华罗庚学校数学教材(五年级下)第08讲 时钟问题
本系列共15讲第八讲时钟问题.文档贡献者：与你的缘
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。钟面的一周分
为60分格，当分针走60格时，时针正好走5格，所以时针的速度是分针的5÷60=。分针每走60÷（1－）=（分），与时11256056511针重合一次。时钟问题变化多端，也存在着不少的学问。这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷（1－）=追及时间（分112钟）。其中，1－为分针每分钟比时针多走的格数。112例1现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析3点时分针指向12，时针指向3，分针在时针后5×3=15（个）格。每分钟分针比时针多走（1－）格，要使分针与时针560重合，即使分针比时针多走15格，需要15÷（1－）=16（分112411钟）。所以，所求的时刻应为3点16分。411解：15÷（1－）=16（分钟）112411答：所求的时刻应为3点16分。411例2在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂
直？
分析分两种情况进行讨论。（1）在顺时针方向上分针与时针成270°角：
在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60
×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50
（个）格。因此，在这段时间内，分针要比时针多走50－45=5（个）格，而每分钟分针比时针多走（1－）个格，因此由基本公式，112到达这一时刻所用的时间为：5÷（1－）=5（分钟）。112511（2）在顺时针方向上分针与时针成90°角：
在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60
÷（90÷360）=15（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50－15=35（个）格，所以到达这一时刻所用的时间为：35÷（1－）=38（分钟）。112211解：（1）在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：[5×10－60×（270÷360）]÷（1－）=5（分钟）。112511（2）在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：[5×10－60×（90÷360）]÷（1－）=38（分钟）112211答：所求时刻为10点5分和10点38分。511211例3在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直
线上？分析分两种情况进行讨论。
（1）分针与时针的夹角为180°角：
当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180
÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）
格。因此，在这段时间内分针要比时针多走45－30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走（1－）个格，因此，到达这一时刻所112用的时间为：15÷（1－）=16（分钟）112411（2）分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：
9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针
重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷（1－）=49（分钟）。112111解：（1）当分针与时针的夹角为180°角时：[5×9－60×（180÷360）]÷（1－）=16（分钟）112411（2）当分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合时：5×9÷（1－）=49（分钟）。112111答：所求时刻为9点16分和9点49分。411111例4小明在7点与8点之间解了一道题，开始时分针与时针
正好成一条直线，解完题时两针正好重合。小明解题共用了多少时间？
分析要求小明解题共用了多少时间，必须先求出小明解题开
始时是什么时刻，解完题时是什么时刻。
（1）小明开始解题时的时刻：
因为小明开始解题时，分针一时针正好成一条直线，也就是分
针与时针的夹角为180°，此时分针落后时针60×（180÷360）=30
（个）格，而7点整时分针落后时针5×7=35（个）格，因此在这
段时间内分针要比时针多走35－30=5（个）格，则这一段时间为：5÷（1－）=5（分钟）。所以小明开始解题时是7点5分。112511511（2）小明解题结束时的时刻：
因为小明解题结束时，两针正好重合，那么从7点整到这一时
刻分针要比时针多走5×7=35（个）格，因此这一段时间为：35÷（1－）=38（分钟）。所以小明解题结束时是7点38分。112211211这样小明解题所用的时间就可以求出来了。
解：先求小明开始解题的时刻：[5×7－60÷（180÷360）]÷（1－）=5（分钟），所112511以小明开始解题时是7点5分。511再求小明结束解题的时刻：5×7÷（1－）=38（分钟），所以小明结束解题时是7112211点38分。211最后求小明解题所用的时间：7点38分－7点5分=32（分钟）211511811答：小明解题共用了32分钟。811例5一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的
“5”字恰好在时针与分针的正中央。问这时是什么时刻？
分析由于现在可以是4点多，也可以是5点多，所以分两钟
情况进行讨论：
（1）先设此时是4点多：
4点整时，时针指4，分针指12。从4点整到现在“5在时针
与分针的正中央”，分针走的格数多于25，少于30，时针走不足5
格。由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针与分针在这段时间内共走30格。又由于时针的速度是分针的，所以从4112点整到目前状态共用了：30÷（1＋）=27（分钟）112913所以这时是4点27。913（2）再设此时是5点多：
5点整时，时针指5，分针指12，从5点整到现在“5在时针
与分针的正中央”，分针走的格数多于20少于25格，时针走的格数不足5格，由于5到分针的格数等于5到时针的格数，所以时针
与分针在这段时间内共走25格。因此，从5点整到目前状态共用了25÷（1＋）=23（分钟）。112113所以此时是5点23分。113解：（1）如果是4点多：30÷（1＋）=27（分钟）112913（2）如果是5点多：25÷（1＋）=23（分钟）。112113因此，这时可以是4点27分，也可以是5点23分。913113例6一只旧钟的分针和时针每65分钟（标准时间的65分钟）
重合一次。问这只旧钟一天（标准时间24小时）慢或快几分钟？分析前面已知标准钟每65标准分钟时针、分针重合一次，511旧钟每65分钟重合一次，显然旧钟快。本题的难点在于从旧钟两
针的重合所耗用的65标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度
（每标准分钟旋转多少格），进而推算出旧钟的针24标准小时旋转
多少格；它与标准准的针用24标准小时所走的格数的差就是旧钟
面上显示的比标准钟快的时间读数。设旧钟分针每标准分钟走格，那么，每走1格用标准分钟。x1x如用复合单位表示：旧钟分针速度为（格/标准分）。旧钟分针走60x格时针走5格，时针速度总是分针的，所以旧钟时针速度为112（格/标准分）。重合两针耗用65标准分钟，表示两次重合之112x
间针分针赶超了时针60格，列方程：60÷（－）=65x112x解此方程，=（1－）得=6065112xx12121311××标准时间一天有60×24=1440标准分，一天内旧钟分针走的格数为：×60×24，但是我们只须求出旧钟分针比标准分针多12121311××走了多少格，即减去1440个（标准钟的）格，所以有×60×24－60×2412121311××=（－1）×60×2412121311××=×60×241441431311−×=60241311××=10（旧钟格）10143但读者一定明白，这10只是旧钟上显示的多走的格数，也10143是旧钟的非标准分钟数，并非标准的分钟数。解：设这只旧钟的分针用标准时间1分钟走格，则旧钟的时x针速度为格/标准分。112x
根据旧钟的时针与分针每重合一次耗用65标准分钟，列方程得：60÷（－）=65x112x解出=x1441311×标准时间一天有60×24标准分，标准时间一天内旧钟分针走的格数为：×60×24格。1441311×这只旧钟的分针标准时间一天所走的格数与标准分针一天走的格数差为：×60×24－60×24=10（旧钟格）1441311×10143答：这只旧钟在标准时间一天内快10分钟（按旧钟上的时10143间）。习题八
1、在6点和7点之间，两针什么时刻重合？
2、现在是2点15他，再过几分钟，时针和分针第一次重合？
3、2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
4、在7点与8点之间（包含7点与8点）的什么时刻，两针
之间的夹角为120°？
5、在10点与11点之间，两针在什么时刻成一条直线？
6、一旧钟钟面上的两针每66分钟重合一次，这只旧钟在标准
时间的一天中快或慢几分钟？
7、李叔叔下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，
到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了。他上足发条后忘了拔
针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。8小时工作后夜里11点下班，李叔叔回到家里，一看才9点整。假定他上班和
下午在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？
精选-五年级下册数学专项训练 奥数第八讲 时钟问题 _ 全国版(含答案)
第 1 页 第八讲 时钟问题
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.
也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷
格数。
例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析 3点时分针指12，时针指3.分针在时针后5×3＝15（个）格.
例2 在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
分析 分两种情况进行讨论。
① 在顺时针方向上分针与时针成270°角：
在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针
②在顺时针方向上分针与时针成90°角：
在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，第 2 页 因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时
解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：
②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：
例3 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？
分析 分两种情况进行讨论。
①分针与时针的夹角为180°角：
当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走
（分钟）。
②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：
9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷(1-
解：①当分针与时针的夹角为180°角时：
数 的整除
华罗庚学校数学教材（五年级上）目录
上册
第01讲 数的整除问题
第02讲 质数、合数和分解质因数
第03讲 最大公约数和最小公倍数
第04讲 带余数的除法
第05讲 奇数与偶数及奇偶性的应用
第06讲 能被30以下质数整除的数的特征
第07讲 行程问题
第08讲 流水行船问题
第09讲 “牛吃草”问题
第10讲 列方程解应用题
第11讲 简单的抽屉原理
第12讲 抽屉原理的一般表述
第13讲 染色中的抽屉原理
第14讲 面积计算
第15讲 综合题选讲
下册
第01讲 不规则图形面积的计算（一）
第02讲 不规则图形面积的计算（二）01
第03讲 巧求表面积
第04讲 最大公约数和最小公倍数
第05讲 同余的概念和性质
第06讲 不定方程解应用题
第07讲 从不定方程的整数解谈起
第08讲 时钟问题
第09讲 数学游戏
第10讲 逻辑推理（一）
第11讲 逻辑推理（二）
第12讲 容斥原理
第13讲 简单的统筹规划问题
第14讲 递推方法
第15讲 综合题选讲
1. 有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截多少段？
2. 一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它裁成正方形纸片，正方形的边长最大可以是几厘米？一共可以裁多少块？
3. 一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。这个班共有多少人？
4. 三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？
5. 有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，连两端共有5处是杨树与柳树相对。这条道路长多少米？
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第 1 页 第八讲 时钟问题
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.
也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷
格数。
例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析 3点时分针指12，时针指3.分针在时针后5×3＝15（个）格.
例2 在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
分析 分两种情况进行讨论。
① 在顺时针方向上分针与时针成270°角：
在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针
②在顺时针方向上分针与时针成90°角：
在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，第 2 页 因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时
解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：
②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：
例3 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？
分析 分两种情况进行讨论。
①分针与时针的夹角为180°角：
当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走
（分钟）。
②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：
9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷(1-
解：①当分针与时针的夹角为180°角时：
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第八讲 时钟问题
与此刻“教师”一称最靠近的“老师”观点，最早也要追忆至宋元期间。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元
期间小学教师被称为 “老师”有案可稽。 清朝称主考官也为
“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。此刻领会，“教师”的含义比之“老师”一说，拥有资历和学问程度上较低一些的差异。辛
亥革命后，教师与其余官员同样依法律委任，故又称“教师”
为“教员”。 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题 .
钟面的一周分为 60
格.
这个工作可让学生疏组负责采集整理 ,登在小黑板上 ,每周一换。
要修业生抽闲抄写并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识
面,指引学生关注社会 ,热爱生活 ,所之内容要尽量宽泛一些 ,能够分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友情、爱心、探
索、环保等多方面。这样下去 ,除假期外 ,一年便能够累积 40 多则资料。假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的资料 ,写起文章来还用乱翻参照书吗 ?
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也存在着许多的学问 .这里列出一个基本公式： 在初始时辰需追赶的格数÷
格数。
察看内容的选择， 我本着先静后动， 由近及远的原则， 有目的、有计划的先安排与少儿生活靠近的，能理解的察看内容。随机
察看也是不行少的，是相当风趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边察看，一边发问，兴趣很浓。我供给的察看对象，注意形象传神，色彩鲜亮，大小适中，指引少儿多角度多层面地进行察看，保证每个少儿看获得，看得清。看得清才能说得正确。在察看过程中指导。 我注意帮助少儿学习正确的察看方法，即按次序察看和抓住事物的不一样特点要点察看，察看与说话相联合，在察看中累积词汇，理解词汇，如一次我抓住机遇，指引少儿察看雷雨，雷雨前天空急巨变化，乌云密布，我问少儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像海洋的波涛。有的孩子说“乌云跑得飞速。”我加以一定说“这是乌云滔滔。”当少儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着少儿听到雷声惊叫起来，我抓住机遇说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：
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第1页/共9页 第八讲 时钟问题
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.
这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?
第2页/共9页 也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷
格数。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓第3页/共9页 住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。 例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
华罗庚学校数学课本(5年级下册)第08讲 时钟问题
第八讲 时钟问题
时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题.钟面的一周分为60格.
也存在着不少的学问.这里列出一个基本公式：在初始时刻需追赶的格数÷
格数。
例1 现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？
分析 3点时分针指12，时针指3.分针在时针后5×3＝15（个）格.
例2 在10点与11点之间，钟面上时针和分针在什么时刻垂直？
分析 分两种情况进行讨论。
①在顺时针方向上分针与时针成270°角：
在顺时针方向上当分针与时针成270°时，分针落后时针60×（270÷360）=45（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格.因此，在这段时间内，分针要比时针多走50-45=5（个）格，而每分钟分针
②在顺时针方向上分针与时针成90°角：
在顺时针方向上当分针与时针成90°角时，分针落后时针60×（90÷360）=15（个）格，而在10点整时分针落后时针5×10=50（个）格，因此在这段时间内，分针要比时针多走50-15=35（个）格，所以到达这一时
解：①在顺时针方向上当分针与时针成270°角时：
②在顺时针方向上当分针与时针成90°角时：
例3 在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？
分析 分两种情况进行讨论。
①分针与时针的夹角为180°角：
当分针与时针的夹角为180°角时，分针落后时针60×（180÷360）=30（个）格，而在9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格.因此，在这段时间内分针要比时针多走45-30=15（个）格，而每分钟分针比时针多走
（分钟）。
②分针与时针的夹角为0°，即分针与时针重合：
9点整时，分针落后时针5×9=45（个）格，而当分针与时针重合时，分针要比时针多走45个格，因此到达这一时刻所用的时间为：45÷(1-
解：①当分针与时针的夹角为180°角时：
②当分针与时针的夹角为0°即分针与时针重合时：
五年级下册数学奥数专题讲座第八课(时钟问题)
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1 / 6 五年级下册数学奥数专题讲座第八课《时钟问题》难题练习及题目答案
五年级奥数下册：第八讲 时钟问题
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5 / 6 五年级奥数下册：第八讲 时钟问题 习题 五年级奥数下册：第八讲 时钟问题习题解答
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