设AB为样本空间S中的两事件且P(A)P(B)P(AB)...
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率1．写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。
（6）实测某种型号灯泡的寿命。
解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。
（2）}18,,4,3{ =Ω。
（3）},11,10{ =Ω。
（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。
（5）=Ω{(x,y)| 0<x<1,0<y<1}。
（6）=Ω{ t | t ≥ 0}。
2．设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件，。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
（2）A 与B 都发生，而C 不发生。
（3）A ，B ，C 中至少有一个发生。
（4）A ，B ，C 都发生。
（5）A ，B ，C 都不发生。
（6）A ，B ，C 中不多于一个发生。
（7）A ，B ，C 至少有一个不发生。
（8）A ，B ，C 中至少有两个发生。
解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ，（5）C B A ，（6）C B C A B A ++或C B A C B A C B A C B A +++，（7）C B A ++，（8）BC AC AB ++或ABC BC A C B A C AB ⋃⋃⋃3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。
（1）B B A B A =（2）AB B A =（3）AB B A B =⊂则若,（4）若A B B A ⊂⊂则,（5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ⊂，则Φ=BC解 : (1) 成立，因为B A B B B A B B A ==))((。
《概率论》第1章§6独立性
两两独立 三三独立 ……
概率论的基本概念
§6 独立性
8/25
设每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 求混合100个人的血清中含有肝炎病毒的概率. 记 Ai { 第 i 个人血清含肝炎病毒 }, i 1, 2, ,100 则所求概率为
100 P ( Ai ) P Ai i 1 i 1
100
1 P ( Ai )
i 1
100
根据实际问题 判断事件独立性
1 0.996
100
0.33
第一章
概率论的基本概念
§6 独立性
9/25
P( AB) P( A) P( B) P( BC ) P( B) P(C ) P(CA) P(C ) P( A)
A, B, C 相互独立
时 , 两种赛制甲最终获胜的 1 2 .
制有利 .
概率是
相同的 , 都是
§6 独立性
19/25
甲、乙两坦克的首发命中率均为0.8，经修正后的第 二发命中率均为0.95，敌目标被一发炮弹击中而被击毁 的概率为0.2，被两发炮弹击中而击毁的概率为0.5，被三 发炮弹击中必定被击毁。在战斗中，甲、乙两坦克分别 向敌同一目标发射了两发炮弹，求敌目标被击毁的概率。
p n P ( Ai )
i 1 n
1 P ( Ai )
i 1
n
n 1 (1 p) 1 0.999 n
n pn
1000
2000
3000
4000
5000
0.632 0.865 0.950 0.982 0.993
可见即使 p 很小，但只要试验不断进 行下去，小概率事件几乎必然要发生
第一章概率论的基础知识3-45学分
随机事件
二、样本空间
1、样本空间：试验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S（ Ω ） . 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点,记为e （ ω ）. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,记为{e} （ {ω} ）.
请给出E1-E7的样本空间
三、随机事件
五、事件的运算
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)， (AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、德.摩根(De Morgan)律：
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
A
k
k
Ak .
k
交变并，并变交，最后加补
例2
甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹， 以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标， 试用A、B、C的运算关系表示下列事件：
A1 : “至少有一人命中目标 ” :
A B C
A2 : “恰有一人命中目标” : ABC ABC ABC A3 : “恰有两人命中目标” : ABC ABC ABC A4 : “最多有一人命中目标 ” : A5 : “三人均命中目标” :
i 1
n
4. 积（交）事件:A与B同时发生 AB＝AB发生
4’n个事件A1, A2,…, An同时发生 A1A2…An发生
5.差事件：A－B称为A与B的差事件。A－B发生
事件A发生而B不发生
何时A-B=? 何时A-B=A？
6 互不相容（互斥）
7 对立事件 （逆事件）
A B
组合一：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有
概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)
《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
条件概率知识点
条件概率知识点一、条件概率的定义。
1. 概念。
- 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(BA)=(P(AB))/(P(A))为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
- 例如，扔一个骰子，事件A为“骰子的点数为偶数”，P(A)=(3)/(6)=(1)/(2)，事件B为“骰子的点数小于4”，AB表示“骰子的点数为2”，P(AB)=(1)/(6)。
那么在A发生的条件下B发生的条件概率P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(6)}{(1)/(2)}=(1)/(3)。
2. 性质。
- 非负性：对于任意事件B，A（P(A)>0），有P(BA)≥slant0。
- 规范性：P(ΩA) = 1，这里Ω是样本空间。
- 可列可加性：如果B_1,B_2,·s是两两互不相容的事件，则P(bigcup_i =1^∞B_iA)=∑_i = 1^∞P(B_iA)。
二、条件概率的计算方法。
1. 公式法。
- 直接根据定义P(BA)=(P(AB))/(P(A))计算。
- 例如，有一批产品共100件，其中次品10件，从中不放回地抽取两次，每次取一件。
设事件A为“第一次取到次品”，P(A)=(10)/(100)=(1)/(10)；事件B为“第二次取到次品”。
AB表示“第一次和第二次都取到次品”，P(AB)=(10)/(100)×(9)/(99)=(1)/(110)。
那么P(BA)=(P(AB))/(P(A))=(frac{1)/(110)}{(1)/(10)}=(1)/(11)。
2. 缩减样本空间法。
- 当直接计算P(AB)和P(A)比较复杂时，可以考虑缩减样本空间。
- 还是以上面抽取产品的例子，在A发生的条件下，即第一次已经取到了次品，此时样本空间就缩减为99件产品，其中次品还有9件，所以P(BA)=(9)/(99)=(1)/(11)。
三、条件概率的乘法公式。
1. 公式。
- 由P(BA)=(P(AB))/(P(A))可得P(AB)=P(A)P(BA)（P(A)>0）。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
人工智能第五章不确定性推理 (2)
概率论基础（概率性质 ）
• 定 穷多义个：事设件{A，n, 两n=两1,不2相, …交}，为且一组 A有n 限 ，或可则称列事无
件族{An, n=1, 2, …}为样本空间n Ω的一个完备
，
事 2,件…族，，则又称若{A对n,任n=意1事, 2件, …B有}为B基An=本An事或件φ族, 。n=1,
• 定义：设Ω为一个随机实验的样本空间， 对Ω上的任意事件A，规定一个实数与之 对应，记为P(A)，满足以下三条基本性
，
质，称为事件A发生的概率：
0 P(A) 1 P() 1 P() 0
–若二事件AB互斥，即，则
P(A B) P(A) P(B)
• 以上三条基本规定是符合常识的。
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
• 随机事件：随机事件是一个随机实验的一些 可能结果的集合，是样本空间的一个子集。 常用大写字母A,B,C,…表示。
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
概率论基础（事件间的关系与运算 ）
• 两个事件A与B可能有以下几种特殊关系：
– 包含：若事件B发生则事件A也发生，称“A包含B”， 或“B含于A”，记作AB或BA。
• 设A，B是两事件，则
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
《人工智能原理》第五章 不确定性推理事件且P(A)>0，称
P(B | A) P( AB)
P( A)
，
• 为事件A已发生的条件下，事件B的条件
概率，P(A)在概率推理中称为边缘概率。
《人工智能原理》第五章 不确定性推理
第五章 不确定性推理
• 概述 • 概率论基础 • Bayes网络 • 主观Bayes方法 • 确定性方法 • 证据理论
条件概率与全概率公式
由贝叶斯公式知
P(A | B) P(AB) P(B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.6 0.8
12 ,
0.6 0.8 0.4 0.1 13
所以没收错的概率为 12 . 13
也可以直接计算,因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下 4 个球,其中
有 2 个白球和 2 个红球,再从中任取一个,取得白球的概率为 2 ,所以 4
P(A | B) 2 1 . 42
解法二 在 5 个球中不放回连取两球的取法有 P52 种,其中第一
次取得红球的取法有 P31P41 种,第一次取得红球第二次取得白球的取
组事件.若有
(1) B1 B2
Bn S ；
(2) Bi B j (i j,1 i, j n) ，
则称 B1, B2 , , Bn 构成了样本空间 S 的一个划分.
若 B1, B2 , , Bn 为样本空间 S 的一个划分,那么对于每次试验,事件
B1, B2 , , Bn 中有一个且仅有一个发生.
而是分别以 0.8 和 0.2 收到“．”和“—”；同样,发出“—”时分别以 0.9 和 0.1 收到“—”和“．”.如果收报台收到“．”,求它没收错的概率.
解 记 A { 发出信号‘．’} , B { 收到信号‘．’} ,则 A {
发出信号‘—’} , B { 收到信号‘—’} .于是
P(A) 0.6 , P( A) 0.4 , P(B | A) 0.8 ,
定理 1.1（全概率公式）若事件 B1, B2 , , Bn 构成了样本空间
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1. 設A ﹑B 為樣本空間S 中的兩事件﹐且P (A )＝72﹐P (B )＝32﹐P (A ∪B )＝76﹐A '﹐B '分別表A ﹐B 的餘事件﹐則 (1)P (B ｜A )＝(A)71 (B)51 (C)31 (D)21 (E)32(2)P (A ｜B )＝(A)71 (B)51 (C)31 (D)21 (E)32 (3)P (B '｜A ')＝(A)71 (B)51 (C)31 (D)21 (E)32﹒ 2. 某班34位同學期考的數學平均成績為51分﹐今老師將成績作線型調整﹐把每位同學的成績先乘以34倍再減去4分﹒令變量X ﹑Y 分別表同學的原始成績與調整後的成績﹒ (1)設CV X ﹑CV Y 分別表變量X ﹑Y 的變異係數﹐則下列何者正確﹖ (A)CV X ＝CV Y (B)CV X ＝CV Y ＋4 (C)CV Y ＋4＝34CV X (D)CV X ＝1716CV Y (E)CV Y ＝34CV X ﹐(2)設r 表變量X 與Y 的相關係數﹐則下列何者正確﹖(A)0.3＜r ＜0.5 (B)0.5＜r ＜0.7 (C)0.7＜r ＜0.9 (D)0.9＜r ＜1 (E)r ＝1﹒3. 設甲﹑乙﹑丙三人解題的能力分別為54﹑43﹑32﹐今三人獨立同解一題﹐則此題被解出的機率為 (A)52 (B)6029 (C)2013 (D)6049 (E)6059． 4. 設甲﹑乙﹑丙三人解題的能力分別為54﹑43﹑32﹐今三人獨立同解一題﹐此題恰有一人解出的機率為 (A)203 (B)51(C)103 (D)52 (E)53． 5. 設甲﹑乙﹑丙三人解題的能力分別為54﹑43﹑32﹐今三人獨立同解一題﹐若已知此題恰有一人解出﹐則是乙解出的機率為 (A)91 (B)92 (C)31 (D)94 (E)95． 6. 一副撲克牌有52張﹐共分4種花色﹐每種花色13張﹐分別標示2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7﹑8﹑9﹑10﹑J ﹑Q ﹑K ﹑A ﹐今任取5張牌﹐若花色一致﹐則稱“同花”﹐若其順次依前述之次序為連續（如3﹑4﹑5﹑6﹑7﹐9﹑10﹑J ﹑Q ﹑K ﹐10﹑J ﹑Q ﹑K ﹑A ﹐另外A ﹑2﹑3﹑4﹑5亦視為連續）﹐則稱為“順”﹐今任取5張牌﹐若已知為“順”的條件下﹐則“同花”的機率為 (A)41 (B)161 (C)641 (D)2561 (E)10241． 7. 某一工廠生產燈泡﹐12個裝成一盒﹒工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取4個來檢查﹐如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的﹐則整盒淘汰﹒若某一盒有5個壞燈泡﹐則這一盒會被淘汰的機率為 (A)1933 (B)1455 (C)7099(D)2155 (E)1433﹒8. 九位學生的數學抽考成績分別為﹕30﹐40﹐60﹐50﹐70﹐80﹐60﹐90﹐60﹐現在使用簡單隨機抽樣法﹐從這九個分數中取出三個﹐若已知所取出三個分數中有一個為70分﹐則在此條件之下﹐此三個分數的中位數為60分的機率為何﹖(A)314(B)37(C)16(D)13(E)1556﹒9. 有一種丟銅板的遊戲﹐其規則為﹕出現正面則繼續丟﹐出現反面就出局﹒那麼連續丟5次後還可繼續丟的機率為(12)5＝132﹐一班有40名學生﹐每人各玩一局﹐設班上至少有一人連續丟5次後還可繼續丟的機率為p﹐則(A)0.4 ≤p＜0.5 (B)0.5 ≤p＜0.6 (C)0.6 ≤p＜0.7 (D)0.7 ≤p＜0.8 (E)0.8 ≤p＜0.9﹒10. 設A﹐B﹐C為獨立事件﹐且P(A)＝13﹐P(B│A')＝34﹐P(B∩C)＝15﹐試求P((A∪B)∩C)之值為(A)19(B)29(C)13(D)49(E)512﹒11. 有甲乙兩個錢袋﹐甲袋內有銀幣5個﹐金幣1個﹔乙袋內有銀幣3個﹐今由甲袋任意取出4個錢幣﹐置入乙袋﹐再由乙袋任意取出5個錢幣放入甲袋（假設每一錢幣被取出的機會相等）﹐求最後金幣在甲袋的機率為(A)1124(B)1121(C)1721(D)821(E)421﹒12. 下列有關兩變量X與Y的20對點資料的五個散布圖中﹐哪一個的相關係數最接近0.25﹖13. 下列有關兩變量X與Y的10個點資料的散布圖中﹐何者的相關係數最大﹖14. 下列三個散布圖中﹐設其迴歸線斜率由左而右分別為m1﹐m2﹐m3﹐比較其大小可得(A)m1＞m2＞m3 (B)m1＞m3＞m2 (C)m2＞m1＞m3 (D)m3＞m2＞m1 (E)m2＞m3＞m1﹒15. 下列有關兩變量x與y的20對點資料的散布圖中﹐何者相關係數最接近0.25﹖(A)(B)(C)(D)16. 十位考生之國文與數學成績列表如下﹕考生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10國文89 65 76 69 82 57 66 72 78 66數學75 57 65 65 83 63 58 62 63 69今已算出國文成績之標準差為8.9（取至小數點第一位）﹐數學成績之標準差為7.5（取至小數點第一位）﹐則此十位考生兩科成績之相關係數最接近(A)－0.85 (B)0.25 (C)0.66 (D)0.78 (E)0.85﹒17. 研究十位學生某次段考甲﹑乙兩科測驗成績的相關性﹒已知此十位學生的成績如下﹕學生代號 A B C D E F G H I J 總計甲科測驗 3 4 8 9 5 6 7 7 6 5 60乙科測驗9 8 5 6 7 6 5 7 8 9 70則此次甲﹑乙兩學科測驗成績之相關程度為﹕(A)高度相關(B)中度相關(C)低度相關(D)完全正相關(E)完全負相關﹒18. 有學生十人﹐其期考數學成績與該學期數學缺課數﹐如下表所示﹕學生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸缺課數 1 2 3 3 4 3 5 6 3 0成績100 90 90 80 70 70 60 60 80 100設兩者的相關係數為r﹐則﹕(A)－1 ≤r≤－0.6 (B)－0.6＜r＜－0.2 (C)－0.2 ≤r≤ 0.2 (D)0.2＜r＜0.6 (E)0.6≤r≤ 1﹒19. 下圖表兩組數據x﹑y的分布圖﹐試問其相關係數r最接近下列何值﹖(A)1 (B)0.5 (C)0 (D)－0.5 (E)－1﹒20. 右圖為一班參加高中聯考成績﹐X表英文成績﹐Y表國文成績﹐兩個變數的相關係數最接近下列哪個值﹖(A)2(B)1 (C)0.75 (D)0.5 (E)0.25﹒21. 一肥皂廠欲推出一種新產品﹐在上市前以不同的單價X（單位﹕十元）﹐調查市場的需求量Y（單位﹕萬盒）﹐調查結果如下﹕X 8 9 10 11 12Y 11 12 10 8 9問X﹑Y的相關係數最接近下列哪一個值﹖(A)45(B)25(C)0 (D)－25(E)－45﹒22. 令X代表每個高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計）﹐則W＝7(24－X)代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間﹒令Y代表每個高中生數學學科能力測驗的成績﹒設X﹑Y之相關係數為R XY﹐W﹑Y之相關係數為R WY則R XY與R WY兩數之間的關係﹐下列選項何者為真﹖(A)R WY＝7(24－R XY) (B)R WY＝7R XY(C)R WY＝－7R XY (D)R WY＝R XY (E)R WY＝－R XY﹒23. (1)某班40位同學期中考數學平均成績51分﹐最高75分﹒今老師將成績做線型調整﹐把每位同學的成績先乘以4 3倍﹐再減去4分﹐令變量X﹑Y分別表示同學的原始成績與調整後成績﹐設CV X﹑CV Y分別表示變量X﹑Y的變異係數﹐則下列何者正確﹖(A)CV Y＝CV X(B)CV Y＝CV X－4 (C)CV Y＝43CV X－4 (D)CV Y＝17 16CV X(E)CV Y＝43CV X﹒(2)承上題﹐設γ表變量X與Y的相關係數﹐則下列何者正確﹖(A)0.3＜γ＜0.5 (B)0.5＜γ＜0.7 (C)0.7＜γ＜0.9 (D)0.9＜γ＜1 (E)γ＝1﹒24. 坐標平面上有△ABC﹐若將坐標軸平移到新原點O'(3 , 1)﹐則下列何者會改變﹖(A)點A的坐標(B)AB的長(C)△ABC的面積(D)∠A的大小﹒25. 若將坐標軸旋轉正銳角θ後﹐點P (3 , 3)的新坐標為(3 ,－3)﹐則θ角為 (A)15° (B)30° (C)45° (D)60°﹒26. 方程式5x 2－16xy ＋3y 2＋6x ＋10y －8＝0的圖形是 (A)橢圓 (B)一點 (C)兩相交直線 (D)雙曲線﹒ 27. 旋轉坐標軸使方程式4x 2－4xy ＋y 2－45＝0的新方程式不具XY 項﹐則旋轉的正銳角θ為 (A)tan－134 (B)tan －143(C)tan －12 (D)tan －112﹒ 28. 若將坐標軸平移到新原點O '(h , k )﹐點P 的新坐標為(3 , 8)﹐舊坐標為(5 , 6)﹐則新原點O '的坐標為 (A)(2 ,－2) (B)(2 ,2) (C)(－2 , 2) (D)(－2 , 3)﹒29. 若將坐標軸旋轉正銳角θ﹐原坐標平面上有一四邊形ABCD ﹐下列何者會改變﹖ (A)點A 的坐標 (B)AB 的長 (C)四邊形的面積 (D)∠A 的大小﹒30. 方程式x 2－2xy ＋y 2＋3x ＋5y －7＝0的圖形是 (A)一直線 (B)兩平行直線 (C)兩相交直線 (D)拋物線﹒ 31. 旋轉坐標軸使方程式3x 2－12xy ＋8y 2＝24的新方程式不具XY 項﹐則旋轉的正銳角θ為 (A)tan －1125 (B)tan －1512(C)tan －132 (D)tan －123﹒ 32. 坐標平面上x 2＋xy ＋y 2＝1的圖形和4xy ＝1的圖形的關係是 (A)相離 (B)交於一點 (C)交於兩點 (D)交於四點﹒ 33. 在xy 一平面上有二橢圓於y 軸互相對稱﹐其中一橢圓之方程式為x 2＋3xy ＋4y 2－2x ＝0﹐則另一橢圓之方程式為(A)x 2－3xy ＋4y 2－2x ＝0 (B)x 2－3xy ＋4y 2＋2x ＝0 (C)x 2－3xy －4y 2＋2x ＝0 (D)x 2＋3xy ＋4y 2＋2x ＝0 (E)x 2＋3xy ＋4y 2－2x ＝0 (F)x 2＋3xy －4y 2－2x ＝0﹒34. 曲線x 2－y 2－2x －2y －1＝0經過平移坐標軸後的新方程式為X 2－Y 2＝1﹐則新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為﹖(A)(1 , 1) (B)(－1 ,－1) (C)(－1 , 1) (D)(1 ,－1) (E)(1 , 0)﹒35. 平面上一點P 在原坐標系中的坐標為(0 , m )﹐(m ≠0)﹐而在平移後得到的新坐標系中的坐標為(m , 0)﹐那麼新坐標系的原點O '在原坐標系中的坐標為﹖(A)(－m , m ) (B)(m ,－m ) (C)(m , m ) (D)(－m ,－m ) (E)(m , 0)﹒36. 如右圖﹐為週期為2π的函數y ＝f (x )的圖形﹐那麼f (x )可能為﹖(A)sin(1＋x ) (B)cos(－1－x ) (C)sin(x －1) (D)cos(1＋x ) (E)sin(1－x )﹒37. 將直角坐標系x -y 平移到新原點(2π, 0)後方程式y ＝sin x 在新坐標系中的方程式為﹖ (A)Y ＝－sin X (B)Y ＝cos X (C)Y ＝tan X (D)Y ＝－cos X (E)y ＝1sin X﹒38. 方程式y ＝1x的圖形為則方程式y ＝－11x ＋的圖形是﹖39. 圖形y ＝12x ＋在經過坐標平移後與下列哪一個方程式所表示的圖形能重合﹒ (A)y ＝－1x ＋2 (B)y ＝12x －－ (C)y ＝11x －＋1 (D)y ＝121x x －－ (E)y ＋1x ＋1＝0﹒ 40. 設函數f (x )＝121x －(－1 ≤ x ≤ 0)﹐則函數y ＝f (x )的圖形為﹖1-141. 方程式x 2－2xy －y 2－8x ＋9＝0的軌跡是 (A)拋物線 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)無軌跡﹒42. 方程式x 2＋4xy ＋4y 2－9＝0的圖形是﹕ (A)平行兩直線之聯集 (B)相交兩直線之聯集 (C)橢圓 (D)雙曲線 (E)拋物線 (F)圓 (G)一點 (H)φ﹒43. 方程式x 2＋4xy ＋4y 2－2x －4y －3＝0之圖形是﹕ (A)橢圓 (B)雙曲線 (C)兩平行直線之聯集 (D)兩相交直線的聯集﹒44. 將坐標軸旋轉θ角（0＜θ＜2π）﹐可以把二次曲線4x 2＋4xy ＋y 2－6x －3y ＋2＝0的方程式化為標準形式﹐求出tan θ以及這個標準形式﹕ (1)tan θ＝ (A)13 (B)12(C)1 (D)2 (E)3﹒ (2)這曲線是 (A)橢圓（非退化） (B)雙曲線 （非退化） (C)拋物線（非退化） (D)相交兩直線 (E)以上皆非﹒45. 如右圖﹐將坐標軸（逆時針）旋轉45︒後﹐所得的圖形為下列何者﹖46. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況﹐依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類﹒統計發現高收入的人口一直是低收入人口的兩倍﹐且知在高收入的人口中﹐每年有四成會轉變為低收入﹒請問在低收入的人口中﹐每年有幾成會轉變為高收入﹖請選出正確的選項﹒ (A)6成 (B)7成 (C)8成 (D)9成﹒47. 下列哪一些矩陣滿足－A ＝A t ﹖(A)123456⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B)100000⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)101000100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＋ (E)012103230⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－﹒ 48. 對任意的n ⨯ n 矩陣A ﹐B ﹐下列何者恆正確﹖(A)det(A ＋B )＝det(A )＋det(B )﹐(B)det(A －B )＝det(A )－det(B )﹐(C)det(A t )＝det(A )﹐(D)det(－A )＝－det(A )﹐(E)det(－A )＝det(A )﹒49. 下列何者正確﹕(A)A ＝[a ij ]n ⨯ n ﹐a ij ＞0﹐∀i ﹐j ﹐則det(A )＞0﹐ (B)B ＝[b ij ]n ⨯ n ﹐b ij ≤ 0﹐∀i ﹐j ﹐則det(B ) ≤ 0﹐ (C)A ＝[a ij ]n ⨯n ﹐a ij ＝10i j i j⎧⎨≠⎩－＝﹐則det(A )＝－1﹐(D)A ＝[a ij ]n ⨯n ﹐a ij ＝10i j i j⎧⎨≠⎩－＝﹐則det(A )＝(－1)n ﹐(E)A＝[a ij]n⨯n﹐B＝[b ij]n⨯n﹐a ij＞b ij﹐∀i﹐j﹐則det(A)＞det(B)﹒50. 對於n⨯n矩陣A﹐B﹐下列何者正確﹖(A)(A＋I)2＝A2＋2A＋I (B)A2－B2＝(A－B)(A＋B) (C)AB＝BA (D)(AB)2＝A2B2 (E)(AB)T＝A T B T﹒51. 考慮一次方程式組M txy⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ab⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹐其中M t＝131tt t⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＋12331t t⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋＋﹐t為實數﹒(1)使此方程組恆有解的充分且必要條件為何﹖(A)t≠5 (B)t≠1 (C)t∉{1 , 5} (D)t∉{1 ,－3 , 5} (E)t∉{－3 , 1}﹒(2)當t滿足本題的正確條件時﹐下列何者成立﹖(A)對於任何一對a﹑b﹐此方程組恰有一組解﹐(B)對於任何一對a﹑b﹐此方程組都有無限多組解﹐(C)僅只有一對a﹑b﹐使此方程組恰有一組解﹐(D)僅只有一對a﹑b﹐使此方程組有無限多組解﹐(E)有不只一對（但非所有的）a﹑b﹐使此方程組有無限多組解若t＝0﹐a＝0﹐b＝－1﹐則(3)det(M0－1)＝(A)13(B)15－(C)115(D)1 (E)0﹒(4)x＝(A)13(B)－15(C)115(D)1 (E)0﹒(5)y＝(A) 13(B)－15(C)115(D)1 (E)0﹒52. 設A為二階方陣﹐I2＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹐O＝0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦﹔若A2－5A＋6I2＝0﹐則下列何者是5I2－A的乘法反矩陣﹖(A)A (B)－A (C)A－5I2 (D)16A (E)A2－5A﹒53. 下列哪一些矩陣滿足－A＝A T (A)123456⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B)100000⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)101000100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＋(E)012103230⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－﹒54. 下列哪一個函數式方程式圖形在變換0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦下﹐保持不變﹖(A)y＝log x (B)y＝e x (C)y＝sin x (D)│x│2＋y2＝1 (E)y＝arc sin x﹒55. a≠0‚方程式x2＋y2＋ax－ay＝0的圖形﹖(A)對x軸對稱(B)對y軸對稱(C)對直線x＝y對稱(D)對直線y＋x＝0對稱(E)對原點對稱﹒56. 下列方程式中何者與x2－y＝0表示同一曲線﹒(A)2x t y t ⎧⎨⎩＝＝ (B)2cos cos x t y t ⎧⎨⎩＝＝ (C)tan 1cos 21cos 2x tt y t ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋＝－ (D)tan 1cos 21cos 2x t t y t ⎧⎪⎨⎪⎩＝－＝+ (E)2sin 1cos x t y t ⎧⎨⎩＝＝－﹒ 57. 在區間[－50 , 50]中任取一個整數x ﹐則滿足22355034x x x x ＋－＋－≥ 2之機率＝ (A)90101 (B)91101 (C)92101 (D)93101(E)94101﹒ 58. 設a ﹑b 皆為正實數﹐則(a ＋2b )(1a ＋2b)之最小值＝ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9﹒ 59. 已知log2＝0.3010﹐則滿足(0.4)n ＜0.0001之最小自然數n ＝ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (E)14﹒60. 設a ＞0且a ≠1﹐則下列敘述何者正確﹖ (A)a ＜1時﹐y ＝log a x 為遞減函數 (B)a ＞1時﹐y ＝log a x 為遞增函數(C)log a x 恆大於a x (D)a ＜1時﹐y ＝a －x 為遞減函數 (E)a ＞1時﹐y ＝a －x 為遞增函數﹒61. 在第一象限中滿足x －2y ≥－6﹐7x －2y ≤18﹐x ＋y ≥ 0之所有點(x , y )的區域為 (A)空集合 (B)半平面 (C)三角形區域 (D)四邊形區域 (E)五邊形區域﹒62. 在區間[－20 , 20]中任取一個整數xx －1之機率＝ (A)2341 (B)1320 (C)34 (D)1720 (E)1920﹒ 63. 設a ＝sin(sin0)﹐b ＝sin(cos0)﹐c ＝cos(cos2π)﹐d ＝cos(sin 2π)﹐則a ﹐b ﹐c ﹐d ﹐之大小順序何者正確﹖ (A)a ＜b ＜c ＜d (B)a ＜d ＜b ＜c (C)a ＝b ＜c ＝d (D)c ＜b ＜c ＜a (E)c ＜d ＜a ＜b ﹒64. 當x 的範圍被限制在－2π和2π之間時﹐亦即－2π＜x ＜2π﹐有關函數f (x )＝cos x ＋4cos x 的敘述﹐哪些是正確的﹖(A)f (x )＝f (－x ) (B)f (x ) ≥ 4 (C)f (x )的最小值是4 (D)f (x )有最大值﹒65. 設a ＞b ＞1000﹐令pq ＝12(log 7a ＋log 7b )﹐r ＝log 72a b＋﹐則下列敘述何者正確﹖ (A)q ＝log(B)q ＞r (C)r ＜p ＜q (D)p ＜q ＜r (E)q ＜p ＜r ﹒66. (1)設a ﹐b ﹐c 都是正數﹐且a ＋b ＋c ＝1則下列三小題中何者正確﹖(A)(B)(C)(D)﹒ (2)1a ＋1b ＋1c (A)大最大值9 (B)有最小值9 (C)有最大值19 (D)有最小值19﹒ (3) abc (A)有最大值127 (B)有最小值127(C)有最大值27 (D)有最小值27﹒ 67. 設實數x 滿足不等式log 3(3x ＋8)＜2x＋1＋log 32﹐則x 的範圍為下列何者﹖ (A)log 32＜x ＜log 38 (B)1＜x ＜log 312 (C)log 34＜x ＜log 38 (D)log 34＜x ＜log 316 (E)log 38＜x ＜log 316﹒68. y ＝3＋5sin x －2sin 2x （x ∈R ）之最大值為 (A)498 (B)6 (C)5 (D)12(3＋﹒ 69. 求滿足不等式log 2(x ＋1) ≤ 1＋log 4(x ＋2)的整數解共有幾個﹖ (A)3 (B)4 (C)5 (D)8﹒70. 已知log2＝0.3010﹐則滿足(0.4)n ＜0.0001之最小自然數n ＝ (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (E)14﹒ 71. 如右圖所示之四邊形﹐其四邊的直線方程式各為x ＋y ＝6﹐x －y ＝3﹐ 3x ＋y ＝3﹐x －2y ＝－8﹐則四邊形區域可用下列哪一組不等式表示﹖ (A)x ＋y ≥ 6﹐x －y ≤ 3﹐3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≥－8 (B)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≥ 3﹐ 3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≥－8 (C)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≤ 3﹐3x ＋y ≤ 3﹐x －2y ≥－8 (D)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≤ 3﹐3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≤－8 (E)x ＋y ≤ 6﹐x －y ≤ 3﹐ 3x ＋y ≥ 3﹐x －2y ≥－8﹒72. 圖中舖色部分的點坐標(x , y )代入x －2y ＝k ﹐則使k 值最大的是哪一點﹖(A)A 點 (B)B 點 (C)C 點 (D)D 點 (E)E 點﹒73. 如右圖﹐斜線區域是由直線2x －3y －a ＝0﹐3x －y －b ＝0﹐x ＋2y －c ＝0所圍成的﹐試問下列何者為此區域的聯立不等式﹖ (A)2x －3y －a ≤ 0﹐3x －y －b ≥ 0﹐x ＋2y －c ≤ 0 (B)2x －3y －a ≥ 0﹐3x －y －b ≥ 0﹐x ＋2y －c ≤ 0 (C)2x －3y －a ≤ 0﹐3x －y －b ≤ 0﹐ x ＋2y －c ≤ 0 (D)2x －3y －a ≥ 0﹐3x －y －b ≤ 0﹐x ＋2y －c ≤ 0 (E)2x －3y －a ≤ 0﹐3x －y －b ≥ 0﹐x ＋2y －c ≥ 0﹒74. 如右圖﹐斜線區域﹐可由下列哪一不等式表示﹖(A)xy (x ＋y －1) ≤ 0 (B)xy (x ＋y －1) ≥ 0 (C)x y (x ＋y －1) ≤ 0(D)xy (x ＋y －1) ≥ 0 (E) xy1x y ＋－≥ 0﹒75. 不等式1 ≤ 2x ≤ 3x ＋4y ≤ 5y ≤ 20的解集合所代表的圖形為 (A)三角形 (B)正方形 (C)平行四邊形 (D)長方形 (E)五邊形﹒76. 在坐標平面上﹐右圖之舖色區域所代表的不等式組為(A)2100200x y x y y ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋－－＋ (B)2100200x y x y y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＋－－＋ (C 2100200x y x y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩＋－－＋ (D)2100200x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＋－－＋﹒77. 就右圖﹐若(x , y)為舖色區域上的點﹐則2x－3y的最大值為(A)8 (B)－8(C)6 (D)－6﹒78. 在第一象限中滿足x－2y≥－6﹐7x－2y≤ 18﹐x＋y≥ 0之所有點(x , y)的區域為(A)空集合(B)半平面(C)三角形區域(D)四邊形區域(E)五邊形區域﹒79. 下列選項何者為滿足右圖的聯立不等式﹖(A)232360x yx y⎧⎨⎩＋＞－－＞(B)232360x yx y≥⎧⎨≤⎩＋＋＋(C)232360x yx y≥⎧⎨≤⎩＋－＋(D)23236x yx y≤⎧⎨≤⎩＋－－(E)31222360y xx y⎧≤⎪⎨⎪≥⎩－－＋﹒11。