江科大大一高数一D映射与函数PPT课件
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第一节 映射与函数课件
函数 f 的值域，记作 Rf = f (D) = { y| y = f (x) , x D }．
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
第一节 映射与函数
两点说明
(1) 函数两要素：定义域、对应法则 例如：函数 f (x) = x2 ，自然定义域为 (- , + )，
若它表示正方形的面积 则其定义域为(0 , + )．
表达式有意义的全体实数的集合，称之为自然定义域．
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
定义域
Df
π 2
,
π 2
,
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ． y
1
π 2
f (x) = sin x
O
πx
2
-1
第一节 映射与函数
2、常见映射类型
（1）若 f ( X ) Y , 则称 f 为满射.
映射 g 为 f 的逆映射，记作 f -1 , 其定义域 D f 1 R f ,
值域 R f 1 X .
Rf
只有单射才存在逆映射
第一节 映射与函数
(2)定义 设有两个映射 g : X Y 1 , f : Y 2 Z ,
其中 Y1 Y2 , 则由映射 g 和 f 可以定义一个从 X 到 Z 的对应法则，它将每个 x X 映成 f [g(x)] Z . 这个法 则确定了一个从 X 到 Z 的映射，称之为映射 g 和 f 构成
X
Rg Df
Z
第一节 映射与函数
例4.
第一节 映射与函数
二、函数
高等数学第一章函数与极限第一节映射与函数.ppt
f ( x ) g f ( x ) e
e1 e0 e 1
| x |1 e | x |1 | x | 1 1 | x |1 1 | x |1 e | x |1
18
复合次序不同 ,结果不相同 .
高 等 数 学 PPT 课件
第 一 章
教材 : 同济 高等数学 第五版
欢迎您加入本课堂，希望 您刻苦学习，努力争取最优异 的成绩。
2
第一章
第一节
函数与极限
映射与函数
3
一 . 邻域 : U ( a ,) x x a
x a x a
( 取整函数) 3 ) .y int( x ) ( x 1 ,x ] 上的整数
x 1 int( x ) x
6, 例 . int( 5 . 6 )
( 6 . 6 , 5 . 6 ]
int( 3 . 8 ) 3 ,
int( 0 . 4 ) 0 ,
int( 5 ) 5 ,
2 2 2 2 2 ch x 1 . ch 2 x ch x sh x 1 2 sh x x x y y x x y y e e e e e e e e sh x ch y ch x sh y 2 2 2 2 x yx y x y x yx y x yx y x y e e e e e e e e 4 4 x y x y 2 e 2 e sh ( x y ) 14 4
9
以上五类函数称为基本 初等函数 . (P 17 )
要熟练掌握基本初等函 数的图形 ,有界性 ,单调性 , 奇偶性 , 周期性 , 定义域 , 值域等 .
高数课件-映射与函数
义的一切实数组成的合集，这种定义域称为函数的自然定义域。在这种约定之下，一
般的用算是表达的函数可用“y=∱（x）”表达，而不必再出Df。
例如，函数y=
1- x 2 的定义域是封闭间 -1，1 ，函数y=
1 的定义域是开区间 1- x2
（-1，1）。
表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公 式法）。其中，用图形法表下）的像，并记作∱（χ）,即
y=∱（χ）, 而元素χ称为元素y（在映射∱下）的一个原像；集合X称为映射∱的定义域，记作Df， 即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射∱的值域，记作Rf或者∱（χ），即
Rf=∱(X)= f(x) I χ∈X
在上述映射的定义中，需要注意的是：
映 射
与
主讲人： 日期 :
函 数
第一节 映射与函数
映射是现代数学中的一个基本概念，而函数是微积分的研究对象，也是映射的一 种。本节主要介绍映射、函数及有关概念，函数的性质与运算等。
一.映射
1.映射概念 定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则∱，使得对X中的每个元素χ，按法则∱， 在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称∱为从X到Y的映射，记作
由复合映射的定义可知，映射ℊ和∱构成复合映射的条件是：ℊ的值域Rg必须包含 在∱的定义域内，即Rg⊂Df,否则，不能构成复合映射。由此可以知道，映射ℊ和∱的复 合是有顺序的，∱∘ℊ有意义并不表示ℊ∘∱也有意义。即使∱∘ℊ与ℊ∘∱都有意义，复合映 射∱∘ℊ与ℊ∘∱也未必相同。
例4
设有映射ℊ：R→ -1，1 ，对每个x∈R，ℊ（x)=sinx；映射∱： -1，1 → 0，1 ， 对每个 u∈ -1，1 ，∱（u)= 1- u2,则映射ℊ和∱构成的复合映射∱∘ℊ：R→ 0，1
映射与函数PPT课件
象与原象的概念
一一映射的定义 单射＋满射 = 一一映射
*注意: 1.映射是一种特殊的对应：多对一、一对一
2.一一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，
B到A也是映射。
-
19
-
20
定义ห้องสมุดไป่ตู้：一般地，设A、B是两个集合。f：A→B
是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A的不同元素，在集合B中 有不同的象，且B中每一个元素都有原象， 那么这个映射叫做A到B上的一一映射。
（4）对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有 唯一的抛物线和它对应。 A={二次函数}，B={坐标平面内的抛物线}
法则f：画图像
-
5
(1) A 开平方 B
9
3 -3
4
2 -2
1
1 -1
A 求正弦 B
(2)
300
½
450
600
900
1
A
(3)
1 -1 2 -2 3 -3
求平方
B
(4) A
1
1
4
2
9 前进
A
B
0
0
1
1
2
4
4
9
9
64
答：是映射，不是一一映射。
-
16
（2）A={0,1,4,9,16},B={-1,0,1,2,3,4}, 对应法则 f：求平方根
答：不是映射。
（3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值
答：不是映射。
（4）A={11,16,20,21},B={6,2,4,0}, 对应法则 f：求被7除的余数
√
-
10
定义2：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，
高等数学映射与函数PPT课件
y
反函数 x f 1( y)
y0
W
o
y0
W
x0
x
o
D
第33页/共52页
x0
x
D
34
映射与函数
说明
反函数的习惯表示法 若直接函数 y=f (x)，x∈D， 则反函数记为 y f 1( x), x f (D).
A
B I
A B I
AB
AB
2
第2页/共52页
映射与函数
差,
} A\B={x|xA且xB
补, AC I \ A ( A I );
I
A B
B A
I
A\B
B = AC(或A)
直积或笛卡儿乘积:
A B {(x, y) x A and y B}.
3
第3页/共52页
4
映射与函数
(2)运算法则
交换律: A B B A, A B B A ; 结合律: ( A B) C A (B C ) ,
补例2 设A、B两地之间的长途电话费在最初的3分 钟是6.60(元), 以后的每分钟(不足一分钟按一分钟 计)另加1.20(元).
显然长途电话费C(单位:元)是通话时间t(单位: 分钟)的函数.试写出函数的公式表示,并描绘它的
图形。
解：记长途电话费为C(t)．由于t>0，于是函数 的定义域为(0, +)．从给出的信息，我们有
(1)定义 设X、Y是两个非空集合，若存在一个法则 f，使得对X中每个元素x，按照法则f，在Y 中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为 从X到Y的映射，记作
f:X→Y
如，X={三角形}，Y={圆}，f：X → Y,对每个 xX,有唯一确定的y(x的外接圆)Y与之对应.
高等数学PPT课件：映射与函数
描述法
{ x x2 2 x 3 0 }.
4
映射与函数
注 对几个常用的数集规定记号如下
自然数的集合 N {0,1,2, ,n, };
正整数的集合 N+ {1,2, ,n, };
整数的集合 Z { , n, , 2, 1,0,1,2, ,n, };
5
映射与函数
有理数的集合
Q
p q
p Z, q N+ 且p与q互质 ;
33
映射与函数
例 取整函数 y [ x]表示不超过x的最大整数
y [x] n, 当 n x n 1 , n Z
y
阶
3•
梯
2•
曲
线
1•
o • •
21
•
•
•
•
123 4
x
• 1
• 2
定义域 D (,), 值域 Rf {整数}.
34
映射与函数
例 狄利克雷(Dirichlet)函数
y
D(
(A∩B)C = AC ∪ BC ;
13
映射与函数
直积 (乘积集或笛卡儿乘积)
设 A,B 是两个集合, 则称 A B { ( x, y) x A 且y B } 为 A, B 的 直积.
y
B AB
O
A
x
14
映射与函数
如, A (1,1), B [0,1], 则A B {( x, y) 1 x 1, 0 y 1}
有界.
36
映射与函数
函
数f
(
x)
1
x x
2
在
定
义
域
内
为(
C
).
《映射和函数》课件
奇函数
如果一个函数满足f(-x)=f(x)，则该函数为奇函数， 其图像关于原点对称。
06
常见函数的图像和性质
正比例函数
总结词
正比关系，过原点
详细描述
正比例函数是形如$y=kx$（$k neq 0$）的函数，图像是一条经过原点的直线。当 $k>0$时，图像过一、三象限；当$k<0$时，图像过二、四象限。
总结词
函数是数学中一个重要的概念， 它描述了两个集合之间的对应关 系。
详细描述
函数是建立在两个非空集合A和B 之间的对应关系，使得集合A中的 每一个元素x，通过某种对应关系 f，在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应。
函数的性质
总结词
函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性和周期性等。
详细描述
有界性是指函数在一定区间内存在上界和下界；单调性是指函数在某一区间内 的增减性；奇偶性是指函数对于原点的对称性；周期性是指函数按照一定的周 期重复的性质。
详细描述
函数加法是将两个函数的输出作为输入，对应输出相加得到的新的函数。函数加 法满足交换律和结合律。
函数的数乘
总结词
数乘函数的概念和性质
详细描述
数乘是指将一个常数与一个函数相乘，得到一个新的函数。数乘满足结合律和分配律。数乘对函数的图像有伸缩 变换的影响。
函数的复合
总结词
复合函数的概念和性质
详细描述
映射中集合A的元素x的取值范围。
陪域
映射中集合B中元素y的取值范围。
函数
特殊的映射，其定义域和陪域都是数集， 且数集中的每一个元素都有唯一的一个数 与之对应。
映射的性质
01
02
03
04
一一对应
《高数映射与函数》课件
在指数的位置上。
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
Байду номын сангаас
指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01
04
高数中的映射与函数
高数中的映射
映射的基本概念
映射是从一个集合到另 一个集合的对应关系， 它描述了元素之间的对 应关系。
映射的表示方法
通常使用箭头或等号来 表示映射关系，例如 f: A → B 表示从集合 A 到集合 B 的映射。
单射与满射
单射是指每个元素在集 合 A 中都有唯一的元素 与之对应，而满射则是 指集合 B 中的每个元素 都有至少一个元素与之 对应。
03
对应法则是函数的核心，它规定了输入集合中的每 一个元素如何与输出集合中的元素对应。
函数的性质
有界性
函数在某个区间上的取值范围是有限的。
单调性
函数在某个区间上随着自变量的增加，函数值也单调增加或减少。
周期性
函数在一定周期内的取值具有重复性。
可导性
函数在某一点的切线斜率存在。
函数的分类
代数函数
三角函数
答案4
函数的极限、连续性和可导性之 间的关系是密切相关的。极限存 在是连续的必要条件，连续是可 导的必要条件。一个函数在某点 可导，则一定在该点连续，同时 也存在极限。
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Байду номын сангаас
指数函数
对数函数
由代数方程定义的函数，如 多项式、分式、根式等。
与三角学相关的函数，如正 弦、余弦、正切等。
形如$a^x$的函数，其中 $a>0$且$aneq1$。
以数$a$的$n$次方等于$x$记 作$a^n=x$（$a>0,a≠1$）， 数$a$称为这函数的底数，$n$ 称为这函数的指数，作为表示 形式记作对数函数的自变量写
01
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说明: 还可定义有上界、有下界、无界(见上册 P11 )
(2) 单调性
若
x1, x,2 f (x1) ,
f (Ix,)当x1
M
,x2称时,为有上界
f( M
x2
) f
,称 f (x) 为 I 上 (单x)调, 称增函为的数有下; 界
y
若 若f (x对1)任意f (正x2数), 称M ,f (x均) 存为在Ix 上D的, 使 f (xx)1 xM2 , x
第一章
一、集合
定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 表示法.
点 a 的 邻域：
去心 邻域：
其中 a 称为邻域中心 , 称为邻域半
左 径邻域. :
Hale Waihona Puke 右 邻域 :两个数学符号.
二、 映射
定义2. 设 X , Y 是两个非空集合若,存在一个法则 f ,
使得
f
f 1
f (D)
的逆映射记成
y f 1(x) , x f (D)
例如, 映 射
其逆映射为
9
复合映射定义: 设有映射链
g xD
u g(x) g(D)
f
u D1
则当 g(D) D1 时,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的
合映射 ,记作
复
或 f g(x), x D.
名称. 例如,
X (≠ ) f Y (数集) X (≠ ) f X
X (数集 或点集 ) f R
f 称为X 上的泛函 f 称为X 上的变换
f 称为定义在 X 上的为函数
逆映射的定义:
若映射
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的逆映射 . 习惯上 ,y f (x), x D D
教材：高等数学（同济大学第五版）
辅助教材：微积分（同济大学） 高等数学教程（清华大学）
教参：高等数学辅导（盛祥耀等） 高等数学习题课教程（蒋家尚）
成绩评定
平时（10%）+期中（20%）+期末（70%） 学习方法 预习 听讲 复习 作业 提问
引言
什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常 以静止观点研究问题. 高等数学 量 —, 研究对象为变 运动和辩证法进入了数学.
注意: 1) 构成映射的三要素:定义域,值域,唯一对应 .
2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一
对映射
若 f (X ) Y , 则称 f 为满射;
X
f Y f (X)
若
有X
Y
则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射则, 称 f 为双射 或一一映射.
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调 (减)其反函数
递增且也单调递增 (减) .
2) 函数
量,
数学中的转折点是笛卡儿的变数.
有了变数 , 运动进入了数学 ,有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻 成为必要的,而微积分也就立刻产生.
第一章 函数与极限
高数基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/2
2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界
性 M 0, x D ,使 f (x) M , 称 f (x)为有界函数. M 0, x I ,使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
有唯一确定的
与之对应 ,则
称 f 为从 X 到 Y 的映记射作, f : X Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 记像作,y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
g(D)
注意: 构成复合映射的条件g(D) D1 不可少.
以上定义也可推广到多个映射的情形.
10
三、函数
1. 函数的概念
定义3. 设数集D R , 则称映射 D 上的函数 ,记为
为定义在
y f (x), x D
y
f ( D ) 称为值域
y
函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
ex
y e
x
y ch x
记
ch x
双曲余弦
o
x
又如, y f (x) ex ex 2
记
sh x 双曲正弦
奇函数
y
ex
ex
y sh x
o
x
再如,
y
sh ch
x x
ex ex
ex ex
奇函数
记
th x 双曲正切
y
1 y th x
o
x
1
(4) 周期性
则称 f ( x )单无调减函数 .
界.
(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若
则称 f (x) 为偶函
y
若
数则;称 f (x) 为奇函
数.
说明: f (x) 在 x = 0 有定 则当
x o x x
f (若x) 为奇函数时义,必,有 f (0) 0.
例如,
y f (x) ex ex 偶函数 2
D f (D)
ax bx ( D [a,b])
x D f y f (D) y y f (x), x D
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义 域
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合.
• 对应规律的表示方法:解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
l 0, x D, 有 x l D, 若
则称 f (x)为周期函数 ,称 l 为周期( 一般指最小正周期 ). y
2 o 2 x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函 f (x) C
数 狄里克雷函数
1, x 为有理数 0, x 为无理数