绝对值应用

绝对值
题型切片（5个）对应题目
题型目标
a
a
的化简
例1；练习1
无条件的绝对值的化简例2；练习2
零点分段法例3；练习3
用绝对值的几何意义求两点间的距离例4；练习4
用绝对值的几何意义求代数式的最值例5，例6；练习5
1．绝对值：在数轴上，一个数a所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a．2．绝对值的性质：
⑴绝对值的非负性，可以用下式表示：0
a≥，这是绝对值非常重要的性质；
⑵
(0)
(0)
(0)
a a
a a
a a
>
⎧
⎪
==
⎨
⎪-<
⎩
0
；
⑶若a a
=，则0
a≥；若a a
=-，则0
a≤；
⑷若a b
=，则a b
=或a b
=-；
⑸a a
=-.
⑹当0
a>时，1
a
a
a a
==；
当0
a<时，1
a
a
a a
==-．（主要考察分类讨论）
【例1】⑴若a b
，均为非零的有理数，求a b
a b
-的值.
⑵若a b c
，，均为非零的有理数，求a b c
a b c
++的值.
的化简
针对例1进行拓展
1.已知a b c abc
x a b c abc
=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值
2.已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc
a b c abc +++
的值.
3. 若a b c ，，均为非零的有理数，求
a b c d a b c d
+++的值.
老师可以继续下去，给学生们总结一下到n 的规律.
【例2】 化简下列各式⑴1x -; ⑵3x -.
【例3】 阅读下列材料并解决相关问题：
我们知道()()()
0000x x x x x x >⎧⎪
==⎨⎪
-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化
简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分
别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·
⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+. ⑴当12x -<≤时，原式()123x x =+--=. ⑴当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.
无条件的绝对值化简
零点分段法
综上讨论，原式()()()
211312212x x x x x -+<-⎧⎪
=-<⎨⎪
-⎩≤≥.
通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：. ⑴分别求出2x +和4x -的零点值；
⑴化简代数式24x x ++-.
针对例3进行拓展
1.求12m m m +-+-的值．
2.化简：121x x --++.
a b -表示数轴上数a 与数b 两点之间的距离. 且a b b a -=-.
【例4】 ⑴ m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．
① x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0x -
② 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；
则21-= ；
③ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
31x -=，则x = ．
用绝对值的几何意义求两点间的距离
④ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若
22x +=，则x = ．
⑤ 当1x =-时，则22x x -++= ．
⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别 为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=， 则q r -= ．
⑶ 不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果
a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）
A ．点A 在点
B ，
C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间
D ．以上三种情况均有可能
【例5】 利用绝对值的几何意义完成下题：
已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；
若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．
已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x = ． 利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值 ．
52x x ++-的最小值为 ． 214x x x ++-+-的最小值 ． 7326x x x x ++++-+-的最小值 ． 归纳： 若1221n a a a +<<<，当x 时，1221n x a x a x a +-+-+
+-取得最
小值． 若122n a a a <<<，当x 满足 时，122n x a x a x a -+-++-取得最
小值．
【例6】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的
距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
【选讲题】
【例7】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：若11m a b b a c c =+------，
则1000m = ．
城市
G
F
E D
C B
A
用绝对值的几何意义求代数式的最值
s
r q
p c b
a
【例8】 ①化简：124x x x -+++-
②求15y x x =--+的最大值和最小值．
训练1. 若a 、b 、c 为整数，且1a b c a -+-=，试求：c a a b b c -+-+-的值.
训练2. 已知a ，b ，c 都不等于0，则
a b c abc
a b c abc
+++
的值为
训练3. 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．
训练4. 如图，数轴上两点A B 、分别表示
有理数-2和5,我们用AB 来表示
A B 、两点之间的距离.
(1)直接写出AB 的值 ；
(2)若数轴上一点C 表示有理数m ，则AC 的值是______；
(3)当代数式∣n +2∣+∣n -5∣的值取最小值时，写出表示n 的点所在的位置 ； (4)若点A B 、分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向数轴负方向运动，求经过多少秒后，点A 到原点的距离是点B 到原点的距离的2倍？
A B
012345678
–1–2–3–4–5–6–7–8
a a
的化简
【练习1】 若a 、b 、c 都不为0，求c
a b a b c
++的值．
无条件的绝对值的化简
【练习2】 化简：23x -.
零点分段法
【练习3】 化简：212x x ---.
用绝对值的几何意义求两点间的距离
【练习4】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间
的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，
如图1，则0AB OB b a b ==-=-； 当A 、B 两点都不在原点时：
如图2，点A 、B 都在原点的右边，
AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-； 如图3，点A 、B 都在原点的左边，
()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-. 如图4，点A 、B 在原点的两边，
AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。

图1 图2
图3 图4 回答下列问题：
①数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是_____；
②数轴上表示数x 和1-的两点A 和B 之间的距离可表示为AB =_____，如果 2.5AB =，那么x 的值是_____；
（2）当代数式12x x +++取最小值时，相应的x 的取值范围是_____．
用绝对值的几何意义求代数式的最值
【练习5】 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，
使这5台
机床到供应站P 的距离总和最小，供应站P 建在哪？最小值为多少？。