井筒传热计算中Ramey函数的推导
高等传热学基本方程推导
方程推导1.导热微分方程x 方向导入微元体的热流量为dydz xT x ∂∂-=λφ x+dx 方向导出微元体的热流量为： dx dydz xT x dx x x x x dx x )(∂∂-∂∂+=∂∂+=+λφφφφ 同理可得y 、z 方向的导入、导出热流量。
根据能量守恒：导入微元体的总热流量+微元体内的生成热=导出微元体的总热流量+微元体内能的增加 微元体内能的增加：dxdydz T cdU ∂τ∂ρ= 微元体内的生成热：dxdydz q ⋅ 经整理有：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z y T y x T x T c ∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ 该式可在（1）导热系数为常数；（2）导热系数为常数，无内热源（3）导热系数为常数、稳态（4）导热系数为常数、无内热源、稳态等情况下简化 圆柱坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q z T z T r r T r r r T c ∂∂λ∂∂∂φ∂λ∂φ∂∂∂λ∂∂∂τ∂ρ211 球坐标系：⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=q T r T r r T r r r T c ∂φ∂λ∂φ∂θ∂θ∂θλ∂φ∂θ∂∂λ∂∂∂τ∂ρ22222sin 1sin sin 11 2.连续性方程 对于微平行六面体，从左边流入的质量为：τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂-∂∂-，从右边流出的质量为τρρdydzd dx x u u dx x x x )2)(2(∂∂+∂∂+，二者的净质量差为：τρdxdydzd x u x ∂∂-)( 同理可得y 、z 方向的质量变化，而经过d τ时间，微元体的质量变化为ττρdxdydzd ∂∂，因此可得平衡关系，经整理，有()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u ρρρτρ，此方程可以在有关条件下简化。
传热学计算公式
Nu = 2+0.6(Re^1/2)(Pr^1/3) 。
F=Q/kK*△tm F 是换热器的有效换热面积。
Q 是总的换热量。
k 是污垢系数一般取0.8-0.9K。
是传热系数。
△tm 是对数平均温差。
传热学三种传热方式可以分开学。
传热学相较于理论力学，工程热力学，流体力学而言还是比较简单的，一般大学生掌握了高等数学完全可以自学的。
学习传热学必须有耐心，了解几种换热方式和常见的几个常数公式（努谢尔特数、格拉晓夫数、伯努利常数，傅里叶常数，而且常常推导下几个常用常数公式间的关系，你会惊奇地发现他们其实不少是远亲的），其实解决传热学问题绝大多数都是在和导热系数较劲，有时候是直接涉及。
扩展资料：
在热对流方面，英国科学家牛顿于1701年在估算烧红铁棒的温度时，提出了被后人称为牛顿冷却定律的数学表达式，不过它并没有揭示出对流换热的机理。
传热学作为学科形成于19世纪。
1804年，法国物理学家毕奥在热传导方面得出的平壁导热实验结果是导热定律的最早表述。
稍后，法国的傅里叶运用数理方法，更准确地把它表述为后来称为傅里叶定律的微分形式。
1860年，基尔霍夫通过人造空腔模拟绝对黑体，论证了在相同温度下以黑体的辐射率(黑度)为最大，并指出物体的辐射率与同温度下该物体的吸收率相等，被后人称为基尔霍夫定律。
井筒流体温度分布计算方法
井筒流体温度分布计算方法井筒流体温度分布计算方法主要有传热传质方法和数值模拟方法。
传热传质方法主要包括经验公式计算法、热平衡计算法、温度修正计算法等；数值模拟方法主要包括有限差分法、有限元法、有限体积法、计算流体力学（CFD）方法等。
1.经验公式计算法：经验公式计算法是一种简单快捷的计算方法，适用于一般情况下的井筒流体温度分布计算。
常用的经验公式有Dahlberg公式、Kutateladze公式等。
这些公式通过对传热传质过程的相关参数进行简化，直接给出井筒流体温度分布结果。
2.热平衡计算法：热平衡计算法是一种基于热平衡原理的计算方法，适用于流体温度在井筒中实际变化较大的情况。
该方法将井筒流体划分为若干等温段，分别计算每一段的温度分布，然后根据热平衡原理来确定各等温段之间的温度。
3.温度修正计算法：温度修正计算法是一种对经验公式进行修正的方法，用于更精确地计算井筒流体温度分布。
这种方法考虑了上、下界温度的影响，以及其他一些边界条件，通过修正公式来改进流体温度分布的计算结果。
4.有限差分法：有限差分法是一种基于偏微分方程的数值解法，通过将井筒流体温度分布问题转化为离散化的差分方程来进行计算。
该方法将井筒划分为若干小区域，通过以离散方式近似偏微分方程，计算得到每一个小区域的温度，进而得到整个井筒中温度的分布情况。
5.有限元法：有限元法是一种将井筒流体温度分布问题离散化为一组有限元单元的方法。
该方法将井筒划分为若干形状各异的单元，通过建立单元之间的矩阵方程，利用有限元单元之间的连续性条件，求解得到井筒的温度分布。
6.有限体积法：有限体积法是一种将井筒流体温度分布问题离散化为有限体积单元的方法。
该方法将井筒划分为若干个体积单元，通过建立体积单元之间的质量、能量守恒的方程组，求解得到井筒中流体的温度分布。
7.计算流体力学（CFD）方法：计算流体力学（CFD）方法是一种基于数值模拟的方法，可以用于计算井筒流体温度分布。
圆柱的传热方程推导
圆柱的传热方程推导引言传热是热力学中的重要研究方向之一。
在许多实际应用中，我们经常需要对物体的传热进行分析和计算。
本文将针对圆柱体进行传热方程的推导，以便更好地理解和解决传热问题。
圆柱的基本特征圆柱体是一种常见的几何形状，由于其简单性和实用性，在工程和科学领域中广泛应用。
圆柱体具有以下几个基本参数：•半径 r：圆柱体的底面半径。
•高度 h：圆柱体的高度。
•表面积 A：圆柱体的表面积，由圆柱的侧面积和两个底面积组成。
圆柱的传热过程圆柱体在传热过程中，可以通过对圆柱的侧面和底面的热传导进行分析。
在这里，我们将只考虑传热过程中的热传导，忽略其他形式的传热。
圆柱的侧面热传导圆柱体的侧面在传热过程中通过热传导来传递能量。
根据热传导原理，能量在单位时间内通过单位面积的传热率与温度梯度成正比。
令 Q 表示侧面的传热率，k 表示圆柱的热导率，ΔT 表示侧面两个点之间的温度差异，A 表示侧面的面积。
则根据热传导定律可以得到：Q = k * ΔT * A圆柱的底面热传导圆柱的底面也通过热传导来传递能量。
与圆柱的侧面类似，底面传热率与温度梯度成正比。
令Q’ 表示底面的传热率，k 表示圆柱的热导率，ΔT’ 表示底面两个点之间的温度差异，A’ 表示底面的面积。
根据热传导定律可以得到：Q’ = k * ΔT’ * A’圆柱的传热方程将圆柱的侧面和底面的传热率相加，可以得到圆柱体的传热方程：Q_total = Q + Q’ = k * ΔT * A + k * ΔT’ * A’根据圆柱体的几何关系，可以得到圆柱体侧面的表面积 A 和底面的表面积A’：A = 2πrh A’ = πr^2将 A 和A’ 代入传热方程中，可以得到圆柱体的传热方程：Q_total = k * ΔT * 2πrh + k * ΔT’ * πr^2结论本文推导了圆柱体的传热方程，基于热传导定律，分析了圆柱体侧面和底面的传热过程。
通过这个方程，我们可以计算圆柱体在传热过程中的能量传递情况。
热力学热传导的数学模型推导
热力学热传导的数学模型推导热力学热传导是研究热量在物体内部传递的过程以及温度随时间和空间的变化规律。
在热力学热传导中，需要利用数学模型来描述热传导的行为。
本文将详细推导热力学热传导的数学模型。
热传导方程是描述热传导行为的基本方程之一。
其推导基于以下假设：物体是均匀且各向同性的媒介，热传导过程不考虑对流和辐射。
根据能量守恒原理，可以得到热传导方程。
首先，我们考虑一维情况下的热传导。
设物体长度为L，则可以将其划分为无数个微小的元素，每个微小元素的长度为Δx。
假设该元素内的温度为T，由热力学第一定律可知，该元素内的净热流量可以表示为：dQ = -kA(T_x)Δt其中，dQ表示该元素内的净热流量，k为物体的热传导系数，A为该元素的横截面积，T_x表示该元素的温度梯度，Δt为时间间隔。
根据定义，温度梯度可以表示为温度对长度的导数，即：T_x = dT/dx将温度梯度代入热流量表达式中，可以得到：dQ = -kA(dT/dx)Δt对于该微小元素内的热量，可以表示为：dQ = ρcAΔT其中，ρ为物体的密度，c为物体的比热容，ΔT为该元素内的温度变化。
将两个表达式相等，可以得到：-kA(dT/dx)Δt = ρcAΔT去除A并整理后得到：ρc(dT/dx) = -k(ΔT/Δt)对右侧进行变量分离，左侧进行积分，可以得到：∫(1/ρc)dT = -∫(k/Δt)dx对两个积分进行求解，可以得到：(T - T_0)/(ρc) = -(k/Δt)(x - x_0) + C其中，T_0为初始温度，x_0为物体线性分布的起点，C为常数。
进一步整理可以得到：T - T_0 = (k/ρcΔt)(x - x_0) + C综上所述，我们推导得到一维情况下的热传导方程：T - T_0 = (k/ρcΔt)(x - x_0) + C该方程描述了一维情况下物体内部温度随时间和位置变化的规律。
对于二维和三维情况下的热传导，可以将热传导方程进行推广。
导热系数公式推导
导热系数公式推导传热系数是一种反映物体热能传递情况的量。
它有助于人们清楚地了解传热过程，是热科学研究的重要基础。
下面我们来推导传热系数的公式。
传热系数定义为热量系数，用δq来表示。
它是定义为物体得以温度均衡时，温度梯度所由的热流的比值，即：$$\delta q=\frac{\text{heat flow rate}}{\text{temperaturegradient}}$$其中，热流与温度梯度的倒数称为传热系数。
所以，传热系数可由下式求出：$$k=\frac{1}{\delta q}$$根据面传热法，传热系数可把整个热流过程概括为一个复合层，用ΔQ和ΔT表示传热量和温度梯度。
两个传变量之间的熵增比值呈线性关系。
把热传热中的热流率定义为温差的函数，以不断变化的温度梯度来表示温差，可得：$$Q=\int_1^2k(x) \cdot \Delta T(x) \cdot \mathrm d x$$上式中的传热系数可把贴片式线性加和状况转化为整体状况，其具体表达式为：$$k=\frac{\Delta Q}{\Delta T}$$又因为热流率可表示为传热系数的函数：$$q=k \cdot \Delta T$$将上式代入此时可得：$$k=\frac{Q}{\Delta T}=\frac{\int_1^2 k(x) \cdot \Delta T(x) \cdot\mathrm d x}{\Delta T}=\int_1^2 k(x) \cdot \mathrm d x$$上式即为传热系数公式。
由此，我们可以看出，传热系数的量度取决于热流率和温度梯度之间的关系，只有在满足此条件的情况下，才能更好地识别物体的热能传递状况。
热量计算公式的推导
热量计算公式的推导热量是物体内部分子间的运动能量，是物体所具有的热运动的能量。
热量的计算在物理学中有着重要的意义，不仅可以帮助我们理解物体的热特性，还可以应用到工程技术中。
热量的计算公式是根据热力学原理推导而来的，下面我们将从热力学原理出发，推导出热量计算公式。
首先，我们需要了解一些基本的概念。
热量的单位是焦耳（J），热量的传递有三种方式，传导、对流和辐射。
在热力学中，热量的传递可以通过热传导方程、热对流方程和辐射传热方程来描述。
热传导方程描述了热量在固体或液体中传递的规律，它的数学表达式为：\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T \]其中，T是温度，t是时间，α是热传导系数，∇^2是拉普拉斯算子。
这个方程描述了温度随时间和空间的变化规律，从而可以计算出热量在固体或液体中的传递情况。
热对流方程描述了热量在流体中传递的规律，它的数学表达式为：\[ q = hA(T_s T_f) \]其中，q是传热率，h是对流换热系数，A是传热面积，T_s是固体表面温度，T_f是流体温度。
这个方程描述了固体和流体之间的热量传递规律，从而可以计算出热量在流体中的传递情况。
辐射传热方程描述了热量通过辐射传递的规律，它的数学表达式为：\[ q = \sigma A(T_s^4 T_f^4) \]其中，q是辐射传热率，σ是辐射传热系数，A是辐射面积，T_s是固体表面温度，T_f是流体温度。
这个方程描述了固体通过辐射向流体传递热量的规律，从而可以计算出热量通过辐射的传递情况。
有了热传导方程、热对流方程和辐射传热方程，我们就可以根据具体的情况来计算热量的传递情况了。
不过，在实际应用中，我们更多地是通过测量温度和热量来计算热量的传递情况。
这就需要用到热量计算公式了。
热量计算公式是根据热传导方程、热对流方程和辐射传热方程以及热力学定律推导而来的。
根据热力学定律，热量的传递是由高温物体向低温物体传递的，热量的传递量与温度差成正比。
热传导公式速记
热传导公式速记热传导公式是研究热传导现象时常用的工具之一。
它描述了热量从一个物体传递到另一个物体的速率，并且被广泛应用于工程和科学领域。
本文将介绍热传导的基本概念和公式，并给出常见的几个热传导公式的推导和应用。
一、热传导的基本概念热传导是指热量在不同温度物体之间的自然传递过程。
当两个物体接触时，它们之间会发生热交换，使得温度差减小，最终达到热平衡。
热传导的速率取决于物体的热导率、温度差和物体的几何形状。
二、热传导公式的推导热传导公式可以通过热传导方程推导得到。
热传导方程描述了热传导速率与热传导系数、温度梯度和距离的关系。
热传导方程的一般形式如下：q = -kA(dT/dx)其中，q表示单位时间内通过单位面积的热量传递速率，k表示热传导系数，A表示传热面积，dT/dx表示温度梯度。
三、常见的热传导公式1. 平板导热公式在扁平的导热平板中，通过板的热量传递速率可以用以下公式表示：q = -kA(dT/dx)其中，k表示导热系数，A表示导热面积，dT/dx表示温度梯度。
2. 球体导热公式在球体中，通过球的热量传递速率可以用以下公式表示：q = -kA(dT/dr)其中，k表示导热系数，A表示球体表面积，dT/dr表示温度梯度。
3. 圆柱体导热公式在圆柱体中，通过圆柱体的热量传递速率可以用以下公式表示：q = -kA(dT/dr)其中，k表示导热系数，A表示圆柱体表面积，dT/dr表示温度梯度。
四、热传导公式的应用热传导公式广泛应用于工程和科学研究中。
例如，在建筑工程中，我们可以使用热传导公式来计算建筑材料的热传导性能，根据这些性能来选择合适的材料。
在能源工程中，我们可以使用热传导公式来设计节能设备，提高能源利用效率。
在材料科学中，热传导公式可以帮助我们了解材料的导热性能，从而指导材料的设计和制备。
总结：热传导公式是研究热传导现象的基本工具之一，它描述了热量从一个物体传递到另一个物体的速率。
本文介绍了热传导的基本概念和热传导公式的推导过程，并给出了常见的几个热传导公式的应用。
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井筒传热计算中Ramey 函数的推导
在井筒传热计算中，从水泥环外侧到地层的热传导一般采用Ramey 的方法，即使用边界温度恒定的无限大平面热传导替代真实地层的变边界温度的热传导，从而简化计算。
对于地层中的微元，根据热力学基本方程，在忽略微元位移和体积变化时，有
d d dQ
dt
dt
ρεΩ
=⎰⎰⎰ (1)
因为忽略体积变化，密度ρ不是时间的函数，再忽略压力随时间的变化故
()p d d p T T d d c d dt
t p t T t t ρεεεερ
ρρΩ
Ω
ΩΩ
Ω
∂∂∂∂∂∂=Ω=+Ω=Ω∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)
假设地层的热导率为各向同性张量且不随空间变化
2()S S dQ
q dS T dS T d Td dt λλλΩΩ
=-=∇=∇∇Ω=∇Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (3)
由式(2)和式(3)得到
2p
T
c d Td t ρλΩ
Ω
∂Ω=∇Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (4)
因为式(4)对任意形状的微元都成立，所以 2p
T
c T t
ρλ∂=∇∂ (5)
或写成
21T
T t
χ∂∇=
∂ (6)
其中，p
c λ
χρ=
为热扩散系数。
对于均质无限大地层中的点源，温度分布(,)T r t 满足如下方程和定解条件 21T
T t
χ∂∇=-
∂ (7) 02r T Q r r h πλ→∂⎛⎫
= ⎪
∂⎝⎭ (8) (,)o T r t T →∞= (9) (,0)o T r T =
(10)
求解得到
244o Q
r T T Ei h t πλχ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
(11)
当24r t χ足够小时（比如<0.05），22
ln 44r r Ei t t γχχ⎛⎫-≈+ ⎪⎝⎭
，γ为欧拉常数，值约为0.5772，所以
2
(ln )44o Q
r T T h t
γπλχ=-+
(12)
如果水泥环外侧半径为c r ，则由式(12)可以得到地层热阻
214(ln )4o c
t T T r R Q h
χγπλ
--=
= (13)
或
()
f t R λ
=
(14)
其中()f t 为Ramey 函数
214()(ln )4c t
f t r χγπ=
- (15)
如果0.1r =，6
3
2.7 1.2102.810794p c λχρ-===⨯⨯⨯，则要使20.054r t
χ<，则4
4.1710t >⨯秒即0.48天，要使2
0.014r t
χ<则 2.4t >天。