第十章 一年多点试验资料的方差分析
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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
第十讲 重复测量数据的方差分析
重复测量设计资料的方差分析（四）一、重复测量资料的特征：重复测量资料系指同一受试对象的某项观测指标进行多次测量所得的数据。
如对病人治疗（或手术）后1天、3天、1周、2周等多个时间点连续观察；又如在眼睛视觉研究中，让同一受试者戴上效率分别为6/6，6/18，6/36/，6/60的镜片；观察其大脑皮质在佩戴不同镜片时的电反延迟时间等。
在重复测量中，由于同一个观察单位具有多个观察值，而这些观察值来自同一受试对象的不同时间（部位等），因此这类数据间往往有相关性存在，违背了方差分析要求数据满足独立性的基本条件。
此时若用一般方差分析方法，将会增大犯I 类错误的概率。
例如：为比较某一降压新药与上市的标准药品降低舒张压的效果，将24名病人随机分配到新药组和标准药物组，每组12名病人，给药前先测定基础血压（3次测定的均数）。
给药后每隔2周测量一次血压，共连续测量4次。
在此期间有3名病人退出（标准药物组1名、新药组2名），试分析新药的降压效果是否不同于标准药。
两组舒张压变化量（服药后-服药前）（mmHg）基础标准药物组基础标准药物组编号血压2w 4w 6w 8w M i编号血压2w 4w 6w 8w M i1 108 -8 -10 -19 -17 -54 3 104 -7 -7 -11 -13 -382 105 -6 -2 -14 -13 -35 5 102 -5 -9 -6 -14 -344 105 -4 -5 -11 -15 -356 98 -3 -10 -9 -13 -357 103 0 -11 -17 -19 -47 9 99 -3 -2 -1 -14 -2012 96 1 -3 -5 -8 -15 10 98 -1 -3 -8 -15 -2714 108 -3 -3 -17 -16 -39 11 100 2 -4 -8 -16 -2615 104 -3 -7 -10 -15 -35 17 106 -5 -8 -15 -20 -4816 97 2 3 -2 -3 0 18 108 -9 -12 -15 -17 -5319 98 1 -5 -7 -11 -22 21 104 0 -6 -7 -24 -3722 104 -1 -1 -11 -10 -23 24 107 -2 -7 -12 -19 -4023 103 -1 -1 -5 -8 -15均数102.8 -2 -4.9 -10.4 -12.3 均数102.6 -3.3 -6.8 -9.2 -16.5标准差 3.15 3.41 5.61 4.76 标准差 3.30 3.16 4.26 3.57 T i-22 -45 -118 -135 A1=-320 T i-33 -68 -92 -165 A2=-358 B1=-55 B2=-113 B3=-210 B4=-300由于重复测量结果即使不施加任何干预,也常会随时间的推移产生自然变化,因此重复测量试验常常需要设立平行对照.试验设计阶段需考虑以下三个因素：1、处理因素各组给以不同的干预2、重复测量因素时间（可根据专业的要求确定，其间隔可以不等或相等。
方差分析
n 打开数据文件grocery_1month.sav。 n 选择【分析】→【一般线性模型】→【单变量】
绘制选项
把style选入水平轴，gender选入单图，然后点击 “添加”。再把style和gender互相交换，选入不同 的框中，单击“添加”。
结果及其解释（1）
结果及其解释（2）
结果及其解释（3）
数据。
方差分析的前提条件
n 方差分析的自变量是“因子”或者“因素”， 它是分类变量；其因变量则为尺度变量，需要 满足以下两个基本前提条件：
n 每个处理的因变量为正态分布（正态性） n 每个处理的因变量具有相同的方差（方差齐性）
单因素的方差分析
n 用于研究一个影响因素对试验结果的影响，它 用于比较两个或者两个以上的总体之间是否有 显著的差异
结果解释
两两比较结果及解释
由于Levene检验没有证据说明三种培训方式的方差相等，参照两种不 同的两两比较的结果是必要的。 Bonferroni和Tamhane多重比较的结果是一致的。即培训2天和培训3天 没有显著的区别，而培训1天与另外两种培训都有显著区别。
同质子集
Tukey B两两比较输出的结果，它把在5%的显著性水 平下没有区别的总体放在同一列，作为同类子集。 这里，培训2天和培训3天没有显著区别，它们作为 一类。而培训1天单独作为1类。
协方差分析的数学模型
n 协方差分析的数学模型为 yij = ¹ + ai +¯ zij+ ²ij
这里yij表示在控制因素的i水平下的第j次试 验的因变量观测值；¹为因变量总体均值;ai表 示控制因素的水平下对因变量产生的效应；¯ 为协变量的回归系数；zij表示在控制因素的水 平i下的第j次试验的协变量观测值；²ij为抽样 误差，假设它是服从方差相等的正态分布变量。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
试验资料的方差分析 PPT
2MSe r
缺区与非缺区间得比较
s xi• x j•
MSe [2
k
]
r
(r 1)(k 1)
第三节 两因素随机区组设计试验资 料得方差分析
一、数学模型与期望均方
设试验有A与B两因素,A因素有a个水平,B因素有b 个水平,随机区组设计,重复r次,则该试验共有abr个观 察值。
任一观察值得数学模型为:
38.766 2.170 1.126 32.206 3.264
dfT k 2 1 52 1 24, dfr dfc dft k 1 5 1 4
dfe (k 1)(k 2) (5 1) (5 2) 12
方差分析
经过方差分析,得表10-12。
各品种小区产量平均数间得多重比较 (LSD法)
缺区估计
一、缺区估计得原理
缺区估计得原理就是最小二乘法(Least squares method),取误差平方与为最小值得方法来估计。
对于随机区组试验,有
xi'j
Tt' xi'j r
TB'
xi'j k
T ' xi'j kr
0
xi'j
rTB' kTt' T ' (r 1)(k 1)
【例10-6】资料处理与区组两向表,见表10-26。 A与B因素两向分组整理,见表10-27。
平方与得计算
x2 1525.42
C
64634.588
rab 3 4 3
SST x2 C 39.82 43.32
44.32 64634.588 3885.152
SSAR
xi2 l
C
方差分析
一年多点区域试验数据的方差分析(spss)
一年多点区域试验数据的方差分析（spss）例：5个水稻品种在4个地方进行种植，每个地方均采用3次重复的随机区组设计。
进行测产，得到产量数据如下表所示1、按照上表格式在excel中整理好数据2、将数据导入或复制粘贴至spss的“数据”窗口，并在视图窗口进行命名。
如图所示3、点击【分析】，然后选择【一般线性模型】，【单变量】。
4、打开【单变量】对话框，将产量选入因变量，其余分组变量选入固定因子5、打开【模型】，选择【设定】，然后设定地方、品种、区组的主效应，设定品种与地方的交互作用。
设定完成后点击继续6、打开两两比较或事后比较（26版以上spss）对话框，选择ducan法或LSD 法，并将地方和品种选入右边对话框进行两两比较。
点击继续。
7、回到【单变量】对话框。
点击确定，输出最后结果主体间效应的检验因变量: 产量df 均方 F Sig.源III 型平方和校正模型771.621a13 59.355 1.455 .212截距38592.602 1 38592.602 946.185 .000地方299.060 2 149.530 3.666 .042品种13.474 3 4.491 .110 .953区组40.207 2 20.103 .493 .617地方 * 品种418.880 6 69.813 1.712 .165误差897.327 22 40.788总计40261.550 36校正的总计1668.947 35a. R 方 = .462（调整 R 方 = .145）从上面可以看出试验点差异显著。
地方*品种差异不显著说明，品种在不同实验点的结果比较一致。
地方的两两比较结果如下。
产量Duncan地方N 子集1 23.00 12 29.10831.00 12 32.9583 32.95832.00 12 36.1583Sig. .154 .233已显示同类子集中的组均值。
基于观测到的均值。
误差项为均值方 (错误) = 40.788。
田间试验与统计分析习题
四川农业大学植物生产类专业生物统计考试复习题第一章田间试验一、名词解释试验指标、试验因素、因素水平、试验处理、试验小区、总体、样本、样本容量、隋机样本总体准确性精确性二、简答题1、田间试验有哪些特点？保证田间试验质量的基本要求有哪些？2、什么是试验误差？随机误差与系统误差有何区别？田间试验误差有哪些主要来源及相应的控制途径？3、控制土壤差异的小区技术包括哪些内容？各措施有何作用？4、田间试验设计的基本原则及其作用为何？5、什么是试验方案？如何制订一个完善的试验方案？6、简述完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计和裂区设计各自的特点及其应用条件。
三、应用题1、有5个油菜品种A、B、C、D、E（其中E为对照）进行品种比较试验，重复3次，随机区组设计，试绘制田间排列图。
2、拟对4个水稻品种（副区因素）进行3种密度（主区因素）的栽培试验，重复3次，裂区设计，试绘制田间排列图。
第二章资料的整理与描述一、名词解释数量性状资料质量性状资料次数资料计量资料算术平均数几何平均数中位数众数调和平均数标准差变异系数二、简答题1、试验资料分为那几类？各有何特点？2、简述计量资料整理的步骤。
3、常用的统计表和统计图有哪些？4、算术平均数有哪些基本性质？三、应用题计算下面两个玉米品种的10个果穗长度（cm）的平均数、标准差和变异系数，解释所得结果。
BS24： 19 21 20 20 18 19 22 21 21 19金皇后： 16 21 24 15 26 18 20 19 22 19第三章常用概率分布一、名词解释随机事件概率的统计定义小概率事件实际不可能性原理正态分布标准正态分布两尾概率一尾概率二项分布标准误t分布分布 F分布二、简答题1、事件的概率具有那些基本性质？2、正态分布的密度曲线有何特点?3、标准误与标准差有何联系与区别?4、样本平均数抽样总体与原始总体的两个参数间有何联系？三、应用题1、已知随机变量～(100, 0.1),求的总体平均数和标准差。
方差分析方法
方差分析方法方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件1.1方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
1.2方差分析的用途1.2.1两个或多个样本均数的比较。
1.2.2分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4方差齐性检验。
1.3方差分析的适用条件1.3.1各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2各抽样总体的方差齐。
1.3.3影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2.单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
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60
68 76 204 52 61 46
L2
III
Tv
39
33
63
24
159
品种
试点 区组 I II L3 III Tv I II L4 III V1 5 6 4 15 11 6 4 V2 7 8 6 21 3 10 5 V3 10 13 16 39 13 11 15 V4 10 4 7 21 10 9 5 37 36 29 Tr. 32 31 33 96 T L..
各试验点误差均方同质，可以将各试验点的结
果合并进行联合分析。
3. 品种多点试验结果的联合分析
（1）联合分析的平方和与自由度的计算 将5个试验点的试验结果，合并成为表10－3形式，根据表10 －2计算各变异来源的平方和与自由度。 矫正数C＝6782(4×5×3)＝7661.4 总平方和SST＝1944.60，总自由度dfT＝4×5×3－1＝59 区组平方和SSr＝(602＋682＋……＋332)/4－C= 108.5，区
行各试验点误差均方同质性测验，直接将各试验点的结果
合并进行联合分析。
(2）Bartlett 2测验的计算
• 可由表10-4列成表10-5形式进行计算
试验点Lj 误差均方 Sj2 L1 L2 L3 L4 L5 总和 27.67 19.92 6.58 10.75 4.0 误差df j 6 6 6 6 6 30 166.02 119.52 39.48 64.5 24.0 413.52 3.32 2.99 1.88 2.37 1.39 11.95 19.92 17.94 11.28 14.22 8.34 71.7 jSj2 lnSj2 j lnSj2
• 本例Bartlett 2测验计算（L=5）。
S2 1
j
j 1
L
1 2 s * j j 30 413.52 13.78 j 1
L
j 1
L
j
6 6 6 6 6 30
C 1
2
1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1.07 3(5 1) 6 6 6 6 6 30
如，进行多年、多点品种区域试验，品种效应、地点效应
应区域，而对试验点间的产量差异和试验点内区组间的差 异不感兴趣，所以在品种多点试验资料联合分析时，只作
品种以及品种×试验点互作的F测验。
• 一般品种多点试验，品种为固定模型，而试验点和区组往
往是随机模型，故品种多点试验为混合模型。本例按表 10-6所列的均方进行F测验。
• 方差分析中处理效应的分类：
（1）Bartlett 2测验方法
• 设有L个独立误差均方估计值S12，S22，…，SL2，
其相应自由度分别为V1，V2，……VL，那么合并 方差S2为：
S
2
1
j
j 1
L
2 s * j j j 1
L
j 1
L
j
1 2 L
• Bartlett 2值为：
2 处理效应方差等于零，即H0： =0；如果H0被否定，进一
步的工作是估计 2；重复试验时，从更大的总体随机抽取
新的处理。这样，处理效应是随机的。
按处理效应的类别来划分方差分析的模型，在单
因素试验时，有2种，即固定模型和随机模型；在
多因素试验时，则有3种，即固定模型、随机模型 和混合模型。 若各试验因素水平的效应均属固定，则称之为固 定模型。一般品种比较试验、肥料试验等均属固 定模型。
(如=μi-μ)固定于所试验的处理的范围内，处理效应是固定
的。
随机效应：在单因素试验中，k个处理并非特别指定，而 是从更大的总体中随机抽取的k个处理而已，即研究的对
象不局限于这k个处理所对应的总体的结果，而是着眼于
这k个处理所在的更大的总体；研究的目的不在于推断当 前k个处理所属总体平均数是否相同，而是从这k个处理所 得结论推断所在更大总体的变异情况，检验的假设一般为
•
分别对表10-3早稻多点试验各试验点小区产量结果（kg） 进行方差分析，计算出各试验点相应的平方和、自由度和
均方。
• • • •
矫正数C＝T2/Vr=2042/4×3=3468 总平方和SST=x2－C=（172＋102＋……＋122）－C＝438 区组平方和SSr=Tr2－C＝(602+682+762)/4-C=32 品种平方和SSv =Tv2－C ＝(692+332+572+452)/3－C＝240
l(r-1) l-1 v-1 (l-1)(v-1) l(r-1)(v-1)
ssr ssl ssv ssv l sse
msr msl msv msvl mse
msr/ mse msl/ mse msv/ mse msvl/ mse
品种×地点 试验误差
总
计
rlv-1
sst
二、品种多点试验结果统计分析示例
• 设有一个早稻品种多点试验，供试品种四个（V＝
4），以V1、V2, V3, V4表示，其中V4品种为对照，
三次重复（r＝3），以I、II、III表示，随机区
组试验设计，分别在五个试验点（L＝5）同时进
行，以L1, L2, L3, L4, L5表示，小区面积为100m2， 试验小区产量结果（kg）列于表10-3。
均方同质，即可将多点试验结果合并进行联合分析；若求 得的2值大于查2表的临界02 若值， 则说明各误差均方 不同质，需要对试验数据进行适当的数据处理，通常可剔 除个别“特殊”的试点，或将原始数据作平方根或对数转 换，获得一个同质的方差，再合并进行联合分析。当然在 对试验结果统计分析要求不太严格的情况下，也可以不进
SS
38.0 20.25 24.0 82.25
MS
19.0 6.75 4.0
2．各试验点误差均方同质性测验
• 对品种多点试验结果进行联合分析时，通常要对
各试验点误差均方进行同质性（齐性）测验，只 有当各试验点误差均方差异不显著时，才能将各 试验点的试验结果合并分析，否则，不宜合并。 对各试验点的误差均方行同质性测验。
L 1 L 2 2 ( j ) ln S j S j C j 1 j 1 2
1 L 1 1 C 1 L 3( L 1) j 1 v j vj j 1
• 如果求出的2值小于查2表的临界02 值， 则说明各误差
平方和
108.5
自由度
10
均方
10.850
F
试验点
品 种 品种×试Biblioteka 点 误 差 总 和689.1
379.8 353.7 413.5 1944.6
4
3 12 30 59
172.275
126.600 29.475 13.783 4.295* 2.139*
F测验
• 品种多点试验的主要目的在于鉴定参试品种的优劣及其适
…
x223
…
…
…
x22r
…
v
… … 1 L 2
x2v1
… xL11 xL21
x2v2
… xL12 xL22
x2v3
… xL13 xL23
…
… … …
x2vr
… xL1r xL2r
…
v
…
xLv1
…
xLv2
…
xLvr
…
…
…
xLvr
• 它的数学模型为：
xijk＝μ ＋ti＋Lj＋(tv)ij＋rjk＋eijk
1．各试验点品种比较试验的方差分析
表10-3
试点 区组
早稻5点试验各试验点小区产量（kg）
品种 V1 V2 V3 V4 Tr. T L..
L1
I
II III Tv I II
17
21 31 69 10 19 10
10
12 11 33 12 10 11
13
22 22 57 23 26 14
20
13 12 45 7 6 11
第十章
一年多点试验资料的方差分析
一、品种多点试验资料的方差分析
• 设有v个品种，在L个地点做比较试验。每个地点皆设r个
重复，按随机区组设计进行试验，则第i个品种(i=1, 2, …, v)在第j个地点(j=1, 2, …, u)，第k区组(k=1, 2, …, r)的观测值为xijk，如下表：
表10－1
379.8，dfv＝4－1＝3
• 品种×试验点互作SSvl＝1422.6―689.1―379.8＝353.7，
互作df＝12
• 误差平方和SSe＝1944.6―108.5―1422.6＝413.5，dfe
＝5(4－1)(3－1)＝30
(2）列方差分析表，进行F测验。
表10－6
变异来源
试验点内区组
早稻品种多点试验方差分析
DF
品种
误差 总变异
3
6 11
240.0
166.0 438.0
80.0
27.67
278.25
119.5 426.25
92.75
19.92
108.0
39.5 148.0
26.0
6.58
变异来源 区组 品种 误差 总变异 2 3 6 11
DF
L4
L5
SS
9.5 87.0 64.5 161.0
MS
4.75 29.0 10.75
• 误差平方和SSe＝438－32－240＝166
• 总dfT＝Vr－1＝4×3－1＝11
• 区组 dfr＝r－1=3－1=2
• 品种dfv=V－1=4－1=3
• 误差dfe＝(v－1)(r－1)＝(4－1)(3－1)＝6