数论小站

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求解算法：扩展欧几里德
∗ 扩展欧几里德定理 ∗ 对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd （a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在 整 ∗ 数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。 ∗ ∗
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扩展欧几里德
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求解模线性方程
∗ 定理：方程ax=b(mod n)对于未知量x有解，当且仅 当gcd(a, n)|b ∗ 定理：方程ax=b(mod n)或者对模n有d个不同的解， 其中d=gcd(a, n)或者无解。 ∗ 定理：设d=gcd(a, n)，假定对整数x’和y’，有 d=ax’+ny’。如果d|b，则方程ax=b(modn)有一个解的 值为x0，满足x0=x’(b/d)mod n。
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扩展欧几里德应用
∗ Input ∗ 输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
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扩展欧几里德应用
∗ 思路： 思路： ∗ 根据题意，两个青蛙跳到同一个点;n*t) = p * ll; (t是跳的次数，ll是a 青蛙跳的圈数跟b青蛙的圈数之差。整个就是路程差 等于纬度线周长的整数倍)， ∗ 转化一下： (n-m) * t + ll * p = x – y; ∗ 令 a = n-m, b = ll, c = gcd(a, b), d = x-y; ∗ 有 a * t + b * p = d; (1) ∗ 要求的是t的最小整数解。 ∗ 用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b); ∗ 有 a * t0 + b * p0 = c;
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素数求法
∗ 筛法2： ∗ 一种线性筛素数的方法（复杂度是O(n)）： 一种线性筛素数的方法（复杂度是 ）： void get_prime() { int cnt = 0; for (int i = 2; i < N; i++) { if (!tag[i]) p[cnt++] = i; for (int j = 0; j < cnt && p[j] * i < N; j++) { tag[i*p[j]] = 1; if (i % p[j] == 0) break; } } }//可以用均摊分析的方法来分析算法的复杂度 由于每 可以用均摊分析的方法来分析算法的复杂度,由于每 可以用均摊分析的方法来分析算法的复杂度 ∗ 个合数都唯一的被它的最小素因子筛一次，而每个合 个合数都唯一的被它的最小素因子筛一次， ∗ 数的最小素因子都是唯一的，总复杂度是 数的最小素因子都是唯一的，总复杂度是O(n) CUGB ACM/ICPC GROUP
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数轮基本知识
∗ 素数（prime）和合数（compound），如果一个整数 p只有1和p两个因子，则p为素数，不为素数的其它数 为合数。如果n为合数，则n必有一个小于或等于n的 平方根的数因子。 ∗ 给出一个数n，如何判断它是不是素数？ ∗ 朴素的判别法 从2开始试除小于 的所有自然数，时 开始试除小于n的所有自然数 开始试除小于 的所有自然数， 间复杂度为O(n). 间复杂度为 ∗ 如果 是n的因子，那么 也是 的因子，所以如果 如果a是 的因子 那么n/a也是 的因子， 的因子， 也是n的因子 n有一个大于 的真因子，则它必有一个不大于 1/2的 有一个大于1的真因子 有一个大于 的真因子，则它必有一个不大于n 因子，时间复杂度O(n1/2)。 因子，时间复杂度 。
扩展欧几里德
∗ 根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); ∗ 则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2; ∗ 即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2; ∗ 根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; ∗ 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值 基于 x2，y2. ∗ 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递 归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以 ∗ 结束。扩展欧几里德算法 扩展欧几里德算法 ∗ 扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p，q 使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的 相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方 程组中。
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素数求法
∗ 如何求出1～n中的所有素数？ ∗ 筛法1： Eraosthenes（爱拉托斯尼筛法）筛法：每次求出一 个新的素数，就把n以内的它的所有倍数都筛去。 经典的Eraosthenes筛法（核心代码）： 筛法（ 经典的 筛法 核心代码）： for (int i = 2; i * i < N; i++) { if (tag[i]) continue; for (int j = i; i * j < N; j++) tag[i*j] = 1; } for (int i = 2; i < N; i++) if (!tag[i]) prime[tol++] = i;
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SPEAKER: Zhou Xing 2011.4.13
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数论基本知识
∗ 整除:如果a和b是整数，a≠0，若有整数c使b＝ac，就 说a整除b。在a整除b时，记a是b的一个因子，b是a 的倍数。用符号a∣b表示a整除b，a不能整除b记为a ⊥b。 ∗ 整除基本性质有： （1）若a∣b， a∣c，则a∣（b＋c） （2）若a∣b，则对所有整数c， a∣bc （3）若a∣b， b∣c，则a∣c （传递性）
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最小公倍数
∗ 0.2 LCM (Least Common Multiple)最小公倍数 ∗ 公式：lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b) ∗ 实际上最好写成: ∗ a/gcd(a,b)*b;
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同余式
∗ 如果m整除a-b，我们就说a与b模m同余并计之为 a b(mod a≡b(mod m).例如，由于5|（7-2）与6|（47-35）， 我们有7 ≡2(mod 5)与 47 ≡35(mod 6 ).特别地，如果 a除以m得余数r，则a与r模m同余.注意余数满足 0<=r<m,因而每个整数必与0~m-1之间的一个数同余. ∗ 例如a1 ≡b1(mod m)且a2 ≡b2(mod m),则a1+a2 ≡b1+b2(mod m),a1*a2 ≡b1*b2(mod m).
模版1： ∗ int gcd(int da,int xiao) ∗ { int temp; ∗ while (xiao!=0) ∗ { ∗ temp=da%xiao; ∗ da=xiao; ∗ xiao=temp; ∗ } ∗ return(da); ∗} ∗ 模版2： ∗ int gcd (int a,int b) ∗ { return b?a:gcd(b,a%b); }
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素数算法
∗ 最一般的求解n以内素数的算法。复杂度是 o(n*sqrt(n))，适合n很小
num = 0; for(i=2; i<=n; i++) { for(j=2; j<=sqrt(i); j++) if( i%j==0 ) break; if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; }
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∗ PKU1061青蛙的约会
扩展欧几里德应用
∗ 两只青蛙约定各自朝西跳，直到碰面为止。它们觉 得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的 。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上， 不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观 的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是 否能够碰面，会在什么时候碰面。 我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规 定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向， 单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数 轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标 是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两 只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。 现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
∗ 求解 x，y的方法的理解 ， 的方法的理解 ∗ 设 a>b。 ∗ 1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1， y=0； ∗ 2，ab<>0 时 ∗ 设 ax1+by1=gcd(a,b); ∗ bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b); ∗
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大数素性检测
∗ 如果选用2, 3, 7, 61和24251作为底数，那么10^16内唯 一的强伪素数为46 856 248 255 981。 ∗ 这样的一些结论使得Miller-Rabin算法在OI(信息学奥 林匹克竞赛 )中非常实用。通常认为，Miller-Rabin素 性测试的正确率可以令人接受，随机选取 k个底数进 行测试算法的失误率大概为4^(-k)。 ∗ 伪素数：如果n是一个正整数，并且存在和n互素的 正整数a满足an-1 ≡ 1(mod n), 我们说n是基于a的伪素 数。如果一个数是伪素数，它几乎肯定是素数。另 一方面，如果一个数不是伪素数，它一定不是素数。