布里渊区高对称K点
单晶硅的晶体结构建模与能带计算讲义-(1)
单晶硅的晶体结构建模与能带计算讲义-(1)单晶硅(其它典型半导体)的晶体结构建模与能带计算注:本教程以Si为例进行教学，学生可计算Materials Studio库文件中的各类半导体。
一、实验目的1、了解单晶硅的结构对称性与布里渊区结构特征；2、了解材料的能带结构的意义和应用；3、掌握Materials Studio建立单晶硅晶体结构的过程；4、掌握Materials Studio计算单晶硅能带结构的方法。
二、实验原理概述1、能带理论简介能带理论是20世纪初期开始，在量子力学的方法确立以后，逐渐发展起来的一种研究固体内部电子状态和运动的近似理论。
它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，了解材料的能带结构是研究各种材料的物理性能的基础。
能带理论的基本出发点是认为固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动的，称之为共有化电子。
但电子在运动过程中并也不像自由电子那样，完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格原子势场和其它电子的相互作用。
晶体中电子所能具有的能量范围，在物理学中往往形象化地用一条条水平横线表示电子的各个能量值。
能量愈大，线的位置愈高。
孤立原子的电子能级是分立和狭窄的。
当原子相互靠近时，其电子波函数相互重叠。
由于不同原子的电子之间，不同电子与原子核之间的相互作用，原先孤立原子的单一电子能级会分裂为不同能量的能级。
能级的分裂随着原子间距的减小而增加。
如图1所示，如果N 个原子相互靠近，单一电子能级会分裂为N个新能级，当这样的能级很多，达到晶体包含的原子数目时，一定能量范围内的许多能级（彼此相隔很近）形成一条带，称为能带。
各种晶体能带数目及其宽度等都不相同。
相邻两能带间的能量范围称为“带隙”或“禁带”。
晶体中电子不能具有这种能量。
完全被电子占据的能带称“满带”，满带中的电子不会导电。
完全未被占据的称“空带”。
部分被占据的称“导带”，导带中的电子能够导电。
布里渊区的特殊k点采样问题研究
∑
e
ik 1 T l k 2
1 T l k 2 =0 = 0 ⇒ ∑ Am k
l
因此可以用这种方法产生一系列 k 点，用以计算布里渊区内的积分。 如果此时的精度不够，则利用同样的方法继续生成新的 k 点集合： ii =k i T i k 3 k k =0 的特殊 k 点。从而改进精度。 其中 k3 为在 m ∈{ N 3 } 情况下满足 A m 事实上，如果考虑体系的对称性，则 {k } 中的 k 点数目可以极大的减小。也就是说， * } ，阶数为 n ，那么实际上按上述方法构造出来 对于给定的点 k2，可以找出其波矢群 {k 的 ki 只有个不同的点，此时各点上的权重为 i= n* / nG 。更进一步，通过点群的全部对称 操作，可以将全部的 ki 点转入第一布里渊区的不可约部分。如果 ki 点的重叠度是 n k ，则 = nk / ∑ nk 在最后的计算中，这个点的权重为 k 。 j
m= 1
其中 C m 是距离原点第 m 近邻的球半径，按升序排列，且 C m ≤ C m1 。其中＝是因为限 制条件 ∣R∣≤C m 具有球对称性，因此满足此条件的格点集合{R}并不是等价的格点。且函数 A m 满足下列条件： / 2 ∫BZ Am kd k =0, ∀ {m 0, m ∈ I } / 2 ∫ A m k A S mn q = mn 也即，在 k 点网格上是正交的。 k 用 A m 展开： 与 ChadiCohen 方法类似，将函数 f f k = ∑ f m A m k
* k 并在布里渊区内积分，可得： 同时左乘 A m f m= / 2 3∫BZ A* k f kd k m k =1 ，所以从方程（3）可得 因为 A 1 m= 1
I-3.0 布里渊区-3.1 简正模和格波-22
原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
晶 格 振 动 的 研 究 始 于 固 体 热 容 研 究 ， 19 世 纪 初 人 们 就 通 过 Dulong-Petit 定律
E Cv T 3N Ak B , ( E 3N Ak BT ) V 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世
3.0 布里渊区的知识 BZ
布里渊区定义
布里渊区定义：在倒点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的
垂直平分面，倒空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些 区域称作布里渊区，其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里
渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里
渊区，依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。 由于布里渊区界面是某倒格矢K h的垂直平分面，如果用K 表示从原
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士
学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立 了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys，妻子）
2000年7月31日，李爱扶，黄昆，李 政道，杨振宁出席在香港召开的第 三届全球华人物理学大会
考虑一个比较真实的周期性晶格模型，提出 这样一个系统的运动不易用个别原子的振动 去描述，而最容易用具有一定波矢、频率和 偏振的行波来表示，称为系统的简正模，每 个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是 量子化的。与晶体相联系的波的频率不是单 一频率，而是具有一定的频率分布的，这个 频率分布按照复杂的规律依赖与原子间的相 互作用。
30 布里渊区的知识
*简谐近似是晶格动力学处理许多物理问题的出发点!
* 对热膨胀和热传导等问题必须考虑高阶项 --- 特别是3次和4次项的作用 → 这称为非谐项或非谐作用 – V非谐 * 具体处理问题时,把非谐项看成是对起主要作用 的简谐项的微扰!
简正振动模式：在简谐近似下, 由N个原子构成的晶体的晶格振 动, 可变为3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称 为简正振动模式 简正振动模式对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是 晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
2
a
i
倒格矢的垂直平分面 构成第一布里渊区
a
O
一维晶格点阵
b
-π/a
O
倒格子点阵
π/a
二维晶格点阵的布里渊区 取正格子基矢为 a1 ai 和a2 a j 可求出倒格子基矢为
2 2 b1 i 和b2 j a a
作原点0至其它倒格点连线的中垂线，它们将二维倒 格子平面分割成许多区域
第三章 晶格动力学和 晶体的热学性质
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模型）， 即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在该框架内， 我们讨论了X 光衍射发生的条件，求出了晶体的结合能，以后还将 在此框架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。然而它只 是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离子是不可能严 格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围 内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解了晶格振动的规律， 更多的晶体性质才能得到理解。如：固体热容，热膨胀，热传导， 融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位 移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。
空间群k点选择
空间群k点选择全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间群是晶体学中研究的一个重要内容，它揭示了晶体结构的对称性和周期性。
在空间群的描述中，k点的选择是十分关键的，它不仅影响到晶体的简并度和性质，还可以用来计算材料的电子结构和光学性质。
空间群k点选择的问题也成为了晶体学中一个重要的研究方向。
在实际计算中，我们通常使用第一布里渊区（First Brillouin Zone）来代表晶体的全波矢空间。
在这个区域内，我们需要选择一组关键的k 点来描述晶体的能带结构和电子态密度分布。
这些k点的选择不仅要考虑到空间群的对称性，还要满足计算精度和效率的要求。
在实际计算中，选择合适的k点是至关重要的。
我们需要考虑到空间群的对称性在k点选择中的作用。
空间群包含了平移、旋转、镜面反射等一系列操作，而这些操作会对能带结构和电子性质产生影响。
在选择k点时，我们需要考虑到空间群的对称元素，并在合适的位置上选择k点来描述晶体的对称性。
我们还需要考虑到计算的精度和效率。
在实际计算中，我们通常会使用密度泛函理论来描述材料的电子结构，这就需要在k点网格中选取足够密集的点来积分波函数和能量。
如果选择的k点太稀疏，就会导致计算的误差增大；反之，选择的点太多，又会增加计算的时间和成本。
在选择k点时，需要平衡计算的精度和效率，选择一个既满足计算需求又具有代表性的k点网格。
在实际应用中，我们还需要考虑到晶体的特殊性质和应用需求。
不同的晶体结构会对k点的选择产生不同的影响，有些晶体可能需要更多的k点来描述其能带结构和性质，而有些晶体则可以通过较少的k点来近似描述。
在选择k点时，需要根据具体的晶体结构和应用需求来确定合适的数量和位置。
第二篇示例：空间群K点选择是凝聚态物理中一个非常重要的概念。
在固体中，晶体结构是由晶格和原子组成的，而晶格的对称性又决定了固体的物理性质。
空间群是描述晶体的对称性的数学理论，而K点则是描述晶体中的电子结构的关键点。
kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量
Kagome晶格在凝聚态物理中扮演着重要的角色，而其中的高对称点k处更是被广泛关注和研究的对象。
通过对kagome晶格高对称点k 处的哈密顿量进行推导，我们可以更深入地理解这一领域的相关理论和应用。
在本文中，我将按照从简到繁的方式，从浅入深地探讨kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量的相关内容。
1. kagome晶格简介让我们先简要介绍一下kagome晶格。
kagome晶格是一种由无限个三角形构成的几何排列，具有高度对称性和特殊的拓扑结构。
它在凝聚态物理中被广泛应用，涉及到自旋液体、拓扑绝缘体等诸多领域。
2. 高对称点k处的重要性在kagome晶格中，高对称点k处对应着一些特殊的物理性质，例如能带结构、布里渊区等。
针对高对称点k处的研究在理论和实验上都具有极其重要的意义。
3. kagome晶格高对称点k处的哈密顿量推导在进行kagome晶格高对称点k处的哈密顿量推导时，我们需要考虑晶格结构和格矢等因素，通过数学手段进行推导。
这其中涉及到量子力学、拓扑物态等深奥的理论和方法。
4. 总结与回顾通过本文的阐述，相信读者们对kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量这一主题有了更深入的理解。
在实际研究和应用中，对于这一领域的深入探讨和研究势必会带来更多的收获和应用。
5. 个人观点与理解对于kagome晶格高对称点k处推导哈密顿量这一主题，我个人认为在当前凝聚态物理领域具有非常重要的意义。
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浅谈布里渊区的结构和性质概要
本科毕业论文题 目 浅谈布里渊区的结构及性质学生姓名 王 丁专业名称 物理学指导教师 杨志怀2015年4月28日教学单位 物理与光电技术学院学生学号 201191014104编 号 WL2015WLX104浅谈布里渊区的结构及性质摘要：能带理论是目前固体电子理论的最重要的理论，而布里渊区的引入是对于能量学习的重要补充，其在半导体，激光，超导等现代科学研究方面取得了重大突破。
只有将理论转化为生产力，才能带动整个现代信息科学技术群的迅速发展。
通过查阅相关的书籍，对比整理，使得对布里渊区的认识达到新的面貌，形成系统的框架。
从而实现对能带理论更加清晰的高度，为材料研制和工程技术提供更加可靠的理论指引。
关键字:晶格；布里渊区；能带。
Discussion on the structure and properties of Brillouin zone Abstract: Brillouin zone as the basic content and the research of the physics of solids lattice can bring important knowledge points. Band theory is the most important theory of the solid electronic theory, and the brillouin zone were introduced for energy learning important supplement, its in the semiconductor, the laser, superconductor, achieved a major breakthrough in modern scientific research. Only convert theory into productivity, can drive the rapid development of modern information science and technology group. Through access to books,contrast, to achieve a new understanding of the brillouin area, form a system framework. So as to realize more clear height of band theory, for research and engineering technology materials provide more reliable theoretical guidance.Keywords: Lattice ；Brillouin zone ；Energy band.目录一论文正文1 晶格性质及布里渊区 (1)1.1 晶格及分类 (1)1.2 一维单原子链 (1)1.3 一维双原子链 (3)2 布里渊区 (4)2.1 布里渊区 (4)2.2 布里渊区的界面方程 (4)2.3 布里渊区的图像 (4)2.3.1 简单立方格子 (5)2.3.2 体心立方 (5)2.3.3 面心立方体 (6)3 布里渊区与能带 (6)3.1 能带的性质 (6)3.2 能带的表示 (7)3.2.1 简约布里渊区图式 (7)3.2.2 周期图示 (8)3.2.3 扩展布里渊区图示 (8)3.3 三维晶格的能带与布里渊区 (9)3.3.1 能带的周期性 (9)3.3.2 能带的对称性 (9)3.3.3 能带的宏观对称性及与布里渊区的联系 (9)4 总结 (10)4.1 布里渊区的基本特征 (10)4.2 布里渊区的重要性 (10)参考文献 (11)谢辞 (12)二附录1 开题报告 (13)2 结题报告 (14)3 答辩报告 (15)1 晶格性质及布里渊区1.1 晶格[1]及分类晶体内部原子是有规律排列的。
二维MoS2晶体介绍
二维MoS2晶体介绍郑建民PB12203247由于二维MoS2具有独特的光特性、电特性，而且化学稳定性与热稳定性高，使得近几年来对其研究较多，所以借此机会讨论一下MoS2。
在这里主要介绍二维MoS2的结构、化学键、振动、能带、态密度和应用，同时将与块状MoS2、石墨烯等材料进行对比。
块状MoS2基本物理性质：黑灰色，有金属光泽，触之有滑腻感，不溶于水。
密度:4.8-5.0g/cm3; 硬度（莫式），摩擦系数：0.05-0.091~1.5，相对介电常数3.3，二硫化钼不导电，为间接带隙，禁带宽度小（1.2eV）。
MoS2晶体属于六方晶系而且具有层状结构，MoS2作为一种半导体在电子器件、光学器件、力学器件都有应用，另外MoS2毒性较小，作为荧光标记在生物医学也有巨大潜力。
随着MoS2的层数不断减小，MoS2有间接带隙逐渐过度到直接带隙，禁带宽度也由1.29eV增大到1.74eV（174eV对应光为可见光的波段）。
成为与多层MoS2性质不同的晶体。
一结构：多层(块状)MoS2结构：空间群：P63/mmc单层MoS2的结构：俯视图：类似于石墨烯的六角结构，但是原胞中的两个原子不同（而石墨烯中相同）侧视图：由此可以看出所有原子并不是在同一个平面，而是有三个原子层构成MoS2晶体侧视结构每个S原子与三个Mo原子成键，每个Mo原子与6个S原子成键，所以晶体中Mo：S=1:2原胞：如图所示，虽然晶体是二维，但是原胞并不是。
四个Mo原子处于平行四边形的四个角（较小内角为60度）。
原胞内部有两个S原子，处于三个Mo原子（正三角形）的正上方和正下方。
Mo-Mo最近距离：0.312nmMo-S键：0.2411nmMo-Mo-Mo（最小）角：60度S-Mo-S（最小）键角：46.21度晶格点阵：二维的简单六角结构，晶格常数a1=a2=a=0.312nm，夹角60度倒格子空间：结构与晶格点阵相同，只是基矢不同倒格失 长度：夹角120度布里渊区与高对称点：二维MoS 2的晶格点阵与graphene 相同，但是性质并不相同，石墨烯是导体，没有带隙，而二维MoS 2为直接带隙的半导体（Eg=1.8eV ），因此在半导体应用领域有较大潜力。