10-11学年高一数学：必修4复习资料十三(精选高考题附答案)

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高中数学必修4习题和复习参考题对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合．答案：S={α|α=k ·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k ·360°，k ∈Z }，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k ·360°，k ∈Z }，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k ·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k ·360°，k ∈Z }，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k ·360°，k ∈Z }，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k ·360°，k ∈Z }，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k ·360°，k ∈Z }，－180°，180°；（8）{β|β=k ·360°，k ∈Z }，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k ·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k ·360°＜β＜180°＋k ·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k ·360°＜β＜270°＋k ·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k ·360°＜β＜360°＋k ·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n ≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===；（2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=；（3）133sin ,cos ,tan 223ααα===；（4）31sin ,cos ,tan 322ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++；（4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sin θ·tan θ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cos θ·tan θ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cos α－sin α的值．答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cos β－1）2＋sin 2β=2－2cos β；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cos β＋cos 2β＋sin 2β=2－2cos β；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x ·cos 2x=1－2sin 2x ·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tan α说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x ·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）sin263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ；（2）1cos 42y x =，x ∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x ∈R ；（2）y=－cosx ，x ∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x ∈[（2k －1）π，2k π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x ∈[2k π，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx ≥0；（2）tan 30x -≥．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（k π，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=k π，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ；（2）1cos32y x =，x ∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g ≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 04t 05t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 010t 0 11t 0 12t 0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1 －10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2k π，k ∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sin φ，tan φ．答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==；当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-．说明：先求sin φ的值，再求tan φ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cos α表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sin α）（1＋cos α）=（1－sin α＋cos α）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α=1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tan α=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sin αcos α；（3）（sin α＋cos α）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ．答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2k π，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x ≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20 习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）1sin ,tan 2ααα===；（2）sin tan 122ααα=-=-=；（3）1sin ,cos tan 223ααα===；（4）1sin ,tan 22ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434sin ,cos ,tan 553ααα===；当a ＜0时，434sin ,cos ,tan 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++；（4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知sin α=，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan 4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,2 （2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34sin ,cos 55αα==-，当α为第四象限角时，34sin ,cos 55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin 3x =-，求cosx ，tanx 的值．答案：当x 为第三象限角时，cos tan 34x x =-=；当x 为第四象限角时，cos tan 34x x ==-. 说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 2απαπ=<<，求cosα－sinα的值．答案：11)2说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2α为第二象限角．答案：－2tanα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x xx x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29 习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）si n263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46 习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ；（2）1cos 42y x =，x ∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x ∈R ；（2）y=－cosx ，x ∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x ∈[（2k －1）π，2kπ]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x ∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx≥0；（2）tan 0x ．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57 习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ；（2）1cos32y x =，x ∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，2i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式． t 0t 02t 03t 0 4t 05t 06t 07t 08t 09t 0 10t 011t 012t 0s－20.0 －17.8 －10.10.110.3 17.7 20.0 17.7 10.30.1－10.1 －17.8 －20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos A=；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2kπ，k ∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ．答案：当φ为第一象限角时，sin ,tan 4ϕϕ==当φ为第四象限角时，sin tan ϕϕ== 说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，cos 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tanα=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα；（3）（sinα＋cosα）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21cos 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或2222sin cos tan 33sin cos 10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos （2π－α）；（2）tan （α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，tan(7)απ-=，当α为第二象限角时，tan(7)απ-=．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin 378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin （－879°），3313tan(),cos()810ππ--；（3）sin3，cos （sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos x =cos x =1,1><-，所以原式不能成立；（2）因为sin x =，而|1<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin xy π=，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ．答案：（11π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；1π，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x =对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

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高中数学必修四复习题含有答案详解很全的哟Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】高中数学必修四复习题一、填空题：1．巳知扇形的半径是16，圆心角是2弧度，则扇形的弧长是 .【答案】322．函数y =tan (2x -π3)的图象与直线y =-a (a ∈R )的交点中距离的最小值为 .【答案】π2【解析】y =tan(2x -π3)的最小正周期T =π2,故y =tan(2x -π3)与y =-a 的交点中距离的最小值为π2.3．在△AAA 中，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ∥BC 交AC 于点F ，设AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A ，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A ，用a ，b 表示向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为 . 【答案】15A −A4．已知cos(π2+α)=2cos(π-α),则2sin (−A )−cos (π+A )sin (π2−A )+cos (3π2−A )= .【答案】3【解析】通解由cos(π2+α)=2cos(π-α)得sin α=2cos α,又cos 2α+sin 2α=1,所以{sin A =2√55,cos A =√55或{sin A =−2√55,cos A =−√55,则2sin (−A )−cos (π+A )sin (π2−A )+cos (3π2−A )=−2sin A +cos Acos A −sin A =3.优解由cos(π2+α)=2cos(π-α)得sin α=2cos α,所以2sin (−A )−cos (π+A )sin (π2−A )+cos (3π2−A )=−2sin A +cos A cos A −sin A=−3cos A−cos A =3.5．圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长,那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 .【答案】√3【解析】设圆的半径为r,则其内接正三角形的边长为a=√3r,故弧长l=a=√3r,所以这段弧所对的圆心角的弧度数为θ=AA =√3rA =√3.6．已知向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,且|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,若AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 . 【答案】127【解析】由AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得λAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -λ(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-3λ-4λ+9+3=0λ=127.7．已知A ∈(0,π)，且sin (A −π4)=√210，则sin A +cos A = .【答案】75【解析】因为sin (A −π4)=√22(sin A −cos A )=√210,∴sin A −cos A =15,∴1−2sin A cos A =125,2sin A cos A =425>0,依题意知：A ∈(0,π2),又(sin A +cos A )2=1+2sin A cos A =4925, ∴sin A +cos A =75.故答案为75.8．已知向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .【答案】16【解析】由已知条件构造RtΔABC ,斜边AC ,则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则易求AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.由已知条件构造RtΔABC ,斜边AC ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16.9．将函数f (x )=sin(ωx -π6)+1(ω>0)的图像向左平移π3个单位,所得图像关于y 轴对称,则正数ω的最小值为 . 【答案】2【解析】函数图像向左平移π3个单位后所得图像对应的函数为y =f (x+π3)=sin[ω(x+π3)-π6]+πA 3π6πA 3π6π210．已知在△ABC 中,向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为5π6,|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 【答案】(0,4]【解析】∵|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 5π6,∴|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-√3|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,把|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |看作未知量,得到一个一元二次方程|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-√3|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+(|AB|2-4)=0,这个方程的判别式Δ=(-√3|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2-4(|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-4)=16-|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≥0,∴-4≤|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤4,根据实际意义,知0<|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤4. 11．若cos x cos y+sin x sin y =13,则cos(2x-2y )= .【答案】-79【解析】由cos x cos y+sin x sin y =13,可知cos(x-y )=13,则sin 2(x-y )=1-cos 2x-y )=1-(13)2=89, cos(2x-2y )=cos 2(x-y )-sin 2(x-y )=(13)2-89=-79.12．设向量A =(1,2),A =(−2,A ),且A //A ,则2A +3A =_________.【答案】(−4,−8)【解析】由A //A 得,1×A +2×2=0,解得A =−4,所以A =(−2,−4),2A +3A =(2,4)+(−6,−12)=(−4,−8).13．已知角θ的终边在第三象限,tan 2θ=-2√2,则tan θ= ,cos θ= .【答案】√2-√33【解析】由tan 2θ=-2√2得tan 2θ=2tan A1−tan 2A =-2√2,即√2tan 2θ-tan θ-√2=0,解得tan θ=√2或tanθ=-√22,又角θ的终边在第三象限,故tan θ=√2.故sin A cos A =√2,由sin 2θ+cos 2θ=1得cos 2θ=13,即cosθ=-√33.14．化简:sin (π3+A )+sin (π3−A )cos (π3+A )+cos (π3−A )= .【答案】√3 【解析】原式=2sin π3cos A2cos π3cos A =tan π3=√3.15．将函数y =sin x 的图象向左平移π4个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的12，纵坐标不变，便得到函数f (x )的图象，则f (x )解析式为 . 【答案】A (A )=sin (2A +π4)【解析】将函数y =sin x 的图象向左平移π4个单位，则所得图象对应函数的解析式为y =sin(x+π4), 再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的12，纵坐标不变，便得到函数f (x )的图象，则A (A )=sin (2A +π4).16．函数A =sin (2A +A )(0<A <π2)图象的一条对称轴是A =π12,则A 的值是．【答案】π3【解析】因为函数A =sin (2A +A )(0<A <π2)图象的一条对称轴是A =π12,所以sin (π6+A )=±1,又因为0<A <π2,则π6<π6+A <2π3,即π6+A =π2,解得A =π3;故填π3.17．已知|A |=3,|A |=5,且A ?A =12,则向量A 在A 方向上的投影为 .【答案】125【解析】由A ?A =12得 |A ||A |cos A =12，而|A |=3,|A |=5，所以cos A =45,所以|A |cos A =3×45=125.所以向量A 在A 方向上的投影为125.18．当x =θ时,函数f (x )=sin x ﹣3cos x 取得最大值,则cos θ的值为 .【答案】−3√1010【解析】因为f (x )=sin x ﹣3cos x =√10(sin A ?√1010−cos A ?3√1010)=√10sin (A −A ),其中cos A =√1010,sin A =3√1010,当f (x )取得最大值时,θ−A =π2+2A π,cos A =cos (π2+2A π+A )=−sin A =−3√1010,故填−3√1010. 19．已知A ∈(−π2,0),且cos 2A =sin (A −π2),则tan A2等于______.【答案】−√33【解析】由cos 2A =sin (A −π2)有2cos 2A +cos A −1=0,而A ∈(−π2,0),解得cos A =12,得A =−π3,故tanA 2=tan (−π6)=−√33.20．已知B 为锐角,,则= .【解析】由可得,而B 为锐角,所以,所以.二、解答题21．已知函数A (A )=sin(AA +A )(A >0,0≤A ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为√4+π2. (Ⅰ)求A (A )的解析式； (Ⅱ)若A (A )+sin A =23，求√2sin (2A −π4)+11+tan A的值. 【答案】解：(Ⅰ)因为A (A )=sin (AA +A )(A >0,0≤A ≤π)为偶函数，故A =π2；从而A (A )=sin (AA +π2)=cos AA .由A (A )图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为√4+π2，知A =2π，故A =1. 所以A (A )=cos A . (Ⅱ)原式=sin2A −cos2A +11+sin Acos A=2sin A cos A +2sin 2Acos A +sin Acos A=2sin A cos A .由条件知cos A +sin A =23，平方得1+2sin A cos A =49；从而原式=2sin A cos A =−59.22．已知函数A (A )=1+2sin (2A −A3).4cos 25B =-c o s B 4cos 25B =-242cos 15B -=-c o s 0B >cos B =(1)当A ∈[A 4,A2]，求f (x )的最大值和最小值.(2)求f (x )的最小正周期和单调递增区间.(3)若不等式f (x )-m <2在A ∈[A 4,A2]上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）因为，所以. 当，即时，. 当，即时，. （2）最小正周期. 令−A2+2AA ≤2A −A 3≤A2+2AA (A ∈A )得−A12+AA ≤A ≤5A12+AA (A ∈A ).所以单调递增区间为 [−A12+AA ,5A12+AA ](A ∈A ).（3）由题设条件可知对恒成立，又当时，，所以，所以.23．已知向量a =(1,2),b =(-1,3),c =λa +b ,λ∈R .(1)求向量a 与b 的夹角θ; (2)求|c |的最小值.【答案】(1)∵|a |=√5,|b |=√10,a ·b =5, ∴cos θ=A ·A|A ||A |=√5×√10=√22. ∵0≤θ≤π,∴θ=π4.(2)∵|c |=√(AA +A )2=√5(A +1)2+5, ∴当λ=-1时,|c |取得最小值,即|c |min =√5.42x ππ≤≤22633x πππ≤-≤232x ππ-=512x π=()m a x3fx =236x ππ-=4x π=()m i n2fx =2T ππω==()2f x m <+,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()m a x3fx =23m +>1m >24．已知A ,B ,C 的坐标分别为A (4,0),B (0,4),C (3cos α,3sin α).(1)若α∈(-π,0),且|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求角α的值; (2)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求2sin 2A +sin2A 1+AA n A的值.【答案】(1)AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3cos α-4,3sin α),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3cos α, 3sin α-4).由|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,得(3cos α-4)2+9sin 2α=9cos 2α+(3sin α-4)2,所以sin α=cos α. 因为α∈(-π,0),所以α=-34π. (2)因为2sin 2A +sin2A 1+AA n A=2sin A cos A (cos A +sin A )cos A +sin A=2sin αcos α,又AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以3cos α(3cos α-4)+3sin α(3sin α-4)=0. 所以sin α+cos α=34. 两边平方得2sin αcos α=-716, 所以2sin 2A +sin2A 1+AA n A=-716.25．已知点A (2,0),B (0,2),C (cos α,sin α)(其中0<α<π),O 为坐标原点.(1)若|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,求AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角; (2)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求tan α的值. 【答案】(1)由已知得AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cos α,sin α). ∵|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,∴(2+cos α)2+sin 2α=7,即4+4cos α+cos 2α+sin 2α=7,∴cos α=12. 又α∈(0,π),∴α=π3,∴sin α=√32,∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32). 又AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),∴cos ∠BOC =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×0+√32×21×2=√32,∴∠BOC =π6,故AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π6. (2)由已知得AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α-2,sin α),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α,sin α-2), ∵AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴cos α(cos α-2)+sin α(sin α-2)=0,∴sin α+cos α=12. ∴两边平方得(sin α+cos α)2=14,即2sin αcos α+34=0,即2sin αcos α+34(sin 2α+cos 2α)=0, 即3sin 2α+8sin αcos α+3cos 2α=0. 两边同时除以cos 2α,得3tan 2α+8tan α+3=0, 解得tan α=−4+√73或−4−√73.∵2sin αcos α=-34<0,α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0. 又sin α+cos α=12>0,∴sin α>-cos α,∴sin Acos A <-1, 即tan α<-1,∴tan α=−4+√73>-1应舍去,故tan α=−4−√73.26．已知.(Ⅰ)若与的夹角为60o，求；(Ⅱ)若=61，求与的夹角.【答案】(Ⅰ)∵，与的夹角为60o，∴，∴.(Ⅱ)∵，∴，∴，又，∴. 27．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝√3，|b |＝1.(1)求|a 2b |的值；⑵设向量p ＝a +2b ，q ＝a 2b ，求向量p 在q 方向上的投影. 【答案】解：(1).(2)由(1)可知，， ||4,||3==a b a b a b ||4,||3==a b a b 000180θ≤≤0120θ=2-a b 1=21=-=q a b p 2241⋅=-=-p q a b，从而向量在方向上的投影为.28．已知向量m =(√3sin x, sin x ),n =(cos x, -sin x ),且A (A )=2m ·n +2.(Ⅰ)求函数A (A )的最大值，并求此时x 的取值；(Ⅱ)函数A (A )图像与y 轴的交点、y 轴右侧第一个最低点、与A 轴的第二个交点分别记为P 、Q 、R ，求AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.【答案】(Ⅰ)A (A )=2A ?A +2=2√3sin A cos A −2sin 2A +2=√3sin 2A −(1−cos 2A )+2=√3sin 2A +cos 2A +1=2sin (2A +π6)+1, 故当2A +π6=π2+2A π，即A =π6+A π(A ∈A )时，A (A )max =3.(Ⅱ)由A (0)=2，知A (0,2). 由2A +π6=3π2+2A π，得A =2π3+A π(A ∈A )，此时A (A )=−1，则A (2π3,−1). 而由2A +π6=2A π−π6，得A =−π6+A π(A ∈A )，则A =5π6(A =1)，故A (5π6,0)，从而AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2π3,3)，AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(π6,1)，因此AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2π3×π6+3×1=−π29+3.c o s ,⋅∴=⋅p q p q pq p q c o s ,1=-p p q。

高一数学必修4复习资料

高中数学必修4复习资料知识清单：1、任意角的概念、象限角、终边相同的角。

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 二象限{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式：（口诀：奇变偶不变，符号看象限．）()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y xω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()m a x m i n 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：siny x=cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非函数性质零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向baCBAa b C C-=A -AB =B时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：(1)sin22sin cos ααα=．（2） (3)22tan tan 21tan ααα=-(4)2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． 26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．基础训练题一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、角α的终边落在区间（－3π,－52 π）内,则角α所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．25 21sin 2(sin cos )ααα±=±2572518257-2518-4、如果).cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（）A ．)(]22,22[Z k k k ∈++-ππππB ．)()223,22(Z k k k ∈++ππππC ．)(]223,22[Z k k k ∈++ππππD ．)()2,2(Z k k k ∈++-ππππ5、函数)3x 2sin(3y π+=的图象可看作是函数x 2sin 3y =的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（）.A.向右平移3π个单位 B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 6、与函数tan(2)4y x π=+的图象不相交的一条直线是（）.A ．2x π=B ．2y π=C ．8x π=D ．8y π=7、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．tan 1α 8、已知sin αcos α = 18 ,则cos α－sin α的值等于（）A ．±34B ．±23C ．23D ．－239、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1tan tan θθ+的值是（） A ．1- B ．2-C ．1D ．210、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是（）A ．－43B ．43 C ．－43D ．4311、已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （）A ．21||aa + B ．21aa +C ．21aa +-D ．211a+-12、已知 53sin )cos(cos )sin(=---αβααβα ，那么cos2β的值为（） A. B. C. D. 13、)24tan 1)(20tan 1)(21tan 1(ooo+++的值是（） A.2 B.4 C.8 D.16 14、函数y = ）.A ．},222{Z k k x k x ∈+<≤πππ B ．},2{},222{Z k k x x Z k k x k x ∈+=∈+<≤πππππC. },222{Z k k x k x ∈+≤<πππ D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Z ππ≠+∈二．填空题 15、函数)42sin(π+-=x y 的周期是________________________. 16、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是__________．17、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为____________． 18、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为． 19、函数)32sin(2π+=x y 的图象的对称轴方程是20、函数xxy 2tan 1tan 2-=的最小正周期是 21、已知sin θ+cos θ＝22(0＜θ＜π)，则cos2θ的值为 22、记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若2009)2009(=f ，则)2010(f = 1---7：BCACDCB 8---14:BDACABB 15、π4。

高一数学必修4复习资料十三(精选高考题附答案)

数学必修4 复习资料十三一、选择题1设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B. π C. 2π D. 4π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，∴ 最小正周期为π，选B. 2已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx 的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题【正确解答】解法1由题意可知，()()f x f x =--得a=0解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0, 解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其前提条件是函数的定义域必须关于原点对称. 若函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称. 若函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.3为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。

高中数学必修4知识点与习题带答案

高中数学必修4知识点第一章基本初等函数二（三角函数）⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=．7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭．8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x rα=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 13、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：奇变偶不变，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cosy x=tany x=图象定义域R R,2x x k kππ⎧⎫≠+∈Z⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x kππ=+()k∈Z时，max1y=；当22x kππ=-()k∈Z时，min1y=-．当()2x k kπ=∈Z时，max1y=；当2x kππ=+()k∈Z时，min1y=-．既无最大值也无最小值周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴综合型训练函数性质一、选择题1．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A ． 34B ． 34-C ． 34±D ． 32．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（） A ． {}3,1,0,1- B ． {}3,0,1- C ． {}3,1- D ． {}1,1- 3．若α为第二象限角，那么α2sin ，2cosα，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个4．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （）．A ． 21mm- B ． 21m m-- C ． 21m m-± D ． m m 21-±5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（）． A ． 2 B ． 2- C ． 2-或2 D ． 06．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（）． A ． 231+-B ． 231+-C ． 231-D ． 231+ 二、填空题1．若23cos -=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____．2．若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________． 3．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第象限的角． 4．与02002-终边相同的最大负角是_______________．5．化简：0360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________．三、解答题1．已知,9090,90900<<-<<-βα求2βα-的范围．2．已知⎩⎨⎧>--<=,1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34()31(f f +的值．3．已知2tan =x ，（1）求x x 22cos 41sin 32+的值．（2）求x x x x 22cos cos sin sin 2+-的值．4．求证：22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα-+=-+第三章三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A ．综合型训练一、选择题 1．方程1sin 4x xπ=的解的个数是（）A ． 5B ． 6C ． 7D ． 82．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）A ． )45,()2,4(ππππ B ． ),4(ππC ． )45,4(ππD ． )23,45(),4(ππππ 3．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（）A ． 2πB ．4π-C ． 4πD ． 34π4．已知ABC ∆是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+ 则（）A ． P Q <B ． P Q >C ． P Q =D ． P 与Q 的大小不能确定5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T , 且当2x =时取得最大值,那么（） A ．2,2T πθ==B ． 1,T θπ==C ． 2,T θπ==D ．1,2T πθ==6． x x y sin sin -=的值域是（） A ． ]0,1[- B ． ]1,0[ C ． ]1,1[- D ． ]0,2[- 二、填空题 1．已知x a a x ,432cos --=是第二、三象限的角，则a 的取值范围___________．2．函数)(cos x f y =的定义域为)(322,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ，则函数)(x f y =的定义域为__________________________． 3．函数)32cos(π--=x y 的单调递增区间是___________________________． 4．设0ϖ>，若函数()2sin f x x ϖ=在[,]34ππ-上单调递增，则ϖ的取值范围是________． 5．函数)sin(cos lg x y =的定义域为______________________________．三、解答题1．（1）求函数xx y tan log 221++=的定义域．（2）设()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值与最小值． 2．比较大小（1）32tan3tan2,2ππ；（2）1cos ,1sin ．3．判断函数x x xx x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=的奇偶性．4．设关于x 的函数22cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ，试确定满足1()2f a =的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值．第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：baC BAa b C C -=A -AB =B⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积：⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③ab a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．基础型训练一、选择题1．化简AC -BD +CD -AB 得（） A ． AB B ． C ． BC D ． 02．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（）A ． 00a b =B ． 001a b ⋅=C ． 00||||2a b +=D ． 00||2a b += 3．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4．下列命题中正确的是（） A ．若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a ⋅b ＝0，则a ∥bC ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D ．若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（） A ． 3- B ． 1- C ． 1 D ． 36．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（）A ． 0,24B ． 24,4C ． 16,0D ． 4,0 二、填空题1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31=_________2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ⋅=，则向量b =____．3．若3a =,2b =，且与的夹角为060，则a b -= ．4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________．5．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使bt a +最小，则实数t 的值为___________．三、解答题1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．2．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模．3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→AB 的比为3-，又(1,3)b →=，求→b 在→AB 上的投影．4．已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？提高型训练一、选择题1．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（）A ． 3,5a b ==-B ． 10a b -+=C ． 23a b -=D ． 20a b -=2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP， ()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（）A ． 2B ． 3C ． 23D ． 32 3．下列命题正确的是（）A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（）C ． ||||b a b a -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅= 4．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（）A ． 7B ． 10C ． 13D ． 4 5．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为A ． 6πB ． 4πC ． 3πD ． 2π6．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( ) A ． )2,4( B ． )2,4(-- C ． )3,6(- D ． )2,4(或)2,4(-- 二、填空题1．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b-的最大值是．2．若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状_________． 3．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________． 4．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += ．5．平面向量,中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b =，则向量=______．三、解答题1．已知,,a b c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量．2．证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++3．平面向量13(3,1),(,)2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =．4．如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．一、选择题 1．B000tan 600,4tan 6004tan 604aa ==-=-=--2． C 当x 是第一象限角时，3y =；当x 是第二象限角时，1y =-；当x 是第三象限角时，1y =-；当x 是第四象限角时，1y =- 3． A22,(),4242,(),2k k k Z k k k Z ππαππππαππ+<<+∈+<<+∈,(),422k k k Z παπππ+<<+∈2α在第三、或四象限，sin 20α<，cos2α可正可负；2α在第一、或三象限，cos2α可正可负4．Bsin cos tan cos αααα===5．sin sin cos cos cos ααααα+=+，当α是第二象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα+=-+=；当α是第四象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα+=-=6．B41,cos sin 32πααα=-=-+=二、填空题1．二，-cos 0α=<，则α是第二、或三象限角，而20y P =>得α是第二象限角，则12sin ,tan 23x x αα===-=-2． (21)k βαπ=++3．一、二07.4122,2ππ<-<得1α是第一象限角；9.994,2πππ<-+<得2α是第二象限角4． 0202-00020025360(202)-=-⨯+- 5． 000000tan 00,cos900,sin1800,cos 2700,sin 3600===== 三、解答题 1．解：0000009090,4545,9090,2ββα-<-<-<-<-<<()22ββαα-=+-，001351352βα-<-<2．解：11411()cos ,()()1332332f f f π===-=-14()()033f f ∴+=3．解：（1）222222222121sin cos tan 2173434sin cos 34sin cos tan 112x x x x x x x x +++===++ （2）2222222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x xx x x x x x -+-+=+22tan tan 17tan 15x x x -+==+ 4．证明：右边2(1sin cos )22sin 2cos 2sin cos αααααα=-+=-+- 2(1sin cos sin cos )2(1sin )(1cos )αααααα=-+-=-+22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα∴-+=-+综合训练一、选择题1． C 在同一坐标系中分别作出函数121sin ,4y x y x π==的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个2． C 在同一坐标系中分别作出函数12sin ,cos ,(0,2)y x y x x π==∈的图象，观察：刚刚开始即(0,)4x π∈时，cos sin x x >；到了中间即5(,)44x ππ∈时，x x cos sin >；最后阶段即5(,2)4x ππ∈时，cos sin x x >3． C 对称轴经过最高点或最低点，()1,sin(2)128882f k ππππϕϕπ=±⨯+=±⇒⨯+=+ ,4k k Z πϕπ=+∈4． B ,sin cos ;sin cos 222A B A B A B B A B A πππ+>>-⇒>>-⇒>sin sin cos cos ,A B A B P Q ∴+>+> 5． A 22,(2)sin(2)1,T f ππθθπ===+=可以等于2π6． D 0,sin 0sin sin 202sin ,sin 0x y x x y x x ≥⎧=-=⇒-≤≤⎨<⎩二、填空题1． 3(1,)2- 23023341cos 0,10,,1234214a a ax a a a a -⎧<⎪-⎪--<<-<<-<<⎨--⎪>-⎪-⎩2． 1[,1]2-2122,cos 1632k x k x ππππ-≤≤+-≤≤ 3． 28[4,4],33k k k Z ππππ++∈ 函数cos()23x y π=-递减时，2223x k k ππππ≤-≤+4． 3[,2]2 令,,2222x x ππππωωω-≤≤-≤≤则[,]22ππωω-是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[,]34ππ-⊆[,]22ππωω-，则3422232ππωωππω⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩5． (2,2),()22k k k Z ππππ-+∈ sin(cos )0,1cos 1,0cos 1,x x x >-≤≤∴<≤而 22,22k x k k Z ππππ-<<+∈三、解答题1．解：（1）12042log 0tan 02x x k x k x πππ<≤⎧+≥⎧⎪⎪⇒⎨⎨≤<+⎪⎪≥⎩⎩得02x π<<，或4x π≤≤(0,)[,4]2x ππ∴∈（2）0,0sin 1x x π≤≤≤≤当时，而[01]，是()cos f t t =的递减区间当sin 1x =时，min ()cos1f x =；当sin 0x =时，max ()cos 01f x ==．2．解：（1）2tan tan 332tan tan,2233ππππ>∴>；（2）1,sin1cos142ππ<<∴>3．解：当2x π=时，()12f π=有意义；而当2x π=-时，()2f π-无意义，()f x ∴为非奇非偶函数．4．解：令cos ,[1,1]x t t =∈-，则222(21)y t at a =--+，对称轴2at =，当12a <-，即2a <-时，[1,1]-是函数y 的递增区间，min 112y =≠；当12a >，即2a >时，[1,1]-是函数y 的递减区间，min 141,2y a =-+= 得18a =，与2a >矛盾；当112a-≤≤，即22a -≤≤时，22min 121,43022a y a a a =---=++=得1,a =-或3a =-，1a ∴=-，此时max 415y a =-+=．第二章平面向量基础训练参考答案一、选择题1． D 0AD BD AB AD DB AB AB AB --=+-=-= 2． C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==3． C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥；（3）2222()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-=（4）平行时分00和0180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅4． D 若AB DC =，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；a b a b +<+ 若//a b ，则a 在b 上的投影为a 或a -，平行时分00和0180两种20,()0a b a b a b ⊥⇒==5． C 31(3)0,1x x +⨯-==6． D 2(2cos 3,2sin 1),|2|(2cos a b a b θθθ-=-+-=-==4，最小值为0二、填空题1． (3,2)-- (9,6)AB OB OA =-=-- 2． 43(,)55- 5,cos ,1,,a ba ab a b a b=<>==方向相同，143(,)555b a ==-3．222()2922a b a b a ab b -=-=-+=-⨯=4．圆以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆 5． 45-22222()258a tb a tb a tab t b t t +=+=++=++45t =-时即可三、解答题1．解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=- 1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-G 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+2．解：22(2)(3)672a b a b a a b b +-=--=-2220cos 60672,2240,a a b b a a --=---=(4)(2)0,4a a a -+==3．解：设(,)A x y ，3AOOB=-，得3AO OB =-，即(,)3(2,1),6,3x y x y --=--==- 得(6,3)A -，(4,2),20AB AB =-=5cos 10b AB b ABθ==4．解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，所以方向相反．提高型答案一、选择题1． C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--= 2． C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---122(2PP ==≤=3． C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b =时，与可以为任意向量；||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角 4．C2236916cos a b a a b b +=++=+=5． C 21cos ,423a b a bπθθ====6．D设(2,),b ka k k==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或二、填空题1． 4 2(2cos 3,2sin 1),288sin()43a b a b πθθθ→→-=-+-=+-≤=2．直角三角形 (1,1),(3,3),0,AB ACAB AC AB AC ==-=⊥3．),(2222--或设所求的向量为22(,),220,1,2x y x y x y x y -=+===±4．由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222446a b a b a b a b a b a b ++-=+⇒+=+--=+⨯-=5． 43(,)55- 设2243(,),435,1,,55b x y x y x y x y =-=+===- 三、解答题1．解：（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =，这是一个假命题因为,()0a b a c a b c ⋅=⋅⋅-=，仅得()a b c ⊥- （2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b的夹角），方向与a在b 相同或相反的一个向量．这是一个假命题因为向量a 在b 的方向上的投影是个数量，而非向量．2．证明：设(,),(,)x a b y c d ==，则2222,,x y ac bd x a b y c d =+=+=+而cos ,cos x y x y x y x y x yθθ==≤ 即x y x y≤，得2222ac bd a b c d +≤++22222()()()ac bd a b c d ∴+≤++3．解：由13(3,1),(,)22a b =-=得0,2,1a b a b ===22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=-4．解：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-.cos 2121)(222222θa a BCPQ a BCPQ a AC AB AP a APAB AC AP a AC AB AQ AB AC AP AQ AP +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ教。

高中数学必修四总复习练习题及答案(2021年整理)

④ 。其中正确的个数为（）
(A）1个（B)2个(C)3个(D）4个
7．向量，，则( )
（A） ∥ （B） ⊥
（C）与的夹角为60°（D）与的夹角为30°
8。化简的结果是（ )
(A) （B） (C) （D）
9．函数是（）
（A）周期为的奇函数 (B）周期为的偶函数
（C) 周期为的奇函数（D）周期为的偶函数
3．角的终边过点P（4，－3）,则的值为( ）
（A）4(B）－3（C) （D)
4．若sin 〈0，则角的终边在( ）
（A）第一、二象限（B)第二、三象限
（C）第二、四象限（D）第三、四象限
5．函数y=cos2x的最小正周期是（）
（A) （B） (C） (D)
6．给出下面四个命题：① ；② ；③ ；
即
（2)
由，， ,
，
，此时，。
高中数学必修四总复习练习题及答案
第1题．已知三点的坐标分别是 ,其中．
(1）若，求的值;
（2）若，求的值．
解：（1）有．
，．
, ,
，．
，．
(2）由(1）知
,
, ，
．
平方，得，
．
第2题．向量是夹角为的两个单位向量，求向量与的夹角．
解： ,
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高1数学必修4复习题答案

高1数学必修4复习题答案高一数学必修4复习题答案在高一学习数学必修4的过程中，复习题是非常重要的一环。

通过做复习题，可以巩固和巩固所学的知识，提高数学解题的能力。

然而，有时候我们可能会遇到一些难题，对答案不太确定。

本文将为大家提供一些高一数学必修4复习题的答案，希望能够帮助大家更好地复习和理解数学知识。

1. 选择题1) 设函数f(x)=2x+3，g(x)=x^2+1，则f(g(2))的值为多少？解答：首先计算g(2)，代入x=2，得到g(2)=2^2+1=5。

然后将g(2)的值代入f(x)，得到f(g(2))=f(5)=2×5+3=13。

答案：132) 已知函数f(x)=2x-1，g(x)是f(x)的反函数，求g(3)的值。

解答：由于g(x)是f(x)的反函数，所以f(g(x))=x。

将x=3代入，得到f(g(3))=3。

由此可知，g(3)的值为3。

答案：32. 解答题1) 求解方程组：2x+y=7x-3y=-5解答：可以使用消元法来解这个方程组。

首先将第一个方程乘以3，得到6x+3y=21。

然后将第二个方程乘以2，得到2x-6y=-10。

将这两个方程相加，得到8x=-11，解得x=-11/8。

将x的值代入第一个方程，得到2(-11/8)+y=7，解得y=15/8。

答案：x=-11/8，y=15/82) 求函数f(x)=x^2-4x+3的零点。

解答：零点即为函数的解，即f(x)=0。

将函数f(x)设为0，得到x^2-4x+3=0。

可以使用因式分解法来解这个方程，将方程转化为(x-1)(x-3)=0。

因此，方程的解为x=1和x=3。

答案：x=1，x=3通过以上的例题，我们可以看到复习题的答案并不难找到，只需要运用所学的知识和解题技巧，仔细分析题目，就能得出正确的答案。

在复习数学必修4的过程中，我们还需要注意理解题目的意思，正确运用所学的知识点，灵活运用解题方法。

希望大家通过复习题的练习，能够更好地掌握数学知识，取得优异的成绩。

高中数学必修4习题和复习参考题和对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k∈Z}．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k∈Z}，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k∈Z}，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k∈Z}，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k∈Z}，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k∈Z}，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k∈Z}，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一{β|k·360°＜β＜90°＋k·360°，k∈Z}{|22,}2k k kπβπβπ<<+∈Z二{β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k∈Z}{|22,}2k k kπβπβππ+<<+∈Z三{β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k∈Z}3{|22,}2k k kπβππβπ+<<+∈Z四{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k∈Z}3{|222,}2k k kπβπβππ+<<+∈Z说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角答案：（1）C说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20 习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===；（2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=；（3）133sin ,cos ,tan 223ααα===；（4）31sin ,cos ,tan 322ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++；（4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）t an505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin 2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos 13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan 4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,32-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34sin ,cos 55αα==-，当α为第四象限角时，34sin ,cos 55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin 3x =-，求cosx ，tanx 的值．答案：当x 为第三象限角时，222cos ,tan 34x x =-=；当x 为第四象限角时，222cos ,tan 34x x ==-. 说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cosα－sinα的值．答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tanα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x xx x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29 习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）si n263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan 6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32-说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin （－1071°）·sin99°＋sin （－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin （α－2π）·sin（π＋α）－2cos 2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos 2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin （360°－α）=－sinα；（2）cos （360°－α）=cosα；（3）tan （360°－α）=－tanα．答案：（1）sin （360°－α）=sin （－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B 组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin （－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan （－330°）＋tan （－690°）；（3）252525sincos tan()634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin （5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46 习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x∈R ；（2）1cos 42y x =，x∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx＋φ）和函数y=Acos （ωx＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x∈R ；（2）y=－cosx ，x∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x∈[（2k －1）π，2kπ]，k∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx≥0；（2）tan 30x -≥．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x∈[2k－1，2k ＋1]，k∈Z ． P57 习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x∈R ；（2）1cos32y x =，x∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 0 4t 0 5t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 0 10t 0 11t 0 12t 0 s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1－10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式为y=rsin （ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P 的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin （ωt＋φ）解决实际问题． P65 习题1.61、根据下列条件，求△ABC 的内角A ：（1）1sin 2A =；（2）2cos 2A =-；（3）tanA=1；（4）3tan 3A =-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A 是△ABC 的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x ：（1）3sin 2x =-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x 的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B 组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2kπ，k∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ．答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==；当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-．说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tanα=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα；（3）（sinα＋cosα）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222s i n t a n 9c o s ααα==，得21c o s 10α=，所以23s i nc o s t a n c o s10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos （2π－α）；（2）tan （α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin 378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin （－879°），313ta n (),c o s ()810ππ--；（3）sin3，cos （sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x ＜2π，填表：x 76π 74π sinx－1cosx 22-32tanx3答案：x 76π 54π 43π 32π 74π 116πsinx12- 22- 32- －122- 12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin 2xy π=+，x∈R ；（2）y=3－2cosx ，x∈R ．答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

(精校)高中数学必修4知识点及其配套习题

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,x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬b sin A＜a a＞一条规律(1解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论有12＝42－bc,则bc＝4,故△ABC＝bc sin A＝.考向三　利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中,若(a2＋b2)sin（A－B）＝(a2－b2）sin C,试判断△ABC的形状．［审题视点］首先边化角或角化边，再整理化简即可判断．解　由已知（a2＋b2)sin（A－B)＝(a2－b2)sin C，得b2[sin(A－B）＋sin C］＝a2[sin C－sin（A－B）］，即b2sin A cos B＝a2cos A sin B，即sin2B sin A cos B＝sin2A cos B sin B，所以sin 2B＝sin 2A,由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．【训练3】在△ABC中，若Error!＝Error!＝Error!;则△ABC是（）．A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析　由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆半径)．∴＝＝Error!.即tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.答案　B考向三　正、余弦定理的综合应用【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a,b,c，已知c＝2，C＝。

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【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，选择C 。

【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ （1）．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的（2）函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）（3）函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x 前面的系数提取出来。

4函数4sin 21y x π⎛⎫=++ ⎪3⎝⎭的最小正周期为（）Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π 解：T ＝22ππ＝，故选B 5已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(A)[]1,1-(B) ,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C) 2⎡-⎢⎣⎦(D) 1,2⎡--⎢⎣⎦【解析】cos (sin cos )11()(sin cos )sin cos sin (sin cos )22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=+--=⎨<⎩即等价于min {sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。

6函数1sin 32y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（）Ａ．π2 Ｂ．π Ｃ．2πＤ．4π解：2412T ππ==，选D7函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭解：函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间满足242k x k πππππ-<+<+，∴ 单调增区间为3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，选C. 8函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）π4 （D ）π2解析: 1sin 2cos 2sin 42y x x x ==所以最小正周期为242T ππ==,故选D 考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式本题比较容易.9若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（A ）3－cos2x （B ）3－sin2x （C ）3＋cos2x （D ）3＋sin2x 解析:22(sin )3cos23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+所以2()22f x x =+,因此22(cos )2cos 2(2cos 1)33cos2f x x x x =+=-+=+故选C 本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般11.当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 D（A ）2（B ）32 （C ）4 （D ）3412.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1二、填空题 13. 已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα=________. 解： ()33,,,sin ,45παβπαβ⎛⎫∈+=-⎪⎝⎭12sin()413πβ-=，3(,2)2παβπ+∈，3(,)424πππβ-∈，∴ 4cos()5αβ+=，5cos()413πβ-=-，则cos()4πα+=cos[()()]4παββ+--=cos()cos()sin()sin()44ππαββαββ+-++-=4531256()()51351365⋅-+-⋅=- 14已知sin α=2παπ≤≤，则tan α= 。

解：由sin α=2παπ≤≤⇒cos αtan α=－215.若71cos =α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=__________。

1114- 16.函数1cos |sin |-=x x y 的最小正周期与最大值的和为 212-π . 三、解答题 1．已知tan2α=2，求（I ）tan()4πα+的值；（II ）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（I ）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+；（II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.2．已知40,sin 25παα<<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（Ⅱ）求5tan()4πα-的值。

解：(Ⅰ)由40,sin 25παα<<=，得3cos 5α=，所以22sin sin 2cos cos 2αααα++＝22sin 2sin cos 203cos 1αααα+=-。

（Ⅱ）∵sin 4tan cos 3ααα==，∴5tan 11tan()41tan 7πααα--==+ 3．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ． (Ⅰ) 求f (4π)的值；(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)，求sin α的值．解：(Ⅰ)x x x f 2cos 2sin )(+=12cos 2sin )4(=π+π=π∴f(Ⅱ) 22cos sin )2(=α+α=αf 23)4cos(,21)4sin(±=π+α=π+α∴ 262)44sin(sin ±=π-π+α=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 4．已知函数f (x )=xxcos 2sin 1-(Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=34-，求f (α)的值. 解：(Ⅰ)由cos x ≠0得x ≠k π+2π（k ∈Z ), 故f (x )的定义域为｛|x |x ≠k π+2π,k ∈Z ｝.(Ⅱ)因为tan α=34-,且α是第四象限的角, 所以sin α=54-,cos α=53,故f(α)=ααcos 2sin 1- =12sin cos cos ααα- =43125535⎛⎫-⨯-⨯⎪⎝⎭ =。