2010年整理17坐标系与参数方程

2010年整理——选考之坐标系与参数方程
选择题：
1、（10北京）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是
（A ）两个圆 （B ）两条直线
（C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线
2、（10湖南）极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t
=--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别
是
A 、圆、直线
B 、直线、圆
C 、圆、圆
D 、直线、直线
3、（10上海）直线l 的参数方程是x=1+2t ()y=2-t t R ⎧∈⎨⎩，则l 的方向向量是d
可 【答】
（ ）
(A)(1,2) (B)(2,1) (C)(-2,1) (D)(1,-2)
填空题：
1、（10广东）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ） （02θπ≤＜）中，曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=-的交点
的极坐标为______________．
2、（10陕西）(坐标系与参数方程选做题)已知圆C 的参数方程⎩⎨⎧+==α
αsin 1cos y x (α为参数)，
以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin =θρ,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为____________.
解答题：
1、（10广东）设11(,)A x y ，22(,)B x y 是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义由点A 到点B 的一种折线距离(,)A B ρ为
2121(,)||||A B x x y y ρ=-+-
对于平面xOy 上给定的不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ,
（1）若点(,)C x y 是平面xOy 上的点，试证明(,)(,)(,);A C C B A B ρρρ+≥
（2）在平面xOy 上是否存在点(,)C x y ，同时满足
①(,)(,)(,)A C C B A B ρρρ+= ② (,)(,)A C C B ρρ=
若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明。

2、（10福建）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为3,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

在极坐标系（与
直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P
的坐标为， 求|PA|+|PB|。

3、（10江苏）坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。

4、（10江苏）选修4-4：坐标系与参数方程
（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0）， 已知P 为半圆C ：
O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π。

（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； （II ）求直线AM 的参数方程。

5、（10宁夏、海南）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨
=⎩（t 为参数），C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）， （Ⅰ）当α=3
π时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

分析：
选择题：
1、C ．
解析：原方程等价于1ρ=或θπ=，前者是半径为1的圆，后者是一条射线。

2、
3、C
解析：直线l 的一般方程是052=-+y x ，2
1-
=k ，所以C 正确 填空题：
1、3)4π．【解法1】两条曲线的普通方程分别为222,1x y y x +==-．解得1,1.x y =-⎧⎨=⎩
由cos ,sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩得点(1,1)-的极坐标为3)4π． 【解法2】由2sin cos 1ρθρθ=⎧⎨
=-⎩得1sin 22θ=-，02 024θπθπ≤∴≤＜＜Q ， 3
22πθ∴=或3222πθπ=+，34πθ∴=或74π（舍），从而ρ=交点坐标为3)4
π。

2、【答案】()()1,1,1,1-
【解析】由题设知，在直角坐标系下，直线l 的方程为1=y ，圆C 的方程为()112
2=-+y x . 又解方程组()⎩
⎨⎧==-+11122y y x ，得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧==11y x . 故所求交点的直角坐标为()()1,1,1,1-.
解答题：
1、（1）证明：由绝对值不等式知，
121212122121(,)(,)||||||| |()()||()()|
=||||
=(,)
A C C
B x x x x y y y y
x x x x y y y y x x y y A B ρρρ+=-+-+-+-≥-+-+-+--+-
当且仅当12()()0x x x x -⋅-≥且12()()0y y y y -⋅-≥时等号成立。

（2）解：由(,)(,)(,)A C C B A B ρρρ+=得 12()()0x x x x -⋅-≥且12()()0y y y y -⋅-≥ （Ⅰ）
由(,)(,)A C C B ρρ=得 1122||||||||x x y y x x y y -+-=-+- （Ⅱ）
因为11(,)A x y ，22(,)B x y 是不同的两点，则：
1︒ 若12x x =且12y y ≠，不妨设12y y <，
由（Ⅰ）得 12x x x ==且12y y y ≤≤，
由（Ⅱ）得 122
y y y +=， 此时，点C 是线段AB 的中点，即只有点1212(
,)22
x x y y C ++满足条件； 2︒ 若12x x ≠且12y y =，同理可得：只有AB 的中点1212(,)22x x y y C ++满足条件； 3︒ 若12x x ≠且12y y ≠，不妨设12x x <且12y y <，
由（Ⅰ）得12x x x ≤≤且12y y y ≤≤， 由（Ⅱ）得121222
x x y y x y +++=
+， 此时，所有符合条件的点C 的轨迹是一条线段，即：过AB 的中点
1212(,)22x x y y ++，斜率为1-的直线121222
x x y y x y +++=+夹在矩形11AA BB 之间的部分，其中11(,)A x y ，121(,)A x y ，22(,)B x y ，112(,)B x y 。

2、【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

【解析】
（Ⅰ）由ρθ=
得220,x y +-=
即22( 5.x y += （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C
的直角坐标方程，得22(3)()522
-+=，
即240,t -+=
由于24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实根，
所以12124t t l P t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线过点故由上式及t 的几何意义得：
|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t
=
3、[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。

满分10分。

解：22cos ρρθ=，圆ρ=2cos θ的普通方程为：22222,(1)1x y x x y +=-+=，
直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的普通方程为：340x y a ++=，
1,=解得：2a =，或8a =-。

4、解： （Ⅰ）由已知，M 点的极角为
3π，且M 点的极径等于3π， 故点M 的极坐标为（3π，3
π）. ……5分 （Ⅱ）M
点的直角坐标为（,66
π
），A （0,1），故直线AM 的参数方程为
1(1)6x t y π⎧=+-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数） ……10分 5、解：
（Ⅰ）当3πα=
时，1
C
的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=。

联立
方程组221)
1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0
）1
2⎛- ⎝⎭
，。

（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=。

A 点坐标为()
2sin cos sin ααα-， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：
()21sin 21sin cos 2
x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数 P 点轨迹的普通方程为
2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭。

故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为14的圆。