7.1 平面向量的概念(公开课)
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 相等向量： 做相等向量。 做相等向量。 注意： 零向量与零向量相等。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 任意两个相等的非零向量， 用一条有向线段来表示， 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 无关。 无关。 a
b
a=b
a
b
r r | a |>| b |
r r a >b
√ ×
2.两个基本向量： 2.两个基本向量： 两个基本向量 零向量: 模为零的向量(方向不确定 方向不确定). 零向量 模为零的向量 方向不确定 表示： 表示：
r 0,
r | 0 |= 0
单位向量: 模为1个单位长度的向量 个单位长度的向量. 单位向量 模为 个单位长度的向量
始点 终点 始点
r a
终点
A
B
用字母表示
始点
AB, 或
终点
r a
三. 向量的有关概念
1.向量的大小 模): 向量 AB 向量的大小(模 向量的大小 r (模)表示： | AB | 或 | a | 表示： 模 表示
r 或 a 的大小
向量是不能比较大小的,但 向量是不能比较大小的 但 向量的模是可以进行大小比较的. 向量的模是可以进行大小比较的
图7−4
动脑思考 探索新知
下图中，哪些向量是共线向量？
N B E TK A H L C D P F K G
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
M
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 平 行的向量． 行的向量 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定： 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
（4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 零向量 ）存在与任何向量都平行的向量吗？ （5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是 ）若两个向量在同一直线上， 什么向量？ 什么向量？ 平行向量（共线向量） 平行向量（共线向量） （6）两个非零向量相等的条件是什么？ ）两个非零向量相等的条件是什么？ 模相等且方向相同 （7）共线向量一定在同一直线上． × ）共线向量一定在同一直线上．
相等向量
r r 长度相等且方向相同的向量.表示为 表示为： 长度相等且方向相同的向量 表示为： a = b r a
b
负向量(相反向量 负向量 相反向量) 相反向量
与非零向量的模相等，且方向相反的向 量叫做向量的负向量，记作 －a．
a
−a
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
④
课堂小结: 课堂小结
1、向量定义：既有大小又有方向的量。 向量定义：既有大小又有方向的量。
AB
→
A
B
→
2．向量的长度：向量的大小就是向量的长 向量的长度： 度
| AB |
（或称为模）。记作 或称为模）。记作 ）。 3．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 零向量：长度为0的向量叫做零向量， → 作 0 手写体）。 （手写体）。
N B M K A H L C D P F K G E
Z Q
图7−４
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案： ．判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． ）平行向量的方向一定相同． （2）不相等的向量一定不平行． ）不相等的向量一定不平行．
× ×
零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ ）与零向量相等的向量是什么向量？
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
uuu r （1）找出与向量 DA 相等的向量；
uuur （2）找出向量 DC 的负向量；
D O A 图7－5 7 5 B
C
uuu r （3）找出与向量 AB 平行的向量．
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
uuuv 与 O B相 等 的 向 量 有 C uuur uuur E O, D C. uuur 与 O C相 等 的 向 量 有 u u ur u u ur FA,E D.
O
F
D
E
练习2: 练习 如图
问题:(1) OA 与 FE 问题 相等吗? 相等吗 (2) OB 与 AF 相等吗? 相等吗 (3) 与 OA 长度相等 的向量有几个? 的向量有几个 12 (4) 与 OA 共线的 向量有哪几个? 向量有哪几个
uuu r uuur uuur uuur CD （2） BA = − DC， = − DC； uuu uuu uuur uuu uuur uuu r r r r DC CD （3） BA // AB， // AB， // AB．
练习 ：判断下列各命题是否正确？ 1 u u r r u uu r r ,则 （1） = b , 则a = b; a (2)若 (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； uuur uuur CD,则 ABCD是 （3）若AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形； u u u r u r r r r r c,则 （4）若a = b,b = c, 则a = c; u r u r u u r r r r (5)若a//c,b//c,则 (5)若a//c,b//c, 则a//b
如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？
只有大小，没有方向的量叫做数量（标量） 数量（标量） 数量 例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 向量（矢量） 向量
如力、速度、位移等．
请说出下列一些量那些是数量那些是向量? 请说出下列一些量那些是数量那些是向量 距离、位移、身高、 距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、面积、温度. 质量、时间、速度、面积、温度
巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－4），O为对角线交点．
uuu r （1）找出与向量 DA 相等的向量；
uuur （2）找出向量 DC 的负向量；
D O A 图7－4 7 4 B
C
uuu r （3）找出与向量 AB 平行的向量．
解 由平行四边形的性质，得 uuu uuu r r （1） CB = DA；
N B E K A H L C D P F K G
由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上， 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量．
M
方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 平 行的向量． 行的向量 向量a与向量 b平行记作a//b． 规定： 规定：零向 量与任何一个向 量平行．
Z Q
Z Q
图7−4
动脑思考 探索新知
r uuu uuuu r 图7−4中的平行向量 AB与 MN ，方向相同，模相等；平行 uuuu uuu r r 向量GH 与TK ，方向相反，模相等．
N
向量只有 大小与方向两 个要素．当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时，称 向量a与向量b 相等，记作a 相等 =b．
uuur （2）找出向量 DC 的负向量；
D O A 图7－5 7 5 B
C
uuu r （3）找出与向量 AB 平行的向量．
要结合平行四边形 的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
B
a
A
巩固知识 典型例题
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1)．
N B M K A H L C D P F K G E
Z Q
图7−４
动脑思考 探索新知
uuu r
uuuu r
观察图7−4中的向量 AB 与 MN ，所在的直线平行，两个向量的
uuu r uuu r CD 与 PQ 所在的直线平行，两个向量的方向相反． 方向相同；向量
平面向量的概念及表示
学校：鹤山职中 教师：麦 群 超
第七章 平面向量
7.１ 平面向量的概念
小组探究 猫与老鼠哪个重?
一只猫的重量是1.5千克 一只老鼠的重量是 一只猫的重量是1.5千克,一只老鼠的重量是 千克, 0.2公斤,谁更重? 公斤, 公斤 谁更重?
猫能捉住老鼠吗?
• 老鼠由 向东北方向以每秒 米的速度逃窜 老鼠由A向东北方向以每秒 米的速度逃窜, 向东北方向以每秒6米的速度逃窜 而猫由A向正南方向每秒 米的速度追. 向正南方向每秒10米的速度追 而猫由 向正南方向每秒 米的速度追 • 问猫能否抓到老鼠 问猫能否抓到老鼠? 速度是既有大小又有方向的量
A B
√
C
D
3.向量的关系： 3.向量的关系： 向量的关系
平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 平行向量 方向相同或相反的非零向量 r r r 表示为： 表示为： a // b // c 零向量与任一向量平行.
L
r a
r b
r c
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上. 共线向量 任一组平行向量都可平移到同一直线上 即平行向量也叫做共线向量. 即平行向量也叫做共线向量
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．两架飞机位移的有向线段表示分别为图中 的有向线段 a 与 b． 下列各图中哪个表示正确？ 东
A b a a A
南 b b A a A a b 100km.
B A
O
C F
uuu uuu uuuv v v 有CB, FE, DO.
平面向量的概念课件
(C )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等向量
解析：由题图可知―O→B ，―O→C ，―AO→是模相等的向量，其模均等于圆 O 的
半径．故选 C．
2．“|a|＝|b|”是“a＝b”的
( B)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当|a|＝|b|时，因向量a，b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，
解析：对于 A，共线的两个单位向量的方向可能相反，故错误；对于 B，
相等向量的起点和终点都可能不相同，故正确；对于 C，直线 AB 与 CD
可能重合，故错误；对于 D，AB 与 CD 可能平行，则 A，B，C，D 四点
不一定共线．故选 A、C、D.
C．向量―A→B 和向量―BA→长度相等
D．向量就是有向线段
( ABC )
解析 单位向量的长度为 1，零向量的长度为 0，A 正确；零向量与任意向量
平行，B 正确；因为向量―AB→和向量―BA→是方向相反，模相等的两个向量，C
正确；向量是用有向线段来表示的，不能把两者等同起来，D 不正确．
|通性通法| 1．判断一个量是否为向量的两个关键条件 (1)有大小； (2)有方向．两个条件缺一不可． 2．理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 提醒 两个单位向量的模相等，但这两个单位向量不一定相等．
6．1 平面向量的概念
我们在物理学中已经知道，力是矢量(既有大小，又有方向)， 如图，放在水平桌面上的物体 A. 问题 (1)物体 A 受到哪些力的作用？
平面向量的概念_课件
。
不是，方向不同
说明
有向线段与向量的区别 ：有向线段：有固定起点、大小、方 向向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向 。
知识梳理
1平行向量:方向_相___同__或__相__反____的_非__零___向量叫做平行向 量(1).记法:向量a与b平行，记作 a//b _(2__)规___定_.:零向量与任意向量 平行 _2_.相___等_.向量:长度_相__等___且方向_相__同___的向量叫做相等向 量3.共. 线向量:由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所 以平行向量也叫做共_线_____向量要注意避免向量平行、共线与平面 几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
教学重点 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的 概念，会表示向量.
教学难点
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联 系.
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追 到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向 、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没 有方向？
向量概念的判断
总结
1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生 的. 2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有 向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.
3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.零向量 与任意向量平行.
精品 课件
高中数学必修2
第六章 平面向量及其应用
平面向量的概念
中职数学教案：平面向量的概念
江苏省XY中等专业学校2021-2022-1教案编号：备课组别上课日期主备教师授课教师课题：§7.1 平面向量的概念0教学目标掌握平面向量的概念及表示能够计算平面向量的模和向量的方向重点重点：平面向量的概念难点难点：平面向量的概念教法讲练结合教学设备多媒体一体机教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容【课程引入】某学生在标准400m运动场上的百米起点A（1道）处出发，沿跑道跑完400m到终点（起点)A处。
（1）该生所跑的路程是多少？所发生的位移是什么?(2)如果该生从A处出发，跑完1500m，那么他所跑的路程是多少?位移是什么？（3）位移和路程这两个量有什么差别？A教学内容一，建构数学我们把既有大小又有方向的量称为向量。
我们常用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
以A为起点、B为终点点向量(如图7--2（1)),记为AB，向量也可以用小写黑体字母表示，如a, b ,c等，向量大小称作量的长度（或模）。
向量AB的长度，记作AB；向量a的长度是一个数量，是非负实数。
长度为0的向量，记作0。
.零向量没有确定的方向。
长度为1 个单位长度的向量叫单位向量，记作e。
二，应用数学例1 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，分别以点A,B,C为起点或终点，可以构成哪些向量?用有向线段表示这些项链并求出它门的模。
教学内容解分别以点A,B,C为起点活终点可以构成向量AB,BC,CA,AC.,BACB丨AB|=丨BA=5,|BC|=|CB|=13,|CA|=|AC|=4.例2 如图，设ABCD的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量?这些向量的模分别是多少？解ABCD的所有边可以构成向量BCAB,,,CD DA,,AD,DC CB,BA.|AB|=|BA|=|CD|=1,2====DAADCBBC三，理解数学练习，1.判断下列说法是否正确，并说明理由。
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
7.1平面向量的概念(1)
课题序号
教学班级
教学课时
教学形式
新授课
课题
名称
§7.1平面向量的概念(1)
使用教具
投影仪、电脑
教学目标
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量等概念；
（3）培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力；
（4）渗透数形结合思想、化归思想。
教学重点
①向量的模：向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作| |.
②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作 .
思考： 与0的含义与书写区别.
③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？
板书讲解
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
向量的定义及表示
教学难点
理解向量的大小、方向的整体性
更新、补充、
删节内容
课前准备
课外作业
书P34练习题2 P38习题3
板
书
设
计
平面向量的概念
1.向量的概念：
2.向量的表示方法：
3.向量的有关概念：
大小：向量的模，零向量，单位向量
4、举例
教
学
感
想
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
引入
（一）情景设置
(1)湖面上有三个景点O,A,B,（如图）一游艇将
游客从景点O送至景点A,半小时后，游艇再将游客
送至景点B.从景点O到景点A有一个位移，从景点
A到景点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有什么不同？
平面向量的概念课件
向量投影求解问题
通过向量的投影，可以解决一些涉及到几何图形的问题。
向量运算的几何应用
向量运算可以应用于解决几何图形的面积、周长和角度等问题。
向量表示几何图形的问题
通过向量的加法和数量积，可以用向量来表示几何图形。
向量积应用于面积的计算
向量积可以用于计算平面中三角形和四边形的面积。
向量加法和减法
向量加法是将两个向量相加，而向量减法是将一个向量从另一个向量中减去。
向量的数量积和向量积
数量积是两个向量的乘积，它表示两个向量之间的夹角和向量之间的投影。
向量积的几何意义
向量积表示两个向量所确定的平行四边形的面积。
向量积的计算方法
通过行列式或向量的坐标运算，可以计算向量积的值。
平面向量的概念
在数学中，向量是由有序的数组成的几何实体，用于表示大小和方向。
向量的定义和表示方法
向量是有大小和方向的箭头。它可以在平面内由起点和终点来表示。
向量的模长和方向角
向量的模长表示向量的大小，方向角表示向量与坐标轴之间的夹角。
单位向量及其性质
单位向量具有长度为1的性质。它可以表示方向，而不考虑具体的大小。
向量的线性运算
向量的线性运算包括标量乘法和向量加法，它们遵循一些特定的规律和性质。
向量组的线性相关和线性无关 性质
向量组的线性相关性质表示向量组中的向量是否可以通过线性组合得到零向 量。
基底及其坐标表示
基底是一个向量组，它可以表示一个向量空间中的所有向量。
坐标系的建立方法
建立坐标系是为了更好地表示向量和进行向量运算，常用的坐标系有直角坐 标系和极坐标系。
向量的坐标运算
通过向量的坐标运算，可以进行向量之间的加法、减法和数量积等运算。
中职数学基础模块下册《平面向量的概念》公开课课件
01
02
03
平行四边形的性质
通过平面向量的线性组合 ，可以证明平行四边形的 对边相等、对角线互相平 分等性质。
三角形的重心
利用平面向量，可以求出 三角形的重心坐标，进而 求出其他几何量。
空间几何
平面向量可以扩展到三维 空间，用于描述空间几何 图形的位置和方向。
平面向量在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，力是矢量，可以用平 面向量来表示和运算。通过力的 合成与分解，可以求解物体的运
向量的正交分解
将一个向量分解为两个相互垂直的向量的线性组合。
向量的坐标表示
将一个向量用一组有序实数对（x,y）表示，这组实数对称为该向量的坐标。
05
平面向量的解题技巧与方法
运用向量性质简化问题
01
向量具有方向性
利用向量的方向性，可以解决一些与向量方向相关的问题，如向量旋转
、向量投影等。
02
向量模的非负性
中职数学基础模块下册《平 面向量的概念》公开课课件
汇报人： 202X-12-22
目 录
• 平面向量的基本概念 • 平面向量的运算 • 平面向量的应用 • 平面向量的性质与定理 • 平面向量的解题技巧与方法 • 平面向量与其他数学知识的联系与区别
01
平面向量的基本概念
平面向量的定义与表示
向量的定义
数乘向量
数乘向量的定义
数乘向量是指将一个实数与一个向量相乘，得到一个新的向量。其实质是将向量 的每个分量都乘以该实数。
数乘向量的运算规则
数乘向量的运算规则是线性运算的分配律，即对于任意实数k和任意向量a，有 ka=k(a1,a2,...,an)=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
高教版中职数学(基础模块)下册7.1《平面向量的概念及线性运算》ppt课件1
【例2】:如图，设O是正六边形的中心，分别写 出图中与向量 、 相等的向量， OA 、 OC 负向 OB OC B A 量。
C
O
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C F
OC AB ED FO
D E
OC BA DE OF
下面几个命题：
（1）若a = b， b = c，则a = c。
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
a
ab
b b
B
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 点O, 作OA a, OB b, 则BA a b.
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 • 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线 • 三角形法则推广为多边形法则：
多个向量相加， 如：AB BC CD DE EF AF ，
任一组平行向量都可移到同一条直线上,平行向量也叫
共线向量 规定：零向量与任一向量平行
记作:
0 // a
3. 向量的负向量：长度相等且方向相反的向量。
平面向量的概念教学课件
通过具体例子展示如何利用夹角计算公式求解两向量的夹角， 并解释夹角在实际问题中的应用，如力的合成与分解等。
投影概念及其在计算中应用
投影概念
一个向量在另一个向量上的投影 是一个标量，其值等于该向量的 模与两向量夹角的余弦的乘积。
在计算中应用
通过具体例子展示如何利用投影 概念求解数量积和夹角，强调投 影在计算中的重要性。
向量减法
两个向量相减，对应坐标 分量相减，结果向量的坐 标为$(x_1-x_2,y_1-y_2)$。
向量数乘
一个向量与一个实数相乘， 结果向量的坐标为 $(kx,ky)$，其中$k$为实 数。
坐标运算在实际问题中应用
力的合成与分解
多个力作用于同一物体时，可用向量加法求解合力；一个力产生 多个效果时，可用向量减法求解分力。
实施方案
教师准备相关例子和问题，学生分组进行讨论，每组选派代表进行抢答，教师根据回答情况进行点评 和补充。
知识巩固检测题目设置和难度控制
题目设置
针对向量的基本概念和性质，设置选择题、填空题和计算题，确保题目覆盖全面，难度适中。
难度控制
根据学生的学习情况和反馈，适时调整题目难度，确保题目具有挑战性和可完成性，达到巩固知识的目的。
难度适中
按照循序渐进的原则，设计不同难 度的例题，以适应不同学生的学习 需求。
解题思路展示
通过详细解析例题的解题过程，展 示正确的解题思路和方法，帮助学 生理解和掌握平面向量的知识要点。
常见错误类型总结及避免方法
1 2 3
概念混淆 如将向量与标量混淆、误解向量运算性质等。应 加强对平面向量基本概念和性质的记忆和理解， 避免概念混淆。
共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个非零向量 $\vec{a}$、$\vec{b}$不共线，那么向量$\vec{p}$与向量$\vec{a}$、 $\vec{b}$共面的充要条件是存在唯一一对实数$x$、$y$，使得 $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}$。
7.1-平面向量的概念及线性运算教案
【课题(kètí)】7.1 平面(píngmiàn)向量的概念(gàiniàn)及线性运算【教学(jiāo xué)目标】知识(zhī shi)目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为的 倍．由此得到．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间*揭示课题7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．图7－2 总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果aAB过程行为行为意图间向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．模为1的向量叫做单位向量．10 *巩固知识典型例题例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45°方向飞行200km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．解位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别为图7-3中的有向线段a与b．图7-3 说明强调引领讲解说明强调含义观察思考主动求解通过例题进一步领会13a bA过 程行为 行为 意图 间 *运用知识 强化练习说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格为1)．提问巡视 指导思考口答 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况18 *创设情境 兴趣导入观察图7−4中的向量AB 与，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量与所在的直线平行，两个向量的方向相反．播放 课件 质疑 引导 分析观看 课件 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点 20*动脑思考 探索新知【新知识】方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向量与向量b 平行记作a //b ． 总结归纳思考归纳 带领学生KT K图7−4A BCDEF HG M N QPL Z过程行为行为意图间规定：零向量与任何一个向量平行．由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量．【想一想】图7−4中，哪些向量是共线向量？仔细分析讲解关键词语理解记忆总结23*动脑思考探索新知【新知识】图7−4中的平行向量AB与MN，方向相同，模相等；平行向量与，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a 与向量b相等，记作a= b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．与非零向量a的模相等，且方向相反的向量叫做向量a的负向量，记作．规定：零向量的负向量仍为零向量．显然，在图7－4中，AB= MN，=－TK．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆思考归纳理解记忆28过 程行为 行为 意图 间*巩固知识 典型例题例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）=DA ； （2）=,；（3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 说明 强调引领 讲解 说明 引领强调含义 说明观察思考 主动 求解 观察 思考求解领会思考求解通过例题进一步领 注意 观察 学生 是否理解知识点 反复 强调+ 33 *运用知识 强化练习1． 如图，ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出 （1）与相等的向量；（2）与共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写 启发引导思考了解可以 交给 学生 自我 发现 归纳F AD BE C（练习题第1题图EFAB CDO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5O过 程行为 行为 意图 间 出 （1）与相等的向量； （2）OC 的负向量；（3）与OC 共线的向量．提问 巡视 指导动手 求解38 *创设情境 兴趣导入王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500 m 到达超市（B 处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走200 m 到达学校（C 处）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A 处）到达了学校（C 处）．播放 课件 质疑 引导 分析观看课件自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点42 *动脑思考 探索新知位移叫做位移AB 与位移的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量 总结 归纳思考 归纳带领 学生A BC图7－6500m200m图7－7ACBaba +bab过程行为行为意图间的和的方法叫做向量加法的三角形法则．观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．【做一做】给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．【想一想】（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？仔细分析讲解关键词语理解记忆总结50过 程行为 行为 意图 间 *动脑思考 探索新知如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）．总结归纳 仔细分析 讲解 关键 词语思考归纳理解 记忆带领 学生 总结55 *巩固知识 典型例题例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然说明 强调观察图7－9A D C BA BDC图7－10过程行为行为意图间==13．又，利用计算器求得1．即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．分析由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以.解利用平行四边形法则，可以得到，所以．【想一想】根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？引领讲解说明引领分析思考主动求解观察思考求解领会注意观察学生是否理解知识点反复F1 F2kθ图7－11过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解强调62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c=_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）＋BC＋．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入质疑思考引导启发（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图过 程行为 行为 意图 间 在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数． 引导 分析 参与 分析 学生思考66 *动脑思考 探索新知与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a，b，则．即=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．总结 归纳仔细 分析 讲解 关键 词语思考 归纳理解 记忆带领 学生 总结 68 *巩固知识 典型例题例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．强调含义思考求解注意 观察 学生 是否 理解aAa -bBbO图7－13BbOaAba（1）（2）图7－14过 程行为 行为 意图 间 解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ．【想一想】当a 与 b 共线时，如何画出a －b ． 说明 领会思考求解知识 点70*运用知识 强化练习1．填空：（1）AB=_______________， （2）BC =______________， （3）=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、、．启发 引导 提问巡视 指导思考 了解动手求解 可以 交给学生 自我发现 归纳 72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考参与分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知a a aaOA B C过 程行为 行为 意图 间 一般地，实数与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为（7．3）若0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有0a = 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．总结 归纳 仔细分析讲解 关键 词语思考 归纳理解记忆理解 记忆 带领 学生 分析引导 启发 学生 得出 结论过程行为行为意图间78 *巩固知识典型例题例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，AB＝a，AD＝b，试用a, b表示向量、OD．分析因为,，所以需要首先分别求出向量AC与BD.解AC＝ab,BD＝b −a，＋因为O分别为AC，BD的中点，所以（a＋b）＝a＋12b，OD＝12BD＝12（b −a）＝−12a+12b．例6中，12a＋12b和−12a+12b都叫做向量a，b的线性组合，或者说，AO、OD可以用向量a，b线性表示．一般地，λa＋b叫做a, b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μ b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性强调含义说明思考求解领会思考求解注意观察学生是否理解知识点81图7－16过程行为行为意图间运算．*运用知识强化练习1．计算：（1）3（a −2 b）－2（2 a＋b）；（2）3 a −2（3 a −4 b）＋3（a −b）．2．设a, b不共线，求作有向线段OA，使OA＝12（a＋b）．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳83*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：向量、向量的模、向量相等是如何定义的？结论：当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a 与向量b相等，记作a= b．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况85*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究过程行为行为意图间(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组（选做）(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题说明记录分层次要求90【教师教学(jiāo xué)后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；内容总结（1）【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念。