放射性气体扩散的估计模型

二、问题的提出随着社会经济的发展，世界各地在大力发展清洁能源，而核能源是被人一种理想的清洁能源，但是核能的不可控可造成如核电站的核泄漏，特别是一座核电站遇自然灾害发生发生泄漏，在空气中蔓延辐射，这将给人民带来灾难性的健康损伤，因此对于核泄漏后扩散估计模型的推倒很有必要，因此，本文对于放射性气体扩散的预估进行了建模，并做了详尽的论述。

三、问题分析在此题中，要求对放射性气体的扩散进行建模，并且题目中给出了初始浓度为p0，放射性气体扩排出速度为：m kg/s ，在无风状态下匀速在大气中向四周扩散，速度为s m/s ，则可利用在时间变化时，面积的增量A Δ对于浓度的影响，列出A tp ΔΔΔm，而A Δ时间和气体扩散速度有关，在题目中扩散速度是已知的，为s m/s 。

继而通过对浓度的叠加，利用fortran 程序和Excel 对数据进行处理，则可以得到预料的结果。

四、模型假设及符号说明4.1符号说明0r ：辐射源原半径，此符号只在第一个问题中有所涉及 p Δ：不同地点，不同时刻放射气体浓度的增量 1r ：假设的在某时刻能扩散到得最大半径 A Δ：在时间t Δ内的气体扩散的面积增量 m ：放射性气体排出的速度，单位为：kg/ss ：放射性气体向大气四周扩散的速度，单位为：s m/s L ：离辐射源中心的距离n ：放射源排出放射气体的总时间 t ：时间变量 4.2模型假设1、所处环境无风、周边环境广阔无障碍物2、放射性气体匀速排出的浓度始终不变3、排出的辐射物在其分布范围内均匀分布4、其扩散速度不随浓度的增大而增大5、不考虑重力对扩散气体的影响6、所辐射到的地方，浓度始终在积累五、模型的建立5.1本来，我们想以点辐射推算并计算模拟结果，但碍于我们的模型忽略了好多的因素，因而我们在第一个问题上对辐射源做了处理，即做成区域辐射的模型。

由于这个方面的问题易于理解，便可用区域辐射直接求解，设辐射源半径为0r ：首先，我们来考虑时间与浓度增量的关系（如下图1所示）：st r =1⎪⎩⎪⎨⎧=A 0ΔΔm p 00>=t t （1）图1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰ρρπΔd r r m p 0120 00>=t t （2）p Δ为任意时刻一次辐射出去的，在1r 范围内边界上，任意时刻的浓度增量，0r 为初始辐射源半径，1r 为任意时刻辐射到的半径，ρ为辐射到的半径的变量（下同）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=)(02021r r mp πΔ 00>=t t （3） 01r st r +=则在1r 范围内，浓度不随时间变化，为：0=p Δ 则不同时刻，同一地点（L=s+10）的浓度为： 1s 末为：)2(022str t s mp +=π 2s 末为：20221022|)2(|)2(==+++=t t str t s mstr t s m p ππ 3s 末为：302220221022|)2(|)2(|)2(===+++++=t t t str t s mstr t s m str t s m p πππ 则有ns 末：∑=+=nt str t s m p 1022)2(π （6） 对于同一地点不同时刻浓度的推导就到这儿，现推导同一时刻，不同地点的浓度，为了理解方便起见，这里先以点辐射考虑。

同一时刻，不同地点的浓度可表示为：L=st 22ts mp π= L=s(t-1) 2222)1(-+=t s mt s m p ππ L=s(t-2) 222222)2()1(-+-+=t s mt s m t s m p πππ ……则)(n t s L -=处的浓度为：∑=-=ttn n t s mp 022)(π n t ≠ （7） 推而广至，不为点辐射，而为区域辐射，即辐射源的初始半径为0r ：L=st ])[(2020r r st mp -+=πL=s(t-1) }])1({[])[(20202020r r t s mr r st mp -+-+-+=ππL=s(t-2)}])2({[}])1({[])[(202020202020r r t s mr r t s mr r st mp -+-+-+-+-+=πππ……则当L=s(t-n)时：∑=-+-=nn r r n t s mp 02020}])({[π （8） 其实，以上两个模型是一种理论的两种不同表达形式，只要读者仔细观察，便能理解其中的道理，在此不再獒述。

综上，我们已将第一个问题的模型建立。

5.2现进行第二个问题，当风速为k m/s 时，则考虑到风速影响，k s ≥的情况：由向量式k s v+=得： 2)(k s v += （9αcos 222sk k s v ++= （则由上式vt r =则t 时间内的扩散面积为： 扇形的面积公式为：θ221r A =（11） 则可以得到t 时刻时扩散了的面积为：θαd t sk k s A 22220)cos 221++=⎰（π 222)cos 2(t sk k s A α++=π （12）则由式⎪⎩⎪⎨⎧=AΔΔm p 可得：222)cos 2(t sk k s mp α++=πΔ （13）由式（6）和（13）得到∑=-+-=nn r r n t s mp 02020}])({[π （14）综上，我们的模型建立已经完成。

六、模型的简化与求解6.1对于第一个问题的求解6.11同一地点不同时刻扩散气体浓度的模型 则有上式（6）归纳总结得出以下式子：∑=+=ni t str t s m p )2(022π （15）式子表示从位置L=is+10处，即离放射源边缘的距离：l=is 处的浓度变化，n 为辐射的总时间。

现取：m=1000,000mg/s ，s=100m/s ，n=450s ，0r =10m ，i=10s 起，即离辐射中心的距离为：L=1000+10=1010m 的点，来粗略模拟同一地点不同时刻浓度的分布，现将分析图表1粘贴如下：具体数据处理见附件一6.12同一时刻不同地点扩散气体浓度的模型则由上式（8），得同一时刻不同地点辐射浓度的变化量为：∑=-+-=nn r r n t s m p 02020}])({[π （16）其中，p 为在t 时刻时，在L=st+10范围内的各个位置的浓度，n=0表示t 时刻所能达到的区域边界的辐射浓度，s(t-n)则表示离辐射边界的距离，即在离辐射源中心的距离为：L=10+s(t-n)处的位置。

现取：m=1000,000mg/s ，s=100m/s ，t=440s ，0r =10m ，即离辐射中心的距离为：L=45000+10=45010m 范围内的任意一点，来粗略模拟同一时刻不同地点浓度的分布，现将分析图表2粘贴如下：如下图表2，为在t=440s 时刻时，L=44000范围内任意点浓度变化。

综合比较，我们选择了t=440时刻的图表，因为这个图表较清晰的反映了t 时刻辐射范围内个点的浓度变化。

图表2（具体数据处理见附件二）6.2对于第二问题的解决 则可得由上式（12）和（15）∑=++=ni t t sk k s mp 222)cos 2(απ （17）由上，我们现在来做一个数据演示模型，基本假设数据如上所给数据，现将风速k=1，20，40，60，100，下风向0=α时的数据模拟如下图表3所示：图表3（具体数据处理见附件三）上风向πα==0180 Rad 时的数据模拟如下图表4所示：图表4（具体数据处理见附件三）当k s =时，t 时刻时扩散了的面积为：θαd t sk k s A 22220)cos 2212++=⎰（π222)cos 2(2t sk k s A α++=π则同一地点不同时刻的浓度为：∑=++=ni t t sk k s mp 222)cos 2(2απ （17）当k s =(设为s=100m/s)时，则下风向辐射物质的浓度数据粗略模拟如下图表5所示：图表5（具体数据处理见附件三）对于逆风向s=k 时，我们所推出的模拟公式对于上风向是没有意义的，可以说明上风向没有辐射，辐射物质的浓度为零。

6.3第三个问题的简化与解答根据第二个问题，先来考虑辐射速度大于风速的情况既：k s ≥，下风向时0=α，速度k s v +=；上风向时k s v -=，则有上风向：ks L t -=则有当0t t <，则此处的浓度为零，既：0=p 当0t t ≥时，∑=-+=nt t tsk k s mp 0222)2(π （18）按照我们的惯例，现在我们做一个大概的数据模型，以此来说明L 处辐射物质浓度的变化，一些上面用过的数据上同，现在设：L=1200m ，k=20则)(1580/12000s t ==，则模拟图表6如下所示： 下风向：ks Lt +=1 （19）则有当1t t <，则此处的浓度为零，既：0=p（20）图表6（具体数据处理见附件四）)(10120/12001s t ==，则数据模拟的图表7如下所示：∑=++=nt t tsk k s mp 1222)2(π图表7（具体数据处理见附件四）将上风向与下风向作一比较如下图表8所示（考虑p=0时的图线）：图表8（具体数据处理见附件四）当风速等于扩散速度时，上风向L处浓度为零，下风向与图表5中数据走势相同，对于风速大于扩散速度的模型，我们目前还没有能力模拟出来，有待研究，在此表示遗憾，希望有兴趣者，可以尝试！综上，第三个问题已解决，现在我们来解决第四个问题吧！6.4对于第四个问题的简化与解决我们得到数据，数据见附件六，我国距日本福岛核电站最近的为黑龙江的“二道泡子”，距离为1030.8公里，最远的为台湾省的台北市，距离为2408.2公里，故假设我国大陆东海岸距日本福岛核电站距离为1030.8公里。

我国据日本福岛核电站大部分为海洋，海风比较大，假设风力为十级，风速为26m/s ，假设当事故发生后，东亚季风都是吹向我大陆的，即我国东海岸处在下风向。

则由（20）假设式中s=27m/s ，k=26m/s由式（19）得则可得s t 200001=则辐射到我国东海岸的浓度为：1.43E-03mg/m ²，这是一个很小的数据，而且在假设中，福岛核电站到我国东海岸的距离是取了最小距离，而实际上这个距离平均为1500多千米，而且假设我国处于下风向，而实际上三月份时，在东亚季风中我国处于上风向，所以福岛核电站对于我国东海岸没有影响。

七、结果分析与检验本文对放射性气体扩散的模型进行了分析，并建立了一个数学模型，由于考虑到的因素比较少，如把大气环境的扩散没有考虑进去，没有考虑海洋对大气的影响，没有考虑重力对扩散粒子的影响。

虽然题目所给假定对于模型的建立很有利，但对于实际问题的解决还是有一定差距的。