
π且的周期为π=T （最小正周期） ③因此我们可选择⎪⎭
⎫
⎝⎛-
2,2ππ的区间作出它的图象
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，
且()
z k k x ∈+≠ππ
2
的图象，称“正切曲线”
2.正切函数的性质： ①定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈+≠z k k x x ,2|ππ
， ②值域：R
③观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π
+π−→−k x 时，∞−→−x tan
当x 从大于()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→
−2
时，-∞−→−x tan
④周期性：π=T
⑤奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数
⑥单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-
ππππ2,2内，函数单调递增
典例精讲
33 min.
例1.（★★）观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0
解：画出y ＝tan x 在(－
2π，2π)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2
π 结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2
π
)(k ∈Z )
【本题重在引导学生如何观察并利用正切函数的图象，同时，通过本题让学生从图象中找到该函数的单调
区间和对称中心】 例2.（★★★）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5
17tan π
的大小 解：13tan tan 44ππ⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭ ，172tan tan 55ππ⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
，
又：20,tan 0,4
52y x π
ππ⎛⎫
<
<
= ⎪⎝⎭
在内单调递增， 221317tan
tan
,tan tan ,tan tan 4
54545π
πππππ⎛⎫⎛⎫∴<∴->-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即. 【本题为上一题的实际应用，旨在强化学生对图象性质的理解】 例3．（★★★）求函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性 解：由33
2
x k π
π
π-
≠+
得5318
k x ππ≠
+， ∴所求定义域为5|,,318k x x R x k z ππ⎧⎫∈≠
+∈⎨⎬⎩⎭
且 值域为R ，周期3
T π
=
，是非奇非偶函数
在区间()5,318318k k k z ππππ⎛⎫
-+∈
⎪⎝⎭
上是增函数 【本题是形如sin()y x ωϕ=+的函数性质讲解，重点强调处理方法，可让学生结合前面所学的
sin()y x ωϕ=+自己总结其性质及处理方法】
例4．（★★★）作出函数()π2,0,tan 1tan 2
∈+=
x x
x y 且2
3,2π
π≠
x 的简图 解：23sin ,0,,222tan tan 131tan sin ,,cos 22x x x x y x x x x πππππ⎧⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
===⎨
⎛⎫+⎪-∈ ⎪
⎪⎝⎭⎩
课堂检测
1．（★★★）函数y ＝x tan log 2
1的定义域是______________
解析：由log 12
tan x ≥0，得0＜tan x ≤1
根据y ＝tan x 在x ∈(－
2π，2π)上的图象可知0＜x ≤4
π
结合周期性，可知原函数的定义域为：｛x ｜k π＜x ≤k π＋
4
π
，k ∈Z ｝ 2．（★★★）函数y ＝lg(tan x )的增函数区间是___________
解：函数y ＝lg(tan x )为复合函数，要求其增函数区间则要满足tan x ＞0，且y ＝tan x 是增函数的区间 解之得k π＜x ＜k π＋
2
π
(k ∈Z ) ∴原函数的增函数区间为：(k π，k π＋
2
π
)(k ∈Z ) 3．（★★★）求函数y =tan 1
tan 1
x x +-的值域.
解： (tan 1)2
tan 1x y x -+=
-
∴2
1t a n 1
y x =+-
t a n
1x ≠ 又 ∴{y |y ∈R 且y ≠1}
4．（★★★）求下列函数tan()2
3
x y π
=+的周期和单调区间
解： T =ωπ=2π; 由tan()023,2232x k k k Z
πππππππ⎧
+≥⎪⎪⎨⎪-<+<+∈⎪⎩
可得,232,2232x k k k Z x k k k Z πππππππππ⎧
≤+<+∈⎪⎪⎨⎪-<+<+∈⎪⎩
∴可得函数y =)32cot(π
+x 的递减区间为[2k π-32π,2k π+)3π（k ∈Z ）
5．（★★★）已知α、β∈(2π
,π),且tan(π+α)<tan(52π-β),求证: α+β<32
π. 解：∵tan(π+α)<tan(52
π
-β) ∴tan α<tan(2
3π-β), 又∵
2π<α<π, 2π<2
3
π-β<π ∴α与2
3π-β落在同一单调区间,∴α<2
3π-β,即α+β<2
3π
回顾总结
2 min.
1．定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
， 2．值域：R
3．观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π
+π−→−k x 时，∞−→−x tan
当x 从大于()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→
−2
时，-∞−→−x tan
4．周期性：π=T
5．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数
6．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。