组合数的两个性质
组合数的两个性质
说课材料二
课题：组合数的两个性质 教材：人教版P100~102（2001年10月第2版）
本说课材料分成两个部分：说课稿和与说课稿配套的教案.
一、说课稿：
（一）、教材分析：组合数的两个性质的教学只需一课时，通过性质的学习，一方面
可以加强组合数公式的计算、变形能力，简化组合数的计算. 另一方面也为以后学习《二
项式定理的性质》、《杨辉三角》等内容提供了理论基础. 故组合数性质是一个承上启下
的内容.
（二）、教学设计中的几点思考：
1、两个性质的引入：
98性质1由问题“简化计算C 100”引入，开门见山，直奔主题，体现性质1的必
要性；
由于性质2的背景相对较复杂，故由具体问题分层次地引入，给学生提供思考的素材，
而把抽象概括的主动权交给了学生. （慷慨地提供事实，吝啬地给予概括——苏霍姆林斯
基）
2、教学方法：
鉴于性质本身比较简单，其发现过程易于组织成师生互动的教学活动，故教学方法以
启发学生观察思考分析讨论为主，两个性质的得出均采用由特殊到一般、由具体到抽象的
方法，让学生经历知识的形成、发展过程，帮助学生认识数学的本质.
3、“规定”的教学：
“规定”是数学内容的重要组成部分. 它既体现一种数学文化，又体现数学知识之间
的内在和谐，给学生以美的熏陶. 对“规定”的教学不应一笔带过，应充分体现其合理性
和必要性，让学生感到“规定”是油然而生的，合情合理的，而不是
0=1的结论. 如果时间强加给他的. 本课通过问题5的讨论，自然地引导学生得出C
n
允许，可适当介绍其他一些“规定”的由来（如a 0=1, 0! =1, 有理数、∀, ∃, ⎰
等等），以扩大学生的视野.
4、本质和形式化的关系：
抽象成为形式（及其符号的演算）的数学，既有很大的一般性（从而有它的广泛应用
性），也给一些学生带来了领悟与学习上的困难. 所以理解和领悟性质的本质成为本节课
学生学习的难点.
张奠宙先生说：“数学的研究对象是形式化的思想材料，整个数学是一个形式化的思
想体系”“当我们认识到数学是一种形式的时候，更应注意数学所反映的内容. ”国际上
有“非形式化”的通用口号，国内有陈重穆先生的“淡化形式，注重实质”，新课程标准
也以“强调本质，注意适度形式化”为数学教学的基本理念.
基于以上观点，本课在教学设计中紧密联系形式所反映的内容来进行形式的教学. 用
一个个求组合数的实例对组合数的性质进行了诠释. 做到形式与内容相结合！在如何进行
“形式化”内容（如公式、性质、法则等）的教学方面做了些尝试. （具
体详见教案，不再赘述！）
5、思维灵活性的培养
灵活性的本质——换个角度看问题，而演算两次是从不同的角度看问题的另一．．．．
种说法，是一种重要的数学思想方法，是培养学生思维灵活性的重要途径. 本课的例
1、例2、例4、例5及“推而想之”均是这一思想的应用，通过多次强化，多次体验，不
断加深学生对这一思想方法的理解和感悟！
6、学习方法：
新课程标准以丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本
理念. 性质一的教学采用问题探究模式，创设问题情境（由问题1～问题7组成），将数
学教学设计成数学活动的教学，鼓励学生积极参与教学活动（包括思维的参与和行为的参
与），引导学生自主探究与合作交流，鼓励学生发现数学规律，经历知识的形成过程.
性质二的教学则给学生留下了适当的拓展、延伸的时间和空间，对该课题作进一步的
探索、研究.. 如例5和“推而想之”.
二、教案：
(一) 教学目标：
①掌握组合数的两个性质并会进行简单应用.
②体验数学形式化和数学本质的关系.
（二）教学重点、难点：
教学重点：组合数的两个性质.
教学难点：理解和领悟两个性质的本质.
（三）教学模式
问题探究模式
（四）教学过程：
1、从特例引入形式化的公式
本节课我们学习“组合数的两个性质”. 首先，大家用学过的公式计算一下: 98①C
100
13412345, C 4, C 4, C 5, C 5, C 5, C 5②C 4及C 5 的值.
问题1：观察②中数值，看有什么发现？你会简化①的计算吗？
13143982=C 100=C 4=C 5发现：C 4；C 5；C 52=C 5. C 100 (! ?) （学生不敢肯
定！）
问题2：能否有一个更一般的式子？
m n -m =C n . 一般地有：C n
问题3：m,n 有限制条件吗？
m , n ∈N +, 且m
问题4：能否用组合公式给出证明？
(证明从略!)
45问题5：对C 4=1, C 5=1你有何看法？如何处理才能使数学知识变得更和谐，
更系统！
0规定：C n =1.
问题6：你能更全面地表达一下公式吗？
m n -m C n =C n , m , n ∈N , m ≤n . (公式一)
2、一种现实内容的解释
m n -m 我们已证明了公式：C n =C n . 公式是一种抽象的数量关系的形式. 此公式
恰有
确切的现实意义，反映了一类具体的现实关系. 请看！
例1：某班早晨派4名同学值日，要求3人扫地，1人打水，问有多少种分派方法？
解：这是一个组合问题.
31可以答C 4, 即4人中任选3人扫地，剩下1人打水；也可以答C 4, 即4人中任
选1人打水，剩下3人扫地.
12=C 4虽然安排时选取的角度不同，但总有C 4.
例2：在a,b,c,d 四个元素中任选3个，问有多少种选法？
解：可列出如下选取法：
a,b,c ——d a,b,d ——c
b,c,d ——a c,d,a ——b
可见，选取3个和选取（或说剩下）1个是一一对应的，虽然计数角度不同，但选法
数相同.
例3：填空：
1798①C 20＝； ②C 100＝；
x 2x -7=C 20③若C 20，则x ＝
3、思想方法上的小结
问题7：通过以上的学习，你对公式的获得和公式的理解有何看法？（组织学生讨论，
大致应得出如下结论! ）
Ⅰ、形式公式，有时可以从特例的计算中获得发现.
Ⅱ、形式公式往往有现实意义的解释；换一个角度来说，有时，也可能从现实解释中，
发现又一个形式公式.
m Ⅲ、公式一有改变计数角度，简化运算的作用. （当m >时，通常将计算C n 改n
2
n -m 为计算C n . ）
4、发现又一类现实事例
再看一个例子：
例4：在8件产品（其中1件次品）中，
①随机抽取3件进行检验，有几种可能？
②随机抽取3件进行检验，若次品一定抽到，有几种可能？
③随机抽取3件进行检验，若次品一定不抽到，有几种可能？
323（通过引例的分析和计算，引导学生发现：C 8; 叫学生再具类似的例=C 7+C 7
2子，比如：如何把C 4的组合数分为两类，进而猜测到组合数的又一个一般性质）
5、又一个数量形式
m m m -1一般地有：C n (n ≥m ≥1) ， +1=C n +C n
这个公式形式地一般性体现在：①m , n ∈N +的一般性；
111011=C 40+C 40②即使是某一个具体的m,n ，比如C 41, 实际事例的多变性.
例5：某班有40名学生，从中选11人参加年级足球赛，规定班主任也可参加，有多
少种选法？从中可以得到怎样的一个等式？
（解答从略）
6、由此推而想之（思考题与练习）
①在例4中，8件产品中抽取3件，若其中有2件次品，由此可以引出怎样的组合等
式？把它一般化呢？
m m -1m m -1+C n ②你能为组合等式C n +1=C n -1+C n -1找到现实事例的解释吗？
2222+C 3+C 4+... +C 100③计算C 2，你能把得出的结果一般化吗？
高二数学最新教案-组合数的两个性质 精品
1、36；2、36；3、210；4、91。
5、150；6、7200；7、42。
2018年7月18日
由上知， 与 的结果是一样的，但哪一个运算方便呢？由此得：
性质1可用于简化组合数 的计算，当m＞ 时，通常将计算 改为计算 。
当m=n时， ，故规定 =1。
练习若 ，则x的值是；已知 则m=.
3、由此可知，在 、 、 、…、 中，与两端等距的两个组合数相等。
3、用计算方法验证下列各式
与 ； 与
它们之间有何关系？由此你可得出什么结论？
课题：
授课教师：丁蜀高级中学汤文兵
教学目的
1、使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，
2、使学生能利用组合数的两个性质进行运算，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点难点
重点：组合数的两个性质及证明．
难点：组合数的两个性质的运用．
教学模式
讲解研讨法
教学过程
教学方法
引入
1.什么叫组合数？组合数公式是什么？
2、在推导组合数公式的过程中，得到这样的式子： ，这就是排列数与组合数之间的关系式，从中可以看出排列问题和组合问题的本质区别就是元素有、无顺序问题．
利用公式计算组合数较为方便，当对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常写成这种形式方便沟通它们之间的联系。
组合数公式 = = =
讲解为主
概念分析
1、师：下面我们进一步讨论：
利用公式计算组合数公式计算并考察
（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 。
它们之间有何规律？
2、据学生回答，引导得出如下规律
性质1： = （m n∈N且m≤n）
如何证明呢？
组合数的两个性质--自制
2(1 5 10) 25
推广：C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
n1 n
C
n n
2n
一、计算：
课堂练习
C C （1） 3 2
8
7
C （2）
3 7
C74
C85
C96
C73 C72 C72 C73 35
C84 C85 C96
C59
C
6 9
C160
C C （3）
n
n1
n1 n
C140 210
C1 n1
C1n
n (n
1)
课堂练习
二、证明：
C C C C （1）
m
n1
m1
n
m
n1
m1 n1
(右
Cnm1
Cmn
C
m n 1
左)
C C C C （2）
m1
n
m1 2
n
m
n
m1 n2
C C C C 证明: 原式 ( m1 m) ( m m1)
n
n
n
n
C C
m1
n1 nm1
3、课本P115 1(4) 2(2)
1、组合数的两个性质
C C C Cnm
组合数的性质和应用
巩固练习
3．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
小结
1.组合数公式:
2
n
C C (2)当m n时,公式 m nm变形为
n
n
C C n 0
n
n
C C 又 n 1,所以规定: 0 1即0! 1
n
n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组
合数,等于从这n个元素中取出n-m个元素的组
C C 合数 性质1
m
nm
n
n
证明: 根据组合数的公式有:
Cm
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
C C 与 9 11
2;
11
C C 7 与 10
3 10
;
的关系,并发现什么规律?
C 9 11
11! 1110 9!2! 2!
C7 10
共有多少条不同的路线
?
B A
将一条路经抽象为如下的一个
排法(5-1)+(8-1)=11格:
→↑ →↑ ↑ →→→↑ →→
A
1 ①2 ②③3 4 5 ④6 7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
组合数的性质
计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
数学教学反思组合数的两个性质
数学教学反思——《组合数的两个性质》瓯海二职 翁建新 2007-4-25对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界。
而对于教师来说，他还要从“教”的角度去看数学，他不仅要能“做”，还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。
一、学会数学的思考这节课的主要概念是组合数的两个性质定理：定理1：m n nm n C C -= 表示从 n 个不同元素中取m 个不同元素的所有组合数与取n －m 个元素的所有组合数是相同的，它给出了一种减少计算工作量的方法。
如计算210810C C 可转化为计算 定理２：r n r n r n C C C 11+-=+ 说明在有关组合数的证明问题中有很大的作用。
如：计算 31009710097999699C C C C ==+ 是巧妙利用定理２简化计算的例子。
同时向学生强调指出， 10=n C ，且它与０！＝１一样，是一种规定，而且这种规定是合理的。
二、学会对数学的学当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸——对数学有着自己的认识和感受。
因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。
在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。
例：某小组有７人（１） 选出３人参加植树劳动，可以有多少种不同的选法？（２） 选出４人参加植树劳动，可以有多少种不同的选法？解：（１） 35123567333737=⨯⨯⨯⨯==A A C （２） 3512344567444747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A A C 分析：选３人和选４人的选法都是３５种这说明从７个不同元素中选出３个和选出７－３＝４的组合数是相等的，即3774737-==C C C 以上这些同学们都会计算的，然后推出定理m n n m n C C -=三、学会对数学的教教得好本质上是为了促进学得好。
高中数学苏教版选择性必修第二册§7.3第2课时组合数的性质及应用
(2)至少有1名女运动员；
解 方法一 (直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女 4男，2女3男，3女2男，4女1男. 由分类计数原理知共有 C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246(种)选法. 方法二 (间接法)不考虑条件，从 10 人中任选 5 人，有 C510种选法，其中 全是男运动员的选法有 C56种，故“至少有 1 名女运动员”的选法有 C510－ C56＝246(种).
反思感悟 性质 2 常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明. 应用时要注意公式的正用、逆用和变形用.正用是将一个组合数拆成两个， 逆用则是“合二为一”，使用变形 Cmn －1＝Cmn＋1－Cmn ，为某些项前后抵消 提供了方便，在解题中要注意灵活应用.
跟踪训练 2 (1)若 C7n＋1－C7n＝C8n，则 n 等于
延伸探究 若将本例(2)中式子换成“C34＋C35＋C36＋…＋C32 022”，则其值 为多少？
解 C34＋C35＋C36＋…＋C32 022＝C44＋C34＋C35＋…＋C32 022－C44 ＝C45＋C35＋…＋C32 022－1 … ＝C42 022＋C32 022－1＝C42 023－1.
＝C56＋C46＋C47＋C48＋C49 ＝C57＋C47＋C48＋C49 ＝C58＋C48＋C49 ＝C59＋C49＝C510.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九
个点为顶点的三角形个数为
解析 C22 002212＝C12 022＝2 022，Cnn＋1·Cnn－2＝C1n＋1·C2n＝nn22－1.
(2)(多选)若 C22n0－3＝Cn20＋2(n∈N*)，则 n 等于
探究与发现组合数的两个性质
3.若C138n6
C 4n2 18
,
则n
4.已知： C225x C2x57 ,求x．
1.思考并计算下面各题 (1)C83与C73 C72 (2)C53与C43 C42
在以上两组题目中，你能发现什么规律？能够得出什么猜想？
猜想:
Cnm+1 = C?n + C?n
Cnm+1
=
Cm-1
n
+
Cnm
猜想：
用组合的定义思考
从n个不同元素中取出m个不同的元素的组合数 一一对应
从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的组合数
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于
从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
C
m n
C nm n
练习题
1.计算
C198 200
C 2005 2006
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
m
A m Cn
n m
n(n
1)( n
2)(n m!
m
1)
Am
Cm n!
n m!(n m)!
计算下列各式
(1) C53 与 C52
(2) C73 与 C74
解：C53
543 3 21
10
C52
54 21
10
C73
765 3 21
35
跟踪练习：
若C
7 n 1
Cn7
Cn8 .
求n
2024/8/1
C74
7654 43 21
35
在以上两组题目中，你能发现什么规律？能够得出什么猜想？
组合数的性质(2)
由分类计数原理，得
组合数性质2
Cn1 Cn Cn
m m
m 1
性质1 C
m n
=
C
nm n
m 1
性质2
c n 1 c n c n
m
m
例
(1)
计算
C 200 ;
198
C
2
3 100
2 200
200 199 21
19900
( 2)
( 3)
C 2C C C .
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: C5 4095
29
练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级， 每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有 多少种不同的走法？
Thank you！
3 2 3 2 C.C8 C7 C7 C8
3 2 1 D.C8 C7 C11
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员， 则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
AC . A
2 5
3 3
B.2C A
3 5
3 3
C. A
3 5
D.2C A A
2 5 3 3
3 5
课堂练习： 5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
4 6 4
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法______种.
人教B版2019年高中数学选修2-3教学案：1.2.2 组合与组合数公式及组合数的两个性质_含解析
第一课时组合与组合数公式及组合数的两个性质[对应学生用书P11][例1](1) 10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？[思路点拨]要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．[精解详析](1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．[一点通]要区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．1．求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式log a b的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是________问题；若把两个数相乘得到的积有几种，则是________问题．(用“排列”“组合”填空)解析：从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式log a b的底数与真数，交换a，b的位置后所得对数值不同，应为排列问题；取两个数相乘，如2×3与3×2的积是相等的，没有顺序，故为组合问题．答案：排列组合2．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.[例2] (1)1073(2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1；(3)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m 8. [思路点拨] (1)(2)运用公式进行化简即可，(3)先求出m 的值，再进行计算．[精解详析] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)证明：m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1.(3)∵1C m 5－1C m 6＝m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！， 710C m 7＝7×(7－m )！m ！10×7！， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！，∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. 而0≤m ≤5，∴m ＝2.∴C m 8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.[一点通] 1．组合数公式C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．2．组合数公式C m n ＝n ！m ！(n －m )！的主要作用：一是计算m ，n 较大时的组合数；二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．另外，当m >n 2时，计算C m n 可用性质C m n ＝C n －mn转化，减少运算量．3．C410－C37·A33＝________.解析：原式＝C410－A37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.答案：04．若A3n＝12C2n，则n＝________.解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，C2n＝12n(n－1)，∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)．又n∈N＋，且n≥3，∴n＝8. 答案：85．解不等式1C3n－1C4n＜2C5n.解：n的取值范围是{n|n≥5，n∈N＋}．∵1C3n－1C4n＜2C5n，∴6n(n－1)(n－2)－24n(n－1)(n－2)(n－3)＜240n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4).又∵n(n－1)(n－2)＞0.∴原不等式化简得n2－11n－12＜0，解得－1＜n＜12.结合n的取值范围，得n＝5,6,7,8,9,10,11，∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.[例3](10分)5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必需参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．[思路点拨]本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确分析和判断．[精解详析](1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C13＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C49种选法．共有C13C49＝378种不同的选法．[一点通]解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．6．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A的含有3个元素的子集共有________个．解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的含有3个元素的子集，则共有C35＝10个．答案：107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选出2名去参加会议的选法数就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名，有C26种选法，从4名女教师中选2名，有C24种选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法C26C24＝90种．1．排列与组合的异同：[对应课时跟踪训练(五)] 1．从7人中选出3人参加座谈会，则不同的选法有()A．210种B．42种C．35种D．6种解析：参加座谈会与顺序无关，是组合问题，共有C37＝35种不同的选法．答案：C2．若A3m＝6C4m，则m的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析：由A3m＝6×C4m得m！(m－3)！＝6·m！4！(m－4)！，即1m－3＝14，解得m＝7.答案：B3．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是()A．C310C35B．C410C25C．C515D．A410A25解析：按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有C410C25种抽法．答案：B4．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是() A．20 B．9C．C39D．C24C15＋C25C14解析：分两类：第一类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C14个平面；第二类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C15个平面．故可确定C14＋C15＝9个不同的平面．答案：B5．若C13n＝C7n，则C18n＝________.解析：∵C13n＝C7n，∴13＝n－7，∴n＝20.∴C1820＝C220＝190.答案：1906．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：先给甲组选4人，有C410种选法，余下的6人为乙组，故共有C410＝210种选法．答案：2107．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3人去参观展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，求该科技小组中男生的人数．解：由题意得C12·C2x＝20.解得x＝5.故该科技小组有5名男生．8．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)甲当选且乙不当选；(2)至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C48＝70种选法．(2)至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有C36C24种选法；第二类是2男3女，有C26C34种选法；第三类是1男4女，有C16C44种选法．由分类加法计数原理知，共有C36C24＋C26C34＋C16C44＝186种选法．。