工 程 力 学 教 案-圆轴扭转
工程力学C-第9章 扭转
max
84.88MPa
16
min max
10 42.44MPa 20
§9-6 圆轴扭转破坏与强度条件
一、圆轴扭转时的破坏现象
脆性材料扭转破坏
沿450螺旋曲面被拉断
塑性材料扭转破坏
沿横截面被剪断
二、圆轴扭转的强度条件
D 1.192 得： d1
2
D2
A空 A实 4
(1 0.8 )
d1
4
2
0.512
例6 传动轴AB传递的功率为 P =7.5kW， 转速n=360r/min。轴的 AC 段为实心圆轴， CB 段为空心圆轴。已知：D =30mm，d =20mm。试计算AC段的最大剪应力，CB 段横截面上内、外缘处的剪应力。 解： （1）计算外力偶矩和扭矩 P AC段最大剪应力： m 9549 198.9N m n Tmax D 1max 37.5 10 6 Pa 37.5MPa T m 198.9N m I P1 2 （2）计算极惯性矩 CB段上内外缘的剪应力： D 4 T d 8 4 AC段：I P1 7.95 10 m 2内 I P2 2 32 D 4 4 31.2 10 6 Pa 31.2MPa (1 ) CB段：I P 2 T D 32 2外 8 4 6.38 10 m I P2 2 46.8 10 6 Pa 46.8MPa （3）计算应力
A
ρτ
ρ
dA T
d 2 G ρ dA T dx A
令：
ρ dA I P
2 A
极惯性矩
d G IP T dx
工程力学-第9章 扭转
第9章扭转（6学时）教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计算。
教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。
教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。
教具：多媒体。
通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。
教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。
通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。
本章中给出了具体情形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，要求学生在学习和作业中体会。
教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法。
教学学时：6学时。
教学提纲：9.1 引言工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。
还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。
例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图9-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。
在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。
扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图9-2）。
以扭转变形为主的杆件通常称为轴。
截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。
图9-1图9-2本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。
工程力学--第八章_圆轴的扭转
利用t t '，经整理得
s a t sin 2a , ta t cos2a
s a t sin 2a , ta t cos2a
由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0°和 a = 90°)上切应力的 绝对值最大； (2) a =-45°和a =+45°截面上切应力为零，而正应 力的绝对值最大；
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截
面尺寸不同，其扭矩图相同否?
若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 相同
相同 不同 变形是否相同？
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
MT
o
o
MT
o
MT
o
MT
8.3.3
扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为
t
t′
s45
t dy
t′
纯剪应力
状态等价于转过 等值拉压应力状 态。
A
c dx
A
t
c
45
t45 45后微元的二向
t
s
dx
45斜截面上的应力： tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0 解得： s45=-t；t45=0。还有：s45=t； t45=0
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
8.1 扭转的概念与实例
传动轴
实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆 ；机械中的传动轴等。
04. 圆轴的扭转解析
在工厂里当看到一套传动装置时，往往可从轴径的 粗细来判断这一组传动轴中的低速轴和高速轴。
§4-1圆轴扭转时所受外力的分析与计算
一、搅拌轴的三项功能 二、n ， P， m 之间的关系（重点）
一、搅拌轴的三项功能
1.传递旋转运动 ： 将电动机或减速机输出轴的旋转运动传递给搅拌物 料的桨叶。 2.传递扭转力偶矩： 将轴上端作用的驱动力偶传至轴的下端，用以克服 桨叶旋转时遇到的阻力偶；力偶通过轴传递时，其力偶 矩称为扭矩，扭矩属于内力，其值可借助外力偶矩求出； 3.传递功率： 转轴带动桨叶旋转时要克服流体阻力作功，所需功 率也是从转轴的上端输入后，通过轴传递给浆叶的。
（KN*m）
圆轴传递的功率P和转数n为已知时，用上述公式 即可求出该轴外力矩的大小。由上式可以看出： 如轴的功率P一定，转数n越大，则外力矩越小， 反之，转数越低则外力矩越大。 例如:化工设备厂卷制钢板圆筒用的卷板机，工作时滚轴 所需力矩很大，因为功率受到一定的限制，所以只能减 低滚轴的转数n来增大力矩M。由电动机经过一个三级四 轴减速机带动滚轴，此减速机各轴传递的功率可看成是 一样的。因此，转数n高的轴，力矩M就小，轴径就细一 些；转数低的轴，力矩M就大，轴径就粗.
A
解：1）用截面法把所求
各轴截开：
2)分别求各段轴的扭矩: M M 1+ M B = 0
1 2
= -M =-M
B
B
=-350N.m
C
M M
B D
+ M -M
3
C
+ M = 0
2
=0
M
-M
=-700N.m
M
3
= M
D
= 446N.m
二、扭转内力:(扭矩和扭矩图)（续3）
工程力学——圆轴的扭转
Wn=
Ip d
d 3 0.2d 3 16
(9-5)
2
图9.9(a)
第9章 圆轴的扭转
(2) 空心圆截面(见图 9.9(b))
Ip = D4 d 4 D4 1 4 0.1D4 1 4 (9-6)
32
32
Wn
=
Ip D
D3
16
14
0.2D3
1 4
2
(9-7)
式中，α = d ，为空心圆轴 D
图9.11
第9章 圆轴的扭转
解：由图 9.11 可知，各段扭矩大小相等，各段的极惯性
矩为 AC 段：Ip= D4 = 3.14 304 =7.952×104mm4
32
32
CB 段：Ip= D4 32
14
3.14 304 32
1
20 30
4
6.381104
mm4
所以根据式(9-12)得
(1) 先确定扭转 Mn 向。 (2) τ 矢量线与半径垂直。
(3) τ 指向与扭矩转向相同。
由 应 力 分布 图可 看 出， 在 圆截 面 的边 缘 上， 即 当
ρ=ρmax=R 时 ， τ=τmax ， 由 此 可 得 最大 切 应力 公 式 为
τma x=
Mn • Ip
R
式中，R
与
I
都是与截面尺寸有关的几何量，
(2) 按强度条件设计轴的直径 d1。由式(9-8)得
τmax=
Mn Wn
Mn 0.2d13
≤[τ]
得
d1≥
3
Mn
0.2
3
1080 103 0.2 40
=51.3mm
第9章 圆轴的扭转
圆轴的扭转工程力学
偶，其力偶矩T称为截面1-1上的扭矩。
扭矩的单位与外力偶矩的单位相同，常用的单位为牛米(N·m) 及千牛米(kN·m)。
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3.2 扭矩和扭矩图
扭矩的正负号用右手螺旋法则判定：将扭矩看做矢量，右手 的四指弯曲方向表示扭矩的转向，大拇指表示扭矩矢量的指 向。若扭矩矢量的方向离开截面，则扭矩为正(图7-3a、b)； 反之，若扭矩矢量的方向指的截面，则扭矩为负(图7-3c、d)。 这样，同一截面左右两侧的扭转，不但数值相等，而且符号 相同。
第三章 圆轴扭转
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算 3.2 扭矩和扭矩图 3.3 圆轴扭转时的应力与强度条件 3.4 圆轴扭转时的变形及刚度条件 小 结
返回
3.1 扭转的概念和外力偶矩的计算
3.1.1 扭转的概念
机械中的轴类零件往往承受扭转作用。 杆件产生扭转变形的受力特点是：在垂直于杆件轴线的平面
3.3.2 圆截面极惯性矩IP及扭转截面系 数WP的计算
1. 实心圆截面
对实心圆截面，可取半径为ρ，宽度为dρ的圆环形微面积
(图3-6)，dA=2πρdρ ， 则实心圆截面的极惯性矩IP为
IP
A
2dA
D 0
/
2
2
3d
=
D 4
32
≈0.1D4
实心圆截面的抗扭截面系数WP为
WP
IP D/2
D 3
3.1.2 外力偶矩的计算
为了求出圆轴扭转时截面上的内力，必须先计算出轴上的外力偶
矩。在工程计算中，作用在轴上的外力偶矩的大小往往是不直接
给出的，通常是给出轴所传递的功率和轴的转速。第4章已述功率、
工程力学教学实验圆轴扭转实验
圆轴扭转实验一、试验目的⒈观察低碳钢和铸铁的扭转破坏现象, 比较其试件断口形状并分析破坏原因。
⒉测定低碳钢的剪切屈服极限, 剪切强度极限和铸铁的剪切强度极限。
⒊分析比较塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）受扭转时的破坏特征。
二、实验设备和仪器⒈扭转实验机⒉游标卡尺三、实验原理圆轴扭转时, 横截面上各点均处于纯剪切状态, 因此常用扭转实验来测定不同材料在纯剪切作用下的机械性能。
利用实验机的自动绘图装置, 可记录T—曲线, 低碳钢的T—曲线如图3－9所示。
图 3-9扭矩在以内, 与T呈线形关系, 材料处于弹性状态, 直到试件横截面边缘处的剪应力达到剪切屈服极限, 这时对应的扭矩用表示横截面上的剪应力分布如图3-10（a）所示。
图3-10 低碳钢圆轴在不同扭矩下剪应力分布图在扭矩超过以后, 材料发生屈服形成环形塑性区, 横截面上的剪应力分布如图3-10（b）所示。
此后, 塑性区不断向圆心扩展, T—曲线稍微上升, 然后趋于平坦, 扭矩度盘上指针几乎不动或摆动所示的最小值即是扭矩, 这时塑性区占据了几乎全部截面, 横截面上剪应力分布如图3-10（c）所示。
剪切屈服极限近似等于（a）式中, , 是试件的抗扭截面系数试件继续变形, 进入强化阶段, 到达T- 趋线上的C点, 试件发生断裂。
扭矩度盘上的从动指针指出最大扭矩, 扭转剪切强度极限的计算式为(b)试件扭转时横截面上各点处于纯剪切状态如图3-11所示, 在于杆轴成±45°角的螺旋面上, 分别受到主应力为和的作用, 低碳钢的抗拉能力大于抗剪能力, 故以横截面剪断。
铸铁扭转时, 其T—曲线如图3-12所示。
从扭转开始到断裂, 近似为一直线, 故其剪切强度极限可近似地按弹性应力公式计算(c)图3-11 纯剪应力状态图3-12 铸铁T—曲线试件的断口面为与试件轴线成45°角的螺旋面。
这说明脆性材料的抗拉能力低于抗剪能力, 它的断裂是由于最大拉应力过大引起的。
工程力学-圆轴扭转变形分析
P=7.5kW,轴的转速n=80r/min。试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外
径d 2。己知空心圆轴的内外径之比=d 1/d 2=0.8,许用扭转切应力 [τ]=40MPa。
解：（1）外力偶矩为
M e 9550 7.5 N m 895 .3 N m 80
（2）扭矩为 T = Me = 895.3N· m （3）实心圆轴直径 根据强度条件
各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布 规律如图
圆轴扭转时，最大切应力 max 发生在圆轴表面。当ρ=R 时，其值为：
TR T max Ip IP / R
令 Wp
Ip R
max
T Wp
Wp称为扭转截面系数，它表示截面抵抗扭转破坏的能 力，单位是（mm）3。
工程中承受扭转的圆轴通常采用实心圆轴和空心圆轴两种形
max
T 16T 3 Wp πd
16 T 3 16 895.3 d 3 m 0.048m 48mm 6 [ ] 3.14 40 10
（4）空心圆轴外径
根据强度条件
max
T 16T 3 4 Wp πd 2 (1 )
16 T 16 895.3 3 d2 m 4 6 4 [ ](1 ) 3.14 40 10 (1 0.8 )
3
0.058m 58m m
内径d 1=α×d 2= 0.8×58 mm = 46.4mm
（5）比较重量
在长度相等、材料相同的情况下，空心圆轴与实心圆 轴重量之比等于横截面面积之比，即
四、圆轴扭转时的强度 计算
圆轴的扭转的强度条件
max
Tmax Wp
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工程力学教案
【理、工科】
§4-1 扭转的概念和实例
工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。
扭转有如下特点：
1. 受力特点：
在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。
其相应内力分量称为扭矩。
2. 变形特点
横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。
若杆件横截面上只存在扭矩这一个内力分量则这种受力形式称为纯扭转。
§4-2 扭矩扭矩图
1.外力偶矩
如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义
角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。
因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即
(4-1a)
式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min）
如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为
(4-1b)
式中：-传递功率（马力，PS）
-转速（r/min）
2. 扭矩
求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力--扭矩。
如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T
，
称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。
或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。
试画出轴的扭矩图。
【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩
从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段内的扭矩各不相等。
现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。
在BC段内，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。
由平衡方程，有
得
负号说明，实际扭矩转向与所设相反。
在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。
同理，在CA段内，由图4-5c，得
在AD段内（图4-5d），
与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于CA段内，且。
对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图
4-6所示。
这时，轴的最大扭矩。
显然单从受力角度，图4-5所示轮子布局比图4-6合理。
§4-3 薄壁圆筒的扭转
1. 剪应力与剪切互等定理
若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。
这时使筒在外力偶
作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角，纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图4-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。
这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力沿圆环处处相等。
根据如图4-7c所示
部分的平衡方程，有
（4-2）
如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于4-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t，宽度和高度分别为，。
当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p,q-q 圆周面的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为。
为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力作用（据，也应大小相等，方向相反）。
对整个单元体，必须满足，即
所以
（4-3）上式表明，在一对相互垂直的微面上，与棱线正交的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离棱线。
这就是剪应力互等定理。
图表-7d所示单元体称纯剪切单元体。
2.剪应变与剪切胡克定律
与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。
如图4-7b所示若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，则剪应变为
（4-4）
薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力成正比，即
（4-5）
式（4-5）为剪切胡克定律；称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。
可以证明，对
各向同性材料，弹性常数三者有关系
（4-6）
3.。