高国燊《自动控制原理》(第4版)(章节题库 非线性控制系统的分析方法)

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图 7-5
解：将系统的结构图化为典型结构，其中线性部分的传递函数为
非线性部分的描述函数为
其中 M＝4，h＝1，即
作出当 T＝0.25 时线性部分的幅相频率特性曲线 G（jω），如图 7-6 所示。非线性特 性的负倒描述函数为
图 7-1 系统相轨迹及极限环（MATLAB）
2．设非线性系统结构如图 7-2 所示，试绘制 相轨迹和 c（t）曲线。已知 c（0） ＝－2。
解：由结构图可知
图 7-2 非线性系统结构图 ，系统的非线性环节部分的输出为
在比较点处有 e＝r－c＝－c，
因此整理可得微分方程为
由于初始条件为 c（0）＝－2，从Ⅲ区（c＜－1）出发，c（t）＝t＋c（0），经 1s 后

台
当负倒描述函数沿着振幅 A 增加的方向经过 B 点时，是由不稳定区域进入稳定区域，故交
点 B 是自振点，而 C 点则不是自振点。
由
解得 A＝1.1。所以当 T＝0.25 时，B 点对应的自振振幅和频率分别为 A＝1.1，ω＝12。 由图 7-5 得
所以系统输出振荡的振幅为
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（1）在 I 区（|c|＜1）
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积分可得
为一椭圆。 （2）在Ⅱ区（c＞1）
积分可得
为中心在（－1，0）的圆。 （3）在Ⅲ区（c＜－1）
积分可得
为中心在（1，0）的圆。
利用下列 MATLAB 程序，可得该非线性系统的 相轨迹和输出曲线分别如图 7-8 和
则 可得系统的特征方程为
特征根为 可知此时由于系统特征根为一对具有正实部的共轭复根，因此奇点（0，0）为不稳定焦点。
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（2）极限环讨论。令 x1＝rcosθ，x2＝rsinθ，并代入原方程后可得
经整理可知以极坐标变量 r 和 θ 所描述的运动方程为
环境下构建如图 7-3 所示的非线性系统，设定仿真时间为 14s，同时根据分段微分方程可
得相应的 相轨迹和输出曲线分别如图 7-4 所示，由图可知，输出 c（t）为三角型曲线。
图 7-3 非线性系统（Simulink）
图 7-4 系统的 相轨迹与系统的输出曲线（Simulink）） 3．非线性控制系统如图 7-5 所示，当 T＝0.25 时，系统是否存在自振荡？若存在自 振荡，则求出系统输出振荡的振幅和频率。并讨论参数 T 对系统自振荡的影响。
图 7-9 所示。
由图 7-8 可知，相轨迹从工区的 A 点（0，2）处出发，在 B 点
切换至Ⅱ区，
运动到 D 点
又切换至 I 区，运动到 F 点
处后进入Ⅲ区，然后运动到
H点
处后最终又切换回 I 区，并回到 A 点，形成一个循环。
系统输出振荡的振幅和频率分别为 Ac＝0.347，ω＝12。 为了讨论丁对自振的影响，令
由
，解得
，所以
由
，求得 T＝0.138
此时 G（jω）与
曲线相切，所以当 T＜0.138 时，G（jω）与
曲
线无交点，系统不产生自振荡。当 T＞0.1388 寸，G（jω）与
有两个交点，如
图 7-6 所示，B 点对应系统的自振点。T 越大，自振的振幅 A 越小，自振频率越高。
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进入Ⅳ区（－1＜c＜1，
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）。然后经过 3s 后 c（3）＝1，到达 I 区（c＞1），在开关线上变向跳跃至
，
又经过 2s 后进入Ⅱ区（－1＜c＜1， ），再经 2s 进入Ⅳ区，循环往复。在 Simulink
（3）MATLAB 仿真。设系统在封闭单位圆内和单位圆外的初始状态分别[0.0050]
T，[－2 1.5]T，利用下列 MATLAB 程序可绘制出系统的相轨迹图如图 7-1 所示。
MATLAB 程序：exe801.m
调用函数：sys801.m
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图 7-6 4．试绘制图 7-7 所示非线性系统 相轨迹图，并分析系统的运动特性。初始条件为
解：由系统结构图可知
图 7-7 非线性系统结构图 其中 u 为非线性环节的输出
在比较点处
综合各式并整理可得
在 I 区（|c|＜1），奇点为（0，0），其特征方程的特征根为两纯虚根，因此奇点 （0，0）为中心点。在Ⅱ区（c＞1），奇点为（－1，0），其特征方程的特征根为两纯虚根， 因此奇点（－1，0）为中心点。在Ⅲ区（c＜－1），奇点为（1，0），其特征方程的特征根 为两纯虚根，因此奇点（1，0）为中心点。下面利用积分法来求解系统相轨迹。
作出负倒描述函数
曲线，如图 7-6 所示。
当 T＝0.25 时，
令
，即
解得 ω＝2.2 和 ω＝12。
由图 7-6 可见，G（jω）与
相交于 B 和 C 点，B，C 点对应的角频率分别为
ω＝12 和 ω＝2.2。负倒描述函数
的 BC 段处在不被 G（jω）包围的稳定区域，
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第 7 章 非线性控制系统的分析方法
1．已知非线性系统的微分方程为
试分析系统奇点的类型，判断系统是否存在极限环。 解：（1）奇点分析。首先将非线性系统的微分方程写成一般形式为
其中 P，Q 表示非线性函数。令
联立可得系统的奇点为（0，0）。 为确定奇点类型，需计算奇点处的一阶偏导数及增量线性化方程，此时
因此可知，当 x12＋x22＝1 和 x12＋x22＝9 时，即 r＝1 和 r＝3 时，相轨迹为封闭圆。
①当 0＜r＜1 时， ，此时相轨迹向封闭单位圆发散逼近。
②当 1＜r＜3 时，
，此时的相轨迹向封闭单位圆收敛逼近。
③当 r＞3 时，
，此时的相轨迹发散至无穷远处。
综上所述可知，系统的封闭单位圆即为该非线性系统的稳定极限环。