轴对称讲义(全)

轴对称
【知识要点】
1、轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称图形。

这条直线叫做这个图形的对称轴。

2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两个图形为轴对称。

这条直线叫做这个图形的对称轴。

3、对称点：翻折后（图形重合时）能够互相重合的点。

4、垂直平分线（中垂线）：垂直并且平分一条线段的直线。

结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

结论2：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。

【典型例题】
例1. 在下列十个汉字中，哪几个是轴对称图形？他们各有几条对称轴？
上下目天田土吕林显王
例2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
l 2
例3. 下列图形中是轴对称图形的有（）
①矩形；②菱形；③平行四边形；④四边形；⑤等腰梯形；⑥直角梯形；⑦三角形；⑧等边三角形；⑨等腰三角形；⑩正六边形 A. 5个 B.6个 C.7个 D.8个
例3. 判断题
①两个关于某直线对称的图形是一模一样的。

（ ） ②两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。

（ ） ③两个对称图形对应点连线的垂直平分线，就是他们的对称轴 （ ） ④平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 （ ）
例4. 如图，l 1、l 2交于A 点，P 、Q 的位置如图所示，试确定M 点，使它到l 1、l 2的距离相等，且到P 、Q 两点的距离也相等。

例5. 已知如图1，MN 垂直平分线段AB ，CD 垂足分别为E 、F ，求证：AC=BD ，∠ACD=∠BDC ．
例6. 已知：在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE⊥AB, △BCE周长为8，且AC－
BC=2,求AB,BC的长。

例7. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D′E与BC的交点为G，点D、C分别落在点D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1，∠2的度数．
画图形的对称轴
【知识要点】
1. 任意两点总关于某一条直线对称，故画这两点的对称轴的方法是_____________
2. 对于复杂图形的对称轴的画法：可先找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一组对称点；再连结对称点；然后画出_________则这条________
画轴对称图形
【知识要点】
1、对于某些图形，先画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形；
2、平面直角坐标系中关于X轴和Y轴对称的图形的做法：先找出一些特殊点的对称点坐标，连接对称点，即可得到；
3、角平分线和垂直平分线的做法。

【典型例题】
例1. 找出下列轴对称图形的所有对称轴，并把它画出来．
例2. 下图中的各个图形是不是轴对称图形？如果是，画出它的一条对称轴．
例3. 看以下两个图形是否是轴对称图形？你能否画出它的对称轴？
例4．如图，连结B、B′的线段的垂直平分线是否还是你在上图中画的对称轴？
例5. 印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码．如果想设计一本16页码的毕业纪念册，请你按图1，图2，图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．
例6. 如图，∠AOB内一点P，试分别画出点P关于OA和OB的对称点P1和P2
例7. 画出下列图形关于直线L的对称图形．
例8. 下图中，直线L是一个轴对称图形的对称轴，画出这个图形关于直线L对称的另一半．
例9. 如图是台球桌面矩形网格示意图，图中的四个角各有一个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
等腰三角形
【知识要点】
1、等腰三角形的两个底角相等；
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）；
3、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

4、等边三角形：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】
例1. 若等腰三角形的底边长为10cm ，则腰长x 的取值范围是 . 例2. 若等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为__________________。

例3. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
例4. 设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是（ ）
A. 0<α<90°
B. α<90°
C. 0<α≤90°
D. 0≤α<90°
例5. 若等腰三角形的一个外角为120°，一边长为2cm ，则另外两边长为 例6. △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB+BC=6cm ，则BC=
例7. 如图所示，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，点E 在AB 上，DE ⊥AB ，AD=8cm ，则AE= cm ，AC= cm
例8. 如图，△ABC 中，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于点D ，EF 过点D ，分别交AB 、AC 于点E 、点F ，且EF//BC.
（1）求证：ED=EB;
（2）若△ABC 是边长为3的正三角形，求EF 。

例9. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，求∠A 的度数．
B
例10. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，若AD=AB ，∠CAD=36°，求∠DBC 的度
数。

例11. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB=AD ，
CD=A=60°，∠D=150°。

已知四边形的周长为32，求四边形ABCD 的面积.
例12. 如图所示，P 是等边三角形ABC 内一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系？并证明；
（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连PQ ．试判断△PQC 的形状并说明理由．
B E D
C
A
课题学习 最短路径问题
【典型例题】
例1. 如图，草原上两个居民点A,B 在河流L 的同旁，一汽车从A 出发到B ，途中需到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在途中画出该点。

例2. 图中A ，B 为公路L 同旁的两个村庄，在L 上找一点P ．
（1）当P 到A ，B 等距离时，P 在何处？ （2）当P 到两村距离之和最小时，P 在何处？
I
B
A
B
I
河
B
例3. 如图所示，一牧人带马群从A 点出发，先到草地边缘MN 放牧，再带马群到河边缘PQ 去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使总路程最短？
例4. 草原上有两个居民点A ，B 在河流的同旁，如图所示，•暑假里小颖和父母去旅游恰好路过此地，他们的汽车从居民点A 到B ，途中需要到河边加水，•为了使行驶的路程最短，小颖设计出了汽车应在河边的某一特定位置加水，置在
河边的什么地方吗？说明理由．
例5. 如图所示，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 的两定点，在BC 上求一点M ，使△MEF 的周长最短。

A
Q
N
M
C
【思考题】
例6. 如图，已知：A、B两点在直线MN的同侧，且AB//MN，在MN上求一点P，使：（1）|PA-PB|最小
（2）|PA-PB|最大
（3）PA+PB最小
例7. 当A、B两点在直线MN的两则，点A、点B到MN的距离不相等，在MN上求一点P，使：
（1）|PA-PB|最小
（2）|PB-PA|最大
（3）PA-PB最小。