大学物理第九章导体与介质中的静电场(精)

第九章导体与介质中的静电场 Electrostatic field in conductor and dielectric §9-1,2静电场中的导体§9-3电容器的电容§9-6电介质中的高斯定理§9-8 静电场的能量§9-1,2静电场中的导体一、导体的静电平衡( electrostatic equilibrium )1.导体绝缘体半导体1)导体(conductor)导电能力极强的物体(存在大量可自由移动的电荷)2)绝缘体（电介质,dielectric）导电能力极弱或不能导电的物体3)半导体(semiconductor)导电能力介于上述两者之间的物体EE E E i '+= ii E e E q F -==导体静电平衡条件：导体内任一点的电 场强度都等于零E=i E E2. 导体的静电平衡条件导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运动的状态.导体的静电平衡状态：静电感应E '* 推论 (静电平衡状态)证： 在导体上任取两点 p , ql d E V V i qpq p⋅=-⎰qp V V =0=i Epq=导体静电平衡条件： 2)导体表面任一点场强方向垂直于表面 1） 导体为等势体，导体表面为等势面否则其切向分量将引起导体表面自由电子的运动，与静电平衡相矛盾。

3.导体上电荷的分布1)当带电导体处于静电平衡状态时, 导体内部处处没有净电荷存在, 电荷只能分布于导体的表面上.qdViiV∑⎰==ρ0ρ=0证明：在导体内任取体积元 dV由高斯定理体积元 d v 任取导体带电只能在表面！∑⎰=⋅iiqS d E 01ε ,0=i E dVn e Eεσ=ne E E =Sd e E S d E n⋅=⋅⎰⎰S E ∆=0εσS∆=⇒2).导体表面附近的场强方向与表面垂直， 大小与该处电荷的面密度成正比.ne ES∆结论：孤立的带电导体，外表面各处的 电荷面密度与该处曲率半径成反比,410RQ V R πε=Rrr R =σσ,44,22rRr R rR q Q r R ==σπσπR rQq1）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大）电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（曲率较小） 电荷面密度较小3）导体表面凹进去的地方（曲率为负） 电荷面密度更小rqV r 041πε=rqR Q V V R r 004141πεπε===0=⋅⎰l d E 导体内,0≠⋅⎰l d E 腔沿电场线≠⋅⎰l d E (违反环路定理)在静电平衡状态下,导体空腔内各点的场强等于零,空腔的内表面上处处没有电荷分布. ld E l d E l d E⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰导体内腔沿电场线二、空腔导体 (带电荷Q )1 腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。

空 腔2腔内有电荷 q导体的内表面电荷-q 外表面电荷Q+q+-q - qQ+qAAB三、导体的静电平衡条件的应用静电屏蔽在静电平衡状态(1) 空腔导体, 外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布;(2)一个接地的空腔导体,空腔内的带电体对空腔外的物体不产生影响.CB四. 计算举例=内E 常量=V ∑=iiq常量原则1.静电平衡的条件2.基本性质方程3.电荷守恒定律∑⎰=⋅iiSqs d E 01ε ⎰=⋅Ll E 0d 有导体存在时静电场的计算在无限大的带电平面的场中，平行放置一不带电的无限大金属平板。

σP）（121σσ-=,0321=++=E E E E iσσ211-=σσ212=解: 设金属板面电荷密度分别为σ1 、σ 21σ由电量守恒定律导体静电平衡条件体内任一点 P 场强为零x1E 2E 3E 例9-1 求：金属板两面电荷面密度2σ）（2022202010=-+εσεσεσ0321=-+=E E E E i ,201εσ=E ,2012εσ=E 0232εσ=E 021=+S S σσ例9-2 金属板面积为S ，带电量为 q , 近旁平行放置第二块不带电大金属板。

求：1、求电荷分布和电场分布；2、把第二块金属板接地，情况如何？解：1、电量守恒定律 q S S =+21σσ根据高斯定理有：)(0320=∆+==⋅∑⎰εσσεsqs d E iiP 点的场强是四个带电面产生222204030201=-++=εσεσεσεσp E p21σσ43σσX,04321=+++=E E E E E p04321=-++=E E E E E p 043=+S S σσSq=+21σσ043=+σσ032=+σσ1E2E 3E 4E40302012222εσεσεσεσ----=A E 方向朝左方向朝右方向朝右ABCsq s q s q s q 2,2,2,24321=-===σσσσ21σσ43σσXsq E C 02ε=sq E B 02ε=sqE A 02ε-=2222q q q q -2、右板接地高斯定理:P 点的合场强为零:4321=-===σσσσsq sq 00===C B A E sq E E ε04=σsq=+21σσ032=+σσ0321=++σσσ ABC 21σσ43σσp00q q-例9-3 点电荷 q = 4.0 x 10- 10 库仑处在不带电导体球壳的中心，壳的内外半径 分别为 R 1=2.0 x 10-2m , R 2=3.0 x 10-2m 。

求：1、导体球壳的电势2、离球心处的电势 m r 2100.1-⨯=3、把点电荷移开球心，导体球壳的电势是否变化？+ q-q+q1R 2R 解： 电场的分布： =E )(4120R r rq <πε)(021R r R <<)(4220r R rq <πε⎰⎰∞⋅=⋅=pprd E l d E V"0"r3、导体球壳的电势不变+ q-q+q1R 2R 解： 120v103.0104.0109R 4πqV 210920=⨯⨯⨯⨯==--εv R R r q300)111(4210=+-=πε⎰⎰⎰∞∞∞==⋅=222204R R R dr rπεqEdr r d E V ⎰⎰∞∞=⋅=rrEdr r d E V ⎰⎰⎰∞++=2211R R R R rEdrEdr Edr =E )(4120R r rq <πε)(021R r R <<)(4220r R rq <πε⎰⎰⎰∞∞∞==⋅=222204R R R dr rπεqEdr r d E V 120vR 4πq 20==ε1、导体球壳的电势2、离球心处的电势 m r 2100.1-⨯=例题 半径为 R 的实心 导体球原来带电为 Q ，现将 一点电荷 q 放在球外距球心 x （x>R ）远处，求导体球上的 电荷在P 点产生的场强和电势。

∙∙R O P xq+2R 解：（1）设导体球上的电荷在P 点产生的场强为 ， q 在 P 点产生的场强为 。

P E 'PE ''静电平衡时： 0E E PP =''+'20PP )2R x (4q E E -πε-=''-='（2）设导体球上的电荷在P 点产生的电势为 ，q 在 P 点产生的电势为 。

P U 'PU ''PP P U U U ''+'=静电平衡时：x 4qR 4Q U U 00o P πε+πε==)2R x (4q x4q R 4Q U U U 000P P P -πε-πε+πε=''-='∙∙RO P xq+2R§9-3 电容器的电容一、孤立导体的电容(capacity)一个带有电荷为Q 的孤立导体,其电势为V (无穷远处为电势零点)则有:VQC =孤立导体的电容C ：电容的单位:法拉(F)注意：C 的值只与导体的形状，大小及周围的环境 所决定，而与其带电量的多少无关。

QVnQ nV pF10nF 10F 101F 1296===μBA V V q C -=例9-4 孤立导体球的电容R qdr r qr d E V RR02044πεπε⎰⎰∞∞==⋅= RVq C 04πε==由定义二、电容器的电容(capacitor)1. 电容器两个带有等量异号的导体组成的系统.由静电屏蔽--导体壳内部的场只由腔内的电量和几何条件及介质决定 (相当于孤立)电容器的电容：AB+q-qq1) 平板电容器的电容2. 电容器电容的计算 000002122εσεσεσ=+=+=E E E SQ0ε=Ed Edl l d E V V B A ⎰⎰==⋅=-SQd 0ε=dSC 0ε=ABB A V QV V Q C =-=EAB- -- - 0σ-0σ+ +++ +Q-Q-2) 同轴柱形电容器的电容设长为L , 带电量为q , 内半径为 ,外半径为 A R B RLqr E ==λπελ,20⎰⋅=BAAB l E V d ABR R L q ln 20πε=r r V BA R R ABd 21λπε⎰=A BR R ln 20πελ=R ALR B⎰⋅=B ArEd E204rqE πε=⎰⋅=-=BAR R B A AB rE V V Vd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B AR R 4πq 11ε2R R 0rdr4πq BA⎰=ε3） 同心球形电容器的电容设内球面半径R A ，外球面半径R B ，带电量为q-q -- -----B R +q + + + + + ++- A R3、电容器的串联和并联 A 电容器的串联11C q U =22C q U =nn C qU =n U U U U +⋅⋅⋅++=21)111(21nC C C q +⋅⋅⋅++=CqU =∴n C C C C 111121+⋅⋅⋅++=ini C 11∑== -q +qUU nU 2U 1C nC 2C 1 -q-q +q+qB 电容器的并联n q q q q +⋅⋅⋅++=21UC q 11=UC q 22=UC q n n =UC C C n )(21+⋅⋅⋅++=⇒n C C C U qC +⋅⋅⋅++==21ini C ∑==1UC 1q 1C 2C nq 2q n三个电容器如图连接,当电键K 打开时,将充电到 ,然后断开电源,并闭合电键K,求各电容器上的电势差.1C 0U 1C 2C 3C 0U Kq +0q -0101U C q C =→充电解: K 闭合后 充电并对放电321,,C C C 1C 2C 3C K1q +1q -2q -2q -2q +2q +322211C q C q C q +=021q q q =+013322132211)(U C C C C C C C C C q +++=0133221321102U C C C C C C C C C q q q ++=-=323222111 , ,C q U C q U C q U ===§9-6电介质中的高斯定理一. 电介质及其极化(polarization)电介质的分类有极分子(polar molecules)+ _l qp无极分子(nonpolar molecules)_ + 电偶极矩为零+q-ql电介质的极化共同效果 -----2. 有电场时有极分子介质-----取向极化 (orientation polarization)边缘出现电荷分布 无极分子介质-----位移极化(displacement polarization) 极化电荷( Polarization charges)束缚电荷( bound charges)1.无电场时有极分子无极分子分子热运动，各分子电偶极矩的取向杂乱无章， 整个电介质宏观上对外呈电中性极化机理+ - 无极性+ - E+ - + l q p e=有极性分 子E材 料极化了！ 极化了！EEl q p e=Q '-Q '+束缚电荷 Q '-Q '+束缚电荷二、电介质对电场的影响ABV q C =实验发现:rεεε0=相对介电常数(电容率) rε介电常数ε真空介电常数 0ε0E ++ ++ +- ---- ABr r AB C CV V εε==0,在平板电容器之间插入一块介质板插入前： 0V AB V 插入后：0V qC =0E E 'E E E '+= 0,000εσ=E 0εσ'='E )(100σσε'-=E σ'-σ'- - - - -+++++σ-0σ++ +++- -- - - 内部的场由自由电荷和极化电荷共同产生电介质极化减弱了场强,Ed V AB =rABV V ε=0d00V E V d V E AB AB==,00d E V =0)11(σεσr-='∴rE ε0=三. 有电介质时的高斯定理σ'-σ'- - - - -+++++σ-0σ++++ +- -- - - S E dS qiiS⋅=∑⎰ε0⎰'∆-∆=⋅SS S S d E 00εσσ 高斯定理rii q εε00∑=0)11(σεσr-='⎰∆=⋅∴SrS S d E εεσ00rεσσσ00='-⇒⎰∑=⋅Sii r q S d E 00εε电场中充满均匀各向同性电介质的情况下EE D r εεε==0电位移矢量D1. 定义： )(00自由电荷⎰∑=⋅Sii r qS d E εε)(0自由电荷⎰∑=⋅Sii q S d D 2. 电介质中的高斯定理电介质中任一闭合曲面的电位移通量 等于该面所包围的自由电荷的代数和εr +Q E 线D 线3. 电力线与电位移线的比较电位移线（D 线）却只与自由电荷有关电力线（E 线）不但与自由电荷有关 ，而且与束缚电荷有关εr+Q例9-5平板电容器极板间距d 、带电量±Q ，中间充一层厚度为d 1、介电常数为 ε 的均匀介质， 求：电场分布、极间电势差和电容。