湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期期中考试数学文 word版
2015-2016年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题3分，共45分）1．（3分）已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P （A）+P（B）≤13．（3分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．54．（3分）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．5．（3分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r16．（3分）双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣ C．D．﹣7．（3分）抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y= C．y=D．y=﹣8．（3分）命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥49．（3分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（3分）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．11．（3分）若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜212．（3分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．14．（3分）经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q 两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab15．（3分）曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分）16．（3分）抛物线y 2=4px （p ＞0）上一点M 到焦点的距离是a （a ＞p ），则点M 的横坐标是 ．17．（3分）给出以下命题：①∀x ∈R ，有x 4＞x 2；②∃α∈R ，使得sin3α=3sinα；③∃a ∈R ，对∀x ∈R 使x 2+2x +a ＜0．其中真命题的序号是 ．18．（3分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为 ．19．（3分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 ．20．（3分）椭圆的焦点为F 1，F 2，点P 是椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 ．三、解答题（每题8分，共40分）21．（8分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y=bx +a ；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．22．（8分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．23．（8分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．24．（8分）如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．25．（8分）如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共45分）1．（3分）已知命题p：若x2+y2=0，则x、y全为0；命题q：若a＞b，则．给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③¬p④¬q，其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若x2+y2=0，根据实数的性质得，a=b=0，即x、y全为0，则命题p 为真命题；若a＞0＞b，则，即命题q：若a＞b，则．为假命题；故：①p且q为假命题，②p或q为真命题，③¬p为假命题，④¬q为真命题，故选：B．2．（3分）若A，B为互斥事件，则（）A．P（A）+P（B）＜1 B．P（A）+P（B）＞1 C．P（A）+P（B）=1 D．P （A）+P（B）≤1【解答】解：由已知中A，B为互斥事件，由互斥事件概率加法公式可得：P（A）+P（B）≤1当A，B为对立事件时，P（A）+P（B）=1故选：D．3．（3分）已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．7 D．5【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a=3+d⇒d=2a ﹣3=7．故选：C．4．（3分）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选：A．5．（3分）变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2=r1【解答】解：∵变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），=11.72∴这组数据的相关系数是r=，变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），∴这组数据的相关系数是﹣0.3755，∴第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：C．6．（3分）双曲线kx2+5y2=5的一个焦点是（0，2），则k等于（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：双曲线kx2+5y2=5化为，∴a2=1，b2=﹣．又∵双曲线的一个焦点坐标是（0，2），∴c=2．∵c2=a2+b2．∴4=1﹣，解得k=﹣．故选：B．7．（3分）抛物线y=4x2的准线方程为（）A．y=﹣B．y= C．y=D．y=﹣【解答】解：由x2=y，∴p=．准线方程为y=﹣．故选：D．8．（3分）命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．9．（3分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），故选：A．10．（3分）点A，B的坐标分别是（﹣5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以k AM=（x≠﹣5），k BM=（x≠5）由已知，=化简，得4x2﹣9y2=100（x≠±5）即：．故选：C．11．（3分）若在双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．e＞2 D．1＜e＜2【解答】解：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，由两点间距离公式：x2+y2=（x﹣c）2+y2得x=，∵x≥a，∴≥a，得e≥2，又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2故选：C．12．（3分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选：B．13．（3分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．14．（3分）经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q 两点，则|MP|•|MQ|为定值，其值为（）A．a2B．b2C．c2D．ab【解答】解：经过双曲线上任一点M作平行于实轴的直线，与渐近线交于P、Q 两点，设M（x，y），则有：⇒①且P（﹣y，y），Q（y，y），∴=（﹣y﹣x，0），=（y﹣x，0）∴|MP|•|MQ|==（﹣y﹣x）•（y﹣x）+0=x2﹣y2=﹣y2=a2．故选：A．15．（3分）曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F恰好是曲线C2：（a＞0，b＞0）的右焦点，且曲线C1与曲线C2交点连线过点F，则曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：曲线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），则双曲线的c=，曲线C1与曲线C2交点连线MN过点F，由对称性可得，交线垂直于x轴，令x=c，代入双曲线方程得，y2=b2（﹣1）=，解得，y=，则|MN|=，令x=，代入抛物线方程可得，y2=p2，即y=±p，则|MN|=2p，则2p=，即有b2=2ac=c2﹣a2，即有e2﹣2e﹣1=0，解得，e=1+．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）16．（3分）抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a＞p），则点M 的横坐标是a﹣p．【解答】解：如图，由题意知|MF|=a（a＞p），∵抛物线y2=4px的准线方程为x=﹣p，由抛物线定义得x M+p=a，则x M=a﹣p．故答案为：a﹣p．17．（3分）给出以下命题：①∀x∈R，有x4＞x2；②∃α∈R，使得sin3α=3sinα；③∃a∈R，对∀x∈R使x2+2x+a＜0．其中真命题的序号是②．【解答】解：当x=1时，x4=x2，故①错误；当α=0时，sin3α=3sinα，故②正确；对于③由于抛物线开口向上，一定有函数值大于0，故③错误故答案为②18．（3分）观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.3．【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.319．（3分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的办法分成50个部分．如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从中随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为0795．【解答】解：∵系统抽样是先将总体按样本容量分成k=段，再间隔k取一个．又∵现在总体的个体数为1000，样本容量为50，∴k=20∴若第一个号码为0015，则第40个号码为0015+20×39=0795故答案为079520．（3分）椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a2=13，b=2，∴=3．F1（﹣3，0），F2（3，0）．设P（x，y），则，∴y2=4．∵∠F1PF2为钝角，∴=（x+3，y）•（x﹣3，y）=x2﹣9+y2＜0，∴x2﹣9+4＜0．化为x2，解得＜x＜．∴点P的横坐标的取值范围是，故答案为：．三、解答题（每题8分，共40分）21．（8分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．22．（8分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．23．（8分）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax2﹣4bx+1的图象的对称轴为，要使f（x）=ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…（2分）若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…（4分）记B={函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数}，则事件B包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴…（6分）（2）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，其面积…（8分）事件A构成的区域：由，得交点坐标为，…（10分）∴，∴事件A发生的概率为…（12分）24．（8分）如图，已知直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．（1）求AB直线方程；（2）求p的值．【解答】解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴，又AB⊥OD，且AB过D（2，1），∴AB：y﹣1=﹣2（x﹣2），整理得：2x+y﹣5=0；（2）设点A的坐标（x1，y1），点B的坐标（x2，y2），由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，由（1）知AB的直线方程为y=﹣2x+5∴y1y2﹣（y1+y2）+5=0，①联立y=﹣2x+5与y2=2px，消去x得：y2+py﹣5p=0，y1+y2=﹣p，y1y2=﹣5p，②把②代入解得，经检验满足△＞0．∴p=．25．（8分）如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．【解答】（1）解：设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…（2分）所以椭圆方程为，又因为经过点A（3，1），则，…（4分）所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（6分）（2）证明：直线AC的方程为y=x﹣2，与椭圆方程联立，可得x2﹣3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，﹣2）直线BD的方程为y=﹣x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有∴D=﹣1，E=﹣1，F=﹣6，∴圆的方程为x2+y2﹣x﹣y﹣6=0，∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，∴A、B、C、D四点在同一个圆上．。
2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学(理)试题(word)
2015-2016学年湖南师范大学附属中学高二下学期期中考试数学（理）试题（word ）第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.1.已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()U A C B 等于（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（ ）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7.下列坐标对应的点中，落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．()1,4- D ．()1,88.在ABC ∆中，已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（ ）A B D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）9.比较大小：2log 5_____2log 3（填“>”或“<”）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11.某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5，则输出的y 值为________.12.若1a >，则11a a +-的最小值是________． 三、解答题 （本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）13.(本小题满分6分) 已知4sin ,052παα=<<，求cos α和sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 14.（本小题满分8分）已知在等差数列{}n a 中，131,3a a =-=． （1）求n a ；（2）令2n an b =，判断数列{}n b 是等差数列还是等比数列，并说明理由．15.（本小题满分8分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．（1）求证：AC ⊥平面11B BDD ； （2）求三棱锥1B ACB -的体积． 16.（本小题满分8分）已知圆C 经过()3,2A 和()1,6B 两点，且圆心在直线2y x =上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点()1,3P -且与圆C 相切，求直线l 的方程． 17.（本小题满分10分） 已知函数()()2log 1f x x =+．（1）将函数()f x 的图像上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图像，写出函数()g x 的表达式；（2）若关于x 的函数()()223y g x mg x =-+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值．第Ⅱ卷（共５0分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.）18.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -= D. 22143x y -=19.甲、乙、丙、丁、戌5人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．72种 B ．36种 C ．54种 D.24种 20.已知集合()(){},|M x y y f x == ，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①()1,|M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；②(){},|sin 1M x y y x ==+；③(){}2,|log M x y y x ==；④(){},|2x M x y y e ==-，其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．②④B ．②③C ．①④ D.①②二、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 21.若“0,,tan 3x x m π⎡⎤∀∈<⎢⎥⎣⎦”是假命题，则实数m 的最大值为________． 22．已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在C 上，则AN BN +=_________．三、解答题（本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23. （本小题满分12分）现有长分别为123m m m 、、的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同附有不同的编号），从中随机抽取2根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．若X 表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计） ． （1）求X 的分布列；（2）若()21,1Y X E Y λλ=-++>，求实数λ的取值范围．24. （本小题满分13分） 已知函数()()()1ln 10x f x x x++=>．（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （2）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值； （3）求证：()()()223*1!1n n n e n N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．参考答案 第Ⅰ卷一、选择题 1.D 2. C3. D 【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 4．A 5．B 6．A 7．A 8．C 二、填空题9. > 10.100 11. 4 12. 3 三、解答题14．【解析】（1）设数列{}n a 的公差是d ，则31231a a d -==-， 故()12123n a n n =-+-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由（1）可得2322na n nb -==，所以()21321232242n n n n b b +-+-===是一常数，故数列{}n b 是等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 15.【解析】（1）∵1DD ⊥面ABCD ，∴1AC DD ⊥． 又∵BD AC ⊥且1,DD BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线， ∴AC ⊥平面11B BDD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）111111113326B ACB B ABC ABC V V S BB AB BC BB --∆===⨯⨯⨯=． 16．【解析】（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--， 故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=， 解方程组2602x y y x -+=⎧⎨=⎩得24x y =⎧⎨=⎩，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y kx -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，解得2k =或12k =-． 所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 17．【解析】（1）()()2log 0g x x x =>；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （2）()()()222223log 2log 3y gx mg x x m x =-+=-+令[]()2log 0,2t x t =∈得()222233y t mt t m m =-+=-+-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ① 若0m <，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递增，∴当0t =时，min 32y =≠，无解； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ② 若02m ≤≤，则当t m =时，2min 32y m =-=，解得1,1m =-（舍去）， ∴1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分③ 若2m >，则223y t mt =-+在[]0,2t ∈上递减，∴当2t =时，min 742y m =-=，解得524m =<，不符合条件，舍去； 综上可得1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分第II 卷一、选择题 18. D 19.B 20．A 二、填空题22．12 三、解答题23．【解析】（1）X 可能的取值为2，3，4，5，6．()()2113332299112;3124C C C P X P X C C ======；()()21111333332299114;534C C C C C P X P X C C +======； ()23291612C P X C ===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ∴X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）()111112345641243412E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∵21Y X λλ=-++，∴()()22141E Y E X λλλλ=-++=-++，∵()1E Y >，∴214104λλλ-++⇒<<． ∴实数λ的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 24.【解析】（1）函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数，因为()()()()()221ln 111ln 1101xx x x x f x x x x -++⎡⎤⎣⎦++++'==-<+，所以函数()f x 在区间()0,+∞上是减函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）当0x >时，()()()11ln 11x x k f x k x x+++⎡⎤⎣⎦>⇔>+设函数()()()11ln 1x x g x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()21ln 1x x g x x--+'=， 设()()1ln 1h x x x =--+，则()11011x h x x x '=-=>++， ∴()h x 在区间()0,+∞上是增函数 又()()21ln 30,32ln 40h h =-<=->所以存在()02,3x ∈，使得()00h x =即()001ln 1x x -=+， 从而当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()()()()0min 11ln 1x x g x g x k x+++⎡⎤⎣⎦==>恒成立的最大正整数3k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由（2）知：当0x >时，()31f x x >+恒成立，即()1ln 131x x x ++>+， 从而()33ln 11211x x x x +>-=-++， 令()11x n n =+-得()()311ln 122311n n n n n n ⎛⎫+>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭∴()()111ln 12231,ln 2323223⎛⎫⎛⎫⨯>--⨯>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1111ln 3423,,ln 123341n n n n ⎛⎫⎛⎫⨯>--+>--⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦+⎝⎭⎝⎭， 将这n 个不等式相加得：()22213ln 1231231232311n n n n n n n ⎛⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯+>---=-+>- ⎪⎣⎦++⎝⎭， ∴()222231231n n n e -⨯⨯⨯⨯⨯+>，∴()()()223*1!1n n n en N -+>+∈⎡⎤⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分。
湖南师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题 含答案
第Ⅰ卷（学业水平摸底考试，满分100分）一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)。
1。
已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,2,5U A B ===，则()UA CB 等于（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,32.下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．三棱锥3.函数()122xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3 4.化简()2sin cos αα+=（ ）A ．1sin 2α+B ．1sin α-C ．1sin 2α-D ．1sin α+ 5.向量()()1,2,2,1a b =-=，则（ ）A ．//a bB ．a b ⊥C ．a 与b 的夹角为60°D ．a 与b 的夹角为30°7。
下列坐标对应的点中,落在不等式10x y +-<表示的平面区域内是（ )A ．()0,0B ．()2,4C ．()1,4-D ．()1,88。
在ABC ∆中,已知0120,1,2A b c ===，则a 等于（ ）A 3B 523+C 7D 523-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在答题纸上)9。
比较大小：2log 5_____2log 3(填“>”或“<"）．10.某校有高级教师20人，中级教师30人,其他教师若干人,为了了解该校教师的工资收入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查．已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师________人.11。
某程序框图如图所示，若输入的,,a b c 值分别为3，4，5,则输出的y 值为________。
12.若1a >,则11a a +-的最小值是________． 三、解答题 （本大题共5小题,共40分。
湖南省师大附中―度高二数学上学期期中考试 文【会员独享】
湖南师大附中2011—2012学年度高二上学期期中考试（数学文）（时量 120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆x y 22+=14的离心率是(A)A.2 B. 42 C. 34 D. 12【解析】A2. 给出下列四个命题：其中真命题的是（C ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；B. 命题“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定是“2,10x R x x ∀∈+->”；C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件.【解析】 A 为假命题，“若21x =，则1x =”的否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”； B 为假命题，“2,10x R x x ∃∈+-<”的否定应为“2,10x R x x ∀∈+-≥”；C 正确； D 为假命题，“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件.选C. 3. 把67化为二进制数为 （ D )A. 110000B. 1011110C. 1100001D. 10000114已知：命题:p x R ∃∈，使sin x =:q x R ∀∈，都有210x x ++>，给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题，②命题“p q ⌝∨⌝”是假命题，③命题“p q ⌝∨”是真命题，④命题“p q ∧⌝”是假命题.其中正确的个数是（B ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【解析】命题p 是假命题，命题q 是真命题，故③④正确，选B. 5．某产品的成本费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程a x b y ˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报成本费用为6万元时销售额为（ C ）A. 72.0万元B. 67. 7万元C.65.5万元D.63.6万元【解析】由表可计算2745324=+++=x ,42454392649=+++=y ,因为点)42,27(在回归直线a x b yˆˆˆ+=上,且b ˆ为9.4，所以42 =9.4×a ˆ27+, 解得a ˆ= 9.1,故回归方程为1.94.9ˆ+=x y, 令x =6得=y ˆ65.5,选C. 6．已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线2211312x y -=的右焦点，则此抛物线的方程是（D ） A. 22y x = B. 24y x = C ．210y x = D. 220y x =【解析】设抛物线方程为22(0)y px p =>，因为双曲线2211312x y -=的右焦点是(5,0)，则52p=，即10p =，所以抛物线方程为220y x =，选D. 7．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为(B)A ．2B ．6C ．3D ．8【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=，选B8．已知抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线y x m =+对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ A ）A ．23B ．2C ．25D ．3【解析】22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 即222212121212132()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==选A 二、填空题(本题共7小题，每小题5分，共35分)9．在边长为2的正方形内随机地取一点，则该点到正方形中心的距离小于1的概率为4π. 【解析】边长为2的正方形内，所有到正方形中心的距离小于1的点均在以正方形中心为圆心的单位圆内，故所求概率为该圆与该正方形的面积之比，故其概率为4π. 10. 双曲线22464y x -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则P 到它的另个焦点的距离等于为 17 . 【解析】1711. 下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 .【解析】10 列表分析12. 已知定圆221:(2)49C x y ++=，定圆222:(2)1C x y -+=，动圆M 与圆1C 内切且和圆2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 ______【解析】2211612x x += 13．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ______【解析】()2,214．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是____②__③_____【解析】2(,),x y a 设曲线上任意点P 曲线C 如果经过原点，1a =，与条件不符①错；若(x,y)在曲线上则(-x.-y)也在曲线上,故曲线C 关于原点对称 ②对;三角形12F F P 的面积12S =12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF 22a =,则③对.15. 若双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线与抛物线C 2：22(0)y px p =>的一个交点在x 轴上的射影在抛物线C 2的焦点的右侧，则双曲线C 1的离心率的取值范围是 .【解析】取双曲线C 1的一条渐近线方程y =x ab与抛物线C 2的方程y 2 = 2px 联立，求得两交点的横坐标分别为0，222b pa ，依题意有222bpa >2p ，故b 2<4a 2，所以e <5，故其离心率的取值范围是(1, 5).三、解答题（本大题共6个小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知0>a ,设命题p ：函数x a y =在x R ∈上单调递减，q ：设函数⎩⎨⎧<≥-=)2(,2)2(,22a x a a x a x y , 函数1>y 恒成立,若p ∧q 为假, p ∨q 为真,求a 的取值范围.【解析】若p 是真命题, 则10<<a ……………（2分） 若q 是真命题,即1min >y ，又a y 2min = ∴21a > ∴q 为真命题时12a >； ……………（4分） 又∵p ∨q 为真,p ∧q 为假,∴p 与q 一真一假． ……………（6分）若p 真q 假, 则210≤<a ; ……………（8分） 若p 假q 真, 则1≥a ……………（10分） 故a 的取值范围为10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦或[)1,+∞ ……………（12分）17．（本小题满分12分）已知动圆M 过定点F(2,0)，且与直线2x =-相切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C (1)求曲线C 的方程(2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C 相交于A,B 两点，求AB 【解析】(1)依题意知动圆圆心M 的轨迹为以F(2,0)为焦点的抛物线，其方程为28y x =……（6分） (2) 依题意直线AB 的方程为y=x-2, ……………（8分） 代入方程y 2=8x 得x 2-12x+4=0,得1212x x += …………（10分）故AB =12416x x ++= …………（12分） 18．（本小题满分12分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中,M p 及图中a 的值；（2）若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.【解析】（1）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.40.1040m p M ===. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯. ………（4分） （2）因为该校高二学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ……（8分） （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， 所以所求概率为11411515P =-=. ……（12分） 19．（本小题满分12分）设P 为椭圆2212516x y +=上任意一点，12,F F 为左、右焦点. (1)若01260F PF ∠=，求 12PFPF ⋅； (2)椭圆上是否存在点P ，使120PF PF ⋅=若存在，求出P 点的坐标，若不存在，试说明理由.【解析】(1)解：∵ |PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝100－2|PF 1|·|PF 2|， ……………..（2分） 在△PF 1F 2中，cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|， ……………..（4分）∴|PF 1|·|PF 2|＝100－2|PF 1|·|PF 2|－36，∴|PF 1|·|PF 2|＝643. ………..（6分）(2)设点P (x 0，y 0)，则x 2025＋y 2016＝1.①易知F 1（-3，0），F 2（3，0），故PF 1＝(－3－x 0，－y 0)，PF 2＝(－3－x 0，－y 0)，∵PF 1·PF 2=0，∴x 20－9＋y 20＝0，②由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P 不存在．…………..（12分） 注：（2）使用定义法结合勾股定理也可说明 20．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km 的A 、B 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A 、B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（如图）。
湖南师大附中高二第一学期期中考试理科数学试题及答案
湖南师大附中高二第一学期期中测试数学(理科)时量：120分钟总分值：150分一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.抛物线),=-12x x的准线方程是A. x = 3 B . JV = —3 C ・ y = 3 D ,-32.“双色球〞彩票中有33个红色球,每个球的编号分别为01, 02, 33. 一位彩民用随机数表法选取6个号作为6个红色球的编号,选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始,从左向右读数, 那么依次选出来的第?个红色球的编号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A. 23B. 02C. 09D. 173.对于函数/.)="三,以下结论正确的选项是A. /")是增函数,其值域是［0,y)B. /*)是增函数,其值域是.1)C. /*)是减函数,其值域是［0,+oc)D./*)是减函数,其值域是［0,1)4.如图,在三棱锥A-3C.中,E、F分别是棱A.、8C的中点,那么向量七尸与A月、说的关系是A. EF^-AB^-CDB. EF = -^AB + -CD2 2 2 2c —- 1 — 1 —- - ―- 1 -- 1 ―・c. EF= — AB— - CD D. EF =——AB - —CD2 2 2 25.命题p： 3xo>O, xo + </-l=0,假设〃为假命题,那么〞的取值范围是A. (-xj)B. (-00J]C. (l,+oo)D. (l,+oo)6.设条件〃：函数/.) = (2-4在/?上单调递增；条件/方程三十./=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆, a那么P是夕的什么条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分也不必要7.假设正整数N除以正整数,〃后的余数为人那么记为N=r(modM,例如10=2(mod4).以下程序框图的算法源于我国古代算术?中国剩余定理?,那么执行该程序框图输出的,•等于A. 4B. 8C. 16D. 328.在区间［0,1］内随机取两个数/〃、/?,那么关于X的方程= 0有实数根的概率为A. JB. 5C. 7D. 1o / o 39.设函数/(x) = 2sin(5 + 9)3>0,0<e<g),的最小正周期为6〃,且当x = g时,取得将函数"X )的图象向左平移1•个单位得函数g(x)的图象,那么以下结论正确的选项是.双曲线?-35,,>.吠.)与椭圆»?=|有相同的焦点人所点P 为双曲线与椭圆的一 个交点,且满足IPQI=2IPAI ,那么双曲线的渐近线方程是v>0 11 .X ,y 满足约束条件归+ 3yW4, y>0A. 2B. 1C. -2D.-1 2 212 .过抛物线f = 4y 的焦点厂作倾斜角为锐角的直线/,与抛物线相交于A, B 两点,M 为线段A8的中点, .为坐标原点,那么直线0M 的斜率的取值范围是A,叵,+8 2二、填空题：本大题共4个小题,每题5分,共20分.13 .师大附中高二年级开展“我的未来不是梦''演讲比赛,七位评委为某参赛选手给出的分数(总分值：100分) 如下茎叶图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,那么余下5个分数的方差是 茎 叶 14 .一个空间几何体的三视图如以下图所示,那么这个几何体的体积是 __________ .15 .函数 /(X ) = (〃J + 3)(X + 〃? + 1)(X + 〃?),g(x) = 2, -2 ,假设对任意 xwR ,有 /3) > 0或g(x) > 0成立,那么实数m 的取值范围是 ___ .16 .设点4L0), 4-1,0), A4为动点,直线AM 与直线8M 的斜率之积为定值 m(m 00),假设点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、8),那么m 的值为.三、解做题：本大题共6个小题,共70分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.17 .(本小题总分值10分)在锐角&4BC 中,角A 、在C 的对边长分别为.、b 、c, &43C 的面积为S,己知4s = / + /-吠 (I )求角B 的值：(II )设,〃 =(/-1)4 +港C,假设.=地,求小的取值范围.最大值. A. B. C. g")是奇函数, g(x)是奇函数, 身(X)是偶函D. &*)是偶函数, 且在［0.3刃内单调递增且在［0,3川内单调递减且在［0,3川内单调递增且在［0,3川内单调递减A. y = ±y[2xB. y = ±yj3xC. y = ±xD.假设z = or + y 的最大值为4,贝= D.[2,+x)18.〔本小题总分值12分〕某中学有初中学生1800人,高中学生1200人.为了解全校学生本学期开学以来的课外阅读时间,学校采用分层抽样方法,从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生〞和“高中学生〞,按学生的课外阅读时间〔单位：小时〕各分为5 [0,10〕, [10,20〕, [20,30〕, [30,40〕, [40,50],得其频率分布直方图如下图.〔I〕估计全校学生中课外阅读时间在[30, 40〕小时内的总人数约是多少：〔II〕从全校课外阅读时间缺乏10个小时的样本学生中随机抽取3人,求至少有2个初中生的概率.19.〔本小题总分值12分〕如图,在三棱柱A8C-A山1G中,如底面ABC, ACLBC, AC=BC=CCi, M. N分别是A 山、如G的中点.〔I〕求证：MN_L平而A山C：〔II〕求直线BG和平面45c所成角的大小.20.〔本小题总分值12分〕设数列他｝的各项均为正数,其前项和为s.,4s“=g-4Ll〔〃eM〕.〔I〕求数列｛4｝的通项公式；〔II〕假设对任意给定的正整数,力集合｛山4+,22,〃｝中的最小元素为〃? + 2,求实数,的取值范围. 21.(本小题总分值12分)如图,设椭圆中央在原点,焦点在X轴上,月、8为椭圆长轴的两个端点,尸为椭圆的右焦点.椭圆的离心率为手,且14〞.山Fl=2.(I)求椭圆的标准方程：(II)设M是椭圆上位于x轴上方的一个动点,直线AM, 8M分别与直线x= 3相交于点.,E,求I.臼的最小值.22.(本小题总分值12分)设函数/(x) = *+公+ 1("=0),对任意xeR,都有/(x)21-2v ,且/(x) = /(2-x)成立.令g(x) = f(x)一卜x —小其中z为常数.(I)当％=1时,求函数g(x)的所有零点；(II)当2>0时,求函数g(x)的最小值.数学(理科)参考答案一、选择题1. A【解析】由于抛物线开口向左,且2=6,那么准线方程为彳=?=3, 选A.2・B【解析】从数字35开始,从左向右读数,选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02,所以选出的第6个红包球的编号为02,选II3.D 【解析】由1一2工二0,得2工W1,即nW.,所以〃工)的定义城是(一8,01由于y=2"是增函数,那么/(£)= MF2r是减函数.又0V2“〈L那么0< 八工)〈1,选口.4.C 【解析】取AC的中点A4,连结EM.FM.由于E.F分别是AD.3C的中点,那么而色=4右5,所以前方=丽方一丽芽=得百由一-,选G5.D【解析】由于p为假命题,那么「q为真命题,即V%A0,a十a 1W0, 即工二1一心所以1—a£0,即0为1,选D.6.B【角翠析】/(1)= (2—./ 在R上单调递增=2—a>],即a<l.方程^+/ = 1的曲线是焦点在' 轴上的樵圆aO<aVL a所以0<=q,选B.7.C【解析】第一次执行循环体,得i = 2,N=13,此时13f2(mod 3). 第二次执行循环体,得i=4,N=17,此时17 = 2(mod 3),但17^1 (mod 5).第三次执行循环体,得£=8,N=25,此时25关2(mod 3).第四次执行循环体,得i=16,N=4L此时41 = 2(mod 3), 且41 = l(mod5),退出循环.所以揄出i的值为16,选C.8・A【解析】方程x2—+ 〃r=0有实数根0△〃—4加拉0.(22-4"120•如图.不等式组- OWmWl表示的平面区域与正10«方形【I：,"：/的面积之比即为所求的概率,1 1 1X T X11X1 9.D【解析】由于7=6S正方•形冗.那么§ = 即.=母,由于/(手)=2,那么sin(管+中)=1 又0V/＜戈■,那么夕=奇9所以/O) =2sin(专+号).由题设,g(z) =_/ (N H--y) =2sin 4-- j 」J 乙O —- 2sin (管+ -5- ) = 2cos等,那么g( n)为偶函数,当n G [0, 3冗_时9Q S 乙J o 「.,左[那么gGr)单调递减,选D.10.B【解析】据椭圆定义,|.居|十|.凡|=6,又|.尸】|=2|PF?| ,那么|PB|=4,|PFzl=2.据双曲线定义,2a = | PF A | — \PFz | =2,那么a = L 由椭圆方程知?=2, 从.而b'=*J^.所以双曲线的渐近线方程是、=土&丁选B.11.A【解析】作可行域,如图.据题意.当直线人y=—2经过△AOB区域时,,在、轴上的展大极距为4•那么点A(2,0)为最优解.由于力=27=0,之=4•那么2.= 4•即a = 2•选 A.12.C【解析】由于焦点£(0,1),设直线/的方程为y + 1(%>0),代入立？ = 4y.得JC2—44»r — 4 =0.设点A(g,3']),反％2 O'2),」“(式0,—),那么#1十12=4瓦由于“为线段A/3的中点,,那么颉==户=2且由于点M在直战/上,那么缈=屈小+1 = 2* + 1.所以&M=a = 2空尸=归+J出■ /=",当且仅当归=乌时X Q LR乙及V £K匕取等号,选C.二、填空题13.1. 6【解析】由于i=85»那么方差、= 3X(85-84)2 + (85—86»+ (85 — 87尸=& =1g, 5 514.8穴【解析】由三视图可知,该空间几何体是一个圆柱内4t去一个圆锥所得的组合体.其中砌柱和圆锥的底半径为2,高为3.所以V=V r aH-V LB^=KX22X3-4-X7tX22 X3 = 87r.O15.( -3,-2)【解析】由gQz>>0,得2*>2,即1,那么当处W1时.f(x) >0恒成立.所以(小+3彳0 ],即_3V“V_2.16.3【解析】设点MCr,"),那么二4 • 74 =小即y =7?/<^-1),^ 彳2一?=1(1#±1).由于点M的枕迹是离心率为2的双曲线9 那么7">0 •且4? = 1•9=777 .从而 / = 1 + ???.由y/1 -- m = 2 .得TH= 3.三、解做题17,【解析】〔I 〕由于S=J~acsin B^a2 +/ —g =2^ccos B,.. 〔2 分〕那么2acsin B=2accos印sin B= cos B,即tan B= 1.又OVBVn,所以3=冷・....................................... 〔4分〕5)由于6=々,6=于,那么卷=右=磊=2,得a=2sin A,c=2sin C,且A十.=争 ............................................... 〔6分〕所以l〕sin A+2/^sin C=2〔^/3 — l〕sin A+2x/^sin 〔竽-A〕=2〔73-1〕sin A+2屈〔gcos A十备in A〕=2 J3sin A+2cos A=4sin〔A4--^- 〕. ................. 〔8 分〕由于A IC都为锐角,那么0<A〈年,且0VC=乎一A,乙 4 匕所以于<A<+. ...................................... 〔9分〕从而需V-A十专,那么'^'〈sin〔 A+专〕W1,所以〃怎〔2、,缈,41 ............................... 〔10分〕18.【解析】〔I 〕由直方图可知,初中生中课外阅读时间在［30,40〕小时内的学生人数的频率为1一〔0.005><2寸0.03十0..4〕*10=0.2・那么学生人数为1 800X8 2 = 360. ............................. 〔2 分〕高中生中课外闾读时间在［30,40〕小时内的学生人数的频率为1—〔0.005X2+0. 025 + 0. 035〕X10 = 0. 3,那么学生人数为1 200X0.3 = 360. ......................................... 〔4 分〕估计全校学生中课外阅读时间在［30,40〕小时内的总人数约是720人.............................................. 〔5 分〕〔IT〕由于抽样比例为1所〞°1^c= >•那么初中生应抽取60人,鬲中 1 ovv I 1 乙57 JU生应抽取40人. ........................................... 〔6分〕所以在课外阅读时间缺乏10小时的样本学生中,初中生有0. 005X10 X 60 —3 人•记为,% ；高中生有..005X10X40 = 2人,记为⑦ &. ................. 〔8分〕从这5人中任取3人的所有可能结果为：｛々1,牝,的?, ｛为,生,仇h 4a、>.乙号> b\ > b工 > >4 a 迅 >"：» > b\ ｝,一〕 , ｛々2 ...................................... “& ｝,｛.3,bi ,由｝9共10 个. ................................. 〔10 分〕其中至少有2个初中生的结果有：｛ 4］,々2 , 43 ｝,｛,〃2 , % ?, ,.2,戾｝ , ｛a］, ｛.1,.3,戾｝,〈02,61 ｝ , ｛〃2 ,怒,62 ｝,共7 个............................................. 〔11 分〕所以至少有2个初中生的概率户=看. ....................... 02分〕19.【解析】解法一：〔I 〕由BCA_., G所以BC±平面ACC】Ai .连结AG ,那么BC±AC V. .............................. 〔2分〕便卜CY 由,侧面ACGA 是正方形,所以AC_LAG・............................ 〔3分〕/誉父\又3CaAC=C 所以AGJ_平面A12C.……............................ 〔4 分〕A B 由于侧面A及&A］是矩形是A"的中点'连结A3］,那么点M是AB1的中点.又点N是氏C】的中点,那么MN是△ABG 的中位线, 所以MN//AC,.故平面A】BC .................................... 〔6分〕〔n 〕由于AG _L平面Al BC•设AQ与A】C相交于点D, 连结HD•那么/GBQ为直或BG 和平而ABC所成角. ....................... 〔9分〕设AC=BC=CG=2,那么CiD=V2.BCy=2V2. ............. 〔10 分〕在RtABDCi 中,sin/G BD=第=4■,那么NC BD= 30°.所以直战BCi和平面ABC所成的角为30°. ............. 〔12分〕解法二：〔I〕据题意CA、C从CC；两两垂直,以C为原点CA、CB、CG所在直或分别为工轴、y轴、2轴,建立空间直角坐标系,如图. ................................... 〔1.......................... 分〕设AC=BC=CG=2•那么点B〔0,2,0〕,Bi〔0,2,2〕,A〔2,0,0〕,以0,0,0〕,G〔O,O,2〕,A】〔2,O,2〕. ........ 〔3 分〕由于M、N分别是A1、2G的中点,那么点............................... (4 分)所以H^ = (2,-2,23^T = (2,0,2),A^=( —1,0,1). (5 分) 于是市•财=0,市•区=0,那么lMN_LHA1,A4NJ_CA1. .......................................................... 〔6 分〕又8A】DCA】=A】,所以」“Nl_平面A」BC .............. 〔7分〕〔11〕由于MN,平面A】3C ,那么而N为平面A13C的法向量, 又由=〔0,—2,2〕, ..................................... 〔9分〕那么co S<BC. ^> = wnwn=-7^^=T,所以〈而,就〉=60二 ....... 〔11分〕故直线BG和平面ABC所成的角为30°. ................ 〔12分〕2〔〕.【解析】〔I 〕由于45=鬲十】一4〃一1,那么4S W】=出一痴十3〔〃二2〕, 两式相减,得44=〃-1 一好一4,即a〉］=〔% + 2尸. 〔3分〕由于〃二>0,那么.外十］=.例十2, 所以｛.力是公差为2的等差数列.......................................................... 〔4分〕又4sl =ag-5•那么4a1=〔.】+2〕2 — 5, 即ai = l.由于m >0,那么ai =1,所以a n = 2n—l......................... 〔6分〕〔11〕由心十£=2相,得2〃-1+£62〃八即〃二利十与三..... 〔8分〕据题意,区间［帆+宁,+8〕内的戢小正整,数为6+ 2,那么m4-l<小十三十2. ................................ 〔10分〕乙即1〈与N02•所以-3<1<一1・乙故实效,的取值范围是「一3, —1〕. ................... 〔12分〕21•【解析】〔I 〕设椭圆的长半轴长为"短半轴长为从半焦距为c.由于e=4,那么—=q,即a =V2c . 2 a 2所以〃2=2.2=2〔.2—〃〕,得/ = 2〃. .................〔2分〕由于 AF\ - 6/ 1=2,那么〔a+c 〕〔a —c 〕 = 2,即.2—.2=2,艮口62 = 2.................................................. 〔4 分〕 即 3=一壶〔2—2〕.我立比=3,得点E 〔3,一3〕. .......................匕A?所以I DE| =5九十点A 归•/=/时 当且仅当54=/>0,即仁号黑时取等号.所以IDE 的最小值为/而. .................................法二：由题设,点.A 〔 — 2,0〕,点6〔2,0〕,设点. 如° ,所以〔/.一2〕〔N 0+2〕 = — 2就,即「* ,M L _9 OC Q I 乙 27. 乙 所以 ^AVf • k^i — ・ .............设直战AM 的方程为v = Hz+2〕S>>0〕, 那么直•线BM的方程为?=—/〔了—2〕.分别联立1=3,得点D 〔3,5万〕,点E 〔3,一宣〕.所以；DE = 5九十克及2 N 5归•a =J10 .当且仅当5R=2 >0, 即时取等号.所以DE 的最小值为/TO. ...................................... 〔12分〕22 •【解析】〔I 〕由于了〔工〕工1-2工恒成立,那么2^ + 〔〃+2〕］为0恒成立,所以｛△=〔,> 十 2〕y o' 所以椭圆的标准方程是1 + ¥ = 1・ ....................〔11〕法一：由题设,点A 〔 —2,0〕,设直,线AM 的方程为y =屐8+2〕〔%>0〕.联立彳=3,得点.〔3,5九〕. ...............................将?="1+2〕代入苧+ 3； =1,得 〃 + 2川〔1+2〕2=4,即〔2公十 l 〕d + 842 工+ 8/—4=0. ..................设点M 〔^ ,〕9〕•那么Xo 和一2是方程的两根,〔5分〕 〔6分〕 〔7分〕 — 4 所以一2-一港干'即须 所以点A4〔 2公+1 '2为2+1 2 7公一2公十1'彼 2〃十 1〔9分〕 又点0〔2,0〕,那么直线的方程为 1—2^^-0 2-4kj_2/十1 2〃十1乙〔10 分〕 〔12 分〕 那么苧T=19即4+ 2赍=4. 1_2,〔8分〕 〔10 分〕即a>0,6=—2. ......................................... 〔1 ................................................... 分〕由于f〔x〕 =/<2-x〕,即八1 +彳〕=/〔1 一,那么函数/〔x〕的图象关于直线#=1对称.所以一g = l.即a=—4=1,所以 /〔幻=>—2N+1.〔3分〕,,［1 /、少ciii I — 3x4~21台大=1 时,g〔N〕=jr-2z十1一 |7一1| =｛君一4夕卫VJ由/一3了十2=0〔］三1〕,得力=1或％=2；由/ 一2=0〔力VI〕,得x=0.所以g〔力的所有零点为力=19&=2,%3 = 0. ......... 〔5分〕〔U 〕由于2>0,由Mr—1»,得AI * —〔4+2〕1+2,1二十所以g〔a〕=~ ....... . 〔6分〕［兴 + 〔4一2〕i,1〈了出42—4 1 _2A_A J -2_ A2 _ 2A_2_ 〔A-l〕2-r 1 .. r.由于三一1一^ 2^- 2X〈°'那么受〈：. ......................................... 〔7分〕①假设守,即1 .那么g〔i〕在〔一8,宁〕上单调递减.在〔怨,+8〕上单洞递增,所以g〔x〕min=g〔^y^〕 = 〔^y^〕2-|-〔A-2〕•4"=一〔与"〕: ........................................ 〔8 分〕②假设要,即A>V3-L那么在〔一8,罕〕和信,牛〕上单调递减.在〔宁,十〕和〔与/,十8〕上单调递增.当①V~1•时,g〔工〕min=g〔^J^〕 = _ 〕；留神1■时,gdg〔亨〕=〔等〕2 一〔八十2〕• 考十2=2一〔守〕1 ................................. 〔10 分〕由于2一〔"〕’ +〔*〕2 = 2—2入=2〔1—；0,那么当石一1<AW1时,2一〔牛〕??一〔受〕:所以g〔l〕min = 一〔二3〕；当A>1 时.2—〔号〕2<一〔号〕2,所以gCr〕的=2—〔牛〕1综合①②知,当OQ&1时,g〔公* = 一〔三〕’；留神>1时后〔I〕.=2_〔亨〕1 .................. 〔12分〕。
湖南省师大附中高二数学上学期期中考试文试题湘教版
湖南省湖南师大附中-高二第一学期期中考试数学（文）试题时 量：120分钟 满 分：150 分（必考I 部分100分，必考II 部分50分）命题：湖南师大附中高二数学备课组必考I 部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若a b >，则下列不等式中正确的是 （D ）A. 22a b > B. 11a b< C. a b > D. 0b a -<2.不等式2450x x -->的解集是 （B ） A. {}51x x x ≥≤-或 B. {}51x x x ><-或 C. {}15x x -<< D. {}15x x -≤≤3.在ABC ∆中，已知BC=12，60,45A B ==，则AC= （D ） A. 336 C. 364.已知等比数列{}n a 中，13a =，且14a a a 23、2、成等差数列，则数列{}n a 的公比为 （B ）A. 1B. 2C. －1D.125.不等式组03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩所表示的平面区域的面积等于 （C ）A. 3B. 9C. 18D. 366.设0,0a b >>3是33ab与的等比中项，则11a b+的最小值为 （B ） A. 8 B. 4 C. 1 D.147.在ABC ∆中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形的形状是 （A ）A. 等腰三角形B. 正三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 8.已知数列{}n a 是等比数列，若2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++= （C ）A. 16(14)n --B. 16(12)n-- C.32(14)3n -- D. 32(12)3n -- 二、填空题：本大题共６个小题，每小题4分，共24分，请把答案的最简形式填在横线上. 9.数列{}n a 中，115,3n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 3n ＋210.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A 、B 、C 的对边，且2223b c bc a +=，则角A 的度数为150 11.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n a S =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =12n -12.已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为 －213.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B 种药需甲料5毫克，乙料4毫克，今有甲料20毫克，乙料25毫克，设A 、B 两种药分别配,x y 剂(,)x y N ∈，若A 、B 两种药至少各配一剂，则x ，y 应满足的条件是1135205425x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩14.已知0,0,x y >>且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（－4，2）三、解答题：本大题共4个小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15．（本题满分10分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若ABC ∆21，且sin sin 2A B C +=.（1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C 的度数. 解：设ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，（1）由题意及正弦定理得212a b c a b c⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，故1c AB ==(4分)（2）111sin sin ,263S ab C C ab ∆==∴= （6分）又1,2112c a b =∴+=-=7分）由余弦定理得22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--==21(2)21131223-⨯-==⨯（9分）(0,)C π∈∴ 3C π=（10分）16. （本题满分10分）已知变量x 和y 满足约束条件10301x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩.（1）求42z x y =+的最大值； （2）求21y k x +=+的取值范围. 解：（1）作出可行域如图.(3分) 将42z x y =+变形为22z y x =-+, 可知直线过点C 时z 取得最大值. 由130y x y =⎧⎨+-=⎩得C(2，1) (5分)即2x =且1y =时，max 10z =.(6分) (2)21y k x +=+表示可行域内任一点(,)x y 与定点(1,2)--连线的斜率.(7分) 由图可知, PC PB k k k ≤≤. 由110y x y =⎧⎨-+=⎩ 得B(0，1).1,3,PC PB k k ∴==故k 的取值范围是[]1,3.(10分)17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n n a S 与；（2）令21(*)1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差d357117,26,27,21026a a a a d a d =+=∴+=+=解得：13,2a d ==（4分）1(1)21n a a n d n ∴=+-=+21()22n n a a nS n n +==+（6分） （2）由（1）得221(21)14(1)n a n n n -=+-=+1111()4(1)41n b n n n n ∴==-++ （9分）故12...n n T b b b =+++111111(1)()...()42231n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦11(1)41n =-+ 4(1)nn =+（12分）18. （本题满分12分）如图，为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C 、D 两点处进行测量.在C 点测得塔顶A 在南偏西800，仰角为450，此人沿着南偏东400方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为300，试求塔的高度.解：由题意得，AB ⊥平面BCO ,.AB BC AB BD ∴⊥⊥（2分） 设塔高AB=x ，（3分）在Rt △ABC 中，∠ACB=450，所以BC= AB=x ，（5分）xyABCOy=1x-y+1=0x+y-3=0ABC东北30°40°80° 45°在Rt △ABD 中，∠ADB=450, ∴BD=x AB330tan 0=，（8分） 在△BCD 中，由余弦定理得BD 2=CB 2+CD 2-2CB ·CDcos1200,∴ x x x 10100)3(22++=，解得x=10或=-5（舍去）. （11分）答：塔高为10米。
湖南师大附中2015-2016学年高二上学期第二次段考数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年湖南师大附中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠52．“x＞a”是“x＞﹣1”成立的充分不必要条件（）A．a的值可以是﹣8 B．a的值可以是C．a的值可以是﹣1 D．a的值可以是﹣33．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．4．若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内5．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．过椭圆内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线7．已知函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．C．2 D．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=19．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．设等差数列{a n}的前n项和为S n且满足S15＞0，S16＜0则中最大的项为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C．（0，3]D．[3，+∞）12．在平面上，，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式的解是．14．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为．15．设x，y满足约束条件，向量=（y﹣2x，m），=（1，﹣1），且∥，则m的最小值为．16．椭圆的离心率，右焦点F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个根分别为x1，x2，则点P（x1，x2）与圆x2+y2=2的位置关系是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=5，求a的值．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，满足a1=4，且是a2、a4的等差中项，数列{b n}=b n+1，其前n项和为S n，且S2+S4=a4．满足b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n}的前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点A（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．22．如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W 的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．2015-2016学年湖南师大附中高二（上）第二次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知命题p：∀x∈R，2x=5，则￢p为（）A．∀x∉R，2x=5 B．∀x∈R，2x≠5C．∃x0∈R，2=5 D．∃x0∈R，2≠5【考点】全称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论．【解答】解：∵命题是全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题得：￢p为∃x0∈R，2≠5，故选：D．2．“x＞a”是“x＞﹣1”成立的充分不必要条件（）A．a的值可以是﹣8 B．a的值可以是C．a的值可以是﹣1 D．a的值可以是﹣3【考点】充要条件．【分析】“x＞a”是“成立的充分不必要条件：即x＞a推出x＞﹣1，x＞﹣1不能推出x＞a，从而得到a的范围为a＞﹣1，对照选择支即可求解【解答】解：∵“x＞a”是“x＞﹣1”成立的充分不必要条件∴x＞a推出x＞﹣1，x＞﹣1不能推出x＞a∴a＞﹣1∵{﹣8，﹣，﹣1，﹣3}中只有﹣＞﹣1∴a的值可以是故选B3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．2 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，又b2=c2﹣a2，代入得4a2=3c2，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，又b2=c2﹣a2，代入得4a2=3c2，解得，即，故选D．4．若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【考点】函数零点的判定定理．【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f （c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选A．5．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．过椭圆内一点R（1，0）作动弦MN，则弦MN中点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】椭圆的简单性质．【分析】设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），代入椭圆方程可得：，，两式相减并将代入化简即可得出．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），代入椭圆方程可得：，，两式相减得4（x1+x2）（x1﹣x2）+9（y1+y2）（y1﹣y2）=0，将代入可得： +=1．其轨迹为椭圆，故选：B．7．已知函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，若点在一次函数y=mx+n的图象上，其中m，n＞0，则+的最小值为（）A．4 B．C．2 D．1【考点】基本不等式．【分析】根据指数函数的性质，可以求出定点，把定点坐标代入一次函数y=mx+n，得出m+n=1，然后利用不等式的性质进行求解．【解答】解：∵函数y=a x﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点，可得定点坐标（1，1），∵定点在一次函数y=mx+n的图象上，∴m+n=1，∵m，n＞0，∴m+n=1≥2，∴mn≤，∴+==≥4（当且仅当n=m=时等号成立），∴+的最小值为4，故选A；8．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线﹣=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0），利用e=，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上∴，∵e=，∴，∴a2=4b2∴a2=20，b2=5∴椭圆方程为+=1．故选D．9．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正方体与外接球的关系：正方体的对角线长即为球的直径，再由球的体积公式即可判断①；根据平均数和方差的公式即可判断②；根据直线与圆相交的弦长公式：a=2，先求出圆心到直线的距离d，应用公式即可判断③．【解答】解：①设正方体的外接球的半径为r，则2r=2，r=，则球的体积为==4，故①正确；②设一组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据x1+c，x2+c，…，x n+c（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；③圆（x ﹣1）2+y 2=4的圆心为（1，0），半径为2，直线x ﹣y +1=0到圆的距离为=1，则直线被圆截得的弦长为2，故③正确．故正确的序号为①③．故选C ．10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 15＞0，S 16＜0则中最大的项为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式即等差数列的性质可得a 8＞0，a 9＜0，d ＜0，即a n 递减，前8项中S n 递增，即当S n 最大且a n 取最小正值时，有最大值，从而可得答案．【解答】解：∵等差数列前n 项和S n =•n 2+（a 1﹣）n ，由S 15=15a 8＞0，S 16=16×＜0可得：a 8＞0，a 9＜0，d ＜0；故Sn 最大值为S 8．又d ＜0，a n 递减，前8项中S n 递增，故S n 最大且a n 取最小正值时，有最大值，即最大．故选：C ．11．已知函数f （x ）=x 2﹣2x ，g （x ）=ax +2（a ＞0），若∀x 1∈[﹣1，2]，∃x 2∈[﹣1，2]，使得f （x 1）=g （x 2），则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（0，3]D ．[3，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的图象求出f （x ）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g （x ）=ax +2（a ＞0）为增函数，求出g （x 2）∈[2﹣a ，2a +2]，由题意得f （x ）值域是g （x ）值域的子集，从而得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵函数f （x ）=x 2﹣2x 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称 ∴x 1∈[﹣1，2]时，f （x ）的最小值为f （1）=﹣1，最大值为f （﹣1）=3，可得f（x1）值域为[﹣1，3]又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]∵∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴⇒a≥3故选D12．在平面上，，，，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知作出图形，设出点O（x，y），|AB1|=a，|AB2|=b，则点P（a，b），结合求出x2+y2的范围得答案．【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设点O（x，y），|AB1|=a，|AB2|=b，则点P（a，b），由，得，则，∵，∴，∴，得，∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1．同理x2≤1，∴x2+y2≤2．综上可知，，则．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．【考点】其他不等式的解法．【分析】解分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题，建立关系，解之即可．【解答】解：∵，∴或，解得0＜x＜1，∴不等式的解是0＜x＜1（或（0，1））．故答案为：0＜x＜1（或（0，1））．14．已知向量，若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为815．设x，y满足约束条件，向量=（y﹣2x，m），=（1，﹣1），且∥，则m的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】由向量共线的坐标表示得到m=2x﹣y，再由约束条件作出可行域，数形结合求得m 的值．【解答】解：∵=（y﹣2x，m），=（1，﹣1），且∥，∴﹣1×（y﹣2x）﹣1×m=0，即m=2x﹣y．由约束条件作可行域如图，联立，解得C （1，8）．由m=2x ﹣y ，得y=2x ﹣m ，∴当直线y=2x ﹣m 在y 轴上的截距最大时，m 最小，即当直线y=2x ﹣m 过点C （1，8）时，m 的最小值为2×1﹣8=﹣6．故答案为：﹣6．16．椭圆的离心率，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）与圆x 2+y 2=2的位置关系是 点在圆内 ．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，，x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2==．由此可知点P （x 1，x 2）与圆x 2+y 2=2的位置关系．【解答】解：∵离心率，∴a=2c ． ∵方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，∴，，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2===＜2．∴点P （x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2内．故答案为：点在圆内．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对变分别为a，b，c，且满足．（1）求△ABC的面积；（2）若b+c=5，求a的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由cosA的值及A为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，再利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左边，将cosA的值代入求出bc的值，由bc及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（2）由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA，利用完全平方公式变形后，将b+c，bc及cosA 的值代入，开方即可求出a的值．【解答】解：（1）∵cosA=，且A为三角形的内角，∴sinA==，…又•=bccosA=2，∴bc=6，…则S△ABC=bcsinA=×6×=2；…（2）∵b+c=5，bc=6，cosA=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA=25﹣12﹣4=9，…则a=3．…18．已知抛物线y2=2px（p＞0）上有一点Q（4，m）到焦点F的距离为5，（1）求p及m的值．（2）过焦点F的直线L交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，求直线L的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由抛物线y2=2px（p＞0）上的点到焦点的距离公式d=x+，可求得p，从而求得m的值；（2）直线L斜率存在，可设为k，L的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得x1+x2，x1x2；再由弦长公式|AB|=|x1﹣x2|=8，可求得k的值，从而求得直线L的方程．【解答】解：（1）由题意知，∴p=2．∵m2=2×2×4，∴m=±4（2）由题意知直线L的斜率存在，设为k，则直线L的方程为：y=k（x﹣1），代入抛物线方程：y2=4x，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），∴；又∵|AB|=|x1﹣x2|=8，；∴所求直线方程为：x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．19．设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n（m＜n）．（1）若m=﹣1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集．（2）若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．【考点】二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据函数F（x）=f（x）﹣x的两个零点为m，n，因此该函数解析式可表示为F（x）=a（x﹣m）（x﹣n），（1）m=﹣1，n=2时，对a＞0，或a＜0．进行讨论，写出不等式的解集即可；（2）要比较f（x）与m的大小，做差，即有f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1），根据a＞0且0＜x＜m＜n＜，分析各因式的符号，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意知，F（x）=f（x）﹣x=a（x﹣m）（x﹣n）当m=﹣1，n=2时，不等式F（x）＞0即为a（x+1）（x﹣2）＞0．当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜﹣1，或x＞2}；当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（2）f（x）﹣m=a（x﹣m）（x﹣n）+x﹣m=（x﹣m）（ax﹣an+1）∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，即0＜ax＜am＜an＜1；∴x﹣m＜0，an＜1，∴1﹣an+ax＞0∴f（x）﹣m＜0，即f（x）＜m．20．已知数列{a n}是递增的等比数列，满足a1=4，且是a2、a4的等差中项，数列{b n}=b n+1，其前n项和为S n，且S2+S4=a4．满足b n+1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）数列{a n}的前n项和为T n，若不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n对一切n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式．【分析】（1）由已知得，由等差中项性质得2q2﹣5q+2=0，由此能求出数列{a n}的通项公式；由题意，数列{b n}为等差数列，公差d=1，再由S2+S4=32，得b1=2，由此能求出数列{b n}的通项公式．（2）由已知，从而对一切n∈N+恒成立，由此能求出结果．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则q＞1，，∵是a2和a4的等差中项，∴，即2q2﹣5q+2=0．∵q＞1，∴q=2，∴…依题意，数列{b n}为等差数列，公差d=1，又S2+S4=32，∴，∴b1=2，∴b n=n+1．…（2）∵，∴．不等式nlog2（T n+4）﹣λb n+7≥3n化为n2﹣n+7≥λ（n+1）…∵n∈N+，∴对一切n∈N+恒成立．而，当且仅当即n=2时等式成立．∴λ≤3…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴是短轴的两倍，点A（，）在椭圆上．不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2，且k1、k、k2恰好构成等比数列．（Ⅰ）求椭圆C的方程．（Ⅱ）试探究|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出这个值；否则求出它的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）通过将点A（，）代入椭圆方程可知+=1，结合a=2b计算即得结论；（Ⅱ）记A（x1，y1）、B（x2，y2），通过设直线l的方程为y=kx+m，并与椭圆方程联立可知x1+x2=﹣、x1x2=，通过k2=k1k2计算可知k=±，进而化简可知x1+x2=±2m、x1x2=2m2﹣2，利用完全平方公式化简计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a=2b，且+=1，解得：b2=1，a=2，所以椭圆的方程为： +y2=1；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∵k1、k、k2恰好构成等比数列，∴k2=k1k2==，即k2=k2++，化简得：﹣4k2m2+m2=0，∵m≠0，∴k2=，k=±，此时△=16（2﹣m2）＞0，即m∈（﹣，），∴x1+x2=±2m，x1x2=2m2﹣2，故|OA|2+|OB|2=+++=（+）+2= [﹣2x1x2]+2=5，于是|OA|2+|OB|2是定值为5．22．如图，A，B是双曲线﹣y2=1的左右顶点，C，D是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AC与BD的交点为E．（1）求点E的轨迹W的方程；（2）若W与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为M，N，直线y=kx（k＞0）与W 的两个交点分别是P，Q（其中P是第一象限），求四边形MPNQ面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，由两点式分别得直线AC，BD的方程为直线AC：，直线BD：，由此能求出点E的轨迹W的方程．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k2+1）x2=4，由此利用弦长公式结合已知条件能求出四边形MPNQ的面积取最大值．【解答】解：（1）由已知A（﹣2，0），B（2，0），设C（x0，y0），D（x0，﹣y0），则，①由两点式分别得直线AC，BD的方程为：直线AC：，直线BD：，两式相乘，得，②由①，得﹣=，代入②，得：，整理，得﹣4y2=x2﹣4，∴点E的轨迹W的方程（x≠±2、0）．（2）由（1）及已知得M（2，0），N（0，1），联立，得（4k 2+1）x 2=4，∴P （），Q （﹣）， 四边形MPNQ 的面积S=S △QOM +S △DMP +S △NOP +S △NOQ=2（S △QMP +S △QNP ），∴S==2y P +x P==2=2==2，∵k ＞0，∴4k +≥4，故当且仅当，即k=时，四边形MPNQ 的面积取最大值为2．2016年11月14日。
2014湖南师大附中高二期中考试数学(文)试题和答案
湖南师大附中2015届高二第二学期期中考试试题数 学(文科)命题人：湖南师大附中高二数学备课组(考试范围：除立体几何与统计概率，选修1－2,4－4外内容)时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U ＝{x ∈N |0＜x ≤8}，集合A ＝{1,2,4,5}，B ＝{3,5,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合是A.{1,2,4}B.{3,7,8}C.{1,2,4,6}D.{3,6,7,8}2.已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 3.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点所在的区间为 A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)4.在三角形ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，若a cos C ＝c cos A ，且a 、b 、c 成等比，则三角形ABC 是A.等边三角形B.直角三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形5.在等比数列{a n }中，已知a 3＝12，a 9＝8，则a 5a 6a 7的值为A.±8B.－8C. 8D.646.已知平面向量a ，b 满足|a|＝4，|b|＝3，向量a 与b 的夹角是60°，则|a ＋b |＝ A.13 B.15 C.19 D. 377.已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2αcos 2α的值等于A.32B.34C.－32D. －348.函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的图象是9.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )成立，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0(其中f ′(x )为f (x )的导数).设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 三者的大小关系是A.a <b <cB.c <a <bC.c <b <aD.b <c <a10.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R 的说法不正确．．．的是 A.函数不具有奇偶性B.x ∈[1,2)时函数是增函数C.函数是周期函数D.若函数g(x)＝f(x)－kx 恰有两个零点，则k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫13，12 选择题答题卡二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.11.计算sin 600°＝ .12.已知圆C 的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x －y －4＝0相切，则圆C 的标准方程是 .13.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2 015)等于 . 14.下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的结果是 .15.若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4，(－2<x <14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B、C两点，则(OB＋OC)·OA＝.(其中O为坐标原点)三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(－4x＋5·2x＋1－16).(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[2，log27]上的值域.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R ). (1)求函数f ()x 的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB ·AC ＝9，求a 的值.已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且－a 2，S n,2a n ＋1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n(a n －1)(a n ＋1－1)，求证：数列{b n }的前n 项和T n ∈⎣⎡⎭⎫23，1.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v(千米/小时)的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a 元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数并标明定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m∈R ，m ≠0).(1)求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线的形状；(2)若m ＝－3，已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是动点M 的轨迹上的两个动点且E ，F ，A 不共线，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.已知函数f(x)＝a x＋x2－x ln a(a>0，a≠1).(1)求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y＝f(x)－t有零点，求t的最小值；(3)若x1，x2∈[－1,1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1，试求a的取值范围.一、选择题1.B 【解析】图中阴影部分所表示的集合是(C U A )∩B ＝{3,7,8}，故选B.2.C 【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C.3.D 【解析】∵f (1)＝ln 1＋1>0，f (2)＝ln 2>0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，f (5)<0，选D.4.A 【解析】∵sin A cos C ＝sin C cos A A －C )＝A ＝C a ＝c ，由b 2＝ac ，故a ＝b ＝c ，选A.5.A 【解析】因{a n }为等比数列，则a 26＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6＝±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A.6.D 【解析】由已知|a|＝4，|b|＝3，a·b ＝|a|·|b |cos θ＝4×3×12＝6.(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37，||a ＋b ＝37.7.C 【解析】因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45，tan α＝－34.所以sin 2αcos 2α＝2tan α＝－32，故选C.8.A 【解析】函数是偶函数排除B 、D ，而ln cos π3＝－ln 2<0，选A.9.B 【解析】由f (x )＝f (2－x )可得，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (3)＝f (－1).又当x ∈()－∞，1时，(x －1)f ′(x )<0，即f ′(x )>0，则f (x )在()－∞，1上单调递增.所以f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12.即c <a <b ，故选B.10.D 【解析】画出函数f (x )＝x －[x ]的图像如图，据图可知选D. 二、填空题 11.－32 【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 12.x 2＋(y －1)2＝5 【解析】因为直线2x －y －4＝0与圆C 相切，所以圆C 的半径r ＝|－1－4|5＝ 5. 故圆C 的标准方程是x 2＋(y －1)2＝5. 13.－2 【解析】f (2 015)＝f (4×503＋3)＝f (3)＝－f (－3) ＝－f (－3＋4)＝－f (1)＝－2.14.2 【解析】第一次x ＝5－3＝2，第二次x ＝2－3＝－1，满足x ≤0，计算y ＝0.5－1＝2.15.72 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的周期是16，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4(－2<x <14)的图像仅与2015届高二第二学期期中考试试题数学(文科)参考答案x 轴交于点A (6,0)且关于点A 对称，故A 是线段BC 的中点，则(OB ＋OC )·OA ＝2OA 2＝72.三、解答题16.【解析】(1)－4x ＋5·2x ＋1－x －2)(2x －xx <3. 即函数f (x )的定义域是(1,3)；6分(2)当x ∈[2，log 27]时2x ∈[4,7]，－4x ＋5·2x ＋1－16＝9－(2x －5)2∈[5,9]， 此时 f (x )的值域是[log 25,2log 23].12分17.【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6－2x －2sin 2x ＋1 ＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π63分 (1)最小正周期：T ＝2π2＝π，4分由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )可解得：k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )；6分 (2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12可得：2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z ) 所以A ＝π3，8分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，9分 而AB ·AC ＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝1810分∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝4a 2－54，∴a ＝3 2.12分18.【解析】(1)∵2S n ＝－a 2＋2a n ＋1，∴当n ≥2时，2S n －1＝－a 2＋2a n 2分 两式相减得2a n ＝2a n ＋1－2a n ，故a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2.4分又当n ＝1时，2a 1＝－a 2＋2a 2，得a 2＝2a 1，所以n ＝1时也满足a n ＋1a n ＝2∴{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n .6分 (2)∵b n ＝2n (2n －1)·(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1，8分 ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫121－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，10分 ∵2n ＋1≥4，∴T n ≥1－13＝23， 又12n ＋1－1>0，∴T n <1，∴23≤T n ＜1.12分 19.【解析】(1)由已知有可变成本＝v 225，全程所用的时间为s v，3分 全程运输成本为y ＝a ·s v ＋125v 2·s v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25， 所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25，v ∈(0,60].6分(2)y ′＝s ⎝⎛⎭⎫125－a v 2＝v 2－25a 25v 2s ＝(v ＋5a )(v －5a )25v 2s ，v ∈(0,60]8分 由题意：s ，a ，v 均为正数，当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,5a ]上单减 ，在[5a ，60]上单增所以此时当v ＝5a 时，全程运输成本y 最小.11分(或用均值不等式：当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25≥2sa 25，当且仅当a v ＝v 25，即v ＝5a 时等号成立)当5a ≥60即a ≥144时，当v ∈(0,60]时，y ′<0， y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25在(0,60]上单减 ，∴此时当v ＝60时，全程运输成本y 取最小值综上，当a <144时，行驶速度v ＝5a 千米/小时时全程成本最小； 当a ≥144时，行驶速度v ＝60千米/小时时全程成本最小.13分20.【解析】(1)设动点M (x ，y )，依题意有：y x －2·y x ＋2＝m 4(m ≠0) 整理得x 24－y 2m＝1 (x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程，3分 m >0时轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆；m ＝－4时，轨迹是圆；m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆.且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上.6分(2)m ＝－3时，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2) ∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 23＝1 解得t ＝32，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，327分 设k AE ＝k (k ≠0)，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1并整理得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，∵点A ⎝⎛⎭⎫1，32在动点M 的轨迹上， ∴x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k 2③， y E ＝kx E ＋32－k ④9分 又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k 2，y F ＝－kx F ＋32＋k 10分 ∴直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k x F －x E∵x E ＋x F ＝8k 2－64k 2＋3，x F －x E ＝24k 4k 2＋3∴k EF ＝－k ·8k 2－64k 2＋3＋2k 24k 4k 2＋3＝－k (8k 2－6)＋2k (4k 2＋3)24k ＝12即直线EF 的斜率为定值，其值为12.13分 21.【解析】(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a 1分由于0<a <1或a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a 与a x －1同号，所以 f ′(x )>0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分(2)当a >0，a ≠1时，易知f ′(0)＝0，设g (x )＝2x ＋(a x －1)ln a g ′(x )＝2＋a x (ln a )2>0则f ′(x )在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝05分且x ，f′(x)，f(x)故f min (x)＝f(0)＝1，即使函数y ＝f(x)－t 有零点的t 的最小值是1.7分(3)因为1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|(f(x))max －(f(x))min |＝(f(x))max －(f(x))min ≥e －18分 由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，(f(x))min ＝f(0)＝1，(f(x))max ＝max {}f(－1)，f(1)，而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－ln a)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a－2ln a ， 记g(t)＝t －1t－2ln t(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t－12≥0(当t ＝1时取等号)， 所以g(t)＝t －1t－2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0， 所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，11分也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －－ln a ≥e －≥e ，②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1a＋ln a ≥e －≤1e ， 综上知，所求a 的取值范围为a ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[)e ，＋∞.13分。
湖南省湖南师范大学附属中学2015-2016学年高二下学期第一次阶段性测试数学(理)试题含答案
湖南师大附中2015-2016学年度高二第二学期第一次阶段性检测数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|32,430A X R X B x x =∈-<<=-+≥，则A B ⋂=（ ） A ．(]3,1- B ．(3,1)- C ．[)12， D ．(),2[3,)-∞⋃+∞ 2. 复数21i+等于（ ） A ．—2i B ．2i C ．1—i D ．1+i3. 已知命题p ：x R ∃∈，使sin x =；命题q ：x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题， 其中正确的是（ ）A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③4. 经过点()2,3P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ）A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．5025x y ++==D ．50x y +-= 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm ）为（ ）A ．80B ．60C ．40D ．206. 已知程序枢图如图所示，则该程序枢图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(*)n N ∈B ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和(*)n N ∈ C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(*)n N ∈D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和(*)n N ∈ 7. 设,,A B C 为圆O 上三点，且3,5AB AC ==，则AO BC ⋅=（ ） A ．-8 B ．-1 C ．1 D ．89. 从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．5410. 64(1(1+++的展开式中x 的系数是（ ）A ．-4B ．-3C ．3D ．411. 设抛物线22y x =的焦点F ，过点)M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于C ，||2BF =，则△BCF 与△ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） A ．45 B ．23 C ．47 D ．1212. 函数2()||f x x x a =+-，若1()2f 和1()2f -都不是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．1(,]2-∞B ．11[,]22-C ．11(,)22-D ．1[,)2+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中对应题号的横线上． 13. 计算积分()121sin xx dx -+=⎰______________．14. 若实数,x y 满足不等式组10,10,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则函数2z x y =+的最大值为____________．15. 某中学组建了A 、B 、C 、D 、E 五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加，且只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，则甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的概率为_____________． 16.设△ABC 的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则tan()A B -的最大值为_________________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中()0,0,22f x A ππωϕ=>>-<<)，其部分图像如图所示．（I ）求()f x 的解析式； (II)求函数()()()44g x f x f x ππ=+⋅-在区间[0,]2π上的最大值及相应的x 值．18. （本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． （I ）求乙投球的命中率p ；（II ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列． 19. （本小题满分12分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，AC =BC =2，1AA =4．(1)当E 是棱1CC 中点时，求证：CF //平面1AEB ；(2)在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45°，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.20. （本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1(21)(21)n a n n =+-，n T 为数列{}n a 的前n 项和．（1） 求n T ；（2） 若对任意的*n N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围；（3） 探究是否存在正整数s ，t （1<s <t ）使得1T ，x T ，t T 成等比数列，求出所有s ，t 的值．21. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>l ：y kx m =+交椭圆于不同的两点A 、B ． （1）求椭圆的方程；（2）若坐标原点O 到直线l AOB 面积的最大值． 22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x ax =-（a 为常数）．（I ） 求函数()f x 的单调区间；（II ）若0a >，求不等式2()()0f x f x a-->的解集；（III ） 若存在两个不相等的整数12,x x 满足12()()f x f x =，求证：122x x a+>．参考答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B7.D 【解析】取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，因为O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1()2AD AB AC =+，OD BC ⋅=.所以()AO BC AD DO BC ⋅=+⋅=1()2AB AC +·()AC AB -=221(||||)2AC AB -=8，选D. 8.A 【解析】 设五个人所分得面包为35312220525A a d -=-=，（其中0d >），则(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a -+-+++++==，∴20a =；由1(2)27a a d a d a d a d ++++=-+-，得337(23)a d a d +=-；∴2411d a =，∴556d =；所以，最小的1份为110522063a d -=-=，故选A. 9.B 10.B 11.A 【解析】由题知2121BCF B ACF A S x BC S AC x ∆∆+==+，又13||222B B B BF x x y =+=⇒=⇒=.由A 、B 、M 三点共线有MA MB M A M B y y y y x x x x --=--，2=，故2A x =.∴2131421415BCF B ACF A S x S x ∆∆++===++，故选A.12.C 【解析】设22(),()g x x x a t x x x a =+-=-+①若12a ≥：当x a ≥时1()()()()()2f x g x g a t a t =≥=≥；当x a <时1()()()2f x t x t =≥，即最小值为1()2f ，不合题意；②12a ≤-：同理可得最小值为1()2f -，不合题意；③若1122a -<<，1()()2f f a >，1()()2f f a ->，所以a 取值范围是11(,)22-，故选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
湖南省师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试文数试题Word版含答案
时量120分钟，满分150分第I 卷（必修5模块结业考试，满分100分）一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1. 在等差数列{}n a 中，首项12a = 公差2,32n d a == ，则项数n 为 ( )A ．13B ．14C ．15D ．162. 在ABC ∆中，已知222a b c += ，则∠C= ( )A ．30°B ．45°C ． 150°D ．135°3. 已知2，a ，4成等比数列，则实数a 等于( )A ．．- C．± D ． 8 4. 下列不等式中成立的是（ ）A ．若a >b ，则22ac bc >B ． 若a b > ，则22a b >C ． 若0a b << ，则22a ab b << D ． 若0a b <<，则a b b a> 5. 若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若首项17a = ，公差2d =-，则使n S ，最大的序号n 为（ ） A ．2 B ． 3 C ． 4 D ． 56. 在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的平面区域的面积是（ ）A ．． 4 C ．．2 7. 下列结论中正确的是（ ） A ． 当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥ B ． 当0x >2≥ C ． 当3x ≥时，1x x +的最小值是2 D ．当01x <≤时，1x x- 无最大值 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．8. ABC ∆中，,44B b a π===，则角A 等于___________．9. 若实数a 、b 满足2a b +=，则33ab+的最小值是_________． 10. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a =_______．三、解答题：本大题共4个小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11.（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2sin b a B =，且b a >．（1）求A ；（2）若2,a c ==ABC ∆的面积． 12. (本小题满分12分)已知函数22()1016f x x ax a =-+． （1） 求关于x 的不等式()0f x ≤的解集； （2） 设0a >，且当(0,)x ∈+∞时，不等式()2f x x>-恒成立，求a 的取值范围． 13.(本小题满分13分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：如何安排这两种产品的搭载件数，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 14.（本小题满分13分）已知正项等比数列{}n a 满足：12411,264a a a ==． （1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 记数列{}n na 的前n 项为n T ，求证：对于任意正整数n ，122n T ≤<． 第II 卷（满分50分）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．15. “p 为真命题”是“p q ∧为真命题”的（ ） A ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件16. 已知向量0000(cos75,sin75),(cos15,sin15)a b ==，则a b -的值为（ ） Ａ．12Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．３ 17. 将正方形ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC BD ⊥ ②ACD ∆是等边三角形 ③AB 与平面BCD 所成的角为60° ④AB 与CD 所成的角为60°．其中正确结论的个数是( )Ａ．１ Ｂ． ２ C ．３ Ｄ．４二、填空题：本大题共３小题，每小题５分，共15分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18. 将函数12cos 222y x x =+的图像向右平移ϕ 个单位（02πϕ<< ）得到函数sin 2y x =的图像，则ϕ=____________________．19.设正实数,,x y z 满足2240x xy y z -+-=．则当zxy取得最小值时，4x y z +-的最大值为__________________．三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. （本小题满分12分）已知圆C ：222440x y x y +-+-=．（1） 写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小 ；（2） 是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）．若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．21. （本小题满分13分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数a 、b 使得12()()()h x af x bf x =+，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（1） 下面给出两组函数，()h x 是否为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由；第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：22212(),()1,()1f x x x f x x x h x x x =-=++=-+．（2） 设12()log f x x =，212()log f x x =，2,1a b ==，生成函数()h x ，若不等式23()2()0h x h x t ++<在[]2,4x ∈上有解，求实数t 的取值范围．参考答案 第I 卷 一、选择题1.D2.B3.C4. D5. C6. B7. B 二、填空题8.6π9. 6 10. 6 三、解答题11.【解析】（1）由2sin b a B = 及正弦定理得sin 2sin sin B A B = ………………………………………………..（2分） 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，从而1sin 2A =…………………（4分） 在ABC ∆中，由b a >知B A >，故A 必为锐角，所以6A π=………（6分）（2）由2,6a c A π===及余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2680b b -+=，解之得2b =或4，又b a > ，故4b =……………………………………….（10分）所以1sin 2S bc A ==………………………………….（12分） 12.【解析】（1）由()0f x ≤得2210160x ax a -+≤，即(2)(8)0x a x a --≤………（2分） 所以①当0a >时，()0f x ≤的解集是(2,8)a a ；…………………………………...（3分） ②当0a =时，()0f x ≤的解集是{}0；…………………………………………………..（4分） ③当0a <时，()0f x ≤的解集是(8,2)a a ；…………………………………………….（5分） （2）(0,)x ∈+∞时，不等式()2f x x>-恒成立，等价于(0,)x ∈+∞时， min ()2f x x ⎡⎤>-⎢⎥⎣⎦ ……………………………………………………………………………（7分） 而(0,)x ∈+∞时，2()1610102f x a x a x a a x x x=+-≥-=-，当且仅当216a x x=即4x a =时等号成立…………………………………………（10分）故函数()f x x在(0,)+∞上的最小值是2a -， 由22a ->-，得1a <，又0a >，故a 的取值范围是(0,1)……………………….（12分） 13.【解析】设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，则总预计收益8060z x y =+ …………………………………………………………（2分）由题意知203030010511000x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，且,x N y N ∈∈，…………………………………（6分）由此作出可行域如图所示,…………………………………………………………………（8分）作出直线:430a l x y +=并平移，由图象知，当直线经过M 点时，z 能取到最大值，………………………………………………（10分） 由2330222x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得94x y =⎧⎨=⎩且满足,x N y N ∈∈，即(9,4)M 是最优解，…………………………………………………………………..（11分） 所以max 809604960z =⨯+⨯=（万元），…………………………………………...（12分） 答：搭载A 产品9件，B 产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．……………………………………………………………………………………….（13分）14.【解析】（1）由{}n a 为等比数列知2243a a a = ，故23311,648a a ==………….（2分） 所以23114a q a ==，又0q >，故12q =，…………………………………………….（4分）∴1()()2nn a n N =∈ ………………………………………………………………（6分）（2）由（1）1()2nn a =，故2n nnna =，…………………………………………………..所以234112*********n n n n nT --=++++++ ，①232123412122222n n n n nT ---=++++++，②②-①得：2111112222n n n nT -=++++-，11()2222212nn n n n n T -+=-=--，………………………………………………….（10分） 由1111(1)02n n n n n T T n a ++++-=+=>，得123n T T T T <<<<，故112n T T ≥=……………………………………………………………………..（12分）又2222n n n T +=-<，因此对于任意正整数n ，122n T ≤<…………………………………………………..（13分）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 15. B 16.B【解析】法1：21a b a b b -=+===法2：1a b ==，且a 与b 的夹角为60°，则1a b a b -=== 17. C 【解析】①②④正确，③AB 与平面BCD 所成的角应为45°．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．18.12π 19.32【解析】由已知224z x xy y =-+得2244113z x xy y x y xy xy y x y x-+==+-≥-=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时等号成立，则2222242442466136()22x y z y y y y y y yy +-=+-+-=-+=--+，当12y =时， max 3(4)2x y z +-=． 三、解答题：本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．20. 【解析】（1）圆C 的标准方程为：22(1)(2)9x y -++=，则圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3；…………………………………………………………………………（4分） （2）假设存在这样的直线m ，根据题意可设直线:m y x b =+．联立直线与圆的方程222440x y x y y x b ⎧+-+-=⎨=+⎩得：2222(1)440x b x b b ++++-=，因为直线与圆相交，所以0∆>，即2690b b +-<，且满足121x x b +=--，212442b b x x +-=，设()1122(,),,A x y B x y ，则1122,y x b y x b =+=+， 由OA OB ⊥得12120OA OB x x y y =+=所以212121212()()2()0x x x b x b x x b x x b +++=+++=， 即2340b b +-=，得4b =-或1b =，且均满足2690b b +-<，故所求直线m 存在，方程为4y x =-或1y x =+．…………………………（12分）（2）依题意得122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=，…………（6分）不等式23()2()0h x h x t ++<在在[]2,4x ∈上有解，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--在[]2,4x ∈上有解，① 令2223log 2log y x x =--，[]2,4x ∈，则①等价于max t y <，………………………………………………………………..（10分） 令2log s x =，则[]1,2s ∈，由22223log 2log 32y x x s s =--=--，知y 的最大值是5-，……………………….（12分）所以t 的取值范围是(,5)-∞-……………………………………………………………（13分）。
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湖南师大附中2015-2016学年度高二第一学期期中考试
数学（文科）
时量：120分钟 满分：100分+50分
第一卷（必修5模块结业考试，共100分）
一、选择题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
1、在等差数列{}n a ，12,2,32,n a d a ===则项数n 为（ ）
A . 13
B . 14
C . 15
D .16
2、在ABC ∆
中，已知222a b c +=，则C ∠=（ ）
A . 030
B . 045
C . 0150
D . 0
135
3、已知2，a ，4成等比数列，则实数a 等于（ ）
A
. B
. - C .
± D .8
4、下列不等式中成立的是（ ）
A . 若a b >，则22ac bc >
B . 若a b >，则22a b >
C . 若0a b <<，则22a ab b <<
D . 若0a b <<，则a b b a
> 5、若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若首项17a =，公差2d =-，则使n S 最大的序号n 为（ ）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
6、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
表示的叛逆、平面区域的面积是（ ）
A .
B . 4
C .
D .2
7、下列结论中正确的是 （ ）
A . 当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x +≥
B . 当0x >
2≥ C . 当3x ≥时，1x
+
的最小值是2 D . 当01x <≤
时，1x -无最大值 二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
8、在ABC ∆中,14B b a π
===，则A ∠=_____
6π___ 9、若实数,a b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是___6_____
10、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a =__6_____
三、解答题
11、（本小题满分12分）
已知,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin b a B =，且b a >。
（1）求A ；
(2)
若2,a c ==ABC ∆的面积。
6A π
=
;S =
12、（本小题满分12分）
已知函数22()1016f x x ax a =-+
（1）求关于x 的不等式的解集；
（2）设0a >且当(0,)x ∈+∞时，不等式()2f x x
>-恒成立，求a 的取值范围。
（1）0a >时,[2,8]a a ; 0a =时,{}0; 0a <时,[8,2]a a
（2）均值不等式()22,(0,1)f x a a x
≥->-∈
13、（本小题满分13分）
某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行商品搭载试验，计划搭载若干件新产品A 、B ，该所要根据该产品的研制成本，产品重量，搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安
2030300105110,,0,0x y x y x N y N x y +≤⎧⎪+≤∈∈⎨⎪≥≥⎩
A 产品9件，
B 产品4件，最大收益960万元。
14、（本小题满分13分）
已知正项等比数列{}n a 满足12411,264a a a =
=。
（1）、求数列{}n a 的通项公式
（2）、记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ，122
n T ≤< 1()()2
n n a n N *=∈ 222
n n n T +=-，单调递增。
第二卷（共50分）
一、选择题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
15、“p 为真命题”是“p q ∧为真命题”的 （ B ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分又不必要条件
16、已知向量0000(cos75,sin75),(cos15,sin15)a b ==，则a b -的值为（ B ）
A . 12
B . 1
C . 2
D .3 17、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ○
1AC BD ⊥ ○2ACD ∆是等边三角形 ○3AB 与平面BCD 所成的角为60
○4AB 与CD 所成的角为60，其中正确结论的个数是 （ C ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
18、将函数12cos 22
y x x =+的图像向右平移ϕ个单位（02πϕ<<）得到函数sin 2y x =的图像，则ϕ等于____12
π_______ 19、设正实数,,x y z 满足2240x xy y z -+-=，则当z xy
取到最小值时，4x y z +-的最大值为____32
____
三、解答题
20、（本小题满分12分）已知圆C ：222440x y x y +-+-=
（1） 写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；
（2） 是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA OB ⊥（O 为坐
标原点），若存在求出直线m 的方程，若不存在说明理由。
22(1)(2)9x y -++=
:4;1m y x y x =-=+
21、（本小题满分13分）对于函数12(),(),(),f x f x h x 如果存在实数,a b 使得12()()(),h x af x bf x =+，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数。
（1） 下面给出两组函数()h x 是否为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π
===+是
第二组：22212(),()1,()1f x x x f x x x h x x x =-=++=-+不是
（2） 设12212
()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x ，若不等式
23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 他的取值范围。
2()log h x x =
23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解,即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--,在[2,4]x ∈上有解,(,5)t ∈-∞-。