【高三月考】2021届高三上学期月考试题(十二月) 数学(理)试题
2021年高三12月联考数学理含答案
2021年高三12月联考数学理含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1．若集合，且，则集合可能是A．B．C．D．2．复数在复平面上对应的点的坐标是A．B．C．D．3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A．B．C．D．4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是A．B．C．D．正视图侧视图5．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．C．D．6．已知数列为等比数列，，，则的值为A．B．C．D．7．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是A．B．C．D．8．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．P DB A CE9．已知，且为第二象限角，则的值为 ． 10．已知向量．若为实数，∥，则的值为 ．11．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 ． 12．若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ． 13． 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 ． （写出所有正确命题的编号）．①； ②； ③ ； ④； ⑤14． 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分分）已知：在中, 、、分别为角、、所对的边，且角为锐角， （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求及的长．16．（本小题满分分）已知：函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求 函 数的 解 析 式； （Ⅱ）在△中，角的 对 边 分 别 是，若的 取 值 范 围．17．（本小题满分分）已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．（Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）证明：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分13分）已知：数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求：，的值；（Ⅱ）求：数列的通项公式；（Ⅲ）若数列的前项和为，且满足，求数列的前项和．19．（本小题满分14分） 已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围． 20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点．①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一、选择题1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D二、填空题9．10．11．12．（1，2），13．①③⑤14．15．（本小题满分分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及所以sinC=．…………………………4分（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4 ………7分由cos2C=2cos2C-1=，及得OE C ABDP P DB AC E cosC= ………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2－b-12=0 …………………… 12分 解得 b=2 ……………………13分 16．（本小题满分分） 解：（Ⅰ）由图像知，的最小正周期，故 …… 2分将点代入的解析式得，又故 所以 ……………… 5分 （Ⅱ）由得所以……………………8分因为 所以 ………………9分 ……………………11分 ……………………13分 17．（本小题满分分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分 O 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO//PB ． ……………………2分EO 平面AEC ，PB 平面AEC ， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C ． （Ⅱ）证明：PA ⊥平面ABC D ． 平面ABCD ，∴． ……………………4分 又在正方形ABCD 中且， ……………………5分zyx E C ABDP ∴CD 平面PA D ． ……………………6分 又平面PCD ，∴平面平面． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A （0, 0, 0）, B （2, 0, 0）,C （2, 2, 0）,D （0, 2, 0）, P （0, 0, 2）,E （0, 1, 1） ． ……………9分 PA 平面ABCD ，∴是平面ABCD 的法向量，=（0, 0, 2）． 设平面AEC 的法向量为, ,则 即 ∴∴ 令,则． ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP , …………………12分二面角的正弦值为 …………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）令 ，解得；令，解得 ……………2分 （Ⅱ）所以，（）两式相减得 ……………4分 所以，（） ……………5分 又因为所以数列是首项为，公比为的等比数列 ……………6分 所以，即通项公式 （） ……………7分 （Ⅲ），所以所以)2()323()222()121(321n n T nn -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分令 ①13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②①－②得……………11分112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以 ……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：． 依题意，令，解得 ．经检验，时，符合题意． ……4分 （Ⅱ）解：① 当时，．故的单调增区间是；单调减区间是． …………………5分 ② 当时，令，得，或． 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和． 当时，的单调减区间是． 当时，，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和．③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是． 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．所以，在上的最大值是时，的取值范围是． …………14分 20．（本题满分分）解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分 。
高三数学12月月考试题理含解析试题_1
中学2021级高三上学期12月月考试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理工类〕〔考试用时：120分全卷满分是：150分〕考前须知：1.答题时，先将本人的姓名、准考证号填写上在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的规定的正确位置。
2.选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的答题：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置需要用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.在在考试完毕之后以后，请将答题卡上交；第Ι卷〔选择题局部，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．，，那么A∩B=〔〕A. B. C. 〔0，1] D. 〔0，3]【答案】D【解析】由解得，所以，由解得，所以，故，选D.是虚数单位，复数为纯虚数，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，应选A。
3.假设命题：“，〞为假命题，那么的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】原命题假设为假命题，那么其否认必为真，即ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．【详解】∵命题〞为假命题，命题“∀x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0〞为真命题，当a＝0时，﹣2≤0成立，当a≠0时，a＜0，故方程ax2﹣ax﹣2＝0的△＝a2+8a≤0解得：﹣8≤a＜0，故a的取值范围是：[﹣8，0]应选：D．【点睛】此题考察了命题真假的判断与应用，其中将问题转化为恒成立问题，是解答此题的关键．4.：，，假设函数和有完全一样的对称轴，那么不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以因此，选B.5.执行程序框图，假设输入两个数是、，那么输出的=( )A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件，退出循环，输出的值是4．应选C．点睛：此题主要考察了循环构造的程序框图，考察了数列的求和，属于根底题．6.某多面体的三视图如下图，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为的直角梯形，那么该多面体的体积为〔〕A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】由题可知，，所以，应选C。
2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科） Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化评：简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．34187 858B 薋23556 5C04 射22578 5832 堲38930 9812 頒38483 9653 陓234549 86F5 蛵37228 916C 酬39823 9B8F 鮏?28745 7049 灉35973 8C85 貅24280 5ED8 廘u。
2021-2022年高三上学期12月月考数学理试题
2021年高三上学期12月月考数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（xx•江西）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．分析：不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．解答：解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．2．（5分）已知t＞0，若∫0t（2x﹣2）dx=8，则t=（）A．1B．2C．4D．4或2 考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出一次函数的f（x）=2x﹣2的原函数，然后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．解答：解：∫0t（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）|0t=t2﹣2t=8，（t＞0）∴t=4或t=﹣2（舍）．故选C．点评：此题考查定积分的性质及其计算，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数，属于基础题．3．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考奇偶函数图象的对称性．点：专题：数形结合．分析：确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．解答：解：设f（x）=，则函数的定义域为R∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x）∴函数为奇函数∵，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增故选C．点评：本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．4．（5分）（xx•泰安二模）下列命题中的真命题是（）A．B．∀x∈（0，π），sinx＞cosxC．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1考点：特称命题；全称命题．分析：选项A应把sinx+cosx化积求值域；B选项可取特值排除，C命题可用幂函数的单调性；D分析较为困难，可建立辅助函数，求导分析单调性解决．解答：解：由sinx+cosx=，最大值为小于x不存在∴A不正确；B选项（特值）可取x=，sin=cos，∴不是全部都符合，排除B．C选项，∀x∈（﹣∞，0），x一旦选定就是一个具体值，运用幂函数在幂指数小于0时为减函数，都有2x＞3x，排除C．D选项分析：可令辅助函数y=e x﹣x﹣1，y′=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时恒大于0，∴函数f（x）=e x﹣x﹣1在0，∞）上位增函数，∴f（x）＞0，即e x﹣x﹣1＞0，即e x ＞x+1．得到结论正确．故选D点评：对于全称命题和特称命题排除法是解决的常用方法，全称可以举反例验证，或者结合已知条件证明出来5．（5分）（xx•济宁二模）对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A、B、C都不正确，只有D正确，从而得到结论．解答：解：由于平面α和共面的直线m，n，若m，n与α所成的角相等，则直线m，n平行或相交，故A不正确．若m∥α，n∥α，则，直线m，n平行或相交，故B不正确．若m⊥α，m⊥n，则n与平面α平行或n在平面α内，故C不正确．若m⊂α，n∥α，根据直线m，n是共面的直线，则一定有m∥n，故D正确，故选D．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题．6．（5分）（2011•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．解答：解：∵S==2∴a=1由余弦定理得=25∴b=5故选A点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．7．（5分）（xx•莆田模拟）若点（m，n）在直线4x+3y﹣10=0上，则m2+n2的最小值是（）A．2B．C．4D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，由此能求出m2+n2的最小值．解答：解：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直线与两轴交于A（，0），B（0，），直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边AB==，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，∵△OAB面积=×OA×OB=×AB×h，∴h===2，∴m2+n2的最小值=h2=4，故选C．点评：本题考查点到直线的距离的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．（5分）（xx•郑州二模）如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题．分析：先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．解答：解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S===．故答案选D．点评：本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．9．（5分）（xx•泰安二模）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E （0，），F （0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故选A ．点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．10．（5分）若函数，若af （﹣a ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣1，0）∪（1，+∞）D ． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析： 由已知中函数，分别讨论a ＜0时和a ＞0时不等式af （﹣a ）＞0的解集，最后综合讨论结果，可得答案．解答： 解：当a ＜0时，﹣a ＞0若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=log 2（﹣a ）＜0，解得0＜﹣a ＜1∴﹣1＜a ＜0当a ＞0时，﹣a ＜0若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=＞0，解得0＜a ＜1综上实数a 的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）故选A点评： 本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的方法．11．（5分）（xx •泰安二模）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y=sin （ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．考由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出ϕ的值即可．解答：解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D 关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．故选B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（xx•泰安二模）已知，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b ＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案．解答：解：∵在（0，+∞）上是减函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）时，b＜x0＜c，此时B，C成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＜a，此时A成立．综上可得，D不可能成立故选D．点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题纸的相应位置．13．（4分）（xx•泰安二模）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．专计算题．分析：由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．14．（4分）（xx•泰安二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C 的对角线相交于点A，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：确定三棱柱为直三棱柱，取AC中点D，连接BM，DM，则可得∠BMD为BM与平面AA1C1C所成角，由此可求结论．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形∴三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱取AC中点D，连接BM，DM，则BD⊥平面AA1C1C，∴∠BMD为BM与平面AA1C1C 所成设正方形的边长为2a，则DM=a，BM=a，∴tan∠BMD=∴∠BMD=故答案为：点评：本题考查直线与平面所成的角，确定三棱柱为直三棱柱，正确作出线面角是关键．15．（4分）（xx•宝鸡模拟）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4．点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（4分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示x ﹣1 0 2 4 5F（x） 1 2 1.5 2 1下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：由导函数的图象得出单调性和极值点，再由对应值表得出极值和最值，进而得出函数的值域，并画出图象．即可判断出答案．解答：解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，由表格可知：函数f（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：③根据以上知识可得：当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）﹣a有2个3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．故④正确．综上可知①②④正确．故答案为①②④．点评：由导函数的图象和对应值表得出单调性、极值、最值及值域并画出图象是解题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置．17．（12分）（xx•泰安二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）设数列的首项为a1，利用S5=35，且a2，a7，a22成等比数列，等差数列{a n}的公差d≠0，求得数列的首项与公差，即可求得数列{a n}的通项公式；（II）先求出S n，再用裂项法，可求数列的前n项和．解答：解：（I）设数列的首项为a1，则∵S5=35，且a2，a7，a22成等比数列∴∵d≠0，∴d=2，a1=3∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1；（II）S n=∴∴T n===﹣点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，正确求通项，利用裂项法求数列的和数关键．18．（12分）（xx•泰安二模）已知函数．（I）若，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值与单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；（II）将函数f（x）和f（﹣x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=sin（2x+）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．解答：解：=1+2sincos﹣（1﹣cosx）∴f（x）=sinx+cosx（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=（II）∵f（x）•f（﹣x）=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，f2（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x∴函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）=1+sin2x+cos2x，化简，得数F（x）=sin（2x+）+1当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为+1令﹣+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ＜x＜+kπ∴函数F（x）单调递增区间为（﹣+kπ，+kπ）．点评：本题将已知三角函数式化简，并求与之相关的另一个函数的最值和单调区间，着重考查了同角三角函数基本关系、三角函数的最值和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．19．（12分）（xx•泰安二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，点E是棱PB的中点．（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；（II）求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）证明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可证平面ECD⊥平面PAD；（II）过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角，先利用AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE，在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．解答：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面PAD；（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=在Rt△CBE中，CE==，∵CD=，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin60°=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==．点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确作出面面角，求出三角形的三边，利用余弦定理求面面角．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（12分）（xx•泰安二模）已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程组，即可求得椭圆的方程；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．解答：解：（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则△=16k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0，∴k2＜设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=﹣∴AB的中点的坐标为（）∴AB的垂直平分线的方程为y+=﹣（x﹣）将点C（m，0）代入可得0+=﹣（m﹣）∴m=∵0＜m＜2∴恒成立∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，求出AB 的垂直平分线的方程是关键．22．（14分）（xx•泰安二模）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a＞．（I）求证f（x）≥1+lna；（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），求实数a 的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；（II）首先确定g（x）∈[，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：（I）证明：求导数可得f′（x）=a﹣（x＞0）令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜∴x=时，函数取得最小值∴f（x）≥f（）=1+lna；（II）解：g′（x）=＞0，∴函数g（x），当时，函数为增函数，∴g（x）∈[，2]当时，函数f（x）在上单调减，∴f（x）∈[，ae﹣1]∴，无解；当时，函数f（x）在上单调减，在上单调增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤当时，函数f（x）在上单调增，∴f（x）∈[，ae﹣1]，∴，无解综上知，＜a≤．点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2021年高三上学期12月月考数学试卷 含解析
2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）= ．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a= ．3．双曲线的两条渐近线方程为．4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．5．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．8．在等比数列{an }中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为．9．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则= ．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（x﹣1）≤2的解集是．13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．xx学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）={2，4，6} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得集合∁U（A∩B）．【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，故答案为：{2，4，6}．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a 的值．【解答】解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得a=2，故答案为2．3．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y 得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．将C的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：45．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，解之可得x≤故函数的减区间为：故答案为：7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．8．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，若q=1，则，不符合题意若q≠1∴两式相减整理可得，∴∴q=3故答案为：3法二：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减可得，a6﹣a5=2（s5﹣s4）=2a5即a6=3a5∴q=3故答案为：39．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出A、B、F的坐标，由AB⊥BF及a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．【解答】解：由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F（c，0），∵AB⊥BF，∴，∴（a，b）•（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得e=，故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC的中点为O，由•=4，求得=．再根据=（+）•（+）=﹣，计算求得结果．【解答】解：如图，设BC的中点为O，由•=4、||=3，可得（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=4，求得=．则=（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=6，故答案为：6．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f （x﹣1）≤2的解集是[﹣1，3] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数当x≥0时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=2x﹣2，∴此时函数单调递增，由f（x）=2x﹣2=2得2x=4，则x=2，即不等式f（x﹣1）≤2等价为f（x﹣1）≤f（2），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式等价为f（|x﹣1|）≤f（2），即|x﹣1|≤2，则﹣2≤x﹣1≤2即﹣1≤x≤3，则不等式的解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为[] ．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．（2）转化sinB+sinC为B的正弦函数，条公交的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值．【解答】解：（1）因为acosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB．从而sinB=2sinBcosA．…因为sinB≠0，所以cosA=．因为0＜A＜π，所以A=．…（2）sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+sincosB﹣cossinB=sinB+cosB=sin（B+）．…因为0＜B＜，所以＜B+＜．所以sinB+sinC的取值范围为（，]．…16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接A1B和A1C，易证EF∥BC，利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC；（2）依题意，可证EF⊥AA1，EF⊥AD，而AA1∩AD=A，从而可证得EF⊥平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD．【解答】解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C 对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC…3分又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC；…6分（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，又EF∥BC，∴EF⊥AA1…8分又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．由EF∥BC得EF⊥AD…10分而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD…14分17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出BC，AC，可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【解答】解：（1）在△ABC中，，则，…又，则，…所以，运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t（θ）====，其定义域为{θ|60°＜θ＜120°}．…（2）=，…令t'（θ）=0，则，当时，t'（θ）＞0；当时，t'（θ）＜0，…所以，当时，因为60°≤θ≤120°，所以时，t（θ）取得最小值，此时，最小值为．答：运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由点的坐标得到向量的坐标，由数量积等于5，结合离心率即隐含条件联立求解a，b c的值，则椭圆的方程可求；（2）由题意求出线段FC的方程，设出P点坐标，代入数量积公式后化为关于x 的表达式，利用配方法求最值，并求出取得最值时的P点坐标；（3）设出M点坐标，由把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示，把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式，由m得范围进一步求解λ的范围．【解答】解：（1）设F（﹣c，0）．∵A（a，0），B（0，﹣b），C（0，b），∴．∵，∴ac+b2=5①．又，a2=b2+c2②．由①②得．∴椭圆E的方程为；（2）由题意可得线段FC的方程为．设P（x，y），则．=．当取得最小值时，，此时点P的坐标为；（3）设M（0，m），由，得N（﹣1﹣λ，﹣λm）．代入椭圆的方程得：3（﹣1﹣λ）2+4（﹣λm）2﹣12=0．即4（λm）2=12﹣3（1+λ）2．∵，∴0≤4（λm）2≤12λ2．则0≤12﹣3（1+λ）2≤12λ2．解得：﹣3≤λ≤﹣1（舍）或．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定．【分析】（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即①，得②，两式作差得（n﹣1）a n+1=na n③，从而有na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．【解答】（1）解：令n=1，则a1=S1==0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；（2）证明：由，即①，得②，②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n③，于是，na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1，又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n=n﹣1．（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；【解答】解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立消去y得，2x2﹣5x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立并消去y得，2x2﹣5x+2=0，∴x1+x2=，∴AB中点的横坐标为=，纵坐标为，∴=化为极坐标为．方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，∴线段AB中点的极坐标为，即．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）确定一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）确定随机变量X所有可能的取值，求出相应的概率，即可求出随机变量X 的分布列与数学期望．【解答】解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P==∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==；（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==∴随机变量X的分布列为：X12 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q 关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．xx年1月17日p33233 81D1 臑21347 5363 卣25727 647F 摿33148 817C 腼I40462 9E0E 鸎bt37336 91D8 釘38676 9714 霔{24026 5DDA 巚d36890 901A 通。
2021年高三12月月考数学(理)试题
2021年高三12月月考数学（理）试题本试卷共21小题,满分150分,考试用时120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.若集合24{|90,*},{|*},A x x x x NB y N A By=-<∈=∈则中元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（）A. B. C.0 D.13.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A.30人,30人，30人B.30人，45人，15人C.25人，50人，15人D.30人，50人，10人4.在等差数列{a n}中，若的值为（）A．20 B．30 C．40 D．505．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）. . .6. 若点(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是( ).[2,1].[2,1].[1,2].[1,2]A B C D----7. 防疫站有A、B、C、D四名内科医生和E、F两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控。
两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A只能去乙地。
则不同的选派方案共有( )A．种B．种C．种D．种8.设表示不超过的最大整数(如,),对于给定的,定义,,则当时,函数的值域是( )二、填空题(每小题5分, 其中从14－15题中任选一题，共30分)9. 已知向量则实数k等于______.10. 按下列程序框图来计算：如果输入的x = 5, 应该运算_______次才停止.11.已知那么12. 从圆外一点作这个圆的切线，设两条切线之间所夹的角为，则．13．为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD的造价为40元/m2，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/ m2．两圆及两个半圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的面积达到最大时，______ .㈡选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程）在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是___ .15.（几何证明选讲）如图，是圆O的内接三角形，圆O的半径，，，是圆的切线，·则_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(满分12分)已知函数．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间．17. (满分12分)某次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2) 求运动员甲参加测试的次数ξ 的分布列及数学期望(精确到0.1).18、（满分14分）如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（Ⅰ）求证：平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．19、（满分14分）已知一动圆M ,恒过点F (1,0)，且总与直线相切, （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）在曲线C 上是否存在异于原点的两点,当时,直线AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.20. (满分14分）设函数. (1)求的单调区间;(2)若当时,(其中不等式恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:在区间[0,2]上的根的个数.21.(满分14分)设函数.若方程的根为0和2,且. (1). 求函数的解析式;(2) 已知各项均不为零的数列满足:为该数列的前n 项和),求该数列的通项; (3)如果数列满足.求证:当时,恒有成立.CE连州中学xx 届高三级12月月考数学（理科）答案一、选择题:DABC DCAD（2）单调递增，故，…………10分即，…………… 11分从而的单调增区间为．…………… 12分ξ 1 2 340.70.210.063 0.027………… 10分4.1027.04063.0321.027.01≈⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………… 12分是直角斜边AC 上的中线，∴ (9)分方法二：(2)解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则133,0),(0,0,1),(,(1,0,1),(1,3,0).22C A E BA CD =-=-， …… 9分ACDOBEzx19、解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离. …………2分所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,, ……4分所以所求的轨迹方程为……………6分20.解:(1)函数的定义域为. ……… 1分由得; ……… 2分由得, ………3分故时,不等式恒成立. ………9分时,方程有两个不等的解.………14分21.(1)设()⎪⎩⎪⎨⎧+==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=+∴=++-=-+21,1212,01,22cbababcacxxbxcbxax得…2分(2)由已知得……5分两式相减得,……6分当.若……8分.•c>31006 791E 礞#t36811 8FCB 迋29751 7437 琷40021 9C55 鱕39043 9883 颃28943 710F 焏28497 6F51 潑。
2021年高三上学期12月月考数学试卷(理科)含解析)
2021年高三上学期12月月考数学试卷（理科）含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A 到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x24．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．3108．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于．12．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．xx学年北京市海淀区科迪实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先后分析“x＞2”⇒“x2＞4”与“x2＞4”⇒“x＞2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：当x＞2时，x2＞4成立，故“x＞2”⇒“x2＞4”为真命题故“x＞2”是“x2＞4”的充分条件；当x2＞4时，x＜﹣2或x＞2，即x＞2不成立故“x2＞4”⇒“x＞2”为假命题故“x＞2”是“x2＞4”的不必要条件；综上“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件；故选A3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．4．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义可知，B中不满足y值的唯一性．【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的每一个x，都要唯一的y与x对应，A，C，D满足函数的定义．B中当x＞0时，对应的y值有两个，所以不满足函数的定义，所以B不是函数的图象．故选B．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．310【考点】函数的值．【分析】法一：根据题意可得f（3）=f（10lg3），代入已知函数解析式可求法二：利用换元法可求出函数解析式，然后把t=3代入即可求解函数值【解答】解：法一：∵f（10x）=x，∴f（3）=f（10lg3）=lg3故选B法二：∵f（10x）=x，令t=10x，则x=lgt∴f（t）=﹣lgt∴f（3）=lg3故选B8．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x）恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），可得此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1，故选：C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是7．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=2，根据导数在x=0和x=2两侧的符号，判断故f（0）为极大值．【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，0）是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）是增函数，∴函数f（x）在x=0时取得极大值7，故答案为：7．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．【考点】幂函数的性质．【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，∴=（﹣2）α，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∴f（x）=27=x﹣3，解得x=．故答案为：．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于5．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故答案为：512．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x=﹣a，又∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴﹣a≥2，∴a≤﹣，故答案为（﹣∞，﹣]．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是[1，+∞）．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由于函数=，利用复合函数的单调性的判定方法即可得出．【解答】解：函数=，利用复合函数的单调性的判定方法可知：当x≥1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=相切时的斜率，即可得到a的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故答案为（0，）．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A ⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…若，则，即，即﹣2＜x＜3．…因为A∩B=A，即A⊆B，所以．解得0≤a≤1，…故实数a的取值范围为[0，1]…16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f（x）的导数，可得P处切线的斜率，可得切线方程；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），代入f（x）可得n=m3﹣3m，求得切线的斜率和方程，代入（1，﹣2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（I）函数f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，点P（1，﹣2）处的切线斜率为3﹣3=0，则与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程为y=﹣2；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），且n=m3﹣3m，可得切线的斜率为3m2﹣3，切线的方程为y﹣n=（3m2﹣3）（x﹣m），点P（1，﹣2）代入上式，可得﹣2﹣m3+3m=（3m2﹣3）（1﹣m），整理可得2m3﹣3m2+1=0，即为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=﹣（1舍去），可得切线的斜率为﹣，则所求切线的方程为y+2=﹣（x﹣1），即为9x+4y﹣1=0．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t ∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t﹣t的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：0 （0，+∞）x （﹣∞，0）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0 （0，+∞）0）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，代入Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当．…将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，可得，解得a=19，b=200．∴Q=﹣t2+19t+200，（1≤t≤20，t∈N*）；（2）Q=﹣t2+19t+200=﹣（t﹣）2+，∵1≤t≤20，t∈N*，∴t=9或10时，Q取得最大值290万元．精品文档xx年11月30日Q29452 730C 猌30791 7847 硇27496 6B68 歨37042 90B2 邲`26773 6895 梕x39106 98C2 飂27219 6A53 橓31600 7B70 筰33470 82BE 芾;D实用文档。
2021年高三12月份月考试题数学理
2021年高三12月份月考试题数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、考号、考试科目、班级填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（客观题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}2|2,,|,x M y y x R N y y x x R M N ==∈==∈,则等于（A ） （B ） （C ）（D ）（2）曲线在处的切线斜率为 （A ）0 （B ） （C ）3（D ）（3）一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，该球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是 （A ）（B ）（C ）8（D ）24（4）不等式的解集为（A ）[-5.5] （B ）[-4,4] （C ） （D ）（5）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（6））函数（其中A＞＜）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（A）向右平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向左平移个长度单位（（7）如图，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（8）在等差数列{}中，，其前n项和，若，则的值为(A)xx （B）xx （C）-xx （D）-xx（9）函数的大致图象是（10）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题是（A）（B）（C）（D）（11）已知函数，若且，则的取值范围（A）（B）（C）（D）（12）已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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不共线，则
，解得
，
故与
的夹角为锐角时，实数 的取值范围为：
.
18．【答案】（1） ，（2）最大值为 ，最小值为
【解析】（1）因为
，
所以 所以
，解得
，
，
所以
的最小正周期为
，
（2）由
，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
在
上的最大值为 ，最小值为
19．【答案】（1）
；（2）
．
【解析】（1）在
中，由正弦定理
，得
，即
，
，
中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围为___________.
16．锐角三角形
中，若
，则 的范围是
；
19（本小题满分 12 分）在锐角
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．
（1）求角 的大小；
（2）求
的面积．
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
22．【答案】（1）
（
），
；（2） .
【解析】（1）由
得
，
将
（ 为参数）消去参数 ，
得直线 的普通方程为
由
得
将
，
（
）.
，
代入上式，
得
，
所以曲线 的直角坐标方程为
（2）由（1）可知直线 的普通方程为
.
（
），
化为极坐标方程得
（
），
当
（
）时，设 ， 两点的极坐标分别为
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
范围是（ ）
A．
B．
10．函数
，若方程
有三个不同的实根，则实数 k 的取值
C． D． 的部分图象如图所示，
的值为（ ）
A．0 B． C． D．
11．给定两个单位向量 ， ，且
，点 在以 为圆心的圆弧 上
运动，
，则
的最小值为（ ）
A．
B． C． D．
12．已知实数 ， ， 满足
并求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）设
，求数列 的前 项和 .
21（本小题满分 12 分）已知函数
.
（1）若曲线
存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围；
（2）求
的单调区间；
（3）设函数
，求证：当
时，
在
上存在极小值.
选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。
此
卷
只
装
订
不
密
封 座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
【高三月考】
2021 届高三上学期月考试题（十二月）
数学（理）试题
一、选择题：(每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.)
1．复数
的模为
（）
A．1 B．2 C． D．
2．下列四个函数，在
处取得极值的函数是
（）
22（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为
（ 为参
数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线
（
）与直线 和曲线 分别交于 ， 两点，求
的值.
23（本小题满分 10 分）设函数
（1）求 的值；
，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13．设集合
，
集合为___________.
14．已知向量 、 满足
，
，若
，
，则实数 的取值
，则向量 与 的夹角为______.
15．若三个关于 x 的方程
.
又因为
，所以
.
因为
为锐角三角形，所以
.
（2）在
中，由余弦定理
或
.
，得
，即
.解得
当
时，因为
因为
，又
题意.所以
的面积
，所以角 为钝角，不符合题意，舍去.当
时，
，所以
为锐角三角形，符合
.
考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．
20．【答案】（Ⅰ）数列
不是等比数列.
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）数列
不是等比数列.，由
A．2020 年 B．2021 年
C．2022 年 D．2023 年
5．在公差 不为零的等差数列 中，
，且 ， ， 成等比数列，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．为了得到函数 有的点（ ）
的图象，只需把函数
，
的图象上所
A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
（2）若
（
），求证：
（ ）的最小值为 1. .
理科参考答案
1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．A 11．B 12．D
二、13．
14． 15．
16．(
三、17．【答案】（1）
或
（2）
【解析】（1）因为
，且
，
则
，
又
，所以
，即
，
故
或
；
（2）由
，则
，
由
，解得
，
又与
（
）可知，
当
时，
，两式相减得
，即
，所以
由
（
）得当
时，
，
，
所以数列
是从第 2 项起，以 2 为公比的等比数列，所以
（Ⅱ）
，
所以
.
21．【答案】(1)
.(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】（1）由
得
.
由已知曲线
存在斜率为-1 的切线，所以
即
存在大于零的实数根，因为
所以实数 a 的取值范围
.
存在大于零的实数根，
17（本小题满分 12 分）已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中
.
（1）若
，且
，求 的坐标；
（2）若
，与
的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
18（本小题满分 12 分）已知函数
，满足
，
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在
上的最大值和最小值．
20（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且
在
时单调递增，
（2）由
可得
当
时，
，所以函数
的增区间为
；
当
时，若
，
，若
，
，
所以此时函数
的增区间为
，减区间为
.
（3）由
及题设得
，
由 所以
可得
，由（2）可知函数
在
，取
，显然
，
上递增，
，所以
，
，所以存在
满足
在区间（1，+∞）上的情况如下：
，即存在
满足
－
0
+
↘
极小
↗
所以当-1<a<0 时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.
①
②
③
④
A．① ② B．② ③ C．③ ④ D．① ③
3．不等式
的解集是
，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超 过 200 万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)（ ）
B．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
D．向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变）
7．在
中，
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
8．命题“
”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）