【全国百强校】北京海淀北大附中2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含解析)

人大附中2016-2017学年度第二学期期末高二年级数学（理科）练习一、选择题（共8道小题，每道小题5分，共40分，请将正确答案填涂在答题纸上．） 1．设i 是虚数单位，则311i=-（ ）． A ．11i 22- B ．11i 22+C ．1i -D ．1i +【答案】A【解析】3321111i 11i 1i 1i i 1i 1i 22-====---⋅+-． 故选A ．2．在极坐标系中，点π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与点3π1,4⎛⎫⎪⎝⎭的距离为（ ）．A ．1BCD【答案】B【解析】将极坐标中π1,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与31,π4⎛⎫⎪⎝⎭点化成直角坐标中的点坐标与⎛ ⎝两点的距离d ==． 故选B ．3．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为（ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【答案】B【解析】∵曲线ln()y x a =+的斜率1k x a=+，当1k =时， ∴1x a =-①，且两者相交于同一点，即1ln()x x a +-+②， 联立①②可得2a =． 故选B ．4．圆11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数）被直线0y =截得的劣弧长为（ ）．AB ．πC ．D ．4π【答案】A【解析】将圆的参数方程化成一般方程为22(1)(1)2x y ++-=， 圆心(1,1)-到直线0y =的距离1d =，所截得弦长2l ==，∴劣弧所对的圆心角θ有sin2θ==， ∴π24θ=，π2θ=，∴劣弧弧长为周长的14，即为12π4r ⨯=． 故选A ．5．直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的位置关系是（ ）．A ．相交但不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离【答案】C【解析】直线πsin 44ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化成0y x +-=，圆π4sin 4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可化成22((4x y -+-=，圆心到直线的距离2d r ===，说明圆与直线相切．故选C ．6．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958【答案】D【解析】第一次落地打破的概率为10.3P =， 第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=， 第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=． 故选D ．7．若函数21()ln 2f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）． A ．(1,2)B ．[1,2)C ．[0,2)D ．(0,2)【答案】A【解析】∵21()ln 2f x x x =-，211()(0)x f x x x x x-'=-=>， 令()0f x '>，有1x >， 令()0f x '<，有01x <<，当()f x 在(1,1)k k -+上不是单调函数，则有011k <-<，解得12k <<．故选A ．8．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A ，B ，C ； （2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D ，E ，F ； （3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G ，A ，C ； （4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B ，D ，H ； （5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I ，C ，E ．倒霉和李华在下落的过程中撞到了从A 到I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这9根树枝不同的撞击次序有（ ）种． A ．23B ．24C ．32D ．33【答案】D【解析】由题可判断出树枝部分顺序GABCEF ，还剩下D ，H ，I ， 先看树枝I 在C 之前，有4种可能，而树枝D 在BE 之间，H 在D 之后， 若I 在BC 之间，D 有3种可能： ①若D 在BI 之间，H 有5种可能， ②若D 在IC 之间，H 有4种可能， ③若D 在CE 之间，H 有3种可能．若I 不在BC 之间，则I 有3种可能，此时D 有2种可能，D 可能在BC 之间，H 有4种可能，D 可能在CE 之间，H 有3种可能， 综上共有5433(43)122133++++=+=．故选D ．二、填空题（共6道小题，每道小题5分，共30分．将正确答案填写在答题卡要求的空格中．） 9．若5()x a -的展开式中2x 项的系数是10，则实数a 的值是__________． 【答案】1-【解析】5()x a -展开式中2x 系数为2335C ()1010a a -=-=， 可得1a =-．10．在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是0、12i +、2i -+，则该正方形的第四个顶点对应的复数是__________． 【答案】(1,3)-【解析】正方形三个顶点对应的坐标为(0,0)，(1,2)，(2,1)-， 设第4个顶点为(,)a b ，则(1,2)(20,10)(2,1)a b --=---=-， ∴1a =-，3b =，即第4个顶点为(1,3)-．11．设随机变量~(2,)B p ξ，~(4,)B p η，若5(1)9p ξ=≥，则(2)p η≥的值为__________． 【答案】1127【解析】∵随机变量~(2,)B p ξ，5(1)9p ξ=≥， ∴02251C 9p -=， ∴23p =， ∴2~4,3B η⎛⎫⎪⎝⎭，∴22232344441212211(2)C C C 3333327p η⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥．12．设1a >，1b >，若ln 2ln 3a a b b -=-，则a ，b 的大小关系为__________． 【答案】b a <【解析】∵ln 2ln 2a a b b b -=--， 令()ln 2(1)f x x x x =->， ∴()()f a f b b =-， ∴()()1f b f a b -=>， ∴()()f b f a >，∵1()20f x x'=-<，即()f x 在(1,)+∞单调递减，∴b a <．13．抛物线2:4C x y =与经过其焦点F 的直线l 相交于A ，B 两点，若||5AF =，则||AB = __________，抛物线C 与直线l 围成的封闭图形的面积为__________． 【答案】254；12524【解析】∵抛物线24x y =的焦点为(0,1)，||5AF =，由抛物线性质可知，A 点到准线1y =-距离为5，∴A 的纵坐标4A y =， ∴(4,4)A ±， 当A 为(4,4)时，413404AB k -==-， ∴直线AB 为314y x =+， 联立直线与抛物线，解得另一交点B 坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴254AB ==，所围成的封闭面积421311251d 4424S x x x -⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭⎰．14．对于有n 个数的序列01:A a ，2a ，，(*)n a n ∈N ，实施变换T 得新序列112:A a a +，23a a +，，1n n a a -+，记作10()A T A =；对1A 继续实施变换T 得新序列210()(())A T A T T A ==，记作220()A T A =；，110()n n A T A --=．最后得到的序列1n A -只有一个数，记作0()S A ．（1）若序列0A 为1，2，3，4，则序列2A 为__________． （2）若序列0A 为1，2，，n ，则序列0()S A =__________．【答案】（1）8，12（2）1(2)2n n -+⨯ 【解析】（1）由题意1:12A +，23+，34+， 2:1223A +++，2334+++，即2A 为8，12．（2）1n =时，0()123S A =+=，2n =时，0()1223233412333420S A =+++++++=+⨯+⨯+=，联1n -时，01221011111()C 1C 2C 3C (1)C n n n n n n n S A n n -------=⋅+⋅+⋅+-+⋅，联n 时，01210111()C 1C 2C 3C C (1)n n n n n n n S A n n ----=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+，利用倒序相加可得： 102()2(2)22nn n S A n -+=⨯=+⋅．三、解答题（共六道小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个小球，以X 表示取出的3个球中最小的号码数，求X 的分布列和期望． 【答案】【解析】 16．（本小题满分12分）已知函数2()f x ax bx c =++，[0,6]x ∈的图象经过(0,0)和(6,0)两点，如图所示，且函数()f x 的值域为[0,9]，过动点(,())P t f t 作x 轴的垂线，垂足为A ，连接OP ．（1）求函数()f x 的解析式．（2）记OAP △的面积为S ，求S 的最大值．AP6xyO【答案】见解析． 【解析】（2）211||||(6)22OAP S OA AP t t t =⋅=-△，(0.6)t ∈，21()(6)2S t t t t =-，23()62S t t t '=-，当4t =时，2max 1()(4)4(644)162S t S ==⨯⨯-=， 即AOP △面积最大值为16． 17．（本题满分14分）某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下：下：（1（2）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率． （3）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（1）0.55．（2）311．（3）1.23． 【解析】（1）设出险次数为事件X ，一续保人本年度的保费为事件A ， 则续保人本年度保费高于基本保费为事件C ， 则()()P C P A a =>，()(2)(3)(4)(5)P C P x P x P x P x ==+=+=+≥ 0.200.200.100.050.55=+++=．（2）设保费比基本保费高出60%为事件B ， ()(4)(5)0.10.053(/)()()0.5511P BC P x P x P B C P C P C =+=+====． （3）平均保费()0.850.30.150.2 1.250.2 1.50.1 1.7520.05E A =⨯++⨯+⨯+++⨯ 1.23=，∴平均保费与基本保费比值为1.231.231=．18．（本题满分14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）当02a <<时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[0,3]的最小值．【答案】【解析】 19．（本题满分14分）某校准备举办一次体操比赛，邀请三位评委（编号分别为1，2，3）打分，比赛采用10分制，评委的打分只能为正整数，据赛前了解，参赛选手均为中上水平，并无顶级选手参赛，已知各评委打分互不影响，并且评委(1,2,3)i i =一次打分与选手真实水平差异i X 服从分布如下：现有两个给分方案：方案一：从三位评委给分中随机抽一个分数作为选手分数．方案二：从三位评委给分中分别去掉最高分，去掉最低分，将剩下那个分数作为选手分数． （1）1p =__________，2p =__________，3p =__________，评委__________水平最高．（2）用随机变量X 表示使用方案一时选手得分与其真实水平差异，用随机变量Y 表示使用方案二时选手得分与其真实水平差异，分别求出X ，Y 的分布列． （3）如果请你来决策，你会选哪种方案？请说明理由． 【答案】【解析】 20．（本题满分14分）设函数3()2f x x =，13()g x x x =+．（1）令()()()h x f x g x =-，求证：函数()h x 只有1-，0，1三个零点． （2）若数列{}(*)n a n ∈N 满足：1a a =，1()()n n f a g a +=． 求证：存在常数M ，使得*n ∀∈N ，都有n a M ≤． 【答案】 【解析】。