高二数学组合数的两个性质
组合数的两个性质
教学目的：熟练掌握组合数的计算公式；
掌握组合数的两个性质，
并且能够运用它解决一些简单的应用问题。
教学重点：组合数的两个性质的理解和应用。 教学难点：利用组合数性质进行一些证明。 教学过程：
一、复习回顾：
1
强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习
1：求证：11--=
m n m
n C m
n C ． （本式也可变形为：1
1--=m n m n nC mC ）
2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 5
11411C C +
（此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．）
二、新授内容：
1．组合数的 性质1：m n n m n C C -=．
理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因
为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．
，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取
法”与“剩法”是“一一对应”的思想．
证明：∵)!
(!!
)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=
---=
- 又 )!
(!!m n m n C m
n -=
∴m n n m n C C -=
注：1? 我们规定 10
=n C
2? 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3? 此性质作用：当2
n m >时，计算m n C 可变为计算m
n n C -，能够使运算简化． 例如：2001
2002C ＝2001
20022002
-C ＝1
2002C =2002．
4? y
n x n C C =y x =?或n y x =+
2．例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：⑴ 5638=C ⑵ 2127=C ⑶ 353
7=C 引导学生发现：=38C +2
7C 37C ．为什么呢？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
一般地，从121,,,+n a a a Λ这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是m
n C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1
-m n
C 个；不含有1a 的组合是从
132,,,+n a a a Λ这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可
以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
3．组合数的 性质2：m n C
1+＝m n C +1
-m n C ．
证明： )]!
1([)!1(!)!(!!1
---+
-=
+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n
)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n
)!
1(!)!1(+-+=
m n m n m
n C 1+= ∴ m n C 1+＝m
n C +1
-m n C ．
注：1? 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1
而上标与高的相同的一个组合数．
2? 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们
会看到它的主要应用．
4．补充例题
⑴ 计算：6
9584737C C C C +++
⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2
-n m C
⑶ 解方程：3
213113-+=x x C C
⑷ 解方程：3
33
22
210
1+-+-+=
+x x x x x A C C ⑸ 计算：4
434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++ 推广：n
n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-Λ
5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立：
⑴ （讲解）1
1321++---=+++++k n k k k k k n k n k n C C C C C C Λ ⑵ （练习）1
121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C Λ
⑶ )(2
3210321n n n n n
n n n n C C C n nC C C C +++=
++++ΛΛ 三、作业： 课堂作业：P 103 1#，2# 课外作业：课本习题10.3；5#—8#
四、小结：1．组合数的两个性质；
2．从特殊到一般的归纳思想．
酒钢三中高二数学组