0-1整数规划
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0-1规划
0-1规划0-1规划是决策变量仅取值0或1的一类特殊的整数规划。
在处理经济管理中某些规划问题时，若决策变量采用 0-1变量即逻辑变量，可把本来需要分别各种情况加以讨论的问题统一在一个问题中讨论。
目录简介应用范围隐枚举法简介应用范围隐枚举法展开简介0-1规划0-1 Programming一种特殊形式的整数规划。
这种规划的决策变量仅取值0或1，故称为0-1变量或二进制变量，因为一个非负整数都可以用二进制记数法用若干个0-1变量表示。
0-1变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件，因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计、工厂选址、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的多种问题。
实际上，凡是有界变量的整数规划都可以转化为0-1规划来处理。
由于0-1规划具有深刻的背景和广泛的应用，几十年来一直受到人们的重视。
求解0-1规划的方法主要是隐枚举法（如分枝定界法）。
对一些特殊问题还有一些更加有效的方法，例如对指派问题，用D.柯尼希发明的匈牙利法求解更显方便有效。
应用范围0-1规划主要用于求解互斥的计划问题、约束条件互斥问题、固定费用问题和分派问题等方面。
互斥计划问题如确定投资项目，选定投资场所，决定投产产品等。
设有几种产品，各产品投产后获得的利润为c j，投资限额为B，规定决策变量xj的取值为1则此0-1规划的数学模型为23式中max表示求极大值；s.t.表示“受约束于”；z是目标函数；aj是各种产品的投资额。
约束条件互斥问题设有m个互相排斥的约束条件（≤型）ai1x1＋ai2x2＋…＋ainxn≤bi(i＝1，2，…，m)为了保证这m个约束条件中只有一个起作用,引入m个0-1变量y i和一个足够大的常数M，构造m＋1个约束条件ai1x1＋ai2x2＋…＋ainxn≤bi＋yiMy1＋y2＋…＋ym＝m－1因为m个yi中只有一个能取0值，所以只有一个约束条件能起作用。
第四讲 0-1整数线性规划
枚举法： 检验可行解： 32次运算 计算目标 函数值：8次
√ √
√ √
√ √
√ √
Z≥0 Z≥5
（1 0 0） 3 （ 1 0 1） 1
（ 1 1 0） 8 （ 0 1 1） 3 （ 1 1 1） 6
× √ √ √ √
最优解： x1 1 ，x2 1 ，x3 1 最优值 Z 6
三
指派问题
1 投资第i个项目 xi 0 不投资第i个项目
1 3 4 5 210 100 130 260 150 60 80 180
2
300
210
Z表示投资效益
投资项目模型： 例1 （投资问题）华美公司有5个项目被列入投资计 划，每个项目的投资额和期望的投资收益见下表： max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 该公司只有 600 万资金可用于投资，由于技术上的 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 600 210 x1 x1 x2 x3 1 原因，投资受到以下约束： s.t x1 x4 1 1、2和3中必须有一项被选中 3 、在项目 x2 x1 5 、项目 3和4只能选中一项 i 1,2,,5 x3 i 0,1 、项目5被选中的前提是项目1被选中;如何 在 满足上述条件下选择一个最好的投资 项目 投资额 投资收益 （万元） （万元） 方 案，使投资收益最大 解：设 xi为决策变量（ i 1,2,,5)
当n=4时， 有16变量， 8个约束方程
练习2：现有4份工作，4个人应聘，由于各 Z表示总费用 人技术专长不同，他们承担各项工作所 max Z 3x11 5x12 4 x13 5x14 需费用如下表所示，且规定每人只能做 6 x21 7 x22 6 x23 8x24 一项工作，每一项工作只能由一人承担， 8x31 9 x32 8x33 10 x34 试求使总费用最小的分派方案。 10 x41 10 x42 9 x43 11x44 工作 1 2 3 4 x11 x12 x13 x14 1 人 x21 x22 x23 x24 1 1 3 5 4 5 6 7 6 8 2 x31 x32 x33 x34 1 8 9 8 10 3 x41 x42 x43 x44 1 10 10 9 11 x x x x 1 4 21 31 41 11 s.t x12 x22 x32 x42 1 解： 第i人做第j 件事 xij 1 0 x13 x23 x33 x43 1 x14 x24 x34 x44 1 第i人不做第j 件事 xij 0,1 i=1,2, 3,4; i 1,2, , n j=1,2, 3,4 j 1,2, , n
√ √
√ √
√ √
√ √
Z≥0 Z≥5
（1 0 0） 3 （ 1 0 1） 1
（ 1 1 0） 8 （ 0 1 1） 3 （ 1 1 1） 6
× √ √ √ √
最优解： x1 1 ，x2 1 ，x3 1 最优值 Z 6
三
指派问题
1 投资第i个项目 xi 0 不投资第i个项目
1 3 4 5 210 100 130 260 150 60 80 180
2
300
210
Z表示投资效益
投资项目模型： 例1 （投资问题）华美公司有5个项目被列入投资计 划，每个项目的投资额和期望的投资收益见下表： max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 该公司只有 600 万资金可用于投资，由于技术上的 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 600 210 x1 x1 x2 x3 1 原因，投资受到以下约束： s.t x1 x4 1 1、2和3中必须有一项被选中 3 、在项目 x2 x1 5 、项目 3和4只能选中一项 i 1,2,,5 x3 i 0,1 、项目5被选中的前提是项目1被选中;如何 在 满足上述条件下选择一个最好的投资 项目 投资额 投资收益 （万元） （万元） 方 案，使投资收益最大 解：设 xi为决策变量（ i 1,2,,5)
当n=4时， 有16变量， 8个约束方程
练习2：现有4份工作，4个人应聘，由于各 Z表示总费用 人技术专长不同，他们承担各项工作所 max Z 3x11 5x12 4 x13 5x14 需费用如下表所示，且规定每人只能做 6 x21 7 x22 6 x23 8x24 一项工作，每一项工作只能由一人承担， 8x31 9 x32 8x33 10 x34 试求使总费用最小的分派方案。 10 x41 10 x42 9 x43 11x44 工作 1 2 3 4 x11 x12 x13 x14 1 人 x21 x22 x23 x24 1 1 3 5 4 5 6 7 6 8 2 x31 x32 x33 x34 1 8 9 8 10 3 x41 x42 x43 x44 1 10 10 9 11 x x x x 1 4 21 31 41 11 s.t x12 x22 x32 x42 1 解： 第i人做第j 件事 xij 1 0 x13 x23 x33 x43 1 x14 x24 x34 x44 1 第i人不做第j 件事 xij 0,1 i=1,2, 3,4; i 1,2, , n j=1,2, 3,4 j 1,2, , n
运筹学 0-1整数规划
– 一般地，在建立数学模型时，若需从p个约束条件 一般地，在建立数学模型时，若需从 个约束条件 中选择q个约束条件 则可以引入p个 变量 个约束条件， 中选择 个约束条件，则可以引入 个0-1变量
0, yi = 1,
若选择第i个约束 若不选择第i个约束
i = 1,..., p
那么约束条件组
max z = 4 x1 + 5 x 2 + 6 x3 2 x1 + 4 x 2 + 8 x3 <= 500 2 x + 3 x + 4 x <= 300 1 2 3 s.t . x1 + 2 x 2 + 3 x3 <= 100 x1 , x 2 , x3 >= 0
若考虑固定费用就必须引入0—1变量： 变量： 若考虑固定费用就必须引入 变量
第四节 0－1整数规划
一、相互排斥的计划 某公司拟在市东、 南三区中建立门市部， – 例4.6 某公司拟在市东、西、南三区中建立门市部， 有例7个点 个点A ＝ ， ， ， ）可供选择， 有例 个点 i（i＝1，2，…，7）可供选择，要求满 足以下条件： 足以下条件： 1) 在东区，在A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在东区， 三个点中至多选两个； 2) 在西区，A4，A5两个点中至少选一个； 在西区， 两个点中至少选一个； 3) 在南区，A6，A7两个点为互斥点。 在南区， 两个点为互斥点。 4) 选A2点必选 5点。 点必选A – 若Ai点投资为 i万元，每年可获利润为 i万元，投资 点投资为b 万元，每年可获利润为c 万元， 总额为B万元 试建立利润最大化的0－ 规划模型 万元， 规划模型。 总额为 万元，试建立利润最大化的 －1规划模型。
0-1整数规划解法
指派问题与匈牙利法
Ø0 Ø0 3 ◎0 3
1
6
0Ø
2
◎0
3 2 0◎ 0Ø 3
2 0◎ 2 3 Ø0
0◎ 4 4 0Ø 6
总费用为=8+9+4+3+4=28
指派问题与匈牙利法
2. 不平衡的指派问题
当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：
5 9 10
2 0 4 3 6 2 5 0 4 2 4 1 0 2 5 4 0 3 6 3 0 2 3 1 7
-1 -2
指派问题与匈牙利法
2）试指派（找独立0元素）
2 0 4 2 4 2 5 0 3 0 4 1 0 1 3 4 0 3 5 1 0 2 3 0 5
从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0 元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ，表 示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一 列。
若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比 较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素 加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同 列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为 止。
所有0元素的最少直线数 l 。
注：l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试 指派；若 l＝m < n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系 数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。
指派问题与匈牙利法
4) 变换矩阵(bij)以增加0元素
在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过 的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小 值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。
整数0-1规划
′=x 1=1,
x3′=0 x5′=0 x4′=0
z=4, 可行 z=1 z=-2
z=10,不可行
x2=0 z=6,不可行 x3′=0 x5′=0 z=5,不可行 x4′=0 z=3,不可行 x1=0 z=2,不可行
最优解为x2=0 ， x3′=0 ， x5′=1 ， x4′=1， x1=1 。 于是， 原 问 题 的 最 优 解 为 z*=4 ， x1*=1，x2*=0，x3*= 1-0=1， x4*=1-1=0，x5*=1-1=0
令 x3′=1-x3, x4′=1-x4, x5′=1-x5，得 Max z=2x2+4x3′+5x5′+7x4′+8x1-16 3x2- x3′- 3x5′- 2x4′+3x1≤-2 ① 3x2+2x3′- x5′+ x4′+5x1≤6 ② x2, x3′,x5′,x4′,x1 =0或1
z=8,不可行 x2 =x3′=x5′ = x4
x1 , x2 , x3 0或1
求解0-1型整数规划，可使用分枝定界法。下面 用实例说明： 例 求解0-1型整数规划问题 Max z=8x1+2x2-4x3-7x4-5x5 3x1+3x2+x3+2x4+3x5≤4 5x1+3x2-2x3-x4+ x5≤4 xj=0或1，j=1,2,…,5 变成标准型，要求如下：⑴目标函数求极大化。 对于目标函数为Min z的极小化问题，令z′=-z，使其 变为目标函数为Max z′的极大化问题。⑵目标函数中 所有变量的系数都为正数。如果目标函数中变量xj的 系数为负数，令xj′=1-xj，把模型中的xj用xj′代换。⑶ 变量的排列顺序按变量在目标函数中的系数值从小到 大排列。
0-1型整数规划
最优结果为总支付报酬每周727.5元 值班方案为：
学生代号 1 2 3 4 5 6 一 6 4 8 5 3 2 6 2 二 三 6 6 5 2 6 四 五 7
3
例B 清远市下设八个区，下表给出救护车从一个区至另一 个区的车程时间（min）该市拟建救护中心，要求各区离救 护中心的车程时间必须在8min之内，是为该市提供决策建 议：至少建多少个救护中心，建于何处？
(x1,x2,x3) Z值 a
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1)
0 5 -2 3
√ √
b √ √
c √ √
d 过滤条件 √ Z≥0 Z≥5 √
(1,0,0)
(1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
3 8 1
6
√
√
√
√
Z≥8
按目标函数中各变量系数的大小重新排列各变量 最大化问题：由小到大 最小化问题：由大到小
max z 5 x3 3 x1 2 x 2 x3 x1 2 x 2 2 ① x3 x1 4 x 2 4 ② st x1 x 2 3 ③ x 4 x 6 ④ 2 3 xi 0或1, i 1， 3 2，
2．相互排斥的约束条件
如果有m个互相排斥的约束条件（<=型）：
ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi
i 1, 2,, m
为了保证这个约束条件只有一个起作用，我们引
入m个0－1变量 yi i 1,2,..., m 和一个充分大的 常数M，而下面这一组m+1个约束条件 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi yi M i 1, 2,, m
0-1型整数规划
1, y 0,
若生产第j种产品（即xj>0） 若不生产第j种产品（即xj=0）
j=1，2，3
应用举例
例A 东方大学计算机实验室聘用4名大学生（代号1、2、 3、4）和2名研究生（代号5、6）值班答疑。已知每人从 周一至周五每天最多可安排的值班时间及每人每h值班的报 酬如下表
在东区，由A1，A2，A 三个点中至多选两个； x3 4 x5 1 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； x x 1
6 7
st.
在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 x 0或1
i
i 1
7
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元， 但投资总额不能超过B元。问应选择哪个点可使年利润最大？
该公司只有600万元可用于投资，由于技术上的原因， 投资受到以下约束： 1.在项目1、2和3中必须只有一项被选中； 2.在项目3和4中只能选中一项； 3.项目5选中的前提是项目1必须被选中。 如何在上述条件下选择一个最好的投资方案，是投资收益 最大？
解：设
1，项目i被选中 xi 0, 项目i未被选中 只有600万元可用于投资 i 1,2,3,4,5
货物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
体 积 每箱（米3） 重 量 每箱（百公斤）
利 润 每箱（百元）
甲
乙
托运限制
5 2
4 5
24 13
20 10
第五章：0 -1整数规划
5 x1 4 x 2 24
7 x1 3x 2 45
0 用车运 y 1 用船运
5 x1 4 x 2 24 yM 7 x1 3x 2 45 (1 y ) M 5 x1 4 x 2 24 yM 7 x1 3x 2 45 (1 y ) M
0-1型整数规划
1
解：引入 0 1变量
令xi 10，，当当AA第i点i点四被没选被节用选用 0- 1整i 1数,2, 规,7划
0-1规划的实际问题： 7
MaxZ cixi i1
建模如下：
1、投资场所的选定－－7 相bi互xi排斥B的计划
例：某公司拟在市东、i1西、南三区建立门市部，拟议中有7个
MaxZ 20x1 10x2
例51x1.某 4厂x拟2 用24集+装(1箱-y托)M运 st.甲的润右72x1、体以表xx,11x乙积及所2 53两、托示xx022种重运。 1货量所问435物、受两+，可限种yM每获制货箱利如物
各得xy托利为1, x0运润2为多为1变整少最量数箱大，？可使获
210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600
s.t.
x1 x3
x2 x4
x3 1
1
在项目3和4中只能选中一项
x5
x1
项目5选中的前提是项目1必须被选中
xi 0或1，i 1,2,3,4,5
7
3 固定费用问题
例 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变 费用及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用如 表。要求制定一个生产计划，使总收益最大
2．相互排斥的约束条件
如果有m个互相排斥的约束条件（<=型）： ai1x1 ai2 x2 ain xn bi i 1, 2, , m
为了保证这个约束条件只有一个起作用，我们引
入m个0－1变量 yi i 1,2,.和.., 一m个充分大的常数M，
而下面这一组m+1个约束条件 ai1x1 ai2 x2 ain xn bi yiM i 1, 2, , m y1 y2 ym m 1
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-1 -2
2）试指派（找独立0元素）
2 2 4 4 0
0 5 1 0 2
4 0 0 3 3
2 3 1 5 0
4 0 3 1 5
2 2 4 4 0 ◎
◎ 4 0
2
5 1
0 Ø 3
◎ 0
1 5
Ø 0
Ø 3 0
2
3
4 0 ◎ 3 1 5
匈牙利法基于下面的效率矩阵： c11 c12 … c1n （cij）= c21 c22 … c2n ………………. cn1 cn2 … cnn
指派问题的求解步骤：
1) 变换指派问题的系数矩阵(cij)为(bij)，使在(bij)的各行各列 中都出现0元素，即 从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素； 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
任务 人员 甲 乙
A
2 10
B
15 4
C
13 14
D
4 15
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 6 0 0 13 0 5 1 11 10 7 4 2 11 4 2
0 Ø 6 0 ◎ Ø 0
13
7 ◎ 0 ◎ 6 9 0 5 3 2 1 ◎ Ø 0 0
例6 已知五人分别完成五项工作耗费如下 表，求最优分配方案。
任务 人员 甲 A 7 B 5 C 9 D 8 E 11
乙
丙 丁 戊
9
8 7 4
12
5 3 6
7
4 6 7
11
6 9 5
x 解： i
不在第i个地区建站 s.t i=1,2, …,6 Z表示全区消防站总数
0
x1 x 2 x 6 1 x3 x 4 1 x3 x 4 x5 1 x 2 x5 x6 1
x i 0 ,1
i 1, 2 , , 6
◎ 0
3
Ø 0
◎ 0
1 3 1 4
Ø 0
6 2
Ø 0
2 3
√
3
√
3 √ ◎ √ 0 3 √ Ø √ 0 5
√
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交 点元素加1，其他保持不 变，得到新的系数矩阵。
Ø 0 1 3 2 ◎ 0
投资项目模型： 例1（投资问题）华美公司有5个项目被列入投资计 划，每个项目的投资额和期望的投资收益见下表： max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 该公司只有600万资金可用于投资，由于技术上的 210 x1 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 600 原因，投资受到以下约束： x1 x2 x3 1 1、在项目1、2和3中必须有一项被选中 s.t x3 x4 1 x2、项目3和4只能选中一项 5 x1 x3、项目5被选中的前提是项目1被选中;如何 i 1,2,,5 i 0,1 在 满足上述条件下选择一个最好的投资 方 案，使投资收益最大
二、指派问题
例3 有一份说明书，需译 任务 成英、日、德、俄四种文字。 E J G R 现有甲、乙、丙、丁四个人， 人员 甲 2 15 13 4 他们将说明书译成不同文字 乙 10 4 14 15 所需的时间如下表。问应指 丙 9 14 16 13 派哪个人完成哪项工作，使 丁 7 8 11 9 所需的总时间最少？ 一般地，有n项任务、n个完成人，第i人完成第j 项任务的代价为cij（i,j＝1,2,…,n）。为了求得总 代价最小的指派方案，引入0-1型变量xij，并令 1 指派第i人去完成第j项任务 xij＝ 0 不指派第i人去完成第j项任务
6 4 ( c ij ) 3 5 7 5 1 9 11 9 10 8 2 8 4 2 2 4 1 2
4 0 2 3 5 1 0 7 9 5 9 6 0 4 3 0
4 0 2 3 5 1 0 7 4 0 4 1 0 4 3 0
独立零元素的个数m等于最少 直线数l，即l＝m=3<n=4；
√
4）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩 阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直 线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2） 步进行试指派
3 0 2 2
4 1
0
3
0
4
0
6
0 5 4 0
2）试指派（找独立0元素）
－5
4 ◎ 2 3
4 ◎ 1 Ø 4 ◎ 4 3 7 1 Ø 5
找到 3 个独立零元素 但m=3<n=4
3）作最少的直线覆盖所有0元素
4 5 4 ◎ √ Ø 4 ◎ 1 2 ◎ 4 3 Ø √ 3 7 1
0-1整数规划
主讲人：陈元安 商丘职业技术学院基础部
一、决策问题与0-1变量
决策变量 x i 是否做第 i 件事 i 1, 2 , , n
xi
1 0
做第i件事 不做第i件事
n件事中必须做k件并只做k件事 x1 x 2 x n k n件事中最多做k件事 x1 x 2 x n k n件事中至少做k件事 x1 x 2 x n k 做第i件事的充要条件是做第j件事 x i x j 做第i件事的充要条件是不做第j件事 x i 1 x j 只在做了第i件事前提下才考虑是否做第j件事 x j x i
解：设 x i为决策变量（ i 1, 2 , ,5 )
1 xi 0
项目 1 投资额 投资收益 （万元） （万元） 210 150
投资第i个项目
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
不投资第i个项目 Z表示投资效益
例2（布点问题）某城市共有6个 地 1 2 3 4 5 6 区，每个区都可以建消防站。 区 1 0 10 16 28 27 20 市政府希望设置的消防站最少， 10 0 24 32 17 10 2 但必须满足在城市任何地区发 3 16 24 0 12 27 21 最优解 生火火警时，消防车要在15分 4 28 32 12 0 15 25 x2=1, x4=1 钟内赶到现场。据实地测定， 5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0 各区之间消防车行驶的时间见 右表。 请为该市制定一个 布点问题模型： min Z x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 最优值 最节省的计划 x x2 1 在第i个地区建站 1Z=2 1
2) 进行试指派，以寻求最优解。
在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元 素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余 为0，这就得到最优解。
找独立0元素，常用的步骤为：
从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎ 。 然后划去◎ 所在列的其它0元素，记作Ø ；这表示该列所代表的 任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。 从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0 元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ，表示 此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。 若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比 较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加 圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列 的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。
总费用为=7+9+4+3+5=28
0 Ø 1 3 2 ◎ 0
Ø 0
3
Ø 0
◎ 0
◎
0 2
Ø 0
6 2
◎
0 4
2 4
3
Ø 0
ห้องสมุดไป่ตู้
9
8 6 11
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
7 5 9 8 11 5 9 12 7 11 9 7 8 5 4 6 9 4 7 3 6 9 6 3 4 6 7 5 11 4
2 2 4 4 0 0 5 1 0 2 4 0 0 3 3 3 4 2 6 1 6 2 5 3 7
所有0元素的最少直线数 l 。
注：l 应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试 指派；若 l＝m < n，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系 数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。
4) 变换矩阵(bij)以增加0元素 在没有被直线通过的所有元素中找出最小值， 没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素； 直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩 阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。
◎ 0
3
◎ 0
6 2
Ø 0
0 Ø 2 4
4
0 3 Ø 2 Ø 0 ◎ 0 3 3 ◎ 0 Ø 0 6
总费用为 =5+7+6+6+4=28
注：此问题有多个最优解
◎ 0 1 3 2 0 Ø
Ø 0
3
Ø 0
◎ 0
Ø 0
6 2
◎
2
Ø 0
0 4
2 4
3
◎ 0