人教版数学八年级上册课件因式分解十字相乘与分组分解法分解因式
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人教版八年级数学上册《十字相乘法分解因式》课件
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，
借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=：分解因式 (x－y)2＋(x－y) －6
对于一般地二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午6时56 分41秒下午6时56分18:56:4121.11.7
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，
借用一个十字叉帮助我们分解因式， 这种方法叫做十字相乘法。
例1 分解因式 x2－6x＋8
解：x 2－6x＋8
x
－2
=：分解因式 (x－y)2＋(x－y) －6
对于一般地二次三项式ax＋2 bx＋c (a≠0) 此法依然好用。
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午6时56 分41秒下午6时56分18:56:4121.11.7
练习：将下列各式分解因式 1、 7x 2－13x＋6 答案(7x＋6)(x＋1)
2、 －y 2－4y＋12 答案－ (y＋6)(y－2)
例2 分解因式 3x2－10x＋3
解：3x 2－10x＋3
x
－3
=(x－3)(3x－1) 3x
－1
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x2－17x－12
人教版八年级数学上册 《十字相乘法》整式的乘法与因式分解PPT
归纳
用十字相乘法分解因式的步骤：
１
-2
１
-6
-2 + -6
1．分解首尾系数
2．交叉相乘
= -8
3．相加验证 4．横向写出因式
第十三页，共四十四页。
首一的十字相乘法
什么是十字相乘法？
如何用十字相乘法分解二次系数为1的二次三项式？
第十四页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十五页，共四十四页。
第八页，共四十四页。
12=1×12
归纳
试着把常数项分成两个整数的积
然后看这两个数之和是否等于一次项系数
是否
否
相等
是
写出分解结果
第九页，共四十四页。
思考 不难发现，如果常数项的因数比较多， 可能需要多次试数才能成功．
那有没有什么方法能让试数过程更直观呢？
十字相乘法就可以做到，下面我们来学习一下．
第十页，共四十四页。
其中p，q是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
第四十四页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十六页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十七页，共四十四页。
练习
用十字相乘法分解因式：
第十八页，共四十四页。
思考
刚才我们分解的都是二次项系数为1的情况， 如果二次项系数不是1，也能用这个方法分解吗？
用十字相乘法分解因式：
1．分解首尾系数
3
2．交叉相乘
1
3．相加验证
人教版八年级数学上册 《十字相乘法》整式的乘法与因式分解PPT
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】Fra bibliotek十字相乘法
初中八年级数学 12.5.4因式分解分组法和十字相乘法
12.5.4因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）知识要点：1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。
但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例1分解因式：a2-b2+a-b =（a2-b2）+ （a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）(a+b+1)⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。
无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
练习：把下列多项式分解因式⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc2、十字相乘法二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b 的积，且a+b等于一次项系数中的p，则就可以分解成x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解注意：此公式的三个条件要理解·二次项系数是1·常数项是两个数之积。
·一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡对于x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）例如 x2+3x+2因式分解解：∵2=1×2且3=1+2∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)此方法称为十字相乘法十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:★常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数符号相同。
★常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
-2)]( x + 1 )
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公式推导
归纳总结
x2 + ( a + b )x + a b = x2 + ax + bx + ab
= x(x + a) + b(x + a) = (x + a) (x + b) ∴ x2 + ( a + b )x + a b = (x + a) (x + b)
一次项系数-7 =(-1)+(-6) ≠2+3 ≠(-2) +(-3)
(1)解: x2 -7x+6 =(x-1)(x-6)
因式分解时常数项因数分解的一般规律：
1.常数项是正数时，它分解成两个同号因 数，它们和一次项系数符号相同。
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例2. 人教版八年级上册数学因式分解十字相乘法优质PPT
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练习：在 横线上 填 、符号
__ x2 4x 3 =（x + 3）（x _+_ 1）
- x2 2x 3 =（x __ 3）（x _+_ 1）
- - y2 9y 20 =（y__ 4）（y __ 5）
运用公式必须同时具备的三个条件：
(1)二次项系数式是1的二次三项式
(2)常数项是两个数之积
(3)一次项系数是常数项的两个因数之和
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因式分解十字相乘法和分组分解法ppt课件
x
a
x
ax +
b
bx = (a+b)x
步骤： ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式．
顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱．
将下列各式因式分解： 1．x2+8x+12= (x+2)(x+6) 2．x2-11x-12= (x-12)(x+1) 3．x2-7x+12= (x-3)(x-4) 4．x2-4x-12= (x-6)(x+2) 5．x2+13x+12= (x+1)(x+12) 6．x2-x-12= (x-4)(x+3)
= (a+1)(3a-1)(3a2-2a+1) = (x+3)(x-2)(x2+x-8)
（2007年株洲市） 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
解：令x4+x2=m，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10
= m2-m-12+10 = m2-m-2 = (m-2)(m+1) = (x4+x2-2)(x4+x2+1) = (x2+2)(x2-1)(x4+x2+1) = (x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
新人教版 ·数学 ·八年级(上) 15.3因式分解
知识要 点
利用十字交叉线来分解系数，把二次三 项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三 项式分解因式： q=ab，p=a+b
人教版八年级数学上册因式分解十字相乘法精品课件PPT
x2 3x 18 x2 17x 30 x2 13x 42
x 6x 3 x 15 x 2 x 6x 7
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解， 应重点掌握以下问题：
❖
6、我就经历过许多大大小小的挫折。 大海因 为有了 狂风的 袭击， 才显示 出了它 顽强的 生命力 ，它把 狂风化 成了朵 朵浪花 ，给人 们带来 美丽；
感谢观看，欢迎指导！
-3
总结:
2 × (-3)+(－1) × 1=-7
1、由常数项的符号确定分解的两数的符号
2、由一次项系数确定分解的方向
3、勿忘检验分解的合理性
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
6 x2 + 7 x + 2
2
1
3
2 ∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)
人教版八年级数学上册14.3：因式分 解---十 字相乘 法
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
怎 因么为结它果还 与 可刚以才继不续 一 因样式呢分？解
= (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] = (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
14.3因式分解(十字相乘法)课件八年级上册数学人教版【02】
x2+(p+q)x-pq 因式分解得：？
x
q
px +qx =(p+q)x
利用十字交叉线来分解二次三项式的分解因式的方法叫做十字 相乘法.
十字相乘法的适用范围：二次三项式；
特点：
ax2+bx+c=（a1x+c1）(a2x+c2)
左 二次项分成两
边
个式子相乘
ax：
a1x
常数项分成 两个数相乘
c：
c1
右 横着写 边
3.用十字相乘法进行因式分解
⑴ x2+5x+6； ⑵x2-5x+6； (3) x2+5x-6； (4)x2-5x-6
能力提升： 分解因式： （1）12x2-29x+15
看作一个整体
（2）-20x2+9x+20 （3）21(x-1）2 -31(x-1)-30
解（2）-20x2+9x+20 解（1）12x2-29x+15
（2）x2-y2+5x+3y+4
1.十字相乘法的适用范围：二次三项式；
2.公式：ax2+bx+c（= a1x+c1）(a2x+c2)
3.特点：
左 二次项分成两
边
个式子相乘
ax：
a1x
常数项分成 两个数相乘
右 横着写
c：
c1
边
4.十字相乘法口
a2x
c2
首诀尾：分解，交叉相乘， 求和凑整，横向书写。
a1xc2 +a2xc1 =bx
情境引入：
1.你能很快将x2-2x-3分解因式吗？说说你的想法。
人教版数学八年级上册14.十字相乘法与分组分解法课件
x²+mx+n=(x+p)(x+q) m=p+q；n=pq
经典例题
例1 因式分解：（1） x²+3x+2
经典例题
例1 因式分解：（2） x²+4x+3
经典例题
例1 因式分解：（3） x²-2x-3
思考：因式分解：（4） x²-x+6
不是每一个二次三项式都一定可以十字相等分解！
经典例题
例2 因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6)
14.3.2十字相乘法与分组分解法
探究新知
边长为x米的正方形菜地，两边分别增宽p米和q米， 请问你能用几种方法表示新地的面积？
方法一：(x+p)(x+q) 方法二：x²+(p+q)x+pq
p x
x
x
x
q
探究新知
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
和积
即：对于二次项系数为1的二次三项式若有：
x²-7x+10 x²-பைடு நூலகம்x-12 x²+8x+15 x²-8x-9 x²-10x+21 x²-x-6
拓展提升
例3 因式分解： (1) 2x²-x-1
拓展提升
例3 因式分解： (2) 2x²-x-6
拓展提升
例3 因式分解： (3) -3x²+5x+2
拓展提升
例3 因式分解： (4) 6x²-23x+10
巩固提升
因式分解：（1） x²-x-9y²-3y （2） 7x²-3y+xy-21x （3） x²-y²-z²-2yz
经典例题
例1 因式分解：（1） x²+3x+2
经典例题
例1 因式分解：（2） x²+4x+3
经典例题
例1 因式分解：（3） x²-2x-3
思考：因式分解：（4） x²-x+6
不是每一个二次三项式都一定可以十字相等分解！
经典例题
例2 因式分解： (1) (2) (3) (4) (5) (6)
14.3.2十字相乘法与分组分解法
探究新知
边长为x米的正方形菜地，两边分别增宽p米和q米， 请问你能用几种方法表示新地的面积？
方法一：(x+p)(x+q) 方法二：x²+(p+q)x+pq
p x
x
x
x
q
探究新知
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
和积
即：对于二次项系数为1的二次三项式若有：
x²-7x+10 x²-பைடு நூலகம்x-12 x²+8x+15 x²-8x-9 x²-10x+21 x²-x-6
拓展提升
例3 因式分解： (1) 2x²-x-1
拓展提升
例3 因式分解： (2) 2x²-x-6
拓展提升
例3 因式分解： (3) -3x²+5x+2
拓展提升
例3 因式分解： (4) 6x²-23x+10
巩固提升
因式分解：（1） x²-x-9y²-3y （2） 7x²-3y+xy-21x （3） x²-y²-z²-2yz
人教版八年级数学上册14.3.2因式分解的(十字相乘法)ppt精品课件
1+2
1×2
x
1
x
2
x+2x=3x
即：x2 ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x
pq
十字相乘法：
对于二次三项式的分解因式，借用一个十 帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法
例1 分解因式 x －6x＋2 8
解：x －26x＋8
X
=(x－2)(x－4)
试因式分解5x2–6xy–8y2。
这里仍然可以用十字相乘法。
5 x2 – 6 xy – 8 y2
x
–2y
5x
4y
4xy – 10xy = –6xy
∴5x2–6xy–8y2 =(x– 2y)(5x+4y)
简记口诀： 首尾分解，交叉 相乘，求和凑中。
十字相乘法3随堂练习：
1）2(x2+y2)+5xy
先讨论交流，后分解因式。
10(x ＋2)2 －29(x＋2) ＋10 答案 (2x－1)(5x＋8)
7(x+y)3+5(x+y)2-2(x+y) =(x+y)(x+y+1)(7x+7y-2)
能力提升
思考
不解方程组
x求y3x1225+12xy+9y2的值
x3y5
回顾练习：
分解因式：
（1）x2y2-xy-2 (2) a2-3a+2 (3) x2+3xy-28y2 (4) 3x2+8x-3
3x
－9x－x=－10x
例3 分解因式 5x －17x2－12
八年级数学(上册)_因式分解的方法汇总.ppt
(3)原式=
9x2 6x 1 y2 4y 4 (3x 1)2 ( y 2)2 (3x y 1)(3x y 1)
(4)原式= (x 2)3 ( y 2)3 [(x 2)3 (y 2)3]
3(x y)(x 2)(y 2)
(5)原式=
x 2 x y 2 y 2xy (x y)2 (x y) ( x y)(x y 1)
方法五、分组分解法
（1）形如：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
x2 y2 2x 1
(x2 2x 1) y 2
(x 1)2 y 2
(x y 1)(x y 1)
把多项式适当的分组，分组后能够有公因 式或能运用公式，这样的因式分解的方法
( y z)[x2 ( y z)x yz]
(y z)(x y)(x z)
例题2（重庆市竞赛题）分解因式：
4x2 4x y2 4y 3
解：原式= (4x2 4x 1) (y 2 4y 4) (2x 1)2 (y 2)2 (2x y 3)(2x y 1)
方法六、拆项、添项法
知识回顾 Knowledge Review
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程； 3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，
得到需求问题的解。
例题1：如果 x3 ax2 bx 8 有两个因式x+1和
x+2，则a+b=
例题2：如果多项式 x2 (a 5)x 5a 1 能分解成两个 因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的值 是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）
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新知讲解
总结：对于关于x的二次三项式 x2+mx+n 若其中n可被分解为pq，而同时正好m=p+q
则x2+mx+n=(x+p)(x+q)
图示： 1
p
1
q
pq=n 1×p+1×q=m
利用十字交叉线来分解二次项系数 和常数项，把二次三项式的这种分 解因式的方法叫做十字相乘法．
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
4 x2 2x 15
1
5
1
－3
1×5－1×3=2
原式= (x+5)(x－3)
总结：十字相乘法的运用成功依赖于对原式 结构的把握，有时需要多次尝试验证.
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
新知应用
例2 分解下列因式： ①x2+5x－6； ③(a+b)2－4(a+b)+3；
②10－3x－x2；
④ x2－4xy－12y2.
解：①原式= (x+6)(x－1)；
②原式=－(x2+3x－10)=(x+5)(x－2)； 二次项系数调整为1
③原式=(a+b－1)(a+b－3)；
整体思想的应用
④原式=(x－6y)(x+2y).
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
新知应用
例1 请分解下列因式：
1 ab ac 2a bx cx 2x
2 ab 1 a b
解：1原式=b a x c a x 2a x =a xb c 2
2原式= ab a b 1 =a b 1 b 1 = b 1 a 1
解：ax bx cx ay by cy
=x a b c y a b c a b cx y
合理分组后还 是可以分解因 式的！
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
= a2 x 2a a2 x 2a
2原式= abc2 a2cd b2cd abd 2
=ac bc ad bd bc ad
= bc ad ac bd
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式 人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
新知应用
例2 把下列多项式分解因式：
1 a4 x2 4ax 4a2
2 ab c2 d 2 cd a2 b2
解：1原式=a4 x2 4ax 4a2 =a4 x 2a 21源自－21－5
1×(－2)－1×5=－7
原式= (y－2)(y－5)
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
新知应用
3 x2 x 12
1
3
1
－4
1×3－1×4=－1
原式= (x+3)(x－4)
用十字相乘和分组 分解法分解因式
复习总结
1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ ①提公因式法 ②平方差公式 a2－b2=(a+b)(a－b) ③完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
新知引入
你能把下面1个正方形和3个长方形拼成一个大 长方形并求出你拼成的图形的面积吗？
把含y的二次项看为常数项
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
新知讲解
问题：下列因式能分解吗
ax bx cx ay by cy
没有公因式，不能套 用公式，如何分解呢？
归纳总结
(1)若待分解的多项式既没有公因式，又项数多于3项，可以 考虑运用加法结合律，将各项适当分组，先局部分解，再观 察各组分解的结果中是否存在公因式，可否进一步分解因式.
(2)分组分解法可能第一次的分组不会成功，甚至前几次都不 会成功，这时一方面展现我们的数感，更重要的展现我们的 意志品质.
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
x
p
x
q
x q
x 拼出的图形为：
p
p x
q
x
新知引入
这个大长方形的面积可以怎么求？
x
qx
x2
(x+p)(x+q) = x2+(p+q)x+pq
将上面的等式倒过来看，能得到：
p
pq
px
q
x
x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
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跟踪练习
请分解下列因式
1 ab a b 1
2 a2 2ab b2 1
解：1原式=a b 1 b 1 2原式= a b2 1
= b 1 a b
= a b 1 a b 1
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
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新知讲解
等式的特点：
x2+mx+n=(x+p)(x+q)
(1)等式左边是一个关于x的二次项系数为1的二次三项式；
(2)等式左边的常数项可以分解成两个因数的乘积，且这 两个数的和等于一次项系数；
(3)等式右边为两个关于x的一次因式的乘积．
人教版数学八年级上册课件第十四章1 4.3因 式分解 十字相乘与分组分解法分解因式
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新知应用
例1.分解下列因式：
1 x2 7 x 12
1
－3
1
－4
1×(－3)－1×4=－7
解：原式= (x－3)(x－4)
2 y2 7 y 10