湖南省保靖县民族中学2014届高三全真模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

1．函数y （ ） A ．()0,+∞ B ．()0,1 C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 2．复数21z i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点为：（ ） A ．()1,1 B ．()1,1- C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3．三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形， 其正视图（如图所示）的面积为8，则该三棱柱左视图的面积为（ ）A． BC． D．4．已知集合{}0,1,1A =-，{}21B x R x =∈=，则x A ∈是x B ∈的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7. 若向量(1,0)(0,1)a b ==，，且1c a c b ⋅=⋅=，则1c ta b t++（0t >）的最小正视图值是：（ ）A ．2 B． C ．4 D．8．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则x y u x +=的取值范围是：（ ）A ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以12F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为()4,3，则此双曲线的方程为：（ ）A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．221916x y -= D ．221169x y -= 10．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时，))12log (1),0,1()1|3|,1,x x f x x x ⎧+∈⎡⎣⎪=⎨⎪--∈+∞⎡⎣⎩，则关于x 的函数()()F x f x a =-（0＜a ＜1）的所有零点之和为：（ ）A ．12a- B ．21a- C ．12a-- D ．21a--第II 卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11．cos300= .12．数列{}n a 的前n 项和为()11121n n n S a a S n N *+==+∈，，，则n a = .13．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则圆222x y +=上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=∈的最短距离是 .14．命题“[]1,2x ∃∈，使20x a x++≥”是真命题，则实数a 的取值范围为 。

15．已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足：①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：在各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10k k b b +⋅<的正整数k 的个数称为这个数列{}n b 的变号数。

若令1n nab a =-（*n N ∈） 则：(ⅰ)2b = ； (ⅱ)数列{}n b 的变号数为： ．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）一汽车厂生产,,A B C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,该厂某月的产量如下表(单位:辆):按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取辆,其中有A 类轿车10辆. （I ）求z 的值.（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从总体中任取2辆,求至少有1辆是舒适型轿车的概率； 17．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，角α的顶点是坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,32ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.将角α的始边按逆时针方向旋转6π，交单位圆于点B ，记()()1122,,,A x y B x y .（I ）若114x =，求2x ； （II ）分别过,A B 作x 轴的垂线，垂足依次为,C D ，记AO C ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若12S S =，求角α的值。

18．(本题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 的底面是平行四边形，60BAD ∠=，平面PAB ⊥平面ABCD ，12PA PB AB AD ===，E ，F 分别为AD ，PC 的中点. （I ）求证：BD ⊥平面PAB (Ⅱ) 求证：PBD EF ⊥平面；（Ⅲ）若AB=2，求直线AD 与平面PBD 所成的角的正弦值。

19．（本题满分13分）已知等比数列{}n a 是递增数列，若23428a a a ++=，且32a +是2a 和4a 的等差中项.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若n n n a a b 21log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.20.(本小题满分13分)设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线C上，且12MF MF -=C（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）过双曲线C 上一动点P 向圆E ：1)4(22=-+y x 作两条切线，切点分别为,A B ， 求PA PB ⋅的最小值.21.(本小题满分13分)函数()2ln 1axf x x x =++有两个不同的极值点12,x x ，其中a 为实常数.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设命题p ：()0,x ∀∈+∞，12()()()221f x f x f x x x++≥-+，试判断命题p 的真假，并说明你的理由.参考答案D PBCFE一、选择题：DACBB CBCDA 1.解：由10x -≥，得1x ≥，故选D 2.解：211z i i==+-，故选A 3.解：左视图是矩形，长（高）为4C 4.解：化简集合{}1,1B =-，B A ⊆，故选B5.解：2,2;6,3;12,4s k s k s k ======。

故选B6.解：由cos cos sin a B b A c C +=得：2sin()sin A B C +=，故sin 1C =，2C π=又由222b c a +-=得：222cos 22b c a A bc +-==，故6A π=，3B π=，选C 7.解：设(,)c x y =，由1c a c b ⋅=⋅=得：(1,1)c =，则 111(1,1)(,0)(0,)(1,1)c ta b t t t t t++=++=++故m =1(1)c ta b t t++=+=令1(0)u t t t=+>，则2u≥所以，m ==≥当且仅当2u =时，等号成立。

故选B8.解：如图，可行域为ABC ∆，其中：(1,2)A ，(4,2)B ，(C 2OA k =，1123OB OC k k ==，，故123yx≤≤，所以 41,33y u x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故选C ˙9.解：易知：5c =，点（4,3）在渐近线by x a=上，所以34a b =又由222216259a b b b +=+=得：22916b a ==，，故选D 10.解：如图，易知：126x x +=-456x x +=，故12450x x x x +++=(]1,0x ∈-时，12()log (1)f x x =--+由132()log (1)f x x a =--+=得：3x 二、填空题：11.12； 12.13n -；14. [)3,-+∞；15.（ⅰ）5，（ⅱ）311. 1cos300cos(36060)cos602=-== 12.1211,213a a a =∴=+=，又 12(2)n n n a a a n +-=≥，即 13(2)n n a a n +=≥，故21233(2)n n n a a n --=⋅=≥，1n =时也成立，故13n n a -=13.圆222x y +=的圆心()0,0到直线40x y +-=的距离为故圆上的点到直线40x y +-=三、解答题：16. 解: (1).设该厂本月生产轿车为n 辆,由题意得：5010100300n =+，所以n=2000. ………2分 故2000100300150450600400z =-----= ………4分 (2) 设所抽样本中有m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以40010005m=,解得m=2 ………6分 即抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车；分别记作12123,,,,S S B B B 。

则从中任取2辆的所有基本事件为：(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2),(B 1 ,B 2), (B 2 ,B 3) ,(B 1 ,B 3)，共10个； ………8分其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个：(S 1, B 1), (S 1, B 2) , (S 1, B 3) (S 2 ,B 1), (S 2 ,B 2), (S 2 ,B 3),( (S 1, S 2)， ………10分 所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为710。

………12分 17.解：（I ）易知：12cos ,cos()6x x παα==+， ………2分而,32ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，故sin α= ………4分故2cos()cos cos sin sin 666x πππααα=+=-1142==………6分 （II ）111111cos sin sin 2224S x y ααα==⋅=， 222111cos()sin()sin(2)226643S x y πππααα=-=-+⋅+=-+ ………8分12S S = s i n 2s i n (2)03παα∴++=，可求得：tan 23α=-而 22,3παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以，552,612ππαα== ………12分 18. 解：（I ）设12PA PB AB AD ===1= 222=2cos60BD AB AD AB AD +-⋅⋅1423=+-=，故 222B D A B A D +=，BD AB ∴⊥而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB平面ABCD AB =BD ∴⊥平面PAB ………4分（II ）设点G 是PB 的中点，连结AG FG ，则FG ∥BC ∥AE ，1==2FG BC AE 所以，四边形AEFG 是平行四边形故AG ∥EF ………6分 因为BD ⊥平面PAB ，∴平面PBD ⊥平面PAB在正三角形PAB 中，AG PB ⊥，故AG ⊥平面PBD ，………7分 而AG ∥EF ，所以PBD EF ⊥平面； ………8分 (Ⅲ) 连结GD ， 由（II ）知：AG ⊥平面PBD ，故ADG ∠就是直线AD 与平面PBD 所成的角 ……10分2,4AB AD ==，在正三角形PAB中，AG =所以sin 4AG ADG AD ∠==4……12分19. 解：（Ⅰ）依题意：3242(2)a a a +=+，代入：23428a a a ++= 可得38a =，2420a a ∴+=， ………2分GFEDCBP A(Ⅱ) 122log 22n n n n b n ==-⋅，∴2(12222)n n S n =-⨯+⨯++⋅； ①2312[1222(1)22]n n n S n n +=-⨯+⨯++-⋅+⋅ ②②—①：2311122222222.n n n n n S n n +++=++++-⋅=--⋅ ………9分由1250n n S n ++⋅>得：1252.n +>易知：当4n ≤时，15223252n +≤=<，当5n ≥时，16226452.n +≥=>∴使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为5. ………13分20. 解：（Ⅰ）由定义知：a =ce a== 故2c =，所以 2222b c a =-=故双曲线C 的方程是22122x y -=. ………4分（Ⅱ）连AE ，则AE ⊥AP ，且|AE |＝1.设|PE |＝t ，∠APB ＝2θ，则||||PA PB ==，||1sin ||AE PE tθ==. ………6分所以PA uu r ·PB uur ||||cos2PA PB θ=⋅u u r u u r22222222(1)(12sin )(1)(1)3t t t t tθ=--=--=+-.………8分 设点(,)P x y ，则222x y -=. 又圆心(0,4)E则 2222222||(4)(2)(4)2818t PE x y y y y y ==+-=++-=-+22(2)1010y =-+≥ ………10分设222()3f t t t =+-，则当t ≥时，43342(2)()20t f t t t t-'=-=>， 所以f (t )在)+∞上是增函数，从而min 36()5f t f ==故PA uu r ·PB uur 的最小值为365. ………13分21.解：（Ⅰ）函数的定义域为(0,)+∞22222(4)2()(1)(1)a x a x f x x x x x +++'=+=++ ………2分 因为()f x 有两个不同的极值点12,x x则12,x x 是方程22(4)20x a x +++=的两个不相等的正实数根所以1212000x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即2(4)160402a a ⎧+->⎪⎨+->⎪⎩ ………4分故 804a a a <->⎧⎨<-⎩或，所以 8a <-故a 的取值范围是：(),8-∞- ………6分（Ⅱ）12121212()()2ln 2ln 11ax ax f x f x x x x x +=+++++ 1212122ln()()11x xx x a x x =++++ 由（Ⅰ）知：121x x ⋅=故12()()f x f x +1212121212122212x x x x x x a a a x x x x x x ++++=⋅=⋅=+++++ ………9分所以不等式12()()()221f x f x f x x x ++≥-+可化为：()221a f x x x+≥-+，即 (1)()2(1)2(1)ax x f x x x x ≥+++-+， 即 (1)2ln 2(1)2(1)ax x x ax x x x ≥++++-+.因为x ＞0，则不等式可化为：ln 10x x -+≤ ………11分 令()ln 1g x x x =-+，则1()1(0)g x x x'=->. 1x >时，()0g x '<；01x <<时，()0g x '>所以当x ∈(0，＋∞)时，max ()(1)0g x g == 所以当x ∈(0，＋∞)时，ln 10x x -+≤恒成立。