等差数列(学生版)
2.等差数列(学生版)
第二节 等差数列一知识梳理一等差数列的有关概念(1)等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n +1-a n =d (n ∈N *).(2)等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项满足A =a +b2或者2A =a +b .(3)通项公式：如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n =a 1+(n -1)d (n ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n =na 1+n (n -1)2d =n (a 1+a n )2，推导方法是倒序相加法.二等差数列a n 的性质(1)等差数列的拓展通项公式：a n =a m +(n -m )d (n ，m ∈N *)，d =a n -a mn -m.(2)a n =a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d ),当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，斜率为公差d ，反之亦成立.若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(3)a m ，a m +k ，a m +2k ，a m +3k ，⋯仍是等差数列，公差为kd .(4)☆若a m 1+a m 1+⋯+a mk =a n 1+a n 1+⋯+a nk ⇔m 1+m 2+⋯+m k =n 1+n 2+⋯+n k .特别地，若m +n =p +q =2k ，则a m +a n =a p +a q =2a k .三等差数列前n 项和S n 的性质(1)S n =na 1+n (n -1)2d =d 2n 2+a 1-d2n ，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数且没有常数项．显然当d <0时，S n 有最大值，d >0时，S n 有最小值．(2)☆S n n =d 2n +a 1-d2，即S n n 也是等差数列，其公差为a n 的公差的一半.(3)☆等差数列依次k 项之和，仍是等差数列，即数列S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k ，⋯也是等差数列，公差为k 2d ．(4)☆S 2n -1=2n -1 (a 1+a 2n -1)2=2n -1 a n （a n 是前2n -1项的最中间项），例S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5;S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n a n +a n +1 （a n 和a n +1是前2n 项的最中间两项），例S 10=10(a 1+a 10)2=5a 5+a 6 .(5)☆当总项数为2n -1项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n -1项偶数项，S 偶=(n -1)(a 2+a 2n -2)2=(n -1)a n，此时，S 奇-S 偶=a n ，S 奇S 偶=nn -1；当总项数为2n 项时，有n 项奇数项，S 奇=n (a 1+a 2n -1)2=na n有n 项偶数项，S 偶=n (a 2+a 2n )2=na n +1，此时，S 偶-S 奇=nd ，S 偶S 奇=an +1a n ；(6)☆综合(4)和(5)得，n 为奇数时，S n =na 中，S 奇=n +12a 中，S 偶=n -12a 中，∴S 奇-S 偶=a 中；n 为偶数时，S 偶-S 奇=nd 2.(7)数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n +p }，{pa n +qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1+qd 2.二题型讲解一等差数列的基础题型一等差数列基本量的计算解题通法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4=0，a 5=5，则( )A.a n =2n -5B.a n =3n -10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n 1.(2021·武汉调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8=a 8=8，则公差d =( )A.14B.12C.1D.22.(2021·内蒙古模拟)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，S 4=24，S 9=99，则a 7=( )A.13B.14C.15D.163.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2+a 5=-14，S 3=-39，则S 10=( )A.6B.10C.12D.204.(2022·陕西汉中)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，a 6=15，S 9=99，则等差数列a n 的公差是( )A.-4B.-3C.14D.45.(2022·陕西·西安工业大学附中)设等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 4=4，S 9=72，则a 10=( )A.20B.23C.24D.286.(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n -1}与{3n -2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为.二等差数列的判定与证明（详见第一节题型四）2.(2021·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2)，a 1=12.(1)求证：1S n是等差数列；(2)求a n 的表达式．反思感悟等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法若a n -a n -1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中证明问题等差中项法2a n =a n +1+a n -1(n ≥2，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法a n =pn +q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式验证S n =An 2+Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列7.下列选项中，为“数列a n 是等差数列”的一个充分不必要条件的是( )A.2a n =a n +1+a n -1(n ≥2)B.a n 2=a n +1⋅a n -1n ≥2C.通项公式a n =2n -3D.a n +2-a n =a n +1-a n -1n ≥28.(2022·全国·高三专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能是等差数列的为( )A.a ，c ，b B.a 2，b 2，c 2C.|a |，|b |，|c |D.1a ，1b ，1c9.(2022·全国·课时练习)(多选)若a n是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )A.a n+3B.a2nC.a n-1+a nD.2a n+n10.(2022·全国·高二课时练习)(多选)在数列a n中，a1=3，且对任意大于1的正整数n，点a n,a n-1在直线x-y-3=0上，则( )A.数列a n是等差数列B.数列a n是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=3nD.数列a n的通项公式为a n=3n三求数列{|a n|}的前n项和3.数列{a n}的前n项和S n=100n-n2(n∈N*)，设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．反思感悟已知等差数列{a n}，求绝对值数列{|a n|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．11.在等差数列{a n}中，a10=23，a25=-22.(1)数列{a n}前多少项和最大？(2)求{|a n|}的前n项和S n.12.在数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n=|a1|+|a2|+⋯+|a n|，求T n.二等差数列性质的应用一下标和性质的应用（m+n=p+q=2k）1.(2022·广州市阶段训练)已知{a n}是等差数列，a3=5，a2-a4+a6=7，则数列{a n}的公差为( )A.-2B.-1C.1D.2反思感悟(1)由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质a m+a n=a p+a q⇔m+n=p+q求解(注意项数不变，脚标和不变)．(2)等差数列中最常用的性质：①d=a p-a qp-q，②a m1+a m1+⋯+a mk=a n1+a n1+⋯+a nk⇔m1+m2+⋯+m k=n1+n2+⋯+n k.特别地若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q. (3)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又漂亮．1.(2022·吉林百校联盟联考)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=( )A.1452B.145C.1752D.1752.(2021·江西九江一中月考)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3=59，则S9S5=( )A.1B.-1C.2D.123.(2022·北京通州·一模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若a3+a5=20，则S7=( )A.60B.70C.120D.1404.(2022·浙江杭州·二模)设等差数列a n的前n 项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=( )A.12B.15C.18D.215.(2022·安徽滁州)已知a n是公差不为零的等差数列，若a3+a m=a4+a k,a1+a5=2a k,m,k∈N∗，则m+k=( )A.7B.8C.9D.106.(2022·河北石家庄·二模)等差数列a n的前n 项和记为S n，若a2+a2021=6，则S2022=( )A.3033B.4044C.6066D.80887.(2022·河南平顶山)已知S n为正项等差数列a n的前n项和，若a3+a9=a26，则S11=( ) A.22 B.20 C.16 D.118.(2022·全国·高三专题练习)已知数列{a n }满足a n+1=a n+2且a2+a4+a6=9，则log3(a5+a7+ a9)=( )A.-3B.3C.-13D.13二等差数列前n项和S n的性质2.(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=1，S30=5，则S40=( )A.7B.8C.9D.10反思感悟思路1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意列方程组求得a1、d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2：设{a n}的前n项和S n=An2+Bn，由题意列出方程组求得A、B，从而得S n，进而得S40；思路3：利用等差数列前n项和性质S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是等差数列，由前三项求得S20，从而得此数列的公差，进而求得S40-S30，得S40；思路4：利用S nn是等差数列，由S1010、S3030可求出公差，从而可得S4040，进而求得S40.9.(2021·山东师大附中模拟)若S n 是等差数列{a n}的前n项和，且a2+a9+a19=6，则a10=__，S19=_____.10.若两个等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为A n、B n，且满足A nB n=2n-13n+1，则a3+a7+a11b5+b9的值为( )A.3944B.58C.1516D.132211.已知等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，a n b n =2n +33n -1，则S 11T 11等于( )A.1517B.2532C.1D.212.(2022·四川师范大学附属中学二模(理))设等差数列a n ，b n 的前n 项和分别是S n ，T n ，若Sn T n =2n3n +7，则a 6b 5=( )A.65B.1117C.1114D.313.在等差数列{a n }中，a 1=-2023，其前n 项和为S n ，若S 1212-S1010=2，则S 2023=( )A.-2023 B.-2022C.-2021D.-202014.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=-12，S 9=45，则S 12=____.三数列中的S 奇、S 偶相关问题3.在等差数列{a n }中，S 10=120，且在这10项中，S 奇S 偶=1113，则公差d =________.15.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.0.5,2D.1,0.516.已知在等差数列{a n }中，公差d =1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为____．17.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是_______，项数是________．三等差数列中的最值问题一关于S n的最值问题解题通法(1)在等差数列{a n}中，当a1>0，d<0时，S n有最大值，使S n取得最值的n可由不等式组a n≥0，a n+1≤0确定；当a1<0，d>0时，S n有最小值，使S n取到最值的n可由不等式组a n≤0，a n+1≥0确定．(2)S n=d2n2+a1-d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，S n有最小值；当d<0时，S n有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，S n取到最值．1.在等差数列{a n}中，a1=25，S8=S18，求前n 项和S n的最大值．2.(2022·吉林市调研)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5=S9，则当S n 最大时，n=()A.6B.7C.10D.9延伸 ①本例2中若将“S5=S9”改为“S5=S10”，则当S n取最大值时n=；延伸②本例2中，使S n<0的n的最小值为.二关于S n＞0或S n＜0时n的最值问题3.(2022·黑龙江牡丹江一中月考)已知数列{a n}为等差数列，若a11a10<-1，且其前n项和S n有最大值，则使得S n>0的最大值n为()A.11B.19C.20D.21延伸本例3中，使S n取最大值时n=.1.(2021·长春市模拟)等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A.6B.7C.8D.92.在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取得最大值，则d的取值范围为.3.(2022·重庆·二模)(多选)设等差数列a n前n 项和为S n，公差d>0，若S9=S20，则下列结论中正确的有( )A.a15=0B.当n=15时，S n取得最小值C.a10+a22>0D.当S n>0时，n的最小值为294.(2022·内蒙古赤峰)已知等差数列a n的前n 项和为S n，若a3=15，S2=36，则S n取最大值时正整数n的值为( )A.9B.10C.11D.125.(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10=S20，则( )A.d<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<06.(2022·浙江省浦江中学高三期末)设等差数列a n的公差为d，其前n项和为S n，且S5=S13，a6+ a14<0，则使得S n<0的正整数n的最小值为( )A.16B.17C.18D.19跟踪测验1(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n}中，已知a3+a5+a7=15，则该数列前9项和S9=( ) A.18 B.27 C.36 D.452已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2= 4，S4=22，a n=28，则n=( )A.3B.7C.9D.103(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n.若S10=40，a6=5，则( ) A.d=3 B.a10=12C.S20=280D.a1=-44一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的范围是( ) A.d>875 B.d<325C.875<d<325D.875<d≤3255（多选）等差数列{a n}是递增数列，满足a7= 3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是( )A.d>0B.a1>0C.当n=5时S n最小D.S n>0时，n最小值为86（多选）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=07(2022·安徽·芜湖一中)等差数列a n的前n 项和为S n，满足：3a27+S21=72，则S25=( ) A.72 B.75 C.60 D.1008(2022·全国·高三阶段练习(理))若数列3a n+2是等差数列，a1=1，a5=-53，则a2= ( )A.-1B.1C.-2D.29(2022·全国·高三专题练习)已知数列a nn∈N*是等差数列，S n是其前n项和，若a2a5+a8=0,S9=27，则数列a n的公差是( )A.1B.2C.3D.410(2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测(文))已知等差数列a n的前n项和为S n，且a5+ 2a10+a13=18，则S18=( )A.74B.81C.162D.14811(2022·安徽合肥·二模)设等差数列{a n}的前n项和为S n，S15=5(a3+a8+a m)，则m的值为( )A.10B.12C.13D.1412(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知a，b，c成等差数列，则( )A.a2，b2，c2一定成等差数列B.2a，2b，2c可能成等差数列C.ka+2，kb+2，kc+2(k为常数)一定成等差数列D.1a，1b，1c可能成等差数列一轮复习第六章数列13(2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习(文))若等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d<0”是“S n有最大值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14(2022·重庆·二模)等差数列a n的公差为2，前n项和为S n，若a m=5，则S m的最大值为( )A.3B.6C.9D.1215(2022·云南师大附中)已知a n是等差数列，S n是a n的前n项和，则“对任意的n∈N*且n≠3，S n>S3”是“a4>a3”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件16(2022·四川南充)设等差数列a n的前n项和为S n，满足a1<0,S9=S16，则( )A.d<0B.S n的最小值为S25C.a13=0D.满足S n>0的最大自然数n的值为2517(2022·全国·高三专题练习)在等差数列a n中，S n为a n的前n项和，a1>0，a6a7<0，则无法判断正负的是( )A.S11B.S12C.S13D.S1418(2022·全国·高三专题练习)(多选)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足a1+5a3=S8，下列选项正确的有( )A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=019(2022·全国·高三专题练习)(多选)等差数列a n与b n的前n项和分别为S n与T n，且S2nT n= 8n3n+5，则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时，b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀x∈N*，T n>020(2022·全国·高三专题练习)(多选设a n是等差数列，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7> S8，则下列结论正确的是( )A.d>0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为S n的最大值21(2022·云南昭通)等差数列a n,b n的前n项和分别为S n,T n,S nT n=3n-22n+1,a1=2，则b n的公差为____.22(2022·全国·高三专题练习)已知两个等差数列a n和b n的前n项和分别为S n，T n，且S nT n= n2n+1，则a3b5=_________.23(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n，b n的前n项和分别为S n，T n，若S nT n= 3n-12n+3，则a9b11=______．1112一轮复习 第六章 数列公众号：玩酷高中数学24(2022·黑龙江·哈九中二模)已知数列a n 满足a 1a 2⋅⋅⋅a n =2-2a n ，n ∈N ∗．证明：数列11-a n是等差数列，并求数列a n 的通项公式；25(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=4，a n +1=4-4a nn ∈N *．求证：1a n -2 是等差数列；26(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足，a 1=3，a n +1=3-4a n +1n ∈N *，设数列b n =1a n -1(1)求证数列b n 为等差数列；(2)求数列a n 的通项公式；27(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9=-a 5.(1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．。
考点巩固卷12 等差、等比数列(七大考点)(学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考
考点巩固卷12 等差等比数列（七大考点）考点01：单一变量的秒解当数列的选择填空题中只有一个条件时，可将数列看成常数列，即每一项均设为x ，（注意：如果题目中出现公差不为0或公比不为1，则慎用此法）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为123456,6,12n S a a a a a a ++=++=，则12S =（ ）A ．18B ．36C ．54D ．602．已知等差数列{}n a 满足12318a a a ++=，则2a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（ ）A ．[)12，B ．305æöç÷èø，C ．35¥æö+ç÷èø，D ．305éö÷êëø，4．等差数列{}n a 前n 项和为7,4n S a =，则13S =（ ）A ．44B ．48C ．52D ．565．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，记{}n a 的前n 项和为n S ，则9S =（ ）A ．18B ．24C ．27D ．456．在等差数列{}n a 中，若354a a +=，则其前7项和为（ ）A ．7B ．9C ．14D ．187．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．298．在等比数列{}n a 中，25,a a 是方程2780x x --=的两个根，则16a a =（ ）A ．7B ．8C ．8-或8D ．8-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若5414a a a +=+，则15S =（ ）A ．4B ．60C ．68D ．13610．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2410268a a a ++=，则9S =（ ）A ．272B ．270C ．157D ．153考点02：秒解等差数列的前n 项和等差数列中，有()⇒-=-n n a n S 1212奇偶有适用.()()()()nn n n an n a n a a 12212221212112-=-=-+=--⇒将12-n 换为n 11．在等差数列{}n a 中，公差3d =，n S 为其前n 项和，若89S S =，则17S =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．412．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7287026S a a =+=，，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4.13．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若12413,22a a S +==，则d =（ ）A ．7B ．3C ．1D ．1-14．等差数列 {}n a 中，n S 是其前 n 项和，53253S S -=，则公差 d 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．315．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．72B ．73C ．13-D ．711-16．已知等差数列{}n a 的前15项之和为60，则313a a +=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1017．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，221n n a a =+，若1100n n S a ++=，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1118．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ）A ．43B ．44C ．45D ．4619．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，525S =，则442S a a =-（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知848,16S S =-=，则56223839a a a a a ++++=（ ）A ．215B ．185C ．155D ．135考点03：数列片段和问题k k k k k S S S S S 232,,--这样的形式称之为“片段和”①当}{n a 是等差数列时：k k k k k S S S S S 232,,--也为等差数列，且公差为d k 2.②当}{n a 是等比数列时：k k k k k S S S S S 232,,--也为等比数列，且公比为kq .21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，()*3164,n S n n -=³ÎN ，20n S =，则n 的值为（ ）A ．16B ．12C ．10D ．822．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若330S =，651S =，则9S =（ ）A ．54B ．63C ．72D ．13523．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且365,15S S ==，则9S =（ ）A ．35B ．30C ．20D ．1524．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4127,45S S ==.则8S =（ ）A ．28B ．26C ．24D ．2225．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（ ）A ．30B ．58C ．60D ．9026．在等差数列{}n a 中，若363,24S S ==，则12S =（ ）A ．100B ．120C ．57D ．1827．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若10111012101310148a a a a +++=，则2024S =（ ）A ．8096B ．4048C ．4046D ．202428．若正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（ ）A ．22B ．24C ．26D ．2829．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若23S =，346a a +=，则108S S =（ ）A ．157B ．3115C ．2D ．633130．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若301010303,80S S S S =+=，则20S 的值为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40考点04：秒杀和比与项比结论1：若两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若DCn B An T S n n ++=，则()()Dn C B n A T S b a n n n n +-+-==--12121212结论2：若两个等差数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别为n n T S ,，若DCn B An T S n n ++=，则()()Dm C B n A b a m n +-+-=121231．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且231n n S n T n +=+，则19119a ab b ++的值为（ ）A ．1311B ．2110C ．1322D ．212032．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且335n n S n T n +=+，则526a b b =+（ ）A ．1417B ．417C ．313D ．1533．已知数列{}{}n n a b ，均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a ab b ++=+（ ）A ．2B ．3C ．5D ．634．设数列{}n a 和{}n b 都为等差数列，记它们的前n 项和分别为n S 和n T ，满足21n n n a b n =+，则55S T =（ ）A ．12B ．37C ．59D ．3535．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，若342n n S n T n +=+，则58211a a b b +=+（ ）A ．1713B ．3713C ．207D ．37736．等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别是,n n S T ，若542n n S n T n +=+，则44a b = ．37．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意正整数n 都有2343n n S n T n -=-，则839457a ab b b b +=++ ．38．已知n S ，n T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2131n n S n T n +=-，那么44a b = ．39．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于40．已知等差数列{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且214n nS n T n +=，则537a b b =+ ．考点05：等差数列奇偶规律结论()*ÎNn n 2则1,+==-n n a aS S nd S S 偶奇奇偶n 2,则它的奇数项分别为135721,,,......n a a a a a -则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a a 则奇数项之和()1212=22n nnn a a n a S na -+×==奇则偶数项之和()22+1+12=22n n n n a a n a S na +×==偶代入公式得1-S =n( )n n S a a nd +-=奇偶，11=S n n n n S na ana a ++=奇偶()*Î+Nn n 12则()()111,11,+++=+=+==-n n n na S a n S nn S S a S S 偶奇偶奇偶奇∵12-n 项，则它的奇数项为127531,,,+n a a a a a 则它的偶数项分别为na a a a 2642,, 则奇数项之和()()()1121112+++=+×+=n n an n a a S 奇则偶数项之和()1222+=×+=n n nan a a S 偶代入公式得()1111+++=-+=-n n n a na a n S S 偶奇()nn na a n S S n n 1111+=+=++偶奇说明：偶奇，S S 分别表示所有奇数项与所有偶数项的和41．已知等差数列{}n a 的项数为()21Ν,m m *+Î其中奇数项之和为140, 偶数项之和为 120,则m =( )A ．6B ．7C ．12D ．1342．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）A ．14B ．2C ．13D ．2543．已知等差数列{}n a 的前30项中奇数项的和为A ，偶数项的和为B ，且45B A -=，2615A B =+，则n a =（ ）A ．32n -B ．31n -C ．31n +D ．32n +44．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，22a =，13++=n n a a n ，则（ ）A ．45a =B ．20300S =C ．31720S =D ．n 为奇数时，2314+=n n S 45．已知等差数列{}n a 共有21n -项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则n =．46．已知数列{}n a 满足11a =，12,3,n n na n a a n ++ì=í+î为奇数为偶数，则{}n a 的前40项和为.47．已知等差数列{}n a 的项数为21m +()*m ÎN ，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列{}n a 的项数是 .48．数列{}n a 满足：2212212121,2,2n n n na a a a a a ++-==-==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则23S = ．49．在等差数列{}n a 中，已知公差12d =，且1359960+++×××+=a a a a ，求12399100a a a a a +++×××++的值．50．已知{}n a 是等差数列，其中222a =，610a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求24620a a a a ++++ 的值.考点06： 等差数列前n 项和最值规律方法一：函数法⇒利用等差数列前n 项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.bn an S n +=2模型演练()n d a n d S d n n na S n n ×÷øöçèæ-+=⇒×-+=222112121122222÷÷÷÷øöççççèæ--÷÷÷÷øöççççèæ-+=⇒d d a d d d a n d S n 2121212212÷øöçèæ--⎥⎦⎤êëé÷øöçèæ--=⇒d a d d a n d S n 由二次函数的最大值、最小值可知，当n 取最接近da 121-的正整数时，n S 取到最大值（或最小值）注意：最接近da 121-的正整数有时1个，有时2个51．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则n S 取最大值时，n =（ ）．A ．9B ．10C ．9或10D ．10或1152．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若50a <，380a a +>，则当n S 取得最小值时，n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．753．设数列{}n a 的前n 项和为11,1,321n nn S S S S n n+-=-=+，则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 是等比数列B ．36396,,S S S S S --成等差数列，公差为9-C ．当且仅当17n =时，n S 取得最大值D ．0n S ³时，n 的最大值为3354．数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-，则（ ）A ．110a =B ．32a a >C ．数列{}n S 有最小项D ．n S n ìüíýîþ是等差数列55．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A ．1a d>B ．使得0n S >成立的最大正整数18n =C ．891011a a a a +<+D ．n n S a ìüíýîþ中最小项为1100S a 56．等差数列 {}n a 的前 n 项和为 1214,0,0n S a a a >+=，则（ ）A ．80a =B ．1n na a +<C ．79S S <D ．当 0n S < 时， n 的最小值为 1657．已知无穷数列{}n a 满足：110a =-，12n n a a +=+()*N n Î．则数列{}n a 的前n 项和最小值时n 的值为 ．58．设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，且满足991,27a S =-=.(1)求d 的值；(2)当n 为何值时n S 最大，并求出此最大值.59．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，111a =-，且256,,a a a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设n S 为{}n a 的前n 项和，求n S 的最小值．60．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.考点07：等比数列奇偶规律结论()*ÎNn n 2则qS S =奇偶n 2,则它的奇数项分别为135721,,,......n a a a a a -则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a aq a a q a a q a a ×=×=×=342312,,∵()q a a a a a a a a a a q a a a a a a a a a a n n n n n n n n =++++++++=++++++++∴-------123253112325311232531222642()*Î+Nn n 12则q S a S =-偶奇112+n ,则它的奇数项分别为13572+1,,,......n a a a a a 则它的偶数项分别为24682,,,......na a a a a q a a q a a q a a ×=×=×=453423,，∵q S a S q a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n =-⇒=+++++++=++++++++∴-+--+-偶奇12226421212532226421212531 说明：偶奇，S S 分别表示所有奇数项与所有偶数项的和61．已知等比数列{}n a 有21n +项，11a =，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．562．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中10a >，则“31a a >”是“n S 无最大值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件63．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.A ．8B ．2-C ．4D ．264．已知等比数列{}n a 的公比为13-，其前n 项和为n S ，且1a ，243a +，3a 成等差数列，若对任意的*n ÎN ，均有2nnA SB S £-£恒成立，则B A -的最小值为（ ）A ．2B ．76C ．103D ．5365．已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =（ ）A ．1B ．4C ．12D ．3666．已知数列}{n a 的前n 项和121n n S -=+，则数列}{n a 的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）A ．12B ．2C ．172341D ．34117267．等比数列{}n a 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝ .68．等比数列的性质已知{}n a 为等比数列，公比为q ，n S 为其前n 项和.（1）若()0,0,1n n S Aq B A q q =+¹¹¹，则A B += ；（2）当0n S ¹时，n S ， ，32,n n S S - 为等比数列；（3）若等比数列{}n a 共2k 项，记S 奇为诸奇数项和，S 偶为诸偶数项和，则S S =奇偶 ；69．已知首项均为32的等差数列{}n a 与等比数列{}n b 满足32a b =-，43a b =，且{}n a 的各项均不相等，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，则n S 的最大值与最小值之差为 ．70．（1）在等比数列{}n a 中，已知248,60n n S S ==，求3n S ；（2）一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.。
人教版高数必修五第5讲：等差数列前n项和公式(学生版)
等差数列的前n 项和__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点: 掌握等差数列前项和通项公式及性质, 数列最值的求解, 与函数的关系教学难点: 数列最值的求解及与函数的关系1. 数列的前n 项和一般地, 我们称为数列的前项和, 用表示；记法: 显然, 当时, 有 所以与的关系为n a = ①1S ()1n =②______________2. 等差数列的前n 项和公式___________________3. 等差数列前n 项和公式性质（1） 等差数列中, 依次项之和仍然是等差数列, 即 成等差数列, 且公差为_______（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （3） 等差数列中, 若, 则；若 则（4） 若和均为等差数列, 前项和分别是和, 则有4. 项数为的等差数列, 有有偶 -奇 =, 奇 /偶 =5. 等差数列前n 项和公式与函数的关系等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+可以写成____________________若令1,,22d d A a B =-=类型一: 数列及等差数列的求和公式例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a练习1.已知数列的前项和求.练习2: 已知数列的前项和求例2.已知等差数列的前项和为 , 求及练习3.已知等差数列的前项和为，，求.....练习4.已知等差数列的前项和为, 求.(1) 例3.在等差数列中, 前项和为(2) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d(3) 若499,6,a a ==-求满足54n S =的所有n 的值练习5.设 是等差数列的前项和, 则___________练习6.在等差数列中, 则的前5项和 ______________类型二: 等差数列前项和公式的性质（1） 例4.在等差数列中,（2） 若, 求（3） 若共有项, 且前四项之和为21, 后四项之和为67, 前项和 , 求（4） 若10100100,10S S ==求110S练习7.（2014山东淄博一中期中）设 是等差数列的前项和, 若, 则等于（） A.19 B.13 C.310 D.18练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列的公差, 则 （）A.2014B.2013C.1007D.1006例5.已知等差数列和的前项和分别为和, 且则=（）A..........B...........C..........D..练习9.已知是等差数列, 为其前项和, 若则的值为______练习10.已知等差数列的公差为2, 项数是偶数, 所有奇数项之和为15, 所有偶数项之和为35, 则这个数列的项数为______________类型三: 等差数列前项和公式的最值及与函数的关系例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =-（1） 这个数列是等差数列吗？ 求出它的通项公式（2） 求使得n S 最小的n 值练习11.已知等差数列的前项和为, 为数列的前项和, 求数列的通项公式练习12.等差数列中, 若, 求=_____________例7.已知等差数列中, 求使该数列前项和取得最小值的的值练习13.已知等差数列中, 则使前项和取得最小值的值为（）A.7B.8C.7或8D.6或7练习14.数列满足, 则使得其前项和取得最大值的等于（）A.4B.5C.6D.71.四个数成等差数列, S4＝32, a2a3＝13, 则公差d 等于( )A. 8B. 16C. 4D. 02.设{an}是等差数列，Sn 为其前n 项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( )A. d<0B. a7＝0C. S9>S5D. S6与S7均为Sn 的最大值.3.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn 是等差数列{an}的前n 项和，则使得Sn 达到最大值的n 是( )A. 21B. 20C. 19D. 184.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011005.在等差数列{an}中, 若S12＝8S4, 且d ≠0, 则等于( )A. B. C. 2 D.6.设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a1＝1，公差d ＝2，Sk ＋2－Sk ＝24，则k ＝( )A. 8B. 7C. 6D. 57.(2014·福建理，3)等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A. 8B. 10C. 12D. 14_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知am－1＋am＋1－a＝0, S2m－1＝38, 则m＝( )A. 38B. 20C. 10D. 92.数列{an}是等差数列, a1＋a2＋a3＝－24, a18＋a19＋a20＝78, 则此数列的前20项和等于( )A. 160B. 180C. 200D. 2203.等差数列{an}的公差为d, 前n项和为Sn, 当首项a1和d变化时, a2＋a8＋a11是一个定值, 则下列各数中也为定值的是( )A. S7B. S8C. S13D. S154.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )A. 5B. 4C. 3D. 25.在等差数列{an}中, a1＞0, d＝, an＝3, Sn＝, 则a1＝________, n＝________.6.设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和, 且a1＝1, a4＝7, 则S5＝________.7.设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为________.8.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0, a7＋a10<0, 则当n＝________时, {an}的前n项和最大.9.已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和.10.设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.(1)求通项a n；(2)若Sn＝242, 求n的值.能力提升11.在等差数列{an}和{bn}中, a1＝25, b1＝15, a100＋b100＝139, 则数列{an＋bn}的前100项的和为( )A. 0B. 4 475C. 8 950D. 10 00012.等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A. a8B. a9C. a10D. a1113.一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A. 12B. 16C. 9D. 16或914.已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( )A. 24B. 26C. 27D. 2815.设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，S3＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )A. －6B. －4C. －2D. 216.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若＝，则等于( )A.310B.13C.18D.1917.已知等差数列{an}的前n 项和为Sn, 若＝a1＋a200, 且A.B.C 三点共线(该直线不过点O), 则S200＝( )A. 100B. 101C. 200D. 20118.已知等差数列{an}的前n 项和为18, 若S3＝1, an ＋an －1＋an －2＝3, 则n ＝________.19.已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－8，则通项公式an ＝________.20.设{an}是递减的等差数列, 前三项的和是15, 前三项的积是105, 当该数列的前n 项和最大时, n 等于( )A. 4B. 5C. 6D. 721.等差数列{an}中, d<0, 若|a3|＝|a9|, 则数列{an}的前n 项和取最大值时, n 的值为______________.22.设等差数列的前n 项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1, S2, …, S12中哪一个值最大, 并说明理由.23.已知等差数列{an}中, a1＝1, a3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{an}的前k 项和Sk ＝－35, 求k 的值.24.在等差数列{an}中:(1)已知a5＋a10＝58, a4＋a9＝50, 求S10；(2)已知S7＝42, Sn ＝510, an －3＝45, 求n.25.已知等差数列{an}的前n 项和Sn ＝－n2＋n, 求数列{|an|}的前n 项和Tn.课程顾问签字： 教学主管签字：。
数列.版块二.等差数列-等差数列的通项公式与求和.学生版
【例1】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a >，80a <，则下列结论正确的是（ ）A ．78S S <B ．1516S S <C ．130S >D ．150S >【例2】 数列{}n a 的前n 项和2(1)n S n n =≥，求它的通项公式．【例3】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.【例4】 数列{}n a 的前n 项和24n S n n =-，则1210||||||a a a +++= _______.【例5】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且1284S =，20460S =，求28S .【例6】 设等差数列的前n 项的和为n S ，且416S =，864S =，求12S .典例分析等差数列的通项公式与求和【例7】 有两个等差数列{}n a ，{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对n +∈N 有7223n n S n T n +=+成立，求55a b ．【例8】 在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++ 的表达式.【例9】 等差数列{}n a 的前m 项和m S 为30，前2m 项和2m S 为100，则它的前3m 项和3mS 为_______．【例10】 等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】 已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中*n ∈N ．⑴ 设函数()y f x =的图象的顶点的横坐标构成数列{}n a ，求证：数列{}n a 为等差数列；⑵ 设函数()y f x =的图象的顶点到y 轴的距离构成数列{}n d ，求数列{}n d 的前n 项和n S ．【例12】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项及公差．【例13】 设等差数列{}n a 的公差为d ,10a >，且9100,0S S ><，求当n S 取得最大值时n 的值．【例14】 已知等差数列{}n a 中，150a =，2d =-，0n S =，则n =（ ）A ．48B ．49C ．50D ．51【例15】 已知{}n a 是等差数列，且253,9a a ==，11n n n b a a +=，求数列{}n a 的通项公式及{}n b 的前n 项和n S ．【例16】 在各项均不为0的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --等于（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．2【例17】 设数列{}n a 满足1a 6=，24a =，33a =，且数列{}1n n a a +-()n *∈N 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式．【例18】 已知22()2(1)57f x x n x n n =-+++-，⑴ 设()f x 的图象的顶点的纵坐标构成数列{}n a ，求证{}n a 为等差数列． ⑵ 设()f x 的图象的顶点到x 轴的距离构成{}n b ，求{}n b 的前n 项和．【例19】 已知数列{}n a 是等差数列，其前项和为n S ，347,24a S ==．⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 设,p q 是正整数，且p q ≠，证明221()2p q p q S S S +<+．【例20】 在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为前n 项和，⑴求使0n S <的最小的正整数n ； ⑵求123n n T a a a a =++++ 的表达式.【例21】 有固定项的数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是79．⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】 已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，123n a a a a ⋅⋅⋅，，，，成等差数列(n 为正偶数)．又2(1)f n =，(1)f n -=-，⑴求数列的通项n a ；⑵试比较12f ⎛⎫⎪⎝⎭与3的大小，并说明理由．【例23】 设1a ，d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150S S +=则d 的取值范围是 ．【例24】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111a =-，466a a +=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【例25】 在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a = ．【例26】 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且1a ，2a ，3a 成等比数列．⑴求数列{}n a 的通项； ⑵求数列{}2n a 的前n 项和n S ．【例27】 已知数列{}n a 满足10a =，22a =，且对任意m ，n *∈N 都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求3a ，5a ；⑵设2121n n n b a a +-=-()n *∈N 证明：{}n b 是等差数列；⑶设12121()n n n n c a a q -+-=-(0)q n *∈N ≠，，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【例28】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30【例29】 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S -=，则数列{}n a 的公差是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．3【例30】 若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ）A B ．C ．D ．【例31】 已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-【例32】 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <-成立的最小自然数n 等于（ ）A ．83B ．82C ．81D ．80【例33】 等差数列{}n a 中，35a =-，61a =，此数列的通项公式为 ，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则8S 等于 ．【例34】 设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成：①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数） ⑴在只有5项的有限数列{}n a ，{}n b 中，其中11a =，22a =，33a =，44a =，55a =， 11b =，24b =，35b =，44b =，51b =；试判断数列{}n a ，{}n b 是否为集合W 的元素；⑵设{}n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，34c =，18n S =证明数列{}n S W ∈；并写出M 的取值范围；⑶设数列{}n d W ∈，且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使k d M =． 求证：123k k k d d d +++>>．【例35】 已知数列{}n a 满足：10a =，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,n = ．⑴求345,,a a a 的值；⑵设121n n b a -=+，1,2,3,n = ，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的2m ≥，*m ∈N ，在数列{}n a 中是否存在连续的2m 项构成等差数列？若存在，写出这2m 项，并证明这2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由．。
四年级第16讲-等差数列(三)-学生版
等差数列（三）
知识纵横
等差数列中求公差的公式：公差=(末项-首项)÷(项数-1)
字母公式：d=(a n - a1)÷(n -1)
等差数列中末项的公式：末项=首项+(项数-1)×公差
字母公式：a n= a1+ （n -1）⨯d
等差数列中项定理：和=中间项×项数。
例 1
图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律叠放下去，第17个叠放的图形中，小正方体木块一共有多少个？
图1 图2 图3
试一试 1
有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算作第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，……，这个六边形点阵共 21层。
问：这个点阵共有多少个点？
例 2
木木练习口算，她将从1开始的连续自然数求和，当计算到某个数时，和是444，但她重复计算了其中一个数。
那么木木重复计算了哪个数？
试一试 2
乐乐将从1开始的连续自然数求和，当计算到某个数时，和是220，但他少计算了其中的一个数。
乐乐少计算的那个数是多少？
例 3
编号为1~7的七个盒子中共放有91个珠子，已知从2号盒子开始，每个盒子都比前一号盒子多放同样数量的珠子。
如果1号盒子放4个珠子，那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个珠子？
试一试 3
小杜读一本故事书，第一天读了5页，第五天读了17页，已知每天读的页数恰好构成一个等差数列，十天刚好把书读完。
那么这本故事书共有多少页？
例 4
有15个数构成等差数列，从小到大排成一行，中间的数是13。
前12个数的和比后3个数的和多45。
那么最后一个数是多少？。
等差数列的前n项和性质(学生版)
4.2.3等差数列的前n项和性质性质1、已知S n=2n2+3n，则a n={S1 (n=1)S n−S n−1 (n≥2)=______________,于是{a n}是以______为首项，______为公差的等差数列。
已知S n=2n2+3n+1，则a n=_________________，此时{a n}不是等差数列，因为它的前三项是___________________.已知S n=an2+bn，则a n=_________________,于是{a n}是以______为首项，______为公差的等差数列。
性质2、因为S n=a1+a2+a3+⋯a n,所以加上一个正数，S n会增大，加上一个负数，S n会减小。
那么就有：已知{a n}为等差数列，公差为d，则①若a1>0，d>0.则a n均_____0，此时S n单调递________;②若a1>0，d<0.则a n先_____0再______0，此时S n先单调递________再单调递______;且当第m项满足{a m≥0a m+1≤0时，S n有最大值S m.③若a1<0，d<0.则a n均_____0，此时S n单调递________;④若a1<0，d>0.则a n先_____0再______0，此时S n先单调递________再单调递______;且当第m项满足{a m________0a m+1_____0时，S n有最小值S m.【小有所成】例1、某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.例2、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=10，公差d=−2，则S n是否存在最大值？若存在，求S n的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.【驾轻就熟】1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2. 已知数列{a n}的前n项和S n=14n2+23n+3．求这个数列的通项公式．3. 已知等差数列−4.2，−3.7，−3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值．4. 求集合M={m|m=2n−1,n∈N∗，且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和．5. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15，前n项和为S n．求S n取得最小值时n的值．。
等差数列-学生版
等差数列㈠求等差数列的通项公式1、已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11，a 8=5，则a n =__________．2、已知{a n }是等差数列，a 5=10，d =3，求a 10.3、已知{a n }是等差数列，a 5=10，a 12=31，求a 20，a n .4、等差数列2，5，8，…，107共有多少项？5、在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列.6、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．7、设数列{a n }是等差数列,a p =q,a q =p(p ≠q),求a p+q .8、两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？㈡等差数列的判断1、已知数列{a n }的通项公式为a n =pn+q,其中p 、q 为常数,且p≠0,问这个数列一定是等差数列吗？2、数列{a n }的通项公式a n =2n+5,则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列 3、在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1则a 101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52㈢等差数列的性质1、等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=9,则a 10+a 11+a 12=______________.2、等差数列{a n }中,已知a 2+a 3+a 10+a 11=36,则a 5+a 8=___________________.3、已知等差数列{a n }中,a 5+a 6+a 7=15,a 5·a 6·a 7=45,求数列{a n }的通项公式.4、设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-375、已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m-n|的值为 A.1B.43C.21D.83㈣等差数列的前n 项和1、求下列数列的和(1)1+2+3+…+n ； (2)1+3+5+…+(2n -1)；(3)2+4+6+…+2n ； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n .2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？3、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？4、在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） Ａ．90 Ｂ．100 Ｃ．180 Ｄ．2005、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（ ） A .90 B.－90 C.110 .D －1106、在等差数列{a n }中,S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是（ ）A.7B.8C.9D.10 7、若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和为390，则这个数列的项数是 （ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 8、在等差数列{}n a 中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（ ）A ．27 B.28 C.29 D.309、已知一个等差数列的前四项和为21,末四项之和为67,前n 项和为286,则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.2810、已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,其前n 项和为S n ,则该数列{nS n }的前10项的和为（ ）A.120B.70C.75D.100 11、在等差数列中，154567405S S =-=，，则30S =（ ）Ａ．68 Ｂ．189 Ｃ．78 Ｄ．12912、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．26013、等差数列的前m 项和是25，前2m 项和是100，则前3m 项和是 。
人教版高中数学必修五第4讲：等差数列的概念、性质(学生版)
人教版高中数学 等差数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于___________，那么这个数列就叫做___________，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为_________________或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则________________3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n =A.669B.673C.662D.663 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n =A.669B.668C.662D.663例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-5 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==- 其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n a 的通项公式练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a = （1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （）A.24B.22C.20D.18练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（） A.0 B.1 C.2 D.1或2练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1） 求1b 和2b（2） 求{}n b 的通项公式（3）{}n b中的第503项是{}n a的第几项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．102.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．523. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．354. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0 5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．216. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．142.若数列{a n}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24 B．27 C．30 D．333.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15 B．30 C．31 D．64 4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100 B．120 C．140 D．1605.已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.126. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.7. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 8. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．179. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________.10. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________．11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤32513. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( ) A ．48 B ．49 C ．50 D ．5114. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( ) A ．0 B.12 C.23D ．－1 15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( ) A.32 B.23 C.43 D.3416. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．17. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( )A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个不等实根D ．不能确定有无实根 18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －119. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________.20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．21. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________.22. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项；(3)从第几项开始出现负数？(4)在区间(－31,0)中有几项？23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？24. 已知函数f (x )＝3x x ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n}是等差数列； (2)当x 1＝12时，求x 100的值． 25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．。
中学数学数列.版块二.等差数列-等差数列的定义.学生版
【例1】 判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？【例2】 若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（ ）A ．19B ．21C ．37D ．41【例3】 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．【例4】 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75【例5】 在等差数列{}n a 中，533a =，45153a =，则201是该数列的第（ ）项A ．60B ．61C ．62D ．63【例6】 在等差数列{}n a 中，47a =，1121a =，则它的首项1a =_______，前n 项和n S =_______．典例分析等差数列的定义【例7】 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【例8】 ⑴ 在等差数列{}n a 的公差为d ，第m 项为m a ，求其第n 项n a ．⑵ 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==，①求通项n a ；②若242n S =，求n .⑵ 设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2329,S S =424S S =，求数列{}n a 的通项公式．【例9】 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，求证1{}na 是等差数列，并求通项n a ．【例10】 等差数列{}n a 中, 25a =，633a =，则35a a +=______________．【例11】 设数列1a ，2a ，…n a …中的每一项都不为0．证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=．【例12】 已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）A ．35B ．33C ．31D ．29【例13】 证明以下命题：⑴ 对任一正整数a ，都存在正整数b ，c ()b c <使得2a ，2b ，2c 成等差数列；⑵存在无穷多个互不相等的三角形n △，其边长n a ，n b ，n c ，为正整数，且2n a ，2n b ，2n c 成等差数列．【例14】 如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127a a a +++=A ．14B ．21C ．28D ．35古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
六年级奥数-数列与数表(学生版)
第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。
例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
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等差数列导引：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项练习：1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？练习：1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。
2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。
练习：1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
2、计算5+10+15+20+⋯ +190+195+200的和。
3、计算100+99+98+…+61+60的和例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)练习：1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99)3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。
练习：1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
3、在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?例题6小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。
这本书共有多少页？练习：1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。
文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。
这批零件共有多少个？例题7 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
练习：1、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。
一共有多少根圆木？2、用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?3、用相同的小立方体摆成如图所示的形状,如果共摆成10层,那么最下面有多少个小立方体?例题8 有50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?练习：1、有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?2、有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了?3、一辆公共汽车有66个座位,空车出发后,第一站上一位乘客,第二站上两位乘客,第三站上三位乘客,依次类推,第几站后,车上坐满乘客?例题9四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？练习：1、学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？一共握了多少次手？3、一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。
如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？作业（一）1. 把一堆苹果分给8个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的话,这堆苹果至少应该有几个?2. 图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面一层放60支铅笔.问一共有多少支铅笔?3. 全部两位数的和是多少?4+3,5+6,6+9,7+12,…5. 若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果共有304人,最外圈有几人?6. 在1~100这一百个自然数中所有不能被11整除的奇数的和是多少?7. 在2949,2950,2951,…2997,2998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?8. 求一切除以4后余1的两位数的和?9. 一个剧场设置了20排座位,第一排有38个座位,往后每一排都比前一排多2个座位.这个剧场一共设置了多少个座位?10. 小明和小刚赛跑,限定时间为10秒,谁跑的距离长谁胜.小刚第一秒跑了1米,以后每秒都比前面一秒多跑0.1米;小明从始至终每秒都跑1.5米.问两人谁能取胜?11. 若干个同样的盒子排成一排,小明把50多个同样的棋子分装在盒中,其中只有一个盒子没有装棋子.然后他外出了,小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内,再把盒子重新排列了一下.小明回来仔细查看了一番,没有发现有人动过这些盒子和棋子.问共有多少个盒子?12. 小刚计算从1开始若干个连续自然数的和,结果误把1当成10来算,得错误结果恰为100.你能帮助小刚纠正错误吗?小刚算的是哪些自然数的和?13. 有10只盒子,44只乒乓球,能不能把44只乒乓球放到盒子中去,使各盒子里的乒乓球数不相等?14. 一个正三角形ABC,每边长1米,在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点,然后从这些点出发作两条直线,分别和其他两边平行(如图).这些平行线相截在三角形ABC中得到许多边长为2厘米的正三角形.求边长为2厘米的正三角形的个数.作业（二）1. 求193+187+181+…+103的值.2. 某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?3. 全部三位数的和是多少?4. 在1949,1950,1951,…1997,1998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?5. 某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有多少个座位?6. 小明从一月一日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数量的大字,结果全月共写589个大字,小明每天比前一天多写几个大字?7. 九个连续偶数的和比其中最小的数多232,这九个数中最大的数是多少?8. 39个连续奇数的和是1989,其中最大的一个奇数是多少?9. 在1~200这二百个数中能被9整除的数的和是多少?10. 在1~100这一百个自然数中所有不能被9整除的奇数的和是多少?11.若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果最内圈有32人,共有多少?12. 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,求从第一个起到1993个数这1993个数之和.13. 学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场,一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?14. 跳棋棋盘上一共有多少个棋孔?拓展：1、如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61图1-12、计算：1000+999-998-997+996+995-994-993+……+108+107-106-105+104+193-102-101。
3、计算：（1+3+5+……+1989）-（2+4+6+……+1988）。
4、利用公式l×l+2×2+……+n×n＝n×（n+1）×（2×n+1）÷6计算：15×15+16×16+……+21×21。
5、计算：20×20-19×19+18×18-17×17+……+2×2-1×1。
6、计算：3333×5555+6×4444×2222。
7、计算：19931993×2×2。
8、两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?9、我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数。
已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？10、求和：l×2+2×3+3×4+……+9×10。
11、计算：1×1+2×1×2+3×1×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3×4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8。
12、在两个数之间写上一个▽，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13▽5=3，6▽2=0．试计算：（2000▽49）▽9．13、羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。
所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼。
以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼。
这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊和狼，可以用上面规定的运算作混合运算。
混合运算的法则是从左到右，括号内先算，运算结果或是羊，或是狼。