信号与系统
信号与系统知识点归纳
周期信号的频谱是离散的，由一系列频率分量组成，每个 分量对应一个傅里叶系数。
幅度谱和相位谱
幅度谱表示各频率分量的幅度大小，相位谱表示各频率分 量的相位信息。
非周期信号频谱分析
傅里叶变换
将非周期信号表示为一系列复指数函数的积分，即 $F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{jomega t} dt$，其中 $F(omega)$ 是信号的频谱。
单位样值信号
在某一时刻取值为1，其余时 刻为0的信号。
正弦型信号
形如sin(ωn)或cos(ωn)的周期 性信号，其中ω为角频率。
复杂指数型信号
形如ean的形式，其中a和ω为 常数，n为离散时刻。
离散时间信号频谱分析
离散时间信号的频谱
通过傅里叶变换将离散时间信号从时域转换 到频域，得到信号的频谱。
信号分类
根据信号的性质和特征，信号可以分 为多种类型，如连续时间信号和离散 时间信号、周期信号和非周期信号、 能量信号和功率信号等。
系统定义及性质
系统定义
系统是一个由输入信号激励、内部含有某种变换关系、并能产生输出信号的物理装置或算法。在信号处理中，系 统通常表示为对输入信号进行某种变换或处理的过程。
周期信号的频谱
周期信号可以表示为无穷级数，其频谱由傅 里叶系数确定。
非周期信号的频谱
非周期信号的频谱是连续的，可以通过傅里 叶变换求得。
信号的能量和功率谱
能量信号和功率信号的频谱特性不同，分别 对应能量谱和功率谱。
离散时间系统响应
线性时不变系统的响应
线性时不变系统对输入信号的响应具有叠加性和时不变性。
卷积和运算
线性时不变系统的响应可以通过输入信号与系统单位样值响应的卷积 和求得。
信号与系统分析
信号与系统分析在现代科学技术领域中，信号与系统分析是一门重要的学科。
它主要研究信号以及信号在系统中的传输和处理过程。
本文将从信号与系统的基本概念、数学模型、频域分析以及实际应用等方面对信号与系统进行分析。
一、信号与系统的基本概念1.1 信号的定义与分类信号是指随时间、空间或其他自变量的变化而变化的物理量。
根据信号的特征和性质，可以将信号分为连续时间信号和离散时间信号。
连续时间信号是在连续时间内取值的信号，例如模拟音频信号；离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，例如数字音频信号。
1.2 系统的定义与分类系统是指对信号进行处理或者传输的设备或物理构造。
根据系统的输入和输出形式，可以将系统分为线性系统和非线性系统。
线性系统满足加法性和齐次性的特性，而非线性系统则不满足。
二、信号与系统的数学模型2.1 连续时间信号模型连续时间信号可以用连续函数来描述。
常见的连续时间信号模型有周期函数、指数函数和三角函数等。
在实际应用中，还可以利用微分方程来描述连续时间信号与系统之间的关系。
2.2 离散时间信号模型离散时间信号可以用序列来表示。
序列是由离散的采样点构成的数列。
常见的离散时间信号模型有单位样值序列、周期序列和随机序列等。
在实际应用中，离散时间信号与系统之间可以通过差分方程进行建模。
三、频域分析频域分析是对信号在频域上的特性进行分析的方法。
通过将信号从时域转换到频域，可以更加清晰地观察信号的频率成分及其变化规律。
常见的频域分析方法有傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
3.1 傅里叶变换傅里叶变换是将一个信号在频域上进行表示的方法。
它可以将信号分解成一系列的正弦函数或者复指数函数的组合。
傅里叶变换广泛应用于信号的频谱分析、滤波器设计以及通信系统等领域。
3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是对信号在复域上的频域表示。
它具有傅里叶变换的扩展性质，可以处理更加一般的信号和系统。
拉普拉斯变换在控制系统分析和设计、电路分析以及信号处理等方面有重要应用。
信号与系统
第一章信号与系统的基本概念一、信号的定义①广义地说，信号就是随时间和空间变化的某种物理量或物理现象.②在通信工程中，一般将语言、文字、图像、数据等统称为消息，在消息中包含着一定的信息③信号是消息的载体，是消息的表现形式，是通信的客观对象，而消息则是信号的内容④应当注意，信号与函数在概念的内涵与外延上是有区别的。
信号一般是时间变量t的函数，但函数并不一定都是信号，信号是实际的物理量或物理现象，而函数则可能只是一种抽象的数学定义。
二、信号的分类(1) 确定信号与随机信号。
按信号随时间变化的规律来分，信号可分为确定信号与随机信号。
实际传输的信号几乎都是随机信号。
因为若传输的是确定信号，则对接收者来说，就不可能由它得知任何新的信息，从而失去了传送消息的本意。
但是，在一定条件下，随机信号也会表现出某种确定性，例如在一个较长的时间内随时间变化的规律比较确定，即可近似地看成是确定信号。
随机信号是统计无线电理论研究的对象。
本书中只研究确定信号。
(2)连续时间信号与离散时间信号。
按自变量t取值的连续与否来分，信号有连续时间信号与离散时间信号之分，分别简称为连续信号与离散信号。
(3)周期信号与非周期信号。
设信号f(t)，t∈R，若存在一个常数T，使得f(t-nT)=f(t) n∈Z (1-1)则称f(t)是以T为周期的周期信号。
从此定义看出，周期信号有三个特点：1) 周期信号必须在时间上是无始无终的，即自变量时间t的定义域为t∈R。
2) 随时间变化的规律必须具有周期性，其周期为T。
3) 在各周期内信号的波形完全一样。
(4) 正弦信号与非正弦信号。
(5) 功率信号与能量信号。
三、信号的相关名词1. 有时限信号与无时限信号若在有限时间区间(t1＜t＜t2)内信号f(t)存在，而在此时间区间以外，信号f(t)=0，则此信号即为有时限信号，简称时限信号，否则即为无时限信号。
2. 有始信号与有终信号设t1为实常数。
若t＜t1时f(t)=0， t＞t1时f(t)≠0，则f(t)即为有始信号，其起始时刻为t1。
信号与系统基本概念
(1)
o t0
t
(t)(t
t0 )dt 0, (t
1 t0 )
31
冲激函数的性质
为了信号分析的需要，人们构造了 t 函数，它属于广 义函数。就时间 t 而言， t 可以当作时域连续信号处
理，因为它符合时域连续信号运算的某些规则。但由于
t 是一个广义函数，它有一些特殊的性质。
1．抽样性 2．奇偶性
41
系统方框图（基本元件）
1.加法器 e1t
r t
e1t r t
2.乘法器
e2 t e1 t
e2 t
e2t rt e1t e2 t
r t
rt e1t e2 t
3.微分器
et
d
r t
d
rt de(t)
dt
4.积分器
et
rt
t
r(t) e( )d
42
§1.6 线性时不变系统
线性系统与非线性系统
线性系统：指具有线性特性的系统。
线性:指均匀性，叠加性。
均匀性(齐次性)：
et rt ket krt
叠加性：
e1(t ) e2 (t )
r1 r2
(t) (t )
e1(t )
e2
(t)
r1(t )
r2
(t
)
43
判断方法
先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
若 HC1 f1t C2 f2t C1H f1t C2H f2t
(t)具有筛选f (t)在t 0处函数值的性质 (t t0 )具有筛选f (t)在t t0处函数值的性质 33
奇偶性
(t) (t)
•由定义2，矩形脉冲本身是偶函数，故极限
信号与系统概念总结
信号与系统概念总结信号与系统是计算机科学中非常基础和重要的研究领域之一,涵盖了许多不同的概念和技术,包括信号处理、图像处理、控制系统、通信系统等。
本文将总结信号与系统的概念,并对其进行拓展。
1. 信号与系统的概念信号是指一组时间序列数据,可以是离散的或连续的,可以是周期性的或非周期性的。
信号可以用于描述各种物理系统,如音频、视频、电磁波等。
系统是指由一组相互作用的物理量组成的系统,这些物理量可以用于控制和调节系统的行为。
系统可以是线性的或非线性的,具有输入和输出,可以用于描述各种实际系统,如控制系统、通信系统、光学系统等。
信号与系统是一个广泛的研究领域,涉及到许多不同的概念和技术,包括滤波器、变换器、放大器、抗干扰技术、时域和频域分析、自适应控制等。
2. 信号与系统的应用信号与系统在计算机科学中有许多应用,包括音频处理、图像处理、通信系统、计算机视觉、机器学习等。
在音频处理中,信号与系统可以用于处理音频信号,包括降噪、均衡、压缩等。
在图像处理中,信号与系统可以用于图像增强、图像分割、目标检测等。
在通信系统中,信号与系统可以用于调制、解调、信道均衡等。
在计算机视觉中,信号与系统可以用于图像识别、目标跟踪、人脸识别等。
3. 信号与系统的发展趋势随着计算机科学的不断发展,信号与系统也在不断发展。
未来,信号与系统将继续在音频处理、图像处理、通信系统、计算机视觉、机器学习等领域发挥重要作用。
未来,信号与系统的发展趋势包括以下几个方面:(1)非线性系统的研究:随着计算机技术的发展,非线性系统已经成为信号与系统研究的重要方向,非线性系统的研究将更加深入。
(2)自适应控制的研究:自适应控制技术是信号与系统研究中的重要方向,未来自适应控制技术将得到更加广泛的应用。
(3) 多模态信号与系统的研究:多模态信号与系统可以用于处理多种不同类型的信号,未来多模态信号与系统的研究将得到更多关注。
(4) 数字信号处理的研究:数字信号处理技术是信号与系统研究的重要方向,未来数字信号处理技术将得到更加广泛的应用。
信号与系统第三章(Lec)
线性时不变系统的时域分析
描述方程
线性时不变系统的数学模型通常 由微分方程或差分方程表示，如 Laplace变换、Z变换等。
冲激响应
系统的冲激响应h(t)是系统对单位 冲激信号δ(t)的响应，可以用来描 述系统的动态特性。
阶跃响应
系统的阶跃响应g(t)是系统对单位 阶跃信号u(t)的响应，可
极点
系统函数的极点是使得系统函数 值为无穷大的复数点，对应于系 统的稳定性。
02
零点
系统函数的零点是使得系统函数 值为零的复数点，对应于系统的 频率响应特性。
03
极点与零点对系统 性能的影响
极点和零点的分布决定了系统的 频率响应特性、稳定性以及动态 性能。
系统响应的计算方法
02
CATALOGUE
信号的基本特性
信号的时域特性
周期性
信号在时间上重复出现，具有周期性。周期 是信号重复一次所需的时间长度。
连续性
信号在时间上是连续不断的，即信号在任意 时间点都有对应的值。
确定性
信号在时间上是确定性的，即信号在任意时 间点上的值是确定的。
可变性
信号在时间上是可变的，即信号在任意时间 点上的值可以改变。
定义
系统的幅度响应是描述系统 对不同频率信号的幅度变化 。
分类
最大幅度、最小幅度、平均 幅度等。
意义
幅度响应决定了系统对不同 频率信号的增益，影响信号 的强度和信噪比。
系统的群延迟响应
定义
系统的群延迟响应是描述系统对信号的群延迟效 应。
分类
恒定群延迟、线性群延迟等。
意义
群延迟影响信号的传播速度和波形，对信号的完 整性、失真度和处理效果有重要影响。
信号与系统
一、信号的概念消息(message)：常常把来自外界的各种报道统称为消息。
信息(information)：通常把消息中有意义的内容称为信息。
信号(signal)：信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。
信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容。
信号是信息的载体，通过信号传递信息。
信号的描述1、数学描述：使用具体的数学表达式，把信号描述为一个或若干个自变量的函数或序列的形式。
2、波形描述：按照函数自变量的变化关系，把信号的波形画出来。
“信号”与“函数”两词常相互通用。
相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
二、信号的分类1. 确定信号和随机信号确定信号或规则信号：可以用确定时间函数表示的信号随机信号:若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性2.连续信号和离散信号连续时间信号：在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。
实际中也常称为模拟信号。
离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。
实际中也常称为数字信号。
3.周期信号和非周期信号周期信号：是指一个每隔一定时间T，按相同规律重复变化的信号。
(在较长时间内重复变化)连续周期信号f(t)满足f(t) = f(t + mT)，离散周期信号f(k)满足f(k) = f(k + mN)，满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
非周期信号：不具有周期性的信号称为非周期信号。
结论：①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。
4．能量信号与功率信号信号可看作是随时间变化的电压或电流，信号f (t)在１欧姆的电阻上的瞬时功率为| f (t)|²，在时间区间所消耗的总能量和平均功率分别定义为：能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零。
信号与系统的基本知识
04 信号与系统的分析方法
时域分析法
时间波形分析
01
直接观察信号的时域波形，了解信号的基本特征和变化规律。
相关分析
02
研究信号自身或信号之间的相似性，用于信号检测、识别和提
取有用信息。
卷积积分
03
描述线性时不变系统对输入信号的响应，用于求解系统的零状
态响应。
频域分析法
频谱分析
将信号分解为不同频率的正弦波， 研究信号的频率成分和幅度、相 位随频率的变化规律。
02
周期信号的判定
03
周期信号的频率
一个信号是否是周期的，可以通 过观察其波形是否在一定时间后 重复出现来判断。
周期信号的频率是指单位时间内 信号重复的次数，与周期成倒数 关系。
信号的奇偶性
奇信号的定义
奇信号是指对于任意时刻t，都有f(-t) = -f(t) 的信号。
偶信号的定义
偶信号是指对于任意时刻t，都有f(-t) = f(t)的信号。
生物系统建模与仿真
信号与系统的方法可用于建立生物系统的数学模型，并通过计算机 仿真研究和理解生物系统的复杂行为。
其他领域中的信号与系统
01
语音与音频处理
在语音和音频处理领域，信号与系统理论用于声音的采集、编码、合成
和分析等方面。
02
图像处理与计算机视觉
图像处理和计算机视觉中涉及大量的信号与系统方法，如图像滤波、边
05 信号与系统的应用举例
通信系统中的信号与系统
信号传输与处理
在通信系统中，信号与系统理论用于分析和设计信号的传输、调制、 编码和解码等过程，以确保信息的可靠传输和高效处理。
信道建模与均衡
通信系统中的信道往往存在多径效应、衰落和干扰等问题，信号与 系统理论可用于建立信道模型，设计均衡算法以补偿信道失真。
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cos(100 t)
F(j) 2
解： FB ( j) 1 F ( j) * FA ( j) 2π 1 [ F ( - 100) F ( 100)] 2
1 -110 -100 -90 0 FB(j)
-10
10
90 100 110
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
F(j) |H(j)| /2
-3
-1
1
3
-c
c
例2 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-< t <，通过 线性相位理想低通滤波器 H ( j) p2c ()e - jtd 的响应。 解： Y ( j) H ( j)F ( j) p2 ()e
b0 b1 z -1 b2 z -2 - 8a1 - 2a2 - 8a2 z -1 Y ( z) X ( z) -1 -2 -1 -2 1 a1 z a2 z 1 a1 z a2 z
3 0.5z - 1.5z (1 - 0.5z -1 ) 2 (1 0.5z -1 )
1 d -1 2 A [ F ( z )(1 - 2 z ) ] -1 (-2) dz
z 2
-2
f [k ] [-2 2k - (k 1)2k 4 4k ]u[k ]
例：F ( z ) 解：
1 求不同收敛域对应的 f [k ] -1 -1 (1 - 2 z )(1 - 3z )
(3) |z|<2 ，F1(z)和 F2(z)均对应左边序列
f [k ] 2 k 1 u[-k - 1] - 3k 1 u[-k - 1]
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[-1]=8，y[-2]=2,
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k]- 0.5k(0.5)k-1 u[k-1]-(-0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
H1(j) f (t) H2(j) C
A
B
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解：
FC ( j) FB ( j) H1 ( j)
1 -100 -90 0 FC(j)
-10 10
90 100
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
-10
10
190 200
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
H1(j) f (t) H2(j) C
A
B
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
-15 15
cos(100 t)
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[-1]=8，y[-2]=2,
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k]- 0.5k(0.5)k-1 u[k-1]-(-0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
解：对于初始状态为y[-1]=8, y[-2]=2的一般二阶系统
F1(z)
F ( z) -2 3 1 - 2 z -1 1 - 3 z -1
F2(z)
(1) |z|>3 ，F1(z)和 F2(z)均对应右边序列
f [k ] (-2 k 1 3k 1 )u[k ]
(2) 2<|z|<3，F1(z)对应右边序列， F2(z) 对应左边序列
f [k ] -2 k 1 u[k ] - 3k 1 u[-k - 1]
-< t <
2) 当c < 1时，输入信号的所有频率分量都不能通过系统，即 y(t)=0， -< t < Y ( j ) 0
例2 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-< t <，通过 线性相位理想低通滤波器 H ( j) p2c ()e - jtd 的响应。 解： Y ( j) H ( j)F ( j) p2 ()e
例2 求带通信号f(t)=Sa(t)cos2t，-< t <，通过 线性相位理想低通滤波器 H ( j) p2c ()e - jtd 的响应。 解： 因为
Sa(t ) π p2 ()
F
利用Fourier变换的频移特性，可得
π F ( j) [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2 - j td π Y ( j) H ( j) F ( j) p2c ()e [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2
解：
y[k ] 5(0.5)k u[k ] - (k 1)(0.5)k u[k ] - (-0.5)k u[k ]
5 1 1 Y ( z) -1 -1 2 1 - 0.5 z (1 - 0.5 z ) 1 0.5 z -1
3 0.5z -1 - 1.5z -2 -1 2 -1 (1 - 0.5z ) (1 0.5z )
cos(100 t)
F(j) 2
解： FE ( j) Y ( j) FD ( j) H 2 ( j)
FE(j) 1/2 -10 0 10
1 Y ( j ) F ( j ) 4
-10
10
1 y (t ) f (t ) 4
1 例 : F ( z) z > 4, 求f [k ] -1 2 -1 (1 - 2 z ) (1 - 4 z )
2 2 2
由抽样信号频谱及Fourier变换的时域和频域位移特性可得 c - 1 c - 1 c 1
y (t ) 2 Sa 2 (t - t d ) cos 2 (t - t d )
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
-1 -2
H(z)
2.5 - 1.25z -1 - 0.5 z -2 H ( z) 1 - 0.25z -2
F(j)
- j td
Y(j)
c
π [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2 |H(j)|
/2
-3
-c
-1
1
c
3
-c
c
3) 当1 <c <3时， 只有c范围内的频率分量能通过系统，故 c 1 c 1 - jtd π Y ( j) [ pc -1 ( ) pc -1 ( )]e
-10
10
-100
0
100
例 如图所示系统中，已知输入信号f(t)的频谱F(j)， 试分析系统中A、B、C、D、E各点频谱并画出频谱 图，求出y(t)与f(t)的关系。
H1(j) f (t) H2(j) C 1 1
A
B
-100 -80 80 100
D
E
y(t)
-15 15
cos(100 t)
H1(j) f (t) H2(j) C
A
B
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解： F ( j ) F[cos(100t )] A
π[ ( - 100) ( 2(j) C
A
B
1
-100 -80 80 100
D
1
E
y(t)
-15 15
cos(100 t)
cos(100 t)
F(j) 2
解：
1 FD ( j) [ FC ( 100) FC ( - 100)] 2
FD(j) 1/2 -200 -190 -10 0 10
A B C 解： F ( z ) -1 -1 2 1 - 2z (1 - 2 z ) 1 - 4 z -1
C (1 - 4z -1 )F ( z) z 4 4
-1 2
B (1 - 2z -1 ) 2 F ( z) z2 -1
-1 -1 2
(1 - 2 z ) F ( z )(1 - 2 z ) A(1 - 2 z ) B C 1 - 4 z -1
c
- j td
F(j)
π [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2 |H(j)|
/2
-3
-1
1
3
-c
c
1) 当c >3时，输入信号的所有频率分量都能通过系统，即
Y ( j) e
- j td
π [ p2 ( 2) p2 ( - 2)] 2
y(t)= f(t-td) = Sa(t-td)cos[2( t-td)] ，