高二数学组合数的两个性质
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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3.1.3 组合和组合数( 组合和组合数的性质)(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
的选择方式？
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
对于（1），可分为两步：第一步，完成（2）中的事情，即选择两所学校；
第二步，讲选出的学校进行全排列（有22 种方法）.因为（1）的答案为23 ，
所以如果设问题（2）的答案是x，那么就能得到
23 =x22
从而得到 =
23
.
22
二 组合数
组合数的定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取
这个问题可以用我们本节所学的组合知识来解。
03 新知探索
一、组合
【尝试与发现】下面这两个问题的答案一样吗？
（1）小张要在三所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，校长
共有多少种不同的选择方式？
（2）小张要在三所大学中选择2所，作为自己的努力的目标，小张有多少种不同
的选择方式？
选择合适的符号，分别表示出上述两题中所有的选择方式，并总结两者之间
02 新知导入
02 新知导入
【情境与问题】
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，
考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种
可能得情况呢？
如果用{思想政治、地理、历史}表示其中一种选考组合，你能用类似的方法表示
出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？
【答案】D
D．5或7
四 课堂练习
【练习3】某校拟从2名教师和4名学生共6名党史知识学习优秀者中随机选取3名
，组成代表队，参加市党史知识竞赛，则要求代表队中既有教师又有学生的选法
共有
种．
【答案】16
四 课堂练习
【练习4】
【解析】
四 课堂练习
组合数的性质和应用
(1)
例1 计算 198
( 2 )
C C
200
;
2
C
2 200
200 199 21
19900
3 99
C 99;
C
3
3
3
100
2
100 99 98 3 21
161700
( 3 )
2C
3 8
C 9 C 8 .
3 2 2 3
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
4 6 4
变式1. 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中 任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况： （1）4只鞋子恰有两双； （2） 4只鞋子没有成双的； （3） 4只鞋子只有一双。
分析:
2 C (1)因为4只鞋来自2双鞋, 所以有 10 45
(2)因为4只鞋来自4双不同的鞋, 而从10双鞋中取4双有 4 C 种 10 方法, 每双鞋中可取左边一只也可取右边一只, 各 4 1 1 1 1 1 有 C2 种取法,所以一共有 C10C2C2C2C2 3360 种取法.
4 12 4 8 4 12 4 8 4 4种
B.3 C C C
4 12
4 8
4 4种
C. C C A
3 3种
4 4 C12 C84 C4 D. 种 3 A3
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C C11 种 （A） 8 种（B） 8 种 （C） C 9 种 （ D）
高二数学计数原理知识点总结归纳
高二数学计数原理知识点总结归纳1. 排列与组合在数学中，排列与组合是计数原理的基本概念。
排列表示对给定的一组元素进行有序的安排，而组合则表示选取给定集合中的若干元素的无序集合。
2. 排列排列是从一个给定的元素集合中选取出一些元素按照一定的顺序进行排列的算法。
根据排列的性质，可以分为两种类型：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
2.1 有重复元素的排列设有 n 个元素中，其中有 m1个元素相同，m2个元素相同，...，mk 个元素相同。
则排列数 P 的计算公式为：P = n! / (m1! * m2! * ... * mk!)2.2 无重复元素的排列设有 n 个不同的元素要进行排列，选取其中 r 个元素进行排列的方式，计算排列数的公式为：P = n! / (n - r)!3. 组合组合是从一个给定的元素集合中选取出若干元素的无序集合。
与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
根据组合的性质，可以分为两种类型：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
3.1 有重复元素的组合设有 n 个元素中，其中有 m1 个元素相同，m2 个元素相同，...，mk 个元素相同。
则组合数 C 的计算公式为：C = (n + 1)! / (m1! * m2! * ... * mk! * (n - m1 - m2 - ... - mk)!)3.2 无重复元素的组合设有 n 个不同的元素要进行组合，选取其中 r 个元素进行组合的方式，计算组合数的公式为：C = n! / (r! * (n - r)!)4. 二项式定理二项式定理是数学中一个重要的公式，它描述了两个数的二次方的展开式中，各个项的系数与指数之间的关系。
二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, r) *a^(n-r) * b^r + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, r) 表示了 n 中取 r 的组合数。
高二数学组合与组合数
課堂練習：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①
若取出6，则有2(A
2 8
+
C12C17C17 )
种方法；
②若不取6，则有
C17
组合数计算公式
复习
(1)C m
Am n
n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
An
m!
(2)C m m n!
n m!(n m)!
组合数性质1： C
m n
C nm n
c c c 组合数性质2： m m m1
n1
n
n
C
0 n
=1
常用的组合数性质公式还有：
补充
1、Cn0 Cn1 Cnn 2n 2、Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 3、kCnk nCnk11
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成 Cm2 Cn2 个平行四边形 .
5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成
Cm2 Cn2C
2 t
2 6
C
2 4
C
2 2
=
90
种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C16
C
2 5
C33
A
3 3
=
360
种方法；
③“1、1、4型”，有
【高中数学】组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
根据分步乘法计数原理，有 34 =
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
高二数学人选修课件时组合与组合数公式
02 03
案例二
假设有一个边长为1的正方形区域，任意投掷一个点，求 该点落在正方形内切圆内的概率。根据二维几何概型的计 算方法，内切圆的面积为π/4，正方形的面积为1，因此该 事件的概率为π/4。
案例三
假设有一个半径为1的球体，任意投掷一个点，求该点落 在球体内接正方体内的概率。根据三维几何概型的计算方 法，内接正方体的体积为2/√3，球体的体积为4π/3，因 此该事件的概率为(2/√3) / (4π/3) = √3/(2π)。
互斥事件的概率加法公式
若事件A与事件B互斥，则$P(A cup B)=P(A)+P(B)$。
对立事件的概率
若事件A与事件B对立，则$P(A)=1-P(B)$，$P(B)=1-P(A)$。
案例分析
案例一
掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的 点数。求事件A（出现偶数点）的概 率。
案例三
某射手进行射击训练，每次射击命中 目标的概率为0.8，现连续射击5次， 求事件C（至少命中4次）的概率。
A
计算机科学
在算法设计和分析中，组合数学提供了许多有 用的工具和方法，如动态规划、分治法等。
物理学
在量子力学和统计力学中，组合数学用于 描述微观粒子的状态和相互作用。
B
C
化学
在化学中，组合数学可用于计算分子的可能 构型和化学键的组合方式。
生物学
在遗传学和生物信息学中，组合数学用于分 析基因序列的组合和变异情况。
常见问题类型
01
求组合数
直接利用组合数公式进行计算。
02
验证组合数性质Leabharlann 如验证C(n,m) = C(n,n-m)，C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n等。
二项式定理课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
它一共有
n＋1
项，其中各项的系数C
k n
(k
0,1,
2
,
n)
叫做二项式系数.
二项展开式中的C
k n
ank
bk
叫做二项展开式的通项，用Tk 1
来表示，即通项
为展开式第k＋1项，即
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
.
—此公式叫做通项公式.
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1a n1b Cn2a n2b2
a a4 中含有0个b, 对应系数 C04 ；
a3b
aa a
b a3b 中含有1个b, 对应系数 C14 ；
a2b2
aa
b
b a2b2 中含有2个b, 对应系数 C24 ；
ab3
ab
b
b
ab3 中含有3个b, 对应系数 C34 ；
b4
bbb b
b4 中含有4个b, 对应系数 C44 .
由计数原理分析可以得到：
an
a a ...... a a a an中含有0个b,对应系数C0n ；
an1b
a a ...... a a b an1b中含有1个b,对应系数C1n ；
......
ank bk
a a ...... b b b ......
ank bk中含有k个b, 对应系数 Ckn ；
a bn1
a b ...... b b b
abn1中含有n
1个
b,
对应系数
Cn1 n
；
bn
b b ...... b b b bn中含有n个b,对应系数Cnn ；
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(北师版)教学课件第五章-§3组合问题
第五章
§3
组合问题
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
学习目标
1.理解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数的性质，并会应用公式和性质进行计算.
3.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
新知学习
问题导入
北师大版
一 组合
一般地，从个不同元素中，任取（ ≤ ，且，∈N+）个元素为一组，叫作从个不同
元素中取出个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
排列与组合的区别与联系
①共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
②不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
种选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C43 ＝4种选法.
根据分类加法计数原理知，共有74种选法.
（方法二
间接法）从所有的9名学生中选出3名，有C93 种选法，其中全为男生的有C53 种选法.
所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C93 -C53 ＝74种.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
第1步，从，，，，这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为；
第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为A33 .
A35 5×4×3
3
3
因此，根据分步乘法计数原理，A5 ＝·A3 ，从而＝A3 ＝3×2×1＝10.
3
所以从5名候选人中选出3名担任代表，共有10种方案.
高中数学
选择性必校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如
§3
组合问题
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
学习目标
1.理解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数的性质，并会应用公式和性质进行计算.
3.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
新知学习
问题导入
北师大版
一 组合
一般地，从个不同元素中，任取（ ≤ ，且，∈N+）个元素为一组，叫作从个不同
元素中取出个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
排列与组合的区别与联系
①共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象.
②不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关.
种选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C43 ＝4种选法.
根据分类加法计数原理知，共有74种选法.
（方法二
间接法）从所有的9名学生中选出3名，有C93 种选法，其中全为男生的有C53 种选法.
所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C93 -C53 ＝74种.
高中数学
选择性必修第一册
北师大版
第1步，从，，，，这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为；
第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为A33 .
A35 5×4×3
3
3
因此，根据分步乘法计数原理，A5 ＝·A3 ，从而＝A3 ＝3×2×1＝10.
3
所以从5名候选人中选出3名担任代表，共有10种方案.
高中数学
选择性必校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如
组合、组合数 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
元素中取出个元素的组合数，用符号C 表示.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为C23，从4个不同元素中取出3
个元素的组合数表示为C34.
探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数A
来求组合数C 呢？
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段
作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：
AB，AC，AD，BC，BD，CD.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起
例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
用能力和分析问题、解决问题的能力.
核心素养：逻辑推理、数学运算、数学建模.
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
新知学习
探究：从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？
从6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同
第六章
6.2
排列与组合
6.2.3 组合
6.2.4 组合数
高中数学
选择性必修第三册
RJ·A
学习目标
1.理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用
组合数的性质化简、计算、证明.
3.能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应
高二数学(选修-人教B版)-组合(2)
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查： (3)至少有一件是次品的抽法有多少种？
有次品
有次品
无次品
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现
在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
不同的分组方法数：C39 C36 C33=1 680
典型例题
例4 (3)甲、乙、丙各得3本.
追问：若只是把这9本不同的书平均分成3组，有多少种不同
的分组方法？
把这9本不同的书平均分成3组，设有x种不同的分组方法.
再将3组书分配给甲、乙、丙三人：A33 种方法.
所以，甲、乙、丙各得3本的分法共有 x A33种.
典型例题
例3 在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现 在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查：
(1)共有多少种不同的抽法？
解：(1) 所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组
合数，共有
C3 100
100 99 98 3 2 1
=
161
700（种）.
排列问题
2A22 2 2 1 = 4 (场)．
典型例题
例2 某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．
解：(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛
30＋4＋1＝35(场).
小结
1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题， 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的 顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关； 2.解决组合应用题的基本思路是“化归”，即由实际问题建 立组合模型，再由组合数公式计算结果，从而得出实际问题 的解.