第五章 一元函数微积分的应用(完整资料).doc
一元函数积分学及其应用.ppt
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
一元函数积分法及其应用
第五章 .一元函数积分法及其应用原函数和不定积分。
不定积分的性质。
前面我们主若是谈论导函数的看法，即对于一个连续函数，求出它的导函数，就意味着描述了这个连续函数在每一点的变化率随着自变量而变化的规律。
反过来，这个规律可否是可是描述了一个特定函数的变化率呢？依照变化率的定义，显然所有与原来的函数在Y 轴方向上平行的函数都拥有同样的变化率变化规律，这实质上就意味着，一个导函数同时描述了一束沿着 Y 轴方向相互平行的函数的变化率的变化规律。
这一束函数的解析式相差一个常数。
我们也能够这么说，即相差任意一个常数的函数拥有同样的导函数。
这样我们就获得了一个对应关系，即对于在区间I 上连续的一束函数F（x）+c（ c 为任意常数），对应着一个唯一的函数 f （ x），满足d ( F ( x)c)dx f ( x)，或d (F ( x) c) f ( x)dx 。
换一种看法，上面的过程也能够看作是一种对于函数F（ x）的运算，即微分的运算，获得函数 F（ x）+c 的微分，那么反过来，也存在一个作用于函数 f （ x）的逆运算过程，得到函数 F（ x） +c 自己，这种逆运算就是积分，也许说不定积分，写成d ( F ( x) c) f ( x)dx F ( x) c 。
这里，相对地，我们就把被积函数f（ x）称为原函数F（ x）+c 的导函数，而把原函数F（ x） +c 称为被积函数 f （ x）的不定积分。
因此我们能够把不定积分理解为微分的逆运算，只但是是一种一对多的关系，即一个被积函数对应于无量多个相差为任意常数的原函数。
在这种意义之下，我们就可以很简单地理解下面的表达式：F ' (x)dx F ( x) c ；d ( f (x)dx) f ( x)dx ；( f (x)dx)' f (x) 。
希望同学们多加领悟这些表面看来很绕的表达式，深切领悟不定积分的逆运算含义。
这里特别需要注意的是在这两种互为逆运算的运算作用之下，函数性态的变化，下面是几点注意事项：（ 1）（ 1）由于我们主若是谈论初等函数，而初等函数在其定义域上总是连续的，这里特别需要记住的是，连续不是可导或可微的充分条件，而可是必要条件，可导的条件更强，即还要求函数在定义域上每一点处的左右导数都存在，而且相等。
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.3.1) 凸函数
一元微积分与数学分析—凸函数梅加强南京大学数学系导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.定义1(凸函数)设f为区间I中定义的函数.如果任给a=b∈I以及t∈(0,1),均有fta+(1−t)b≤tf(a)+(1−t)f(b),(1)则称f为I中的凸函数,不等号反向时称为凹函数.不等号为严格小于号时称为严格凸函数,不等号为严格大于号时称为严格凹函数.凸性的几何含义yf(x)ℓ(x)a bO x图1:凸函数注1凸函数的几何形象是很直观的:它的图像总是位于满足同样边界条件的线性函数图像的下方.事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)命题1设f为区间I中定义的函数,我们有(1)如果f二阶可导且二阶导数处处非负,则f为凸函数.(2)反之,如果f为凸函数且在I的内点x0处二阶可导,则f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.Y oung不等式回顾.指数函数e x的二阶导数恒正,因此为(严格)凸函数.当a,b>0,p,q>1且1/p+1/q=1时,有ab=e1p ln a p+1q ln b q≤1pe ln a p+1qe ln b q=a pp+b qq.Jensen不等式定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)证明.对n用数学归纳法.n=1是显然的,n=2由凸函数定义直接得到.假设不等式(3)对n=k成立.当n=k+1时,不妨设0<λk+1<1,此时k i=1λi1−λk+1=1.证明(续).由归纳假设,有fk+1i=1λi x i=f(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1x i+λk+1x k+1≤(1−λk+1)fki=1λi1−λk+1x i+λk+1f(x k+1)≤(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1f(x i)+λk+1f(x k+1) =k+1i=1λi f(x i).这说明不等式对n=k+1也成立,从而定理得证.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.证明.考虑函数f(x)=−ln x(x>0).由f (x)=x−2>0可知f为(严格)凸函数.根据Jensen不等式,当a1,···,a n>0时−ln(p1a1+···+p n a n)≤−(p1ln a1+p2ln a2+···+p n ln a n),即p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.当p i都等于1/n时就重新得到了算术–几何平均值不等式.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.O c|x−c|图2:绝对值函数的凸性下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.P =(c,d )a b O xy 图3:中线长度与距离函数的凸性。
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
高等数学微积分 第五章 一元函数积分学(版本2)
例6 求 tan x 2 xdx.
解
tan x 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dx tan x x c
例7 求
dx . 2 2 sin x cos x
解
dx sin 2 x cos 2 x dx 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
定义1 设函数F (x)与f ( x)定义在同一区间内,并且对该区间 内任一点,都有F '(x) f (x)或dF (x) f ( x)dx.那么函数F ( x)就称 为函数f ( x)在该区间内的原函数. 定理1 (原函数族定理) 如果函数f ( x)在某区间内有一个原函 数F ( x),那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数, 并且原函数的全体由形如F (x) c的函数组成(其中c是任意常数).
2 2
一般地，若不定积分被积表达式能写成
恒等变形 g ( x)dx
f ( x) '( x)dx f ( x) d ( x) f (u )du F (u ) c g ( x)dx F ( x) c
1 dx. 2 2 a x 1 1 1 1 1 x dx 2 dx d 解 2 a a2 x2 a x2 x a 1 2 1 a a 1 x arctan c. a a 例4 求
类似地, 可以得到
x dx arcsin c. a a2 x2
(9) sin xdx cos x c;
2
一元函数微分学的应用88页PPT
二、洛必达法则
把 两 个 无 穷 小 量 之 比 或 两 个 无 穷 大 量 之 比 的 极 限
称 为 0型 或 型 不 定 式 (也 称 为 0型 或 型 未 定 型 )
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
的 极 限 ,洛 必 达 法 则 就 是 以 导 数 为 工 具 求 不 定 式 的 极 限
x
1 lx i11 m 1 x l n x ln x lx i1x m 1 2x 1 x1 2.
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
( 1 )每 次 使 用 法 则 前 ， 必 须 检 验 是 否 属 于 0 或 0
未 定 型 ， 若 不 是 未 定 型 ， 就 不 能 使 用 该 法 则 ；
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
第四章 一元函数微分学的应用
第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则
(2) 如 果 有 可 约 因 子 ， 或 有 非 零 极 限 值 的 乘 积 因 子 ， 则 可 先 约 去 或 提 出 ， 以 简 化 演 算 步 骤 ；
( 3 )当 lifm ( x 不 存 )在 ( 不 包 括 的 情 况 ) 时 ， 并 不 g (x)
能 断 定 lifm (也 x 不 ) 存 在 ， 此 时 应 使 用 其 他 方 法 求 极 限 ． g(x)
π a rc ta n x
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【最新整理，下载后即可编辑】第五章 一元微积分的应用 5.1 函数图象的几何性质一 基本概念定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ∀∈有0()()f x f x <（0()()f x f x >），则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）．（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值．定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++<1212()()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（1）则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）．公式（1）可以改写为：1212()()()f x x f x f x αβαβ+<+1212()()()f x x f x f x αβαβ+>+（2）其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=．定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点；定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。
注1 极值点和最值点的区别和联系：（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点．注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =．二 基本方法 1 求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：（1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值；在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点．在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点．（2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===，而()0()0n f x ≠，则(a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点；(b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点．2 求函数()y f x =的单调区间（1）求函数()f x 的定义域；（2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点；（3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间．3 求函数()y f x =在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值：具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，则函数()y f x =在[,]a b 的最大值与最小值分别为12max{(),(),,(),(),()}n M f x f x f x f a f b =；12min{(),(),,(),(),()}n m f x f x f x f a f b =。
特别的，求函数()y f x =在开区间(,)a b 上的最值： 具体方法：求函数()f x 在(,)a b 上的一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x ，（1）若12max{(),(),...,()}max{(),()}n f x f x f x f a f b ≥或max{lim (),lim ()}x a x b f x f x →→ 则()f x 在(,)a b 上存在最大值，最大值就是12max{(),(),...,()}n f x f x f x（2）若12min{(),(),...,()}min{(),()}n f x f x f x f a f b ≤或min{lim (),lim ()}x ax bf x f x →→则()f x 在(,)a b 上存在最小值，最小值就是12min{(),(),...,()}n f x f x f x否则，不存在最值．4 求凹凸区间和拐点具体方法：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求二阶导数()f x ''等于零的点和二阶导数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断二阶导函数()f x ''在每个区间的符号，从而得到凹凸区间和拐点．5 求曲线的渐近线（1）水平渐近线：lim ()x f x a →∞=，lim ()x f x a →+∞=或lim ()x f x a →-∞=，则y a =是水平渐近线．（2）铅直渐近线：0lim ()x xf x a →=，0lim ()x x f x a +→=或0lim ()x x f x a -→=，则x a=是铅（垂）直渐近线． （3）斜渐近线：若()limx f x k x→∞=，lim[()]x b f x kx →∞=-，则y kx b =+是斜渐近线．6 函数在区间上的平均值函数()f x 在闭区间[,]a b 上的平均值：1()d bay f x x b a =-⎰ 例1 已知32()f x x ax bx =++在1x =处有极值2-，求a ，b ，并求()y f x =所有极大值、极小值和拐点。
解 根据已知有(1)12f a b =++=-，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-。
从而函数解析式为3()3f x x x =-。
求导22()333(1)f x x x '=-=-，令()0f x '=，解得稳定点为1x =±，()6f x x ''=，于是(1)60f ''=>，(1)60f ''-=-<。
所以1x =±分别是极小值点和极大值点，极小值为(1)2f =-，极大值为(1)2f -=。
由于()6f x x ''=，令()0f x ''=，则0x =，由于()60f x '''=≠，所以(0,0)是拐点。
例2 求曲线ln y x =的一条切线，使得曲线、切线与1x =，2e x =所围成的图形面积最小。
解 设曲线ln y x =上的点(,ln )a a 的切线方程是1ln ()y a x a a=+-。
则由ln y x =，1ln ()y a x a a=+-，1x =和2e x =所围成的图形的面积为2e 11()[ln ()ln ]d S a a x a x x a=+--⎰2222e e 1111ln (e 1)()(ln )2a x ax x x x a =⋅-+---2221e (e 1)(ln 1)e 12a a+=-+---。
对a 求导，得到22211e ()(e 1)()2S a a a +'=--，令()0S a '=，解得201(1e )2a =+。
而2220232211e 1()(e 1)()40(1e )e S a a a +-''=--+=>+所以()S a 在0a a =处取极小值，即最小值。
于是所求切线方程为0001ln ()y a x a a -=-，即 221e 2ln 121e y x +-=-+。
例3 函数()f x 对一切实数x满足微分方程()3[()]1e x xf x x f x -'''+=-(1) 若函数()f x 在点(0)x c c =≠有极值，证明它是极小值；(2) 若函数()f x 在点0x =有极值，它是极大值还是极小值？ 解 （1）因为()f x 在点(0)x c c =≠有极值，所以()0f c '=，将x c =代入方程中，得到()3[()]1e c cf c c f c -'''+=-因此1e ()0cf c c-''=>，所以()f c 是()f x 的极小值．（2） 因为()f x 具有二阶导函数，()f x 在0x =有极值，所以(0)0f '=，0lim ()0x f x →'= 000()(0)()(0)limlim lim ()0x x x f x f f x f f x x x→→→''-''''===- 201e lim 3[()]10x x f x x -→⎧⎫-'=-=>⎨⎬⎩⎭． (0)f 是函数()f x 的极小值．例4 函数220()2()d xf x a t a t =-+-⎰(02)a ≤≤，求（1）()f x 的极大值M 用a 表示出来；（2） 将（1）中的M 看作a 函数，求M 的最值．解（1）因为22()f x x a '=-，()2f x x ''=．令()0f x '=，得到稳定点x a =±，而()20f a a ''-=-<，于是x a =-是极大值点，极大值22302()2()d 23aM f a a t a t a a -=-=-+-=-+⎰． （2）由于2d 22d M a a ==-+，令d 0d Ma=，解得在区间[0,2]稳定点是1a =，所以{}max 444max (0),(1),(2)max 0,,333M M M M ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭；{}min 444min (0),(1),(2)min 0,,333M M M M ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭．例5 设对任意实数x 有()[()1]f x x f x ''-=-，且(0)0f =，求()f x的极值．解 首先求函数()f x 的解析式．依题意有()[()1]f x x f x ''-=-，()[()1]f x x f x ''=---解方程组，得到22()1x xf x x +'=+．所以2221()ln(1)arctan 12x x f x dx x x x C x +==++-++⎰，由于(0)0f =，所以0C =，于是21()ln(1)arctan 2f x x x x =++-．令()0f x '=，解得120,1x x ==-，而22221()(1)x x f x x -++''=+，所以(0)10f ''=>，1(1)02f ''-=-<，所以(0)0f =是极小值，1(1)ln 2124f π-=+-为极大值．练习 5.11．在数列中，求出最大一个数．（最大数：1()(0)xf x x x =>的最大值）2．求函数20()(2)e d x t f x t t -=-⎰的最大值和最小值 （最大值：21e f -=+，最小值 (0)0f = ）3．求函数1220()d f x x t t =-⎰，0x >的最大值和最小值（最小值：11()24f =，无最大值 ）3．求曲线ln y x =在[2,6]内一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =，和曲线ln y x = 所围成的图形面积的最小值．3 答案：112ln 24y x =-+ 5．求方程3222221y y xy x -+-=所确定的函数()y x 的极值。