第四章 最小二乘法
最小二乘法
4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂ni i n i i n i i i x b x a y x b D 再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂n i i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
最小二乘法求最值问题的一种简便证明
最小二乘法求最值问题的一种简便证明1. 引言最小二乘法是一种常用的数学工具，用于拟合数据或解决最值问题。
其中，最小二乘法求最值问题是一种常见的数学问题，其简便证明对于理解和应用最小二乘法都有着重要意义。
2. 问题描述最值问题是数学中常见的问题类型，在实际应用中也有着广泛的应用。
最小二乘法求最值问题指的是在一组数据中，通过最小化误差平方和来确定最优拟合曲线或最优参数。
其数学表达式为：对于给定的数据点(xi, yi)，拟合曲线为y = a + bx，其中a和b为待定参数。
最小二乘法的目标是找到最优的参数a和b，使得误差平方和最小。
3. 证明思路为了简便证明最小二乘法求最值问题，我们可以从最小化误差平方和的数学表达式入手，利用数学推导和分析来得到最优参数a和b的表达式。
4. 证明过程我们可以建立误差平方和的数学表达式：E = ∑(yi - (a + bxi))^2通过对参数a和b分别求偏导数，让偏导数等于0，得到参数a和b 的表达式：∂E/∂a = -2∑(yi - (a + bxi)) = 0∂E/∂b = -2∑xi(y i - (a + bxi)) = 0进一步求解上述方程组，可以得到参数a和b的表达式：a = (Σyi - bΣxi) / nb = (nΣxiyi - ΣxiΣyi) / (nΣxi^2 - (Σxi)^2)通过上述推导，我们得到了最小二乘法求最值的简便证明，也得到了参数a和b的最优表达式。
5. 总结和回顾通过对最小二乘法求最值问题的简便证明，我们在数学推导和分析的基础上，得到了最优参数a和b的表达式。
这个证明方法可以帮助我们更全面、深刻地理解最小二乘法的原理和应用，对于实际问题的解决也具有重要意义。
6. 个人观点最小二乘法是一种常用的数学工具，在实际应用中有着广泛的用途。
通过简便的证明方法，我们能够更容易地理解和应用最小二乘法，为相关问题的解决提供了重要的思路和方法。
以上是对最小二乘法求最值问题的一种简便证明的文章撰写，希望能够帮助你更深入地理解这个主题。
现代信号课件第4章最小二乘滤波
归一化均方误差性能评估
NMSE越小，说明滤波器的性能越好，信号处理的效 果越接近原始信号。
归一化均方误差（NMSE）是另一种衡量滤波器性能的 指标，它表示信号经过滤波器处理后的误差相对于原始 信号的均方误差的比例。
NMSE的计算公式为：$NMSE = frac{MSE}{MSE_{total}}$，其中$MSE_{total}$为原始 信号的均方误差。
加权最小二乘滤波
加权最小二乘滤波是在线性最小二乘滤波的基础上引入了权重因子，以调整误差的 权重。
通过给不同的误差项赋予不同的权重，加权最小二乘滤波能够更好地适应不同的噪 声分布和信号特性。
加权最小二乘滤波在处理具有不同特性的信号和噪声时能够获得更好的滤波效果。
03
最小二乘滤波的算法实 现
递归最小二乘滤波
04
在控制系统中，最小二 乘滤波用于系统辨识和 参数估计等。
02
最小二乘滤波的数学模 型
线性最小二乘滤波
线性最小二乘滤波是一种常用的 信号处理方法，通过最小化误差 的平方和来估计信号中的未知参
数。
它假设信号和噪声之间存在线性 关系，通过解线性方程组来得到
最优估计值。
线性最小二乘滤波具有简单、稳 定和快速收敛等优点，适用于多
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信噪比性能评估
信噪比（SNR）是衡量滤波器在噪声干扰下性能的重要指标，它表示信 号与噪声的功率比值。
SNR越大，说明滤波器对噪声的抑制能力越强，信号处理的效果越好。
SNR的计算公式为：$SNR = 10log_{10}frac{P_s}{P_n}$，其中$P_s$为 信号功率，$P_n$为噪声功率。
自适应滤波算法优化
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法分类
第一课社会主义从空想到科学、从理论到实践的发展第一节从原始社会到奴隶社会1.原始社会（1）人类社会最初阶段，也是最低阶段（2）发展阶段：（3）生产关系特点：原始社会低下的生产力使人们不得不共同劳动，共同占有生产资料，在生产中结成平等互助的关系，平均分配劳动产品。
（4）管理组织：氏族议会制度2.生产力与生产关系（附加）3. 私有制的确立和原始社会的解体（1）根本原因：原始社会末期，生产工具的改进，大大推动了生产力的发展，个体；劳动逐渐盛行起来。
劳动发生变化：氏族：共同劳动----家庭：个体劳动；生产资料：氏族公有----家庭私有（2）私有制确立标志：最早生产工具和牲畜家庭私有。
土地变为私有财产，标志着私有制的确立（3）原始社会的解体：贫富差距的加剧，使氏族成员的地位越来越不平等，漫长的原始社会解体4.阶级含义：（1）含义：在一定生产关系中处于不同地位的团体（2）形成：随着原始社会的解体，逐渐形成两大阶级：奴隶和奴隶主5.国家（1）产生：奴隶主为了镇压奴隶的反抗，维护本阶级的利益（2）含义：国阶级矛盾吧不可调和的产物，是阶级统治的工具。
（3）标志：建立了军队、法庭等暴力机关5.奴隶社会：（1）产生：奴隶和奴隶主之间的矛盾，是奴隶社会的主要矛盾。
奴隶主打的残酷剥削和压迫，必然遭到奴隶的反抗（2）生产关系：奴隶主占有生产资料并完全占有奴隶；奴隶无人身自由，在奴隶主的强制下劳动；奴隶的全部产品都归奴隶主占有和支配，奴隶主只给奴隶最低限度的生活资料。
（3）主要矛盾：奴隶主阶级和奴隶阶级之间的矛盾。
（4）评价：（没有剥削、没有压迫的原始社会被有剥削、有压迫的奴隶社会代替是历史的进步吗，为什么？）奴隶社会代替原始社会后，金属工具的广泛使用、城市的出现、文字的发明和应用、脑力劳动和体力劳动的分工等，促进了生产力的发展，使人类摆脱蒙昧野蛮的状态，迈入了文明时代的门槛。
这是历史的进步。
第二节从封建社会到资本主义社会1.封建社会（1）产生：（2）生产力表现：A.铁制农具B.耕作技术C.水利事业D.手工业E.商业和城市生产关系特点：①内容：地主占有绝大部分土地，通过地租等方式，占有农民大部分劳动成果。
计量经济学 第四章
100%
统计检验
利用统计量对模型参数进行假设 检验，判断参数是否显著。
80%
计量经济学检验
包括模型的异方差性、自相关性 、多重共线性等问题的检验。
模型的修正方法
增加解释变量
如果模型存在遗漏变量，可以通过增加解释变量来 修正模型。
删除解释变量
如果模型中某些解释变量不显著或存在多重共线性 ，可以考虑删除这些变量。
模型表达式
Y = β0 + β1X + ε
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数β0和β1
参数解释
β0为截距项，β1为斜率项，ε为随机误差项
模型的检验
包括拟合优度检验、显著性检验等
多元线性回归模型
01
02
03
04
模型表达式
参数解释
最小二乘法
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε
最小二乘法估计量的性质
线性性
最小二乘法估计量是随机样本的线性组合。
无偏性
最小二乘法估计量的期望值等于总体参数的 真实值。
有效性
在所有无偏估计量中，最小二乘法估计量的 方差最小。
一致性
随着样本量的增加，最小二乘法估计量收敛 于总体参数的真实值。
最小二乘法的计算步骤
构造设计矩阵X和响应向量Y。 计算设计矩阵X的转置矩阵X'。 计算X'X和X'Y。
求解线性方程组X'Xβ=X'Y，得到回归系 数的最小二乘估计β^=(X'X)^(-1)X'Y。
根据β^计算因变量的拟合值Y^=Xβ^。
计算残差e=Y-Y^，以及残差平方和 RSS=e'e。
最小二乘拟合算法
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
最小二乘拟合法公式
最小二乘拟合法公式最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数，使其在给定的数据集上的误差平方和最小。
这种方法可以用于解决各种问题，例如线性回归、曲线拟合等。
在最小二乘拟合法中，我们希望找到一个函数或曲线，使其能够最好地拟合给定的数据点。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)，使得对于每个数据点(xi, yi)，f(xi)的值与yi的值之间的差异最小。
为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来确定最佳的拟合函数。
最小二乘法通过最小化误差平方和来找到最佳拟合函数的系数。
误差平方和定义为每个数据点的预测值与实际值之差的平方之和。
最小二乘拟合法的公式如下所示：β = (X^T * X)^(-1) * X^T * Y其中，β是一个包含拟合函数的系数的向量，X是一个包含数据点的矩阵，Y是一个包含对应的实际值的向量，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。
通过求解上述公式，我们可以得到最佳的拟合函数的系数。
然后，我们可以使用这些系数来计算拟合函数在其他输入值上的预测值。
最小二乘拟合法在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在线性回归中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的直线，以描述自变量和因变量之间的关系。
在曲线拟合中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的曲线，以逼近给定的数据点。
需要注意的是，最小二乘拟合法在某些情况下可能会出现问题。
例如，当数据点存在较大的误差或离群值时，最小二乘法可能会受到影响。
此外，最小二乘法只能用于找到最佳的拟合函数，而不能确定拟合函数的可靠性或显著性。
总结起来，最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数。
通过最小化误差平方和，最小二乘法可以确定拟合函数的系数，从而实现对给定数据的最佳拟合。
然而，最小二乘法也有一些限制，需要在实际应用中进行注意。
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已知 x1 35.3, 代入上式得
第二步，正规方程
则
解得
第三步，测量数据精度估计
则测量数据标准差为
第四步，估计量精度估计 求解不定乘数
解得
则估计量的标准差为
4.3矩阵最小二乘法 一、线性模型
二、最小二乘法解 1.等精度情况下的矩阵形式的正规方程
A V 0
T
X C A L
T
1
2.不等精度测量时，正规方程可表示为
根据误差方程，我们可列出正规方程
又
将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得
解得
即
因此铜棒长度随温度的线性变化规律为
三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理
不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
例4-2 已知测量方程
对 Yi 的测量数据及其相应的标准差为
试列出最小二乘估计的正规方程。 解 列出残余误差方程
第四章
最小二乘原理
1）最小二乘法原理 --- 残差平方和最小 n 次重复测量（ x1, x2, …, xn ） 最佳估计 x OPT
^ ^
残差 vi xi x OPT 平方和最小
2 i ^ 2
S
x x OPT
^
^
v ( xi x OPT ) S min
x OPT
确定各测量数据的权。
根据误差方程及各测量数据的权，我们写出正规方程
式中
则正规方程为
四、非线性参数最小二乘法 非线性转化为线性：
为获得非线性函数的展开式．必须首先确定待求估计量的近似 值，其方法有二个： (1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量， 所得结果 xr
即可作为其近似值。 (2)利用部分方程式进行计算。 例4-3 将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。
可得残余误差为
则标准差为
2．不等精度测量数据的精度估计
二、最小二乘估计量的精度估计 1.等精度测量时最小二乘估计量的精度估计 标准差为
式中——测量数据的标准差 2. 不等精度测量的情况 不等精度测量的情况与等精度的类似
例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。 解 已知正规方程为
取方程组中前二式，令 的近似值，即
v1 0, v2 0 ，则可得 R1 与 R2
将函数在 R10 , R20 处展开，取一次项，有
代入残差方程，得线性残差方程
五、对同一量重复测量数据的最小二乘法
4.2精度估计
一、测量数据的精度估计 1. 等精度测量数据的精度估计
例4-4 试求例4-1中铜棒长度的测量精度。 解 已知残余误差方程
^
1 xi n
4.1 经典最小二乘法
一.两个未知量情况
x1
x2
[bb][ al ] [ ab][bl ] [ aa ][bb] [ ab][ ab]
[ ab][ al ] [ aa ][bl ] [ aa ][bb] [ ab][ ab]
二.T个未知量的情况
注意到方程组形式上有如下特点： (1)沿主对角线分布着平方项系数 aa , bb ,hh 都为正数。
(2)以主对角线为对称线，对称分布的各系数彼此两两相等。
例4.1 在不同温度下．测定铜捧的长度如下表，试估计 0C 时的铜棒长度 y0和铜的线膨胀系数 。
解 列出误差方程
式中
li
——在温度 t i 下铜捧长度的测得值； ——铜棒的线膨胀系数。
令 y0 x1 , y0 x2 为两个待求估计参数，则误差方程可写为
测量数据 li 的标准差为 求解不定乘数的方程为
解得
估计量的标准差为
因
故
例4-6 已知 x1 35.3 ，测得xi x j 的值为 lij ，并已知 l12 69.5 l13 4.4, l14 28.3, l23 64.4, l24 42.1, l34 21.9 试用最小二乘法求 x2 , x3 , x4 及其误差。 解 第一步，残余误差方程组
A PV 0
T
X (C ) A PL.等精度测量 不定乘数
2.不等精度测量 不定乘数