控制理论lesson5§1.3由传递函数求状态空间表达式
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
第一章 控制系统的状态空间表达式
9
第一章 控制系统的状态空间表达式
从系统框图建立状态空间表达式
示例
u
K1 T1s 1 K2 T2 s 1 K3 T3 s
y
K4
Step 1: 变换成模拟结构图
u + K1 T1
+ -
1 T1
K2 T2
+
-
1 T2
K3 T3
y
K4
10
第一章 控制系统的状态空间表达式
从系统框图建立状态空间表达式
x1 y 1 0 0 x2 x 3
特点：输入矩阵的最后一个元素是1，其它为零； 输出矩阵的第一个元素为1， 其它为零； 状态矩阵的最后一行由传递函数分母多项式 系数决定，从低次幂系数到高次幂系数排列， 并加负号，直接转移矩阵为零。 22
第一章 控制系统的状态空间表达式
u + K1 T1
3 x
+ -
1 T1
x3
K2 T2
2 x
+
-
Байду номын сангаас
1 T2
x2
K3 T3
1 x
x1 y
K4
状 态 方 程
1 x
K3 x2 T3 1 K2 x2 x3 T2 T2
Step 4: 列出方程 输出方程 y x1
12
2 x 3 x
1 KK K x3 1 4 x1 1 u T1 T1 T1
K3 T3 1 T2 0
0 0 K2 x 0 u T2 K1 1 T 1 T1
13
控制系统的状态空间表达式
160
0
x2
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
Gxu (s)
sI
A 1b
adjsI detsI
A A
b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
状态图如图：
状态空间表达式的建立
由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程为： y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量
则有 x1 x2
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x1 0
x2
0
x3 a0
x2 y
x3 y
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmr mr
基本概念
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系 统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。
控制理论中的传递函数与状态空间
传递函数和状态 空间都是控制系 统分析的重要工 具，它们提供了 不同的视角和工 具来研究系统的 行为。
状态空间模型通 常比传递函数更 直观和易于理解， 因为它直接描述 了系统内部状态 的变化。
传递函数和状态 空间之间存在一 定的联系，可以 通过数学转换进 行相互转换。
传递函数与状态空间在控制系统中的应用比较
添加标题
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闭环控制系统：输入信号受输出信 号影响的控制系统
非线性控制系统：系统各环节之间 不满足线性关系的控制系统
传递函数
传递函数的定义
传递函数是线性时不变系统的数学模型 它描述了输入信号与输出信号之间的关系 传递函数通常表示为有理分式的形式 传递函数的定义基于系统的输入-输出关系
传递函数适用于线性时不变系统，描述系统的频率响应特性
状态空间模型描述系统的动态行为，包括状态方程和输出方程
传递函数主要关注系统的外部输入和输出关系，而状态空间模型更全面地描述系 统内部状态的变化 在控制系统分析和设计中，传递函数和状态空间模型各有优缺点，选择合适的模 型取决于具体问题和应用场景
传递函数与状态空间在不同控制问题中的选择
线性时不变系统：传递函数适用于 描述系统的动态行为
多输入多输出系统：状态空间方法 更适合描述系统的动态行为
添加标题
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非线性系统：状态空间方法更适用 于描述系统的动态行为
控制系统设计：根据具体问题选择 合适的描述方法
传递函数与状态空间在控制系统设计中的互补性
传递函数和状态空间是控制理论中的两种重要工具，它们在描述和分析线性时不变系统方面具有各自的优势。
状态空间的实现方式
由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
状态空间表达式及其与传递函数间的关系
)
状态方程
x 1 x2
x 1
x2
0 1 LC
1 R
L
x 1
x2
0 1 LC
u
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y 1
0
x1 x
2
输出方程
12
同一系统不同状态变量之间的关系？
x 1
x
2
1RL
C
1 L 0
x1 x2
1
L
0
u
y 0
1
x x
1 2
x 1
x
2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
)
由微分方程或传递函数转化为状态空间模型这种转换
不唯一!由同一系统的不同状态空间表达式导出的传
递函数（阵）必然相同
22
x n
xn
引入中间
变 ( t ) an1h(n1 )( t ) a1h' ( t ) a0h( t ) u( t )
y( t ) bn1h(n1 )( t ) b1h' ( t ) b0h( t )
对该方程的处理类同前面！
X(s)(sI A)1BU(s)
G(s) Y ( s ) C(sI A)1B D U( s )
传递函数写状态空间表达式
传递函数写状态空间表达式【导言】在工程学科领域中，状态空间方法是一种十分重要的工具，在控制系统和信号处理方面得到了广泛应用。
在此过程中，传递函数和状态空间表达式便成为了其中不可或缺的两个环节。
本文将从传递函数转化为状态空间表达式这一点入手，给读者详细介绍其操作方法和其中的一些要点。
【一、传递函数和状态空间表达式概述】首先我们需要了解一些基本概念。
传递函数(Transfer Function)指的是在时域和频域之间建立约束关系的函数。
它描述了系统输入与输出之间的关系，是刻画线性时不变系统的一种有效方式。
状态空间表达式(State-Space Representation)指的是在某些符号和运算法则下，将一个时不变系统的整个历史过程表示为一个有限元素向量和矩阵的函数。
它描述了系统在时域和状态空间中的变化、状态之间的相互关系和控制变量和系统状态之间的关联。
传递函数与状态空间模型是描述线性时不变系统常用的两种方法。
传递函数的优点是简单、直接，能够快速得到系统的频率特性，但是只能表达一阶系统。
状态空间模型能够表达高阶、非线性系统，可以更好地反映物理实际。
【二、传递函数转化为状态空间表达式】将传递函数转化为状态空间表达式，原则上可以采用多种方法，本文将以矩阵分式形式为例进行讲解。
假设系统的传递函数为G(s)，那么我们可以按照以下步骤进行转化：1、设系统的状态变量为x，输出变量为y，则系统的状态方程可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中A、B、C和D是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和耦合矩阵。
2、用连分式的形式表示传递函数：G(s) = D + C(sI - A)⁻¹ B3、将上式展开，得到：G(s) = D + CB⁻¹(sI - A)⁻¹ B4、令P(s) = (sI - A)，则：G(s) = D + CB⁻¹P⁻¹(s)B5、对P(s)进行分解：P(s) = (s - λ1)Q1(s) ... (s - λn)Qn(s)其中λ1,λ2,...,λn是P(s)的特征值，Q1(s),Q2(s),...,Qn(s)是与特征值相关的特征向量矩阵。
控制理论(状态空间表达式)课件
为状态矢量．
x1(t)
x (t)
x
2
(
t
)
x
n
(t
)
x (t) x 1 (t) x 2 (t)
x n (t)T
三.状态空间
以状态变量 x1, x2,
空间，称为状态空间．
xn 为坐标轴所构成的n维
四. 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为
系统的状态方程．
五. 输出方程
在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间 的函数关系式,称为系统的输出方程.
式中 e 为反电动势； K a , K b 转矩常数和反电动势常数．
整理得：
di R i Kb 1 u dt L L L
d Ka i B
dt J J
把 x1i,x2 代入，有
x1 x2
RL Ka
J
Kb L
B J
xx12
1 Lu
0
若指定角速度为输出，则
y x2 0
1xx12
【例1-2】 RLC电路如下图所示. 以ei作为系统的 控制输入u(t)，eo作为系统输出y(t)。建立系统的 动态方程。
解: 该R-L-C电路有两个独立的储能元件L和C，可以取 电容C两端电压和流过电感L的电流 作为系统的两个状 态变量，分别记作x1和x2。根据基尔霍夫电压定律和 R、L、C元件的电压电流关系，可得到下列方程：
出变量与状态变量之间的关系，Dmxr矩阵称
为直接传递矩阵，表示了控制向量U直接转
移到输出变量Y的转移关系。
和经典控制理论类似，可以用方块图表示系统信 号的传递关系．
将状态方程表示的系统动态方程用方块图表示为 如图所示。系统有两个前向通道和一个状态反馈回路 组成，其中D通道表示控制输入U到系统输出Y的直接 转移。
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0 1 0 1
0
A a2
a1
6
5
, B 1
C b2 a2b0 b1 a0b0 5 3 , D b0 1
若将传递函数化成严格真有理分式，则 G(s) 1 3s 5 s2 5s 6
按简化公式可得：
A
0 6
1 5
B
0 1
，
C b1 b2 5 3
• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 2:15:53 PM14:15:532020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢 谢 大 家 2020 2:15 PM12/12/2020 2:15 PM20.12.1220.12.12
•
5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 220.12. 1214:1 5:5314: 15:53D ecembe r 12, 2020
•
6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月12 日星期 六下午 2时15 分53秒1 4:15:53 20.12.1 2
中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的
状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。 显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 bn1s s n a1s n1 an1s
此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入 无直接关系。
例：已知系统的传递函数
G(s)
2s 1
(s 1)(s 2)(s 4)
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：将传递函数整理成标准形式
G(s)
2s 1
b0 s b1
s3 7s 2 14s 8 s3 a1s 2 a2 s a3
按上式写出能控标准为：
0 1 0 0 1 0
A
0
0
1
0
0
1
a3 a2 a1 8 14 7
0 , B 0
1
C b1 b0 0 1 2 0
结束
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2,, n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
C bn bn1 b1 , D b0
由此画出的系统计算机模拟图如图所示。
能控标准形实现模拟图
例: 已知系统的传递函数：
G(s) s2 2s 1 s2 5s 6
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
D 1
一般情况下，系统输出的阶次高于输入的阶
次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，
即
G(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
nm
式中 bi (i 0,1,m) 是任意，，常系数。同样按以
上方法C阵可以写成
C bm bm1 b0 b0 0 0
1 b
y (n1)
对应的状态空间表达式为：
0
A
0
a n
1 0 an1
0
0
,
B
, C b
1
0
a1
1
0 0
其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准 形实现。它的模拟电路图如下图所示：
能控标准形实现的模拟图
二、传递函数中有零点时的变换
传递函数为：
G(s)
b0 s n b1s n1 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y b0u (n) b1 u (n1) bn1u bnu
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
0
A
0
an
1 0 an1
0
1
a1
0
,
B
0
1
C bn anb0 bn1 an1b0 b1 a1b0 , D b0
§1.3 由传递函数求状态空间表达式
根据前面介绍的微分方程与状态空 间表达式之间的变换关系，若已知传递 函数，可首先把传递函数变成微分方程， 然后由微分方程与状态空间表达式的变 换关系。求出状态空间表达式。
一、传递函数中没有零点时的变换
传递函数为：
G(s)
sn
a1s n1
b
an1s
an
系统的微分方程为：
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
式中
Z (s) U (s)sn来自a1s n11
an1s
an
Y (s) Z (s)
b0 s n
b1s n1
bn1s
bn
分解式第一部分是系统结构决定的。当选
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。14:1 5:5314: 15:5314 :1512/ 12/2020 2:15:53 PM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 214:15: 5314:1 5Dec-20 12-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 14:15:5 314:15: 5314:1 5Saturday, December 12, 2020
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我 。。20 20年12 月下午 2时15 分20.12. 1214:1 5December 12, 2020
•
8、业余生活要有意义，不要越轨。20 20年12 月12日 星期六 2时15 分53秒1 4:15:53 12 December 2020
•
9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自 强不息 。下午 2时15 分53秒 下午2时 15分14 :15:532 0.12.12
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0
A
0
a n
1 0 an1
0
0
,
B
, C 1
0
0
1
0
a1
b
传递函数也可分解成下图所示的结构。
• 选状态变量为：
x1
z
1 b
y
x
2
z
1 b
y
x
n
z (n1)