中职数学教学课件：第2章 不等式
中职数学基础模块上册课件
1.2.2 集合相等
一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个 集合相等．集合A等于集合B，记作 ，读作“A等于B”．
由集合相等的定义可知，x | x2 3x 2 0 1，2 ．
显然，若集合A B ，则A B 且B A ．
例3 判断集合A x |1 x 4 ，x N与 B x | x2 5x 6 0
解 （1）由条件 p ：x 1成立，能够推出结论 q ：| x| 1 成 立，因此p是q的充分条件；而由结论q ：| x| 1 成立，不能推出 条件 p ：x 1成立，因此p不是q的必要条件．
（5） b是集合a ，b ，c 的元素，因此b a ，b ，c ．
（6）正整数都是有理数，因此N Q．
（7）0不是集合1，2 的元素，因此0 1，2．
例2 写出集合A 2 ，4 ，6的所有子集和真子集．
解 集合A的所有子集为
，2，4 ，6，2，4，2，6，4，6，2，4，6． 在上述子集中，除了集合A自身2 ，4 ，6 外，其余的都是
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有 元素组成的集合称为A在全集U中的补集，记作 U A ，读作“A在 U中的补集”．
集合A在全集U中的补集 可用描述法表示为
U A x | x U 且 x A
也可用图1-6中的着色部分来 表示．
图1-6
如果全集U为实数集R，可以将 U A 中的U省略，简记 为 A ，读作“A的补集”．
（2）由于小于10的正奇数包括1，3，5，7，9五个数， 它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．
（3）方程 x2 9 0 的解为3和－3 ，它们是确定的对象， 因此可以构成一个集合．
（4）解不等式x 7 0 ，可得 x 7，它们是确定的对象， 因此可以构成一个集合．由方程的所有解组成的集合称为这 个方程的解集；由不等式的所有解组成的集合称为这个不等 式的解集．显然，方程的解集和不等式的解集都是数集．
中职数学不等式课件
第二单元不等式一教学要求1.理解不等式的基本性质.2.掌握区间的概念.3.掌握一元二次不等式的解法.4.了解含绝对值的不等式｜ax＋b｜<c(或>c)的解法.5.通过解一元二次不等式的教学，培养学生计算技能.二教材分析和教学建议(一) 编写思路1.结合中职学生思维特点，注重在知识的浅层挖掘，便于学生对所学知识的掌握与应用.教材对不等式的性质，只集中介绍了三条最重要与最常用的，并对其进行了证明.2.经历从实际情境中抽象出区间、一元二次不等式等模型的过程.3.通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系.4.严格控制不等式的性质，把绝对值不等式控制在一元一次的范围内.对于绝对值不等式｜ax+b｜>c或｜ax+b｜<c型，绝对值符号内限定为x的一次式,而c 则不出现负数或零，同时使练习及习题的难度与例题相一致，以便保证各种水平的学生都能达到会解绝对值不等式的要求.本单元教学的重点是一元二次不等式和含绝对值的一元一次不等式的解及解的区间表示.本单元教学的难点是不等式基本性质的证明，含绝对值的一元一次不等式的解法.(二) 课时分配本单元教学约需8课时，分配如下(仅供参考)：2.1不等式的基本性质约2课时2.2区间的概念约1课时2.3一元二次不等式约3课时2.4含绝对值的不等式约1课时归纳与总结约1课时(三) 内容分析与教学建议2.1 不等式的基本性质1.本节内容包括两部分，前半部分介绍实数大小的基本性质，后半部分证明不等式的三个基本性质。
2.实数大小的基本性质a-b>0⇔a>b，a-b=0⇔a=b,a-b<0⇔a<b,反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系，它是本单元整个内容的出发点，是证明不等式基本性质的依据.3.求差比较法是实数大小的基本性质的一种应用.求差比较法应分为四个步骤，即作差——变形——判断正负——确定大小关系.在教学中，应针对每个例题分别指出这四个步骤.4.例1和例2是两个比较分数大小的例题.在“变形”这一步涉及到分数通分运算，讲前需进行适当复习.例3是一个比较代数式大小的例题，比较两个代数式的大小，实际上是比较它们值的大小，因此仍然是在比较两个实数的大小，应使学生建立这种概念.5.学生在初中已经知道了不等式的一些性质.这一节教材，只总结了三个基本性质并给出证明.性质1通常叫做不等式的传递性；性质2叫做不等式加法的单调性或保序性，为了便于学生理解，不增加不必要的学习障碍，教材把它叫做加法法则；性质3通常叫做不等式乘法的单调性，同样的理由，教材中把它叫做不等式的乘法法则.至于它们的几个重要推论，则安排在“练习”中.第31页练习第3题的证明：a>b，c>d⇒a+c>b+c,b+c>b+d⇒a+c>b+d.第31页练习第4题的证明：a>b>0,c>d>0⇒ac>bc,bc>bd⇒ac>bd.这两道证明题可以分别看做是性质2和性质3的推论.6.不等式性质的研究是培养类比思维能力很好的载体.我们知道，等式的性质是从数的运算角度提出的，研究等式在运算过程中的不变性，学生比较熟悉，例如，“等式两边同加(减)一个数，等式仍然成立”“等式两边同乘(除)一个非零数，等式仍然成立”等.由于不等式也是研究实数的关系，认知基础和等式一样，是关于数及其运算的基础知识，以及研究数的性质时所用的基本方法.因此，对不等式的研究，联系数的运算(加、减、乘、除、乘方、开方等)来思考不等式在运算过程中的变化规律是非常自然的.在开始不等式性质探究之前，对实数大小的基本性质的交待是必要的.因为不等式的基本性质的讨论是以实数大小关系为出发点，借助于实数大小的基本性质研究不等式，其基本思想是将个别的、互不相同的实数大小比较问题，转化为同一的与0的大小比较问题(判断两个实数差的符号)，即0为实数比较大小提供了“标杆”，所以，这一思想简单但非常重要，是不等式性质证明的基础.教学中可以先让学生思考等式的基本性质及其得出过程(实际上是研究作加法、乘法等运算时等式是否仍然成立)，然后再引导学生思考如何研究不等式的基本性质，并猜想有哪些不等式的基本性质.这里，需要明确类比等式与不等式中运算的规律性，以及等式与不等式的差异，一般来说，不等式的性质比等式要“坏”一些.例如，等式两边同乘一个数，等式仍然成立；但对不等式却不成立，只有当两边同乘一个正数时，不等号保持不变，而当两边同乘一个负数时，不等号变向.对研究方法的指导是重要的，通过与等式的性质的类比，不但可以得到一些不等式基本性质的猜想，更重要的是对研究方法的启发，可以使学生感受到数学知识发生发展的自然而亲切，获得不等式基本性质的水到渠成.数学教学最重要的是要使学生学会思维，学会数学思考.思维能力的培养不是一朝一夕的事情，需要长期地潜移默化，并落实在每一节课堂上.2.2 区间的概念在集合一章中，我们用集合的描述法来表示不等式的解集，并可以把不等式的解集在数轴上表示.不等式的解集还有另一种表示形式，这就是区间，将它们归纳起来，可有下面两种情况：(1)a,b∈R且a<b(2)集合名称区间数轴表示{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2) a∈R集合区间数轴表示｛x｜x>a} (a,+∞)｛x｜x<a｝(-∞，a)｛x｜x≥a｝［a,+∞)｛x｜x≥a｝(-∞,a］R (-∞，+∞)2.3 一元二次不等式本节教材首先从实际情境中抽象出一元二次不等式的定义及标准形式.其次，给出了一元二次不等式的分解因式解法.第一步达标把一元二次不等式整理成标准形式，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0).如果利用一元二次方程的根分解二次三项式，则将二次项系数化为1.第二步分解把标准形式左边的二次三项式分解因式，写成关于未知数的两个因式的积的形式.第三步化组利用乘积的符号法则，转化成两个一元一次不等式组.第四步求组解分别解每个一元一次不等式组，求出它们的解集.第五步定原解每个一元一次不等式组的解集的并集，就是原一元二次不等式的解集.综上所述，用因式分解法解一元二次方程的步骤为:达标——分解——化组——求组解——定原解.这个步骤可以引导学生自己总结出来.需要指出的是，有两种情况，它的解是不能通过因式分解求得的，即当a>0，ax2+bx+c>0时，解集为整个实数域R；当a<0，ax2+bx+c>0时，解集为空集.这是用因式分解求解一元二次不等式不能解决的问题，因而，因式分解方法具有一定的局限性.利用因式分解法求解一元二次不等式除了具有上述所说的局限性之外，还容易使教师强调十字相乘法，而十字相乘法分解因式是目前初中数学教学削弱的内容.我们应该认识到，十字相乘法只是一种特殊的技巧，求根公式才是通性通法，教学应首先讲解求根公式解二次不等式，在学生对其形成深刻认识的基础上，再将十字相乘法作为一种特殊技巧介绍给学生，千万不可本末倒置.最后，通过观察具体的二次函数图像和其相应的一元二次方程根的关系,得出一般的一元二次不等式解集的图像求法.我们先确定一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)对应的一元二次函数y=ax2+bx+c的图像.①当a>0时，有三种情况，如图2-1中的(1)、(2)、(3)所示.图2-1当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-1(1)所示时，对应的不等式解集为整个实数域R；当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-1(2)所示时，对应的不等式解集为｛x∈R｜x≠x1｝；当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-1(3)所示时，对应的不等式解集为｛x｜x<x1或x>x2｝.②当a<0时，有三种情况，如图2-2中的(1)、(2)、(3)所示.图2-2当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-2(1)所示时，对应的不等式的解集为｛x｜x1<x<x2｝；当函数y=ax2+bx+c的图像如图2-2中的(2)、(3)所示时，对应的不等式解集均为空集.用算法的思想，对任意一个一元二次不等式，可按图2-3的流程图求解.数学教师把握每一部分内容在整个课程中的定位时，应该理解和图2-3明确这部分知识的学习目的.20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学.克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂.以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合.”因而，用“函数”认识其他的数学内容是非常重要的.而利用图像法求解一元二次不等式的过程，可以全面的复习和深入地认识三个“二次”：二次函数、一元二次不等式、一元二次方程，以及它们之间的联系.一元二次不等式反映函数的部分性质，如，什么时候二次函数的值大于零?什么时候二次函数的值等于零?什么时候二次函数的值小于零?用二次函数求解一元二次不等式，不仅得到了一元二次不等式的解集，同时加深了对函数的认识和理解. 2.4 含绝对值的不等式教材首先复习有关绝对值的基本概念，即|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a >0)，0 (a ＝0)，－a (a <0)；|ab |＝|a |·|b |；⎪⎪⎪⎪b a ＝|b ||a |(a ≠0)．然后讲了关于形如|x |<a ，|x |>a (a >0)不等式的解法，且有：当a >0时，|x |<a ⇔ x 2<a 2 ⇔ －a <x <a ，|x |>a ⇔ x 2>a 2 ⇔ x >a 或x <－a .在解含有绝对值的不等式时，这些知识经常要用到，必须使学生熟练掌握.然后利用换元法解｜ax +b ｜>c 及｜ax+b ｜<c (c >0)型的不等式.显然这里换元法是个难点.在教学中，重点应放在例1的分析讲解上，帮助学生掌握解此类不等式的过程. (四) 复习建议1.构建知识结构2.梳理知识要点见本单元教材《归纳与总结》.3.需要注意的问题(1) 用因式分解法解一元二次不等式的步骤归纳为达标、分解、化组、求组解、定原解等五个步骤.(2) 从函数的观点看，一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0(a ≠0)的解集就是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像在x 轴上方部分的横坐标x 的集合.由此，利用二次函数的图像就可以解一元二次不等式.4.典型例题见本单元教材《归纳与总结》，通过这道例题复习一元二次不等式的解法.。
中职数学 第二章 不等式
第四节 分式不等式和绝对值不等式
1. ︱x︱＞a或︱x︱＜a（a＞0）型不等式
根据绝对值的几何意义，不等式︱x︱＞1表示的是数轴 上到原点的距离大于1的所有点的集合，在数轴上表示如图29（a）所示；︱x︱＜1表示的是数轴上到原点的距离小于1 的所有点的集合，在数轴上表示如图2-9（b）所示.
图 2-9
第三节 一元二次不等式及解法
学习提示
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即a＜ 0，则可以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以-1， 使其二次项系数化为正数，然后再求解.
第三节 一元二次不等式及解法
（ⅱ）当方程 ax2+bx+c=0的判别式 Δ=b2-4ac＜0时，方程没有 实数根，此时函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图 像与x轴没有交点，如图2-8 （b)所示，则不等式 ax2+bx+c＞0的解集为实数 集R，不等式ax2+bx+c＜0 的解集为Ø.
第一节 不等式的概念与性质
思考与讨论
已知实数a、b，且a＞b＞0，试比较a2b与ab2的大小.
第一节 不等式的概念与性质
课堂练习
第一节 不等式的概念与性质
三、 不等式的基本性质
在初中我们已经学习了不等式的三条基本性质，本小节将进一 步阐述并证明不等式的基本性质.
性质1 如果a＞b，且b＞c，则a＞c. 证明 a＞b=a-b＞0， b＞c=b-c＞0， 因此，根据两正数之和为正数得 （a-b）+（b-c）＞0， 即 a-c＞0， 所以a＞c. 性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.
例如，求不等式 x2-x-2＞0与x2-x-2＜0 的解集.
首先，解方程x2-x-2=0得x1=-1，x2=2.
中职数学基础模块上册2-1不等式的基本性质教学课件
—不等式的性质 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
性质3 如果 a b ，b c ，那么a c ． 证明 由a＞b， b＞c ，得a– b＞0，b−c＞0； 所以 a－c＝a−b＋b−c＝(a −b)＋(b −c)＞0，
由此得a＞c． 性质3表明不等式具有传递性．
证明 由a＞b， c＞d ，由性质1得 acbc , bcbd , 由性质3得 a c b d
—不等式的性质 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 用符号“”或“”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条 基本性质．
—不等式的性质 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
，
—不等式的性质 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 若a b 0 ，c d 0 ，试证明 ac bd．
解 因为 a b ，c 0 ，由不等式的性质2得 ac bc．
同理，由c d ，b 0 ，得 bc bd ．
因此，由不等式的性质3可得 ac bd ．
7 3 21 21 21 21
所以 5 2 ．
73
—实数的大小 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例2 比较 (x+1)(x+2)与 3x 1 的大小．
解 因为 (x+1)(x+2) (3x 1) (x2 3x 2) (3x 1) x2 3 0
,
所以 (x+1)(x+2) 3x 1
—不等式的性质 情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1．已知a＞b，用符号“＞”或“＜”填空:
练习 （1）a+1 b+1；（2）-5a -5b； （3）3a+3
中职数学课课件ppt课件ppt课件ppt
数字化教学工具
利用数字化教学工具辅助教学，提高教学效率和 学生的学习效果。
ABCD
在线教学
利用在线平台进行数学教学，实现教学资源共享 ，方便学生自主学习和合作学习。
人工智能辅助教学
利用人工智能技术辅助数学教学，实现个性化学 习和精准教学。
05 中职数学课程评价与反馈
中职数学课程评价方式
1 2 3
数学建模的应用实例
例如，通过建立概率模型来预测产品的销售情况，或者通过建立线 性规划模型来优化资源配置等。
04 中职数学教学策略与方法
中职数学教学策略
生活化教学策略
将数学知识与生活实际相结合，引导 学生从生活中发现数学，理解数学， 提高数学学习的兴趣。
项目式教学策略
通过完成实际项目，让学生在实践中 学习和应用数学知识，培养数学应用 能力和解决问题的能力。
等基础知识。
几何知识
包括平面几何、立体几何等基 础知识。
概率统计知识
包括概率、统计、排列组合等 基础知识。
中职数学课程特点
强调实用性
中职数学课程注重数学知识的 实际应用，使学生能够将数学 知识应用到日常生活和专业学
习中。
内容相对基础
相对于高中数学，中职数学课 程内容较为基础，更加注重数 学基础知识和基本技能的掌握 。
数学在日常生活中无处不在，如购物时比较价格、计算折扣、安排时间等。中 职数学课程可以帮助学生培养解决实际问题的能力，提高生活技能。
数学在专业课程中的应用
数学在物理中的应用
物理学科中有很多问题需要用到数学知识，如力学、电磁学 、光学等。通过中职数学的学习，学生可以为后续的物理课 程打下坚实的基础。
数学在计算机科学中的应用
人教版中职数学基础模块上册 第二章不等式教案
人教版中职数学基础模块上册第二章不等式教案人教版中职数学基础模块上册-第二章不等式教案第二章不平等2.1.1实数的大小[教学目标]1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3.培养学生勤于分析和思考的优良品质。
善于简化复杂问题也是我们要培养的优秀思维品质，初步学会差异比较的思想。
【教学难点】使用差分比较法比较两个代数表达式的大小。
【教学方法】本课程主要采用教学与实践相结合的方式。
通过连接高速公路上的限速标志，引入不等式问题，从关注数字的大小入手，引导学生学习比较两个实数和代数表达式大小的差分比较法。
通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握差异比较法。
【教学过程】在教学内容链接的右侧是道路上车辆的限速标志，表示该路段车辆的速度不得超过40km/h。
如果用V（km/h）表示车辆的速度，用什么公式来表示V和40之间的导数关系？右边是道路上车辆的限速标志，表明该路段的车辆速度不得低于50km/h。
如果用V（km/h）表示车辆速度，用什么公式来表示V和50之间的定量关系？师生互动学生根据生活经验回答情境问题．答：v≤40．答：v≥50．师：实数与数轴上的点的关系是怎样的？28设计意图是从学生周围的生活经历中学习新知识，有助于调动学生的学习积极性。
研究实数和数轴上的点之间的对应关系。
Pba-5-4-3-2-10123x观测：P点从左向右移动，与实数大小的变化相对应。
数学基础模块第一卷新课呈现结论：数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大．a＞b?a－b＞0a＝b?a－b＝0a＜b?a－b＜0含有不等号(＜，＞，≤，≥，≠)的式子，叫做不等式．点a对应的实数与点b对应的实数各是多少？哪个大？生：实数与数轴上的点是一一对应的．点a表示实数3，点b表示实数－2，点a在点b右边，3＞－2．当点p 在不同的位置，学生分别比较点p对应的实数与点a，点b对应实数的大小．个别学生口答，其通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．在复习初中知识的基础上加以提升．练习1在数学表达式：①－5＜1；②2x＋4＞0；③x2＋1；④x＝6；⑤y≠4；⑥a －2≥a中，不等式的个数是()．(a)2(b)3(c)4(d)5练习2把下列语句用不等式表示：(1)y是负数；(2)x2是非负数；他学生评价，遇到问题，小组讨论解决．因为例题1较为简单，讲解教师引导，学生两个，剩余两个让学生练习，使学生在参与中(3)设a为三角形的一条边长，a是正数；(4)b为非正数．例1比较下列各组中两个实数的大小：(1)－3和－4；(2)65和；767101(3)－和－；(4)12.3和12．11173解(1)因为(－3)－(－4)＝－3＋4＝1＞0，所以－3＞－4；29口头回答。
人教版中职数学2.1.2不等式的性质-PPT精选文档
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1. 在－3＜－2 的两边都乘以 2，得 －6＜－ 4 2. 在1＞－2 的两边都乘以 －3，得
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4. 如果 a＜0，那么 3 a____5 ＞ a.
5. 如果 3 x＞－9，那么 x____ ＞ －3 . 6. 如果 －3 x＞9，那么 x___ ＜ － 3．
判断下列不等式是否成立，并说明理由： 1. 若 a＜b，则 a c＜b c． （ ×）
Evaluation only. 若 a c＞b c，则for a＞.NET b． 3.5 Client （ ×Profile ） ted with 2. Aspose.Slides 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty × Ltdtion only. 不等式 ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 Copyright 2019-2019 Aspose Pty Ltd. 式
不等式 不等式
2.1.2 2.1 若 a＞b，则 a c ＞b c ． （ ）
4. 若 a c2＞b c2，则 a＞b．
（√）
5. 若 a＞b，则 a(c2＋1)＞b(c2＋1)．（ √ ）
要点：不等式的三条基本性质．
中职数学(高教版)授课教案：不等式的基本性质
【课题】2.1不等式的基本性质【教学目标】知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．【教学重点】⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．【教学难点】比较两个实数大小的方法．【教学设计】（1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲；（2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合；（3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】【课题】2．2区间【教学目标】知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．【教学重点】区间的概念．【教学难点】区间端点的取舍．【教学设计】⑴实例引入知识，提升学生的求知欲；⑵数形结合，提升认识；⑶通过知识的巩固与练习，培养学生的思维能力；⑷通过列表总结知识，提升认知水平.【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．(45分钟)【教学过程】讲解}4xx<|24}过 程行为 行为 意图 间表示的区间是右半开区间，用记号[2,4)表示；只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合{|24}x x <表示的区间是左半开区间，用记号(2,4]表示.引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为(200,350)． 强调 细节领会各区 间的 规范 书写10*巩固知识 典型例题例1 已知集合()1,4A =-，集合[0,5]B =，求：AB ，A B ．解 两个集合的数轴表示如下图所示,(1,5]A B =-， [0,4)A B =．质疑 分析 讲解 思考 理解 复习 相关 集合 运算 知识 15*运用知识 强化练习 教材练习2.2.11.已知集合(2,6)A =，集合()1,7B =-，求A B ，A B ．2.已知集合[3,4]A =-，集合[1,6]B =，求A B ，A B ．3. 已知集合(1,2]A =-，集合[0,3)B =，求A B ，A B ．巡视辅导思考 解题 交流 反馈 学习 效果20 *动脑思考 明确新知 问题集合{|2}x x >可以用数轴上位于2右边的一段不包括端点的射线表示，如何用区间表示？ 解决集合{|2}x x >表示的区间的左端点为2，不存在右端点，为开区间，用记号(2,)+∞表示．其中符号“+∞”（读作“正无穷大”），表示右端点可以任意大，但是写不出具体的数．类似地，集合{|2}x x <表示的区间为开区间，用符号(,2)-∞表示（“-∞”读作“负无穷大”）． 集合{|2}x x表示的区间为右半开区间，用记号[2,)+∞表 质疑 讲解 说明 强调 细节思考 领会 记忆 理解学习 各种 区间过 程行为 行为 意图 间示；集合{|2}x x表示的区间为左半开区间，用记号(,2]-∞表示；实数集R 可以表示为开区间，用记号(,)-∞+∞表示． 注意“-∞”与“+∞”都是符号，而不是一个确切的数．明确25*巩固知识 典型例题例 2 已知集合(,2)A =-∞，集合(,4]B =-∞，求AB ，A B ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 （1）(,4]AB B =-∞=；（2）(,2)A B A =-∞=．例3 设全集为R ，集合(0,3]A =，集合(2,)B =+∞， （1）求A ，B ；（2）求AB ．解 观察如下图所示的集合A 、B 的数轴表示，得 (1) (,0](3,)A =-∞+∞,(,2]B =-∞； (2) (0,2]AB =．质疑 说明 讲解 启发 强调观察 思考 领会 主动 求解通过 例题 巩固 区间 的概 念 注意 规范 书写30 *理论升华 整体建构下面将各种区间表示的集合列表如下（表中a 、b 为任意实数，且a b <）． 区间(,)a b[,]a b (,]a b 集合 {|}x a x b << {|}x a x b ≤≤ {|}x a x b <≤ 区间[,)a b(,)b -∞ (,]b -∞ 集合 {|}x a x b <≤ {|}x x b < {|}x x b ≤ 区间(,)a +∞[,)a +∞ (,)-∞+∞集合 {|}x x a >{|}x x a ≥R引导分析思考 互动 总结小组 讨论 教师 归纳35B，A B.(0,3)，求A，B，B A．巡视指导*归纳小结强化思想（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课学习，你会解决哪些新问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？引导提问【课题】2.3 一元二次不等式【教学目标】知识目标：⑴了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵掌握一元二次不等式的图像解法．能力目标：⑴通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．【教学重点】⑴方程、不等式、函数的图像之间的联系；⑵一元二次不等式的解法．【教学难点】一元二次不等式的解法．【教学设计】⑴从复习一次函数图像、一元一次方程、一元一次不等式的联系入手；⑵类比观察一元二次函数图像，得到一元二次不等式的图像解法；⑶加强知识的巩固与练习，培养学生的数学思维能力；⑷ 讨论、交流、总结，培养团队精神，提升认知水平．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题 2.3 一元二次不等式 *回顾思考 复习导入 问题一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间存在着哪些联系？ 解决观察函数26y x =-的图像：方程260x -=的解3x =恰好是函数图像与x 轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x ->的解集{|3}x x >；在x 轴下方的函数图像所对应的自变量x 的取值范围，恰好是不等式260x -<的解集{|3}x x <． 归纳一般地，如果方程0ax b +=(0)a >的解是0x ，那么函数y ax b =+图像与x 轴的交点坐标为0(,0)x ，并且（1）不等式0ax b +>(0)a >的解集是函数y ax b =+的图像在x 轴上方部分所对应的自变量x 的取值范围，即0{|}x x x >；介绍 提出 问题 引领 分析 讲解了解 思考 观察 领悟 理解复习 相关 知识 内容 强化 知识 点的 内在 联系 突出 数形 结合()0或()0(a≠感受新知二次函数的图像、一元二次方程与一元二次不等式之间存过 程行为 行为 意图 间内的值，使得260y x x =--<．30 *动脑思考 探索新知 解法利用一元二次函数2y ax bx c=++()0a >的图像可以解不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<．（1）当240b ac ∆=->时，方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数解1x 和2x 12()x x <，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴有两个交点1(,0)x ，2(,0)x (如图（1）所示)．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是()12,x x ，不等式20a x bx c ++>的解集是12(,)(,)x x -∞+∞；（1） （2） （3）（2）当240b ac ∆=-=时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数解0x ，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴只有一个交点0(,0)x （如图（2）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是00(,)(,)x x -∞+∞．（3）当240b ac ∆=-<时，方程20ax bx c ++=没有实数解，一元二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴没有交点（如图（3）所示）．此时，不等式20ax bx c ++<的解集是∅；不等式20ax bx c ++>的解集是R ． 归纳 总结讲解分析强调 讲解思考 观察 理解 领会 记忆引导 学生 经历 由特 殊到 一般 的提 炼过 程 强化 图像 作用 熟练 数形 结合 应用40*理论升华 整体建构2(,)x +∞0(,)x +∞0([)2,x +∞R 0< 12,)x∅]12,x }0x224b ac x =-． 典型例题解下列各一元二次不等式：26x x --0．首先判定二次项系数是否为正数，再研究对应一元二次方程解的情况，最后对照表格写出不等式的解集．26x --=0的解(3,)+∞．）29x <可化为290-=的解集为）253x x -两边同乘1-，得30．由于判别式0的解集为0的解集为是什么实数时，有意义． 题意需要20-．解0=得1x =．由于二次项系数为30>以不等式的解集为[)1,⎛-∞+∞．[)1,+∞时，32有意义． 解下列各一元二次不等式：0．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 【课题】2.4含绝对值的不等式【教学目标】知识目标：（1） 理解含绝对值不等式x a <或x a >的解法； （2）了解ax b c +<或ax b c +>的解法． 能力目标：（1） 通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力； （2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．【教学重点】（1）不等式x a <或x a >的解法 ．（2）利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>．【教学难点】利用变量替换解不等式ax b c +<或ax b c +>． 【教学设计】（1） 从数形结合的认识绝对值入手，有助于学生对知识的理解； （2） 观察图形得到不等式x a <或x a >的解集； （3） 运用变量替换，化繁为简，培养学生的思维能力；（4） 加强解题实践，讨论、探究，培养学生分析与解决问题的能力，培养团队精神．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间不等式2x <和2x >的解集在数轴上如何表示？ 根据绝对值的意义可知，方程2x =的解是2x =或2x =-，不等式2x <的解集是(2,2)-（如图（1）所示）；不等式2x >的解集是(,2)(2,)-∞-+∞（如图（2）所示）．引导分析观察 领会习做 准备 充分 借助 图像 进行 分析10 *动脑思考 明确新知一般地，不等式x a <（0a >）的解集是(),a a -；不等式x a >（0a >）的解集是()(),,a a -∞-+∞．试一试：写出不等式x a 与x a （0a >）的解集．总结 强化理解 记忆强调 特点15*巩固知识 典型例题 例１ 解下列各不等式： （1）310x ->； （2）26x．分析：将不等式化成x a <或x a >的形式后求解．解 （1）由不等式310x ->，得13x >，所以原不等式的解集为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由不等式26x ，得3x ，所以原不等式的解集为[]3,3-．分析讲解强调 细节思考 主动 求解进一 步巩 固知 识点20*运用知识 强化练习 教材练习2.4.1 解下列各不等式：巡视解题反馈 学习（2）（1）8；（2）实际操作 探索新知如何通过x a <等式2x +3．3213x --， 224x -， 12x-，所以原不等式的解集为 []1,2-． 7>．257x +>，整理，得6- 或 1x >，()1,+∞．11；4212．本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？。
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念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0，
其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
解一元二次不等式 ax2+bx+c＞0（a>0）或 ax2+bx+c＜0（a>0）一 般可分为如下三种情况： （1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式 =b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
答案：D D
2.4 含绝对值的不等式
概 念 绝对值符号内含有未知数的不等式叫做含绝对值的不等式.
不等式的解法
一般地，不等式 x a(a 0) 的解集为 (, a) (a, ) ，不等式 x a(a 0) 的解集为
(a, a) .
ax b c 或 ax b c(c 0) 型不等式转化为 x a 或
A. a 2 b 2
B. 2a 2b
C. 2a 2b
ab
D. 2 2
答案：C
【变式】.已知
a
b,
ab
0
，求证
1 a
1 b
2.2 区间
区间是数集的一种表示形式，其表示形式与集合的表示形式相同。 区间分为有限区间和无限区间.
由数轴上两点之间的所有实数所组成的集合叫做区间，
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或 “换元法”.
例 8.不等式 | x | 6 的解集是（ ）
A. (6,)
B. (,6) (6,)
C. (,6)
D. (6,6)
例 9.不等式 | x - 3 | 1的解集是（ ）
A. [0,4]
B.[4,4]
概
这两个点叫做区间端点.
念
不含端点的区间叫做开区间，含有两个端点的区间叫
做闭区间，只含有左端点的区间叫做右半开区间，只含有
右端点的区间叫做左半开区间.
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
2.3 一元二次不等式及其解法
一般地，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
概
二次的不等式，叫做一元二次不等式，它的一般形式为
第二章 不等式
现实世界中存在着大量的等量关系，也存在大量的不等关系.不 等式是研究不等关系的重要工具.
知识导航
内容简介：本章主要讲述了不等式的基本性质，并对其进行了证明；
然后结合数轴图形来阐述了区间的概念及表示方法；又结合一元二次方 程和一元二次函数图象来讲述了一元二次不等式及其解法，并穿插了用 几何画板来绘制函数图像的软件练习，以拓展学生的视野并激发其学习 兴趣；最后介绍了含绝对值的一元一次不等式及其解法.
性质3 如果 a＞b，c＞0，则 ac＞bc； 如果 a＞b，c＜0，则 ac＜bc.
性质3表明，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数， 不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负 数，不等号的反向改变.因此性质3称为不等式的乘法性质
例 6.已知 a b，下列不等式中，不成立的是（ ）
例 7.不等式 9x2 12x 8 0 的解集是（ ）
A.
(
4 3
,
2 3
)
B.
(,
4 3
)
(
2 3
,)
C.
D.R
【变式】.若 a b，则不等式 (x a)(b x) 0
的解集是（ ）
A. (b,)
C. (a, b)
B. (, a) D. (, a) (b,)
（2）当方程 ax2 bx c 0的判别式 b2 4ac 0 时，方程没
有实数根，此时不等式 ax2 bx c 0 的解集为实数集 R ，不
等式 ax2 bx c 0 的解集为 .
（3）当方程 ax2 bx c 0 的判别式 b2 4ac 0 时，方程有
C. [2,4]
答案：B D
D. [2,4]
思考
已知实数 a, b ，且 a b 0，试比较 a2b 和 ab2的大小.
2.1.2 不等式的基本性质
性质1 如果 a＞b，且 b＞c，则 a＞c.
性质1所描述的不等式的性质称为不等式的传递性.
性质2 如果 a＞b，则 a+c＞b+c.
性质2表明，不等式的两边都加上（或都减去）同一个数， 不等号的方向不变，因此性质2称为不等式的加法性质.
学习目标：理解不等式的基本性质，掌握区间的概念及表示方法，掌
握一元二次不等式的解法，了解含绝对值不等式的解法 .
2.1 不等式的基本性质 2.1.1 实数大小的比较
对于任意两个实数 a,b ，有
a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a bc 0 的解集为 (, x0 ) (x0, ) ，不等式 ax2 bx c 0 的解集为 .
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.