《信号与系统》课件3-7 差分方程
信号与系统(奥本海默)课件3
1通信科学与工程系四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统1. 线性常系数微分方程()()()t bx t ay dt t dy =+给出了系统的隐含特性，要得到明确表达式，需求解方程，并且还需一个或多个附加条件。
对于因果线性时不变系统，附加条件的形式特殊简单。
2通信科学与工程系一般的N 阶线性常系数微分方程：()()∑∑===M k kk kNk k k k dt t x d b dt t y d a 00()()∑==M k kkk dtt x d b a t y 001当N=0时，输出是输入及其导数的明确函数：当N>0时，输出是输入的隐含形式，需要求解。
四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统3通信科学与工程系求解该微分方程，通常是求出通解和一个特解，则。
()p y t ()h y t ()()()p h y t y t y t =+四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统()p y t ()x t 特解是与输入同类型的函数.()h y t 0()0k Nk k k d y t a dt==∑通解是齐次方程的解，即的解。
0Nkk k a λ==∑欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：求出其特征根。
4通信科学与工程系若t ≤ t 0时x (t )=0，则t ≤ t 0 时y (t )=0，初始松弛条件1(),k Nth k k y t C e λ==∑其中是待定的常数。
k C 当特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统()()()010100====--N N dt t y d dt t dy t y 可采用如下初始条件：5通信科学与工程系()()()t x t y dtt dy =+2()()t u Ke t x t 3=例2.14：考虑输入为时，系统的解。
()()()t y t y t y h p +=5KY =()3,05t p Ky t e t =>方程的解由特解和齐次解组成：()tp Ye t y 3=求解特解：令t > 0时，根据方程可得33332t t t Ye Ye Ke +=受迫响应自然响应四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统6通信科学与工程系()()02=+t y dtt dy 求解齐次解：根据方程，得特征方程为()23,05t t Ky t Ce e t -=+>0/5C K =+5KC =-()[]()t u e e K t y t t 235--=20λ+=2λ=-()2th y t Ce -=齐次解四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统根据初始条件确定C ：考虑因果LTI 系统，如果t<0 时x (t )=0，则t<0 时y (t )=0. 将t = 0, y (0) = 0代入有7通信科学与工程系2. 线性常系数差分方程一般的线性常系数差分方程可表示为：与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特解和齐次解来进行，其过程与解微分方程类似。
信号与系统第3章
■
©南京信息工程大学滨江学院
LTI离散系统的响应 3.1 LTI离散系统的响应 信号与系统 （2）零状态响应 zs(k) 满足 ）零状态响应y yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) 初始状态y 初始状态 zs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， ， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解， 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = C1(–1)k + C2(–2)k + yp(k) = C1(– 1)k + C2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 代入初始值求得 C1= – 1/3 , C2=1 所以 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0 完全响应： 完全响应： y (k) ＝yzi(k) ＋yzs(k)
第3-8页
■
信号与系统
3.1
LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应
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信号与系统
3.1
LTI离散系统的响应 LTI离散系统的响应
2.零状态响应 零状态响应
系统的初始状态为零，仅由激励 引起的响应， 系统的初始状态为零，仅由激励f(k)引起的响应， 引起的响应 称为零状态响应， 表示。 称为零状态响应，用yzs(k)表示。 表示 在零状态条件下， 式为非齐次方程 式为非齐次方程， 在零状态条件下，(1)式为非齐次方程，其初始条件 为零，即零状态响应满足： 为零，即零状态响应满足： y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) yzs(–1) = yzs(–2) = … = yzs(–n) = 0 零状态响应 yzs(k)＝ yh(k) + yp(k) ＝ 利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初 利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初 迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的 始值y 和 始值 zi(j)和yzs(j) ( j = 0, 1, 2 , … ，n – 1)
信号与系统ppt课件
02
时不变：系统的特性不随时间变 化。
系统的数学模型为非线性微分方 程或差分方程。
03
频域分析方法不适用，需采用其 他方法如几何法、状态空间法等
。
04
时变系统
系统的特性随时间变 化，即系统在不同时 刻的响应具有不同的 特性。
时域分析方法：积分 方程、微分方程等。
系统的数学模型为时 变微分方程或差分方 程。
信号与系统PPT课件
目录
CONTENTS
• 信号与系统概述 • 信号的基本特性 • 系统分析方法 • 系统分类与特性 • 系统应用实例
01
CHAPTER
信号与系统概述
信号的定义与分类
总结词
信号是传输信息的一种媒介，具有时间和幅度的变化特性。
详细描述
信号是表示数据、文字、图像、声音等的电脉冲或电磁波，它可以被传输、处理和记录。根据不同的特性，信号 可以分为模拟信号和数字信号。模拟信号是连续变化的物理量，如声音、光线等；数字信号则是离散的二进制数 据，如计算机中的数据传输。
04
CHAPTER
系统分类与特性
线性时不变系统
线性
系统的响应与输入信号的 线性组合成正比，即输出 =K*输入+常数。
时不变
系统的特性不随时间变化 ，即系统在不同时刻的响 应具有相同的特性。
频域分析方法
傅里叶变换、拉普拉斯变 换等。
非线性时不变系统
01
系统的响应与输入信号的非线性 关系，即输出不等于K*输入+常 数。
系统的定义与分类
总结词
系统是由相互关联的元素组成的整体，具有输入、输出和转 换功能。
详细描述
系统可以是一个物理装置、生物体、组织或抽象的概念，它 能够接收输入、进行转换并产生输出。根据不同的分类标准 ，系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变 系统等频域分析方法将信号和系统从时间域转换到频率域，通过分析系统的频率响应 来了解系统的性能，如系统的幅频特性和相频特性，这种方法特别适用于分析 周期信号和非周期信号。
信号与系统(全套课件557P)
f [k ] y f [k ]
f [k n] y f [k n]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
4．因果系统与非因果系统
•因果系统：当且仅当输入信号激励系统时才产 生系统输出响应的系统。 •非因果系统：不具有因果特性的系统称为非因 果系统。
离散信号 频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合
复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合
系统的概念
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、 具有特定功能的整体。
系统分析的主要内容
建立与求解系统的数学模型 系统的描述
系统响应的求解
输入输出描述法：N阶微分方程 系统的描述
连续系统
系 统 分 析
y[k]=f1[k]+f2[k]
f[ k]
D
y[k]=f[k-1]
f [ k]
a
y[k]=af[k]
二、系统的分类
1．连续时间系统与离散时间系统
•连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为连续时间信号 •离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都 必须为离散时间信号 •连续时间系统的数学模型是微分方程式。 •离散时间系统的数学模型是差分方程式。
f (t) 连续系统 y(t) f[ k] 离散系统 y[ k]
2．线性系统与非线性系统
• 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。
(1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
信号与系统§7.3 离散时间系统的数学模型—差分方程
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
四．由系统框ห้องสมุดไป่ตู้写差分方程
1．基本单元
加法器：
x1 n
x1n x2 n
x2 n 乘法器：
x1n x1n x2 n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
标量乘法器
xn
a
延时器
axn
x(n)
y(n)
1
系统
1
1 O 1 2 3 n
1 O 1 2 3 4 n
x(n N ) 1
系统
y(n N )
1
1 O 1 2 3
n
1 O 1 2 3
n
二．由实际问题直接得到差分方程
例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为：
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x1 (n)
离散时间系统
y1 (n)
x2(n) 离 散 时 间 系 统 y2(n)
c1 x1(n) c2 x2 (n)
离散时间系统
c1 y1(n) c2 y2 (n)
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
N
M
通 式: ak yn k br xn r
k0
r0
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会 画。
信号与系统PPT全套课件
T T
T
f (t ) dt
f (t ) dt
2
2
（1.1-1）
1 P lim T 2T
T
T
（ 1.1-2 ）
上两式中，被积函数都是f ( t )的绝对值平方，所以信号能量 E 和信号功率P 都是非负实数。 若信号f ( t )的能量0 < E < , 此时P = 0，则称此信号 为能量有限信号，简称能量信号（energy signal）。 若信号f ( t )的功率0 < P < , 此时E = ，则称此信 号为功率有限信号，简称功率信号（power signal）。 信号f ( t )可以是一个既非功率信号，又非能量信号， 如单位斜坡信号就是一个例子。但一个信号不可能同时既是 功率信号，又是能量信号。
1.3 系统的数学模型及其分类
1.3.1 系统的概念 什么是系统（ system ）？广义地说，系统是由若干相互作用 和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。例如， 通信系统、自动控制系统、计算机网络系统、电力系统、水 利灌溉系统等。通常将施加于系统的作用称为系统的输入激 励；而将要求系统完成的功能称为系统的输出响应。 1.3.2 系统的数学模型 分析一个实际系统，首先要对实际系统建立数学模型，在数 学模型的基础上，再根据系统的初始状态和输入激励，运用 数学方法求其解答，最后又回到实际系统，对结果作出物理 解释，并赋予物理意义。所谓系统的模型是指系统物理特性 的抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系 统特性。
2．连续信号和离散信号 按照函数时间取值的连续性划分，确定信号可分为连续时 间信号和离散时间信号，简称连续信号和离散信号。 连续信号（ continuous signal）是指在所讨论的时间内，对 任意时刻值除若干个不连续点外都有定义的信号，通常用f ( t ) 表示。 离散信号（discrete signal）是指只在某些不连续规定的时刻 有定义，而在其它时刻没有定义的信号。通常用 f(tk) 或 f(kT) [简写 f(k )] 表示，如图1.1-2所示。图中信号 f (tk) 只在t k = －2, －1, 0, 1, 2, 3,…等离散时刻才给出函数值。
《信号与系统教案》课件
《信号与系统教案》PPT课件第一章：信号与系统概述1.1 信号的概念与分类信号的定义信号的分类：连续信号、离散信号、随机信号等1.2 系统的概念与分类系统的定义系统的分类：线性系统、非线性系统、时不变系统、时变系统等1.3 信号与系统的研究方法解析法数值法图形法第二章：连续信号及其运算2.1 连续信号的基本性质连续信号的定义与图形连续信号的周期性、奇偶性、能量与功率等性质2.2 连续信号的运算叠加运算卷积运算2.3 连续信号的变换傅里叶变换拉普拉斯变换Z变换第三章：离散信号及其运算3.1 离散信号的基本性质离散信号的定义与图形离散信号的周期性、奇偶性、能量与功率等性质3.2 离散信号的运算叠加运算卷积运算3.3 离散信号的变换离散时间傅里叶变换离散时间拉普拉斯变换离散时间Z变换第四章：线性时不变系统的特性4.1 线性时不变系统的定义与性质线性时不变系统的定义线性时不变系统的性质：叠加原理、时不变性等4.2 线性时不变系统的转移函数转移函数的定义与性质转移函数的绘制方法4.3 线性时不变系统的响应输入信号与系统响应的关系系统的稳态响应与瞬态响应第五章：信号与系统的应用5.1 信号处理的应用信号滤波信号采样与恢复5.2 系统控制的应用线性系统的控制原理PID控制器的设计与应用5.3 通信系统的应用模拟通信系统数字通信系统第六章：傅里叶级数6.1 傅里叶级数的概念傅里叶级数的定义傅里叶级数的使用条件6.2 傅里叶级数的展开周期信号的傅里叶级数展开非周期信号的傅里叶级数展开6.3 傅里叶级数的应用周期信号分析信号的频谱分析第七章：傅里叶变换7.1 傅里叶变换的概念傅里叶变换的定义傅里叶变换的性质7.2 傅里叶变换的运算傅里叶变换的计算方法傅里叶变换的逆变换7.3 傅里叶变换的应用信号分析与处理图像处理第八章：拉普拉斯变换8.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的性质8.2 拉普拉斯变换的运算拉普拉斯变换的计算方法拉普拉斯变换的逆变换8.3 拉普拉斯变换的应用控制系统分析信号的滤波与去噪第九章：Z变换9.1 Z变换的概念Z变换的定义Z变换的性质9.2 Z变换的运算Z变换的计算方法Z变换的逆变换9.3 Z变换的应用数字信号处理通信系统分析第十章：现代信号处理技术10.1 数字信号处理的概念数字信号处理的定义数字信号处理的特点10.2 现代信号处理技术快速傅里叶变换（FFT）数字滤波器设计数字信号处理的应用第十一章：随机信号与噪声11.1 随机信号的概念随机信号的定义随机信号的分类：窄带信号、宽带信号等11.2 随机信号的统计特性均值、方差、相关函数等随机信号的功率谱11.3 噪声的概念与分类噪声的定义噪声的分类：白噪声、带噪声等第十二章：线性系统理论12.1 线性系统的状态空间描述状态空间模型的定义与组成线性系统的性质与方程12.2 线性系统的传递函数传递函数的定义与性质传递函数的绘制方法12.3 线性系统的稳定性分析系统稳定性的定义与条件劳斯-赫尔维茨准则第十三章：非线性系统13.1 非线性系统的基本概念非线性系统的定义与特点非线性系统的分类13.2 非线性系统的数学模型非线性微分方程与差分方程非线性系统的相平面分析13.3 非线性系统的分析方法描述法映射法相平面法第十四章：现代控制系统14.1 现代控制系统的基本概念现代控制系统的定义与特点现代控制系统的设计方法14.2 模糊控制系统模糊控制系统的定义与原理模糊控制系统的结构与设计14.3 神经网络控制系统神经网络控制系统的定义与原理神经网络控制系统的结构与设计第十五章：信号与系统的实验与实践15.1 信号与系统的实验设备与原理信号发生器与接收器信号处理实验装置15.2 信号与系统的实验项目信号的采样与恢复实验信号滤波实验信号分析与处理实验15.3 信号与系统的实践应用通信系统的设计与实现控制系统的设计与实现重点和难点解析信号与系统的基本概念：理解信号与系统的定义、分类及其研究方法。
《信号与系统》课程讲义课件
信号与系统—signals and systems
2．离散时间系统与连续时间系统的对比
离散
连续
数学模型
差分方程
微分方程
时域求解方法
卷积和
变换域
Z变换、傅氏、离散正交变换、系 统函数
卷积 傅氏、拉氏、系统函数
精度高、可靠性好、 重量体积小、便于大规模集成
无此优点
一维、二维系统 利用可编程元件技术、
后向差分
⑧累加运算 (对应积分运算)
条件收敛
⑨序列能量
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
例3：①已知 ②已知
解： ①
②
t
求
求
t t t
,E无穷大
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信号与系统—signals and systems
3．典型序列 ①单位样值信号
存储器设备灵活通用
注重一维 无此优点
工作频率不能太高
工作频率可以很高
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信号与系统—signals and systems
3．软件无线电-----连续、离散“混合系统” ①充分数字化的无线电通信系统 ②可看成一台带有天线的超级计算机 ③通用化、模块化、兼容性、灵活性好 ④显示了数字化技术的特征，也证明了连续系统的必要性
比较
={
t=0时 = 1.
1 n
t
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信号与系统—signals and systems
②单位阶跃信号 1 n≥0 比较 0 n<0
u( n )
1•
••• -3 -2 -1 0 1 2 3 n
信号与系统课件
例1
0-和0+初始值举例 和 初始值举例1 初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。 已知 ， ， ， 和 。 解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 将输入 代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 1） （1） 利用系数匹配法分析 上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 分析： 也成立， 利用系数匹配法分析：上式对于 也成立 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 项的系数应相等。 区间等号两端 项的系数应相等 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 应包含冲激函数， 由于等号右端为 ， 应包含冲激函数 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 在 处将发生跃变， 。 处将发生跃变 不含冲激函数， 将含有δ’(t)项。由于 但y’(t)不含冲激函数，否则 不含冲激函数 否则y”(t)将含有 将含有 项 y’(t)中不含 中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 处是连续的。 中不含 ， 在 处是连续的 ■ ▲ 第 24 页 y(0+) = y(0-) = 2 故 第 24 页
例1
例2
当微分方程右端含有冲激函数时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。 否则不会跃变。
三.零输入响应和零状态响应 零输入响应和零状态响应
y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分别用经典法求解。 注意：对t=0时接入激励f(t)的系统，初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j = 0，1，2，…，n-1)的计 算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零输入响应，由于激励为零，故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yzs(j)(0-)=0 yzs(j)(0+)的求法下面举例说明。
《信号与系统说课》课件
2023
PART 02
信号的基本概念
REPORTING
信号的定义
总结词
信号是传输信息的媒介，它可以是电信号、光信号、声信号等。
详细描述
信号是用来传输信息的媒介，它可以由各种物理量来表示，如电压、电流、光 强、声音等。这些物理量在不同的时间和空间中变化，从而携带信息。
信号的分类
总结词
信号可以根据不同的特性进行分类，如连续信号和离 散信号、确定信号和随机信号等。
了解信号与系统在通信、雷达 、图像处理等领域的应用。
课程内容
信号的基本概念、性质和 分类。
信号的时域和频域表示方 法。
傅里叶变换及其性质，包 括频谱分析和调制解调等 。
信号与系统在通信、雷达 、图像处理等领域的应用 案例分析。
线性时不变系统的基本理 论和系统分析方法，包括 系统函数、稳定性分析等 。
2023
REPORTING
《信号与系统说课》 ppt课件
2023
目录
• 课程介绍 • 信号的基本概念 • 系统的基本概念 • 信号与系统的关系 • 信号与系统的应用 • 课程总结与展望
2023
PART 01
课程介绍
REPORTING
课程背景
信号与系统是通信、电子、计算机等相关专业的核心课程，具有广泛的应用背景。
2023
PART 03
系统的基本概念
REPORTING
系统的定义
总结词
系统是由相互关联、相互作用的元素 组成的具有一定结构和功能的整体。
详细描述
系统可以是一个物体、一个过程或者 一个抽象的概念，它由多个部分组成 ，这些部分之间相互作用、相互依赖 ，共同实现系统的整体功能。
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y(n) yc(n) yp(n)
（3-7-5）
其中yc (n) 是满足齐次差分方程的齐次解，通过令式（3-7-3）中对应输入
序列的所有项的系数为零（等价有x(n) = 0）就可以得到，即
N
ak yc(n k) 0
k 0
（3-7-6）
8
§3-7 差分方程
3-7-2 差分方程的求解
1、齐次解部分
3-7 差分方程
上述的贷款偿还问题可用如下差分方程描述：
y(n)
1
12
y(n
1)
x(n)
,
n 1, 2,
（3-7-1）
或
y(n)112Fra biblioteky(n
1)
x(n)
,
n 1, 2,
（3-7-2）
式中 是年利率，比如年利率为5%， 0.05 ； y(n 1)
12
项是贷款在第n个月的利息。上式是研究贷款偿还过程的
国家“十二五”规划教材——《信号与系统》
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§3-7 差分Po方we程rTeTmhempeGlaaltleery
重点 差分方程的建立与求解 难点 差分方程的时域求解法
内容安排
3-7-1 N阶输入/输出差分方程 3-7-2 差分方程的求解
2
§3-7 差分方程
3-7 差分方程
在一些应用中，因果时不变离散系统的输入/输出差分方 程描述形式较其输入/输出卷积模型更为方便。如考虑银行 贷款偿还问题的差分方程描述是这样的，当月份 n 1,2,3,
方程描述。通常， n阶线性时不变（LTI）离散时间系统可用一个常系数线
性差分方程描述为：
N
M
ak y(n k) bk x(n k ) （3-7-3）
k 0
k 0
式中 x(n) 和y(n) 分别是系统的输入和输出序列，系数 ai ,i 0,1, , N
和bi ,i 0,1, , M 是常数。 式（3-7-3）的初始条件通过给定值 y(1), y(2), , y(N ) 定义，并
解中包含有与 rj 有关的p个不同的项，即
(cj cj1n
c n p2 j p2
c j p1n p1)rjn
（3-7-10）
12
§3-7 差分方程
7
§3-7 差分方程
3-7-2 差分方程的求解
对任意输入序列x(n)，差分方程提供了计算系统响应y(n)的一种方 法。但求解差分方程需要已知系统的初始条件。当初始条件为零时，称 系统是零初始状态的。一般而言，解系统差分方程有如下几种方法：
经典解法
差分方程（3-7-3）的完全解或通解是（差分方程的）齐次解和特解 两部分的和。具体讲，若已知一个线性常系数差分方程，其通解可写成：
齐次解 yc (n)的形式取决于式（3-7-3）的特征方程解的特性和式（3-
7-6）。为说明这一点，首先需要定义线性常系数差分方程的特征方程。
线性常系数差分方程的特征方程定义如下：
N
(r) akrN k
k 0
a0r N a1r N 1
aN 1r aN 0
（3-7-7）
特征方程的解（特征多项式的根）称为特征值。
它的特征根显然是 r1 0.5和 r2 0.25。
2
系统的齐次解为： yc (n) ckrkn
k 1
c1r1n c2r2n c1(0.5)n c2 (0.25)n
上式中若已知 y(1) 和 y(2)，则系数c1和c2 就可求出。
11
§3-7 差分方程
3-7-2 差分方程的求解
当式（3-7-7）特征方程的特征根包含有重根时，齐次解的形式略有
M
N
y(n) bk x(n k ) ak y(n k ) （3-7-4）
k 0
k 1
如反果之上，述如差果分所方有程系有数一项个或都多a等i个于a零i 项，非则零称，差则分称方这程个是差非分递方归程的是。递归的。
6
§3-7 差分方程
内容安排
3-7-1 N阶输入/输出差分方程 3-7-2 差分方程的求解
为初始状态解。
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§3-7 差分方程
3-7-2 差分方程的求解
例3-7-1 一因果LTI系统由差分方程： y(n) 0.25y(n 1) 0.125y(n 2) 3x(n)
描述。试求其特征方程及齐次解。
解：系统的特征方程为：r2 0.25r 0.125 (r 0.5)(r 0.25) 0
假设均为已知。如果系统又是因果的，则有N M 。所谓求解差分方程，就
是寻求对于任意非负k值，在系统输入函数 x(n)及系统初始条件共同作用下
的系统响应 y(n) 。
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§3-7 差分方程
3-7-1 N阶输入/输出差分方程
另外，如果aN 0，则称差分方程是N 阶的。该方程给出了根据系 统输入及输出的从前值来计算当前输出序列的一个递推算法。可以看出， 该方程是按离散时刻从n=-到n=+向前递推的。因此方程的另一个形 式为：
不同。例如，当存在一个p重根时（即具有 r1 r2 rp 个特征值,且 其它特征值互不相同），齐次解的形式为
N
yc (n) ckrkn (c1 c2n c3n2
k 1
cpn
p 1 )r1n
c
rn
p1 p1
cN rNn )
（3-7-9）
一般而言，任何一个p重根 rj ，在离散域中都会在对应差分方程的齐次
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§3-7 差分方程
3-7-2 差分方程的求解
当特征值互不相同时，即 r1 r2 rN，通过求解齐次差分方程式
（3-7-6）得到式（3-7-3）的齐次解为：
N
yc (n) ck rkn c1r1n c2r2n
k 1
cN rNn （3-7-8）
系数 ci ,i 1, 2, , N 必须由系统的初始条件确定。齐次解有时也称之
一阶差分方程。与输入/输出卷积模型相比，该式的输出
y(n) 是在 n 1 、且初始条件为 y(0) 时的响应，而卷积模
型是没有初始条件的。
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§3-7 差分方程
3-7-1 N阶输入/输出差分方程
我们知道，对于连续时间系统，其输入/输出之间的关系可以用微分方
程来描述；类似地，对于离散时间系统其输入与输出之间的关系则可用差分
时，方程输入 x(n) 是第n个月偿还的贷款总量，方程输出 y(n)
是第n个月后贷款的差额，方程初始值 y(0) 是贷款总量。通 常，月还款额 x(n)可以是固定值，即 x(n) c, n 1,2,3, ，c 是常数。但我们考虑更符合实际的情况，即允许月还款额 x(n)是每月变动的。
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§3-7 差分方程