倒序相加法举例
数列求和的八种重要方法与例题
典例3:
通项
1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=？
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
错位相减法： 如果一个数列的各项是由一
个等差数列与一个等比数列对 应项乘积组成，此时求和可采 用错位相减法.
既{anbn}型
等差
等比
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例4： 4、裂项相消
1+ 1 + 1 + … + 1 = ?
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
1 2
a0 (4
a0 )
3 2
,
2°假设n=k时 ak1 ak 2 有成立， 令
f (x) 1 x(4 x) 2
f(x)在[0，2]上单调递增 f (ak1) f (ak ) f (2),
1 2
ak 1 (4
ak 1 )
1 2
ak
(4
ak
)
1 2
2
1×2 2×3
n(n + 1)
变式1：通项改为 1 = 1( 1 - 1 ) n(n + 2)
高考数学专题—数列求前n项和的5种常用方法总结
高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。
1、倒序相加法：实质为等差数列求和。
例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。
错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。
前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。
高中数学一轮复习之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法
高中数学一轮复习之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法摘要立体几何是高中数学中的重要内容之一，其中体积求和是一个常见的问题。
本文将介绍两种体积求和的方法：倒序相加法和错位相减法。
通过这两种方法，我们可以更方便地求解复杂的体积求和问题。
1. 倒序相加法倒序相加法是一种简单而直观的方法，适用于一些具有对称性质的几何体。
具体步骤如下：1. 确定要求解的几何体的个数，并按照从大到小的顺序排列。
2. 计算每个几何体的体积。
3. 将各个几何体的体积按照倒序相加的方式进行求和。
倒序相加法的优点是简单易懂，适用于初学者。
然而，需要注意的是，这种方法只适用于具有对称性质的情况，对于一些复杂的几何体，可能需要使用其他的方法进行求解。
2. 错位相减法错位相减法是一种更灵活的方法，适用于一些不具有对称性质的几何体。
具体步骤如下：1. 确定要求解的几何体的个数。
2. 依次计算每个几何体的体积。
3. 将第一个几何体的体积与第二个几何体的体积相减。
4. 将第二个几何体的体积与第三个几何体的体积相减。
5. 依次类推，直到计算完所有的几何体。
6. 对所有的几何体体积的减法结果进行求和。
错位相减法的优点是适用范围广，可以应用于各种几何体。
但是，需要在计算过程中保持准确性和注意顺序。
结论通过倒序相加法和错位相减法，我们可以更方便地求解复杂的立体几何体积求和问题。
在实际应用中，根据具体的几何体特点选择合适的方法进行求解，有助于提高计算效率和准确性。
以上是本文对于高中数学一轮复之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法的介绍。
希望对你的研究有所帮助！（注：本文所述方法为整理总结，部分应用注意题设条件是否满足）。
高中数学倒序相加例题
高中数学倒序相加例题
（原创版）
目录
1.倒序相加的概念
2.倒序相加的解题步骤
3.倒序相加的例题解析
4.倒序相加的技巧和注意事项
正文
【1.倒序相加的概念】
倒序相加法是高中数学中一种常用的解题方法，主要用于解决数列求和的问题。
倒序相加法的核心思想是将数列的求和问题转化为求解两个部分数列的乘积，从而简化问题。
【2.倒序相加的解题步骤】
倒序相加法的解题步骤如下：
Step 1：确定数列的求和问题，明确求和的上下限。
Step 2：将原数列倒序排列，即从下标 n-1 开始，到下标 0 结束。
Step 3：计算新数列的和，即原数列求和的下限与上限的和。
Step 4：计算原数列的和，即新数列的和乘以原数列的下标。
【3.倒序相加的例题解析】
例题：求数列 1, 2, 3,..., n 的和。
解：根据倒序相加法，首先将数列倒序排列，得到 n, n-1, n-2,..., 1。
然后计算新数列的和，即 n+(n-1)+(n-2)+...+1。
最后，计算原数列
的和，即新数列的和乘以原数列的下标，即 (n+(n-1)+(n-2)+...+1)×n/2。
【4.倒序相加的技巧和注意事项】
技巧：在运用倒序相加法时，可以先通过观察原数列的规律，尝试找到一个等差或等比数列，从而简化问题。
注意事项：
1.在进行倒序排列时，需要注意不要改变原数列的顺序，以免影响求和结果。
2.在计算新数列的和时，需要将原数列求和的上下限考虑在内。
求前n项和公式的常用方法
求数列前N项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解：S n=a1+a2+a3+...+a n①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
例题2：求数列的前n项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
专题06 数列求和(分组法、倒序相加法)(解析版)
数列专题六 ：数列求和（分组法、倒序相加法）一、知识储备1、倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.2、分组求和法，如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 二、例题讲解1．（2021·全国高三专题练习）定义在R 上的函数()442xx f x =+,121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2,3,n =⋅⋅⋅,求n S . 【答案】12n - 【分析】由已知条件推导出()(1)1f x f x +-=，因此111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此能求出结果. 【详解】函数4()42xx f x =+，114(1)42xxf x ---=+， 可得()(1)1f x f x +-=， 即有： 121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又121n n n S f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 可得：1122n n S ff fn n n ⎡⎤⎡-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣211n n f f f n n n ⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦， 1n =-，即有12n n S -=.故答案为：12n -. 2．（2021·全国高三专题练习）()221xf x x =-，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得122020202120212021f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。
【答案】2021 【分析】先证得()()12f x f x +-=，利用倒序相加法求得表达式的值. 【详解】解：由题意可知()()()()()2122121=22121-121x x xf x f x x x x --+-=+=---， 令S=122020 202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 则S=202020191 202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 两式相加得，220202S =⨯2020S ∴=．故填：2020 【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到()()12f x f x +-=的规律．3．（2022·全国）已知等比数列{}n a 中，11a =，且22a 是3a 和14a 的等差中项.数列{}n b 满足，且171,13b b ==.212n n n b b b +++=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a ；（2）221n n T n =+-.【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由等差中项的性质建立等量关系，求解q ，从而求出数列{}n a 的通项公式；（2）由等差中项的性质可知{}n b 为等差数列，求出{}n b 通项公式，分组求和即可.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q 因为11a =，所以222131,a a q q a a q q ====.因为22a 是3a 和14a 的等差中项， 所以23144a a a =+， 即244q q =+， 解得2,q =所以1112n n n a a q --==.（2）因为212n n n b b b +++=， 所以{}n b 为等差数列. 因为171,13b b ==， 所以公差131271d -==-. 故21n b n =-.所以1122n n n T a b a b a b =++++⋯++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋯+21212121()n n n n n -+-=+=+- 三、实战练习1．（2021·陕西渭南市·（文））已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求。
数列求和(倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等)
考点4 数列求和（倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求合法等）1．（2015江苏苏州市高三上调考）已知数列{n a }共有2k 项（2≤k 且k ∈N *），数列{n a }的前n 项的和为n S ，满足1a =2，1n a + =（p －1）n S +2（n =1，2，3，…，2n －1），其中常数p ＞1 （1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若p =2212k -，数列{n b }满足21log n b n=（12n a a a ⋯）（n =1，2，…，2n ），求数列{n b }的通项公式 （3）对于（2）中的数列{ n b }，记3||2n n c b =－，求数列{n c }的前2k 项的和． 【考点】数列的求和；数列的应用．【解】（1）证明：当n =1时，2a =2p ，则21a p a =， 当2≤n 时，112n n a p S +=+（－），-112n n a p S =+（－）， ∴11n n n a a p a +=－（－），即1n n a pa +=， ∴1n na p a +=， 故数列{n a }是等比数列．（2）由（1），得12n n a p -=（n =1，2，…，2n ），∴(1)123121222n nn n nn a a a pp-+++⋯+-⋯==2(1)(1)21221222n n n nn nk k --⨯+--==，=1(1)()21n n n n k -+- =(1)121n k -+-，（n =1，2，…，2n ）， 即数列{b n }的通项公式为(1)121n n b k -=+-，（n =1，2，…，2n ）． （3）3||2n n c b =-，设32n b ≤，解得n ≤12k +，又n 为正整数，于是：当n ≤k 时，32n b ＜；当n ≥k +1时，32n b ＞，∴数列{n c }的前2k 项的和：221k k =-．2．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））设数列{n a }的前n 项和记为n S ，且234n S n n =-+．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）设3n n na b =，记数列{n b }的前n 项和记为n T ，，求证：2536n T ≤＜. 【考点】错位相减法求和【解】（1）当n =1时，12a =，当n ≥2时，124n n n a S S n -=-=-，故2,124,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥，（2）2,13243,23n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩，其中123T =，当n ≥2时，22024...333n nn T -=+++①，23112024...3333n n n T +-=+++②，∴①－②得，231222224 (33333)n n n T +-=-++-， ∴521623n nn T -=-⨯(2)n ≥，由于0n b ≥，∴2536n T ≤＜． 3．（2015江苏高考冲刺压轴卷（三））已知数列{}n a 中，11a =，二次函数211()(2)2nn n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12， （1）试证明{}2n n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的前n 项和为n S ，试求使得3n S ＜成立的n 的值，并说明理由． 【考点】等差数列的通项公式；二次函数的性质；错位相减法求和． 【解】（1） ∵二次函数211()(2)2n n n f x a x a x -+=⋅+-⋅的对称轴为x =12， ∴n a ≠0，1211222n n n a a -+--=⨯，整理得11122n nna a +=+， 左右两边同时乘以12n +，得11222n n n n a a ++=+，即11222n n n n a a ++-= (常数)，∴{}2nn a 是以2为首项，2为公差的等差数列，∴222(1)2nn a n n =+-=，∴1222n n n n n a -==． （2）∵ 012211231...22222n n n n nS ---=+++++， ①12n S = 12311231 (22222)n n n n--++++， ②①-②得：1231111111121 (1222222212)n n n n n n n S --=++++-=--， 整理得 1242n n n S -+=-．∵ 113214(4)0222n n n n n n n n S S +-+++-=---=＞，∴ 数列{n S }是单调递增数列． ∴ 要使n S ＜3成立，即使12432n n -+-＜，整理得n +2>12n -， ∴ n =1，2，3．4．（2015江苏省南京市高三考前综合）公差不为零的等差数列{n a }的前n 项之和为n S ，且2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立．（1）求常数k 的值以及数列{n a }的通项公式；（2）设数列{n a }中的部分项123n k k k k a a a a ⋯，，，⋯，，恰成等比数列，其中1k ＝2，,3k ＝14，求1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋的值．【考点】等差数列或等比数列中的基本量问题；错位相减法与裂项相消法． 【解】（1）法一：条件化为2n n S a k ＝＋对n ∈*N 成立． 设等差数列公差为d ，则11(1)2(1)2n n dna a n d k -+＝＋－＋． 分别令n ＝1，2，3得：1111112222332a a k a d a d k a d a d k ⎧=+⎪⎪+=++⎨⎪+=++⎪⎩①②③由①＋③－2⨯②得，1113322a a d a d ++=+．两边平方得，21114233a d a a d +＋＝．两边再平方得，2211440a a d d －＋＝．解得d ＝21a ．代入②得，1143a a k ＝＋，④由④－①得，11a a ＝．所以1a ＝0，或1a ＝1． 又当1a ＝0时，d ＝0不合题意．所以1a ＝1，d ＝2． 代入①得k ＝1．而当k ＝1，1a ＝1，d ＝2时，221n n S n a n ＝，＝－，等式2()2n n a k S +＝对n ∈*N 成立．所以k ＝1，21n a n ＝－． 法二：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则211(1)()222n n n d dS na d n a n -＝＋＝＋－，11(1)()n a a n d dn a d ＝＋－＝＋－．． 代入2 ()2n n a k S +＝得，22111()[()]224d d n a n dn a k d ＋－＝＋＋－，即22221112(42)2()()dn a d n d n d a k d n a k d ＋－＝＋＋－＋＋－．因为上面等式对一切正整数n 都成立，所以由多项式恒等可得，21112422()0d d a d d a k d a k d ⎧=⎪-=+-⎨⎪+-=⎩因为d ≠0，所以解得，1211d a k =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以常数k ＝1，通项公式21n a n ＝－． （2）设n n k c a ＝，则数列{n c }为等比数列，且1312314327k k c a a c a a ＝＝＝，＝＝＝． 故等比数列{n c }的公比q 满足2319c q c ＝＝． 又n c ＞0，所以q ＝3．所以111333n n n n c c q⨯－－＝＝＝．又21n n k n c a k ＝＝－，所以213nn k －＝．由此可得11322nn k ⨯＝＋．所以2121322n n n n n a k --⨯＝＋． 所以1122n n a k a k a k ⋯＋＋＋123113355(3)(3)(3)222222=⨯++⨯++⨯+1[135(21)]2n +++++-123211[133353(21)3]22n n n =⨯+⨯+⨯++-⨯+． 法一：令123133353(21)3n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，则3S =++++2311333(23)3(21)3n n n n +⨯⨯-⨯-⨯，两式相减得:=++++23123232323(21)3n n S n +-⨯⨯⨯--⨯，1112(1)36(1)332n n n n ++⎡⎤=---⨯-=-⨯+⎣⎦,代入得+++1122n n a k a k a k121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦． 法二：因为1(21)3[(1)2]3(2)3kk k k k k +-⨯=+-⨯--⨯1(1)3k k +=-⨯-(2)3k k -⨯．所以213243[03(1)3][1303][2313]S =⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⨯1[(1)3(2)3]n n n n +++-⨯--⨯1(1)33n n ⨯＋＝－＋．代入得1122n n a k a k a k ⋯+++121211(1)33(1)33222n n n n n n ++-⋅++⎡⎤=⨯-⨯++=⎣⎦. 5．(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)已知{}n a 是等差数列，其前n 项的和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4421a b +=，4430S b +=. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记*,n n n c a b n =∈N ，求数列{}n c 的前n 项和.【考点】数列的求和，数列递推式.【解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由112a b ==，得4a =2+3d ，342b q =，486S d =+由条件4421a b +=，4430S b +=，得方程组332322186230d q d q ⎧++=⎨++=⎩解得12d q =⎧⎨=⎩ 所以*12n n n a n b n =+=∈N ，，. (2)由题意知，(1)2nn c n =+⨯.记123n n T c c c c =++++.则123n n T c c c c =++++=231223242212n n n n -⨯+⨯+⨯++⨯++⨯（），23412223242212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯（），所以2311=22(2222)(1)2n n n n T n -+-⨯+++++-+，1*2()n n T n n +=⨯∈N .6. （15淮安市金湖中学高三上学期第一次学情检测数学试卷）已知{n a }为等比数列，其中1a =1，且2354a a a a +，，成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式：（2）设21n n b n a =⋅（﹣），求数列{n b }的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【解】（1）设在等比数列{n a }中，公比为q ， ∵11a =，且2354a a a a +，，成等差数列，∴35242a a a a +=+（）， ∴2432q q q q +=+（）， 解得q =12，∴n a =11()2n -． （2）∵n a =11()2n -，∴1121212n n n b n a n =⋅=⋅﹣（-）（-）（）， ∴211111135()(21)()222n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅，①231111113()5()(21)()22222n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅，② ①－②，得：211111112()()(21)()22222n n n T n -⎡⎤=+⋅+++--⋅⎢⎥⎣⎦ 11112[1]2122n n n =+⋅﹣-()-(﹣)（）23=32n n +-，∴12362n n n T -+=-．7．等差数列{}n a 的通项公式为21n a n ＝＋，其前n 项和为n S ，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为________． 【答案】 75 【分析】 因为2n S n n =+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为10×3＋1092⨯＝75. 8．已知函数()22,n n f n n n ⎧⎨-⎩当为奇数时＝,当为偶数时，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则123100+a a a a +＋＋等于________．【答案】 100【分析】 由题意，得123100+a a a a +＋＋＝2222222222221223344599100100101------＋＋＋＋＋＋ ＝(12)(32)(99100)(101100)--＋＋＋＋＋＋＋＝(1299100)(23100101)-＋＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝5010150103100-⨯⨯＋＝. 9．数列12a ＋，，2k a k ＋，，1020a ＋共有十项，且其和为240，则1a ＋＋10k a a ＋＋的值为________．【答案】 130 【分析】 1a ＋＋10k a a ＋＋＝240－(2＋＋2k ＋＋20)＝240－(220)102+⨯＝240－110＝130.10．(2015·泰州质检)已知数列{}n a 满足11a ＝，*12()n n n a a n ⋅∈N ＋＝，则2016S =________. 【答案】 1008323⋅- 【分析】 11a ＝，2122a a =＝，又1211222n n n n n n a a a a ++++⋅==⋅.∴2n na a +＝2.∴1a ，3a ，5a ，成等比数列；2a ，4a ，6a ，成等比数列，∴201612345620152016S a a a a a a a a ＝＋＋＋＋＋＋＋＋＝13520152462016()()a a a a a a a a ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝100810081008122(12)3231212--+=⋅---. 11．已知数列{}n a ：12，1233+，123444++，，123910101010++++，，若11n n n b a a +＝，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为________． 【答案】41nn + 【分析】 12312n n na n ++++==+，∴114114()(1)1n n n b a a n n n n +===-++， ∴111114[(1)()()]2231n S n n =-+-++-+ ＝144[1]11nn n -=++. 12．(2015·扬州测试)在数列{}n a 中，11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2013S ＝________. 【答案】 －1005【分析】 由11a ＝，1(1)(1)n n n a a -＋＝＋可得22a -＝，31a -＝，40a ＝，51a ＝, 该数列是周期为4的数列，所以20131234 2 013503()503(2)1S a a a a a ⨯-＝＋＋＋＋＝＋＝ 1005-.13．(2014·济南模拟)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3224S S ＝＋，536a ＝.(1)求n a ，n S ；(2)设*1()n n b S n -∈N ＝，1231111n nT b b b b =++++，求n T . 【解】(1)因为3224S S ＝＋，所以14a d --＝， 又因为536a ＝，所以1436a d ＋＝.解得d ＝8，14a ＝， 所以48(1)84n a n n --＝＋＝，2(484)42n n n S n +-==.(2)241(21)(21)n b n n n --＝＝＋，所以11111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+. 11(1)22121nn n -=++. 14．(2015·石家庄模拟)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且122a a ⋅＝，3432a a ⋅＝.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为2*()n S n n ∈N ＝，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．【解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知得21251232a q a q ⎧=⎨=⎩，又∵10a ＞，0q ＞，解得112a q =⎧⎨=⎩，∴12n n a －＝.(2)由2n S n ＝得()21(1)2n S n n --＝≥，∴当2n ≥时，121n n n b S S n ---＝＝，当n ＝1时，11b ＝符合上式， ∴*21()n b n n -∈N ＝，∴1(21)2n n n a b n -⋅-⋅＝.12113252(21)2n n T n -=+⋅+⋅++-⋅，2312123252(23)2(21)2n n n T n n ⋅⋅⋅-⋅-⋅－＝＋＋＋＋＋， 两式相减得2112(222)(21)2(23)23n n n n T n n ----⋅--⋅-＝＋＋＋＋＝，∴(23)23nn T n -＝＋.15．数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n --＋＋＝，则{}n a 的前60项和为________．【答案】 1830【分析】 ∵1(1)21nn n a a n --＋＋＝，∴211a a ＝＋，312a a -＝，417a a -＝，51a a ＝，619a a ＝＋，712a a -＝，8115a a -＝， 91a a ＝，10117a a ＝＋，1112a a -＝，12123a a -＝，，571a a ＝，581113a a ＝＋， 5912a a -＝，601119a a ＝－，∴12601234567857585960()()()a a a a a a a a a a a a a a a ＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋15(10234)102642234=18302⨯+=＝＋＋＋＋.16．在等比数列{}n a 中，13a ＝，481a ＝，若数列{}n b 满足3log n n b a ＝，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ＝________.【答案】1n n + 【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，则34127a q a ==，解得q ＝3. 所以111333n n nn a a q --⨯＝＝＝，故3log n n b a n ＝＝， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++. 则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111111223111nn n n n -+-++-=-=+++. 17．(2015·南京模拟)数列{}n a 满足1n n a a ＋＋＝12* ()n ∈N ，且11a ＝，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则21S ＝________. 【答案】 6【分析】 依题意得11212n n n n a a a a ＋＋＋＋＝＋＝，则2n n a a ＋＝，即数列{}n a 中的奇数项、偶数项分别相等，则2111a a ＝＝，211234()()S a a a a ＝＋＋＋＋1920()a a ＋＋211221110()10162a a a a ⨯＋＝＋＋＝＋＝.18．(2015·长沙模拟)已知函数()()2cos f n n n π＝，且()(1)n a f n f n ＝＋＋，则12a a ＋3100a a ＋＋＋＝________. 【答案】 －100【分析】 若n 为偶数，则()22(1)(1)(21)n a f n f n n n n --＝＋＋＝＋＝＋，为首项为25a -＝，公差为4-的等差数列；若n 为奇数，则()(1)n a f n f n ＝＋＋＝22(1)21n n n -＋＋＝＋，为首项为13a ＝，公差为4的等差数列．所以123100139924100()()a a a a a a a a a a ＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＋5049504950345054=10022⨯⨯⨯⨯+⨯--⨯-＝＋（）. 19．设()442x x f x +＝，利用倒序相加法，可求得1210()()()111111f f f +++的值为________．【答案】 5【分析】 当121x x ＋＝时，()()121212444242x x x x f x f x +++＋＝＝12121212242(44)14(44)24x x x x x xx x ++⨯+⨯+=++⨯+. 设S ＝1210()()()111111f f f +++，倒序相加有2S ＝11029101[()()][()()][()()]10111111111111f f f f f f ++++++=，即S ＝5.20．在数列{}n a 中，15a -＝，22a -＝，记()12n A n a a a ＝＋＋＋，()23B n a a ＝＋1n a ＋＋＋，()*342()n C n a a a n ∈N ＋＝＋＋＋，若对于任意*n ∈N ，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}||n a 的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列， ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得2121253n n a a a a ---＋＋＝＝＋＝， ∴数列{}n a 是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴53(1)38n a n n ---＝＋＝. (2)38,2||=38,3n n n a n n -+⎧⎨-⎩≤≥，记数列{}||n a 的前n 项和为n S . 当2n ≤时，2(583)313222n n n S n n +-==-+；当3n ≥时，2(2)(138)313714222n n n nS n -+-=-+＝＋，综上，22313,22231314,322n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥.21. (2014·广州综测)已知等差数列{}n a 的前n 项和为2()n S n pn q p q ∈R ＝＋＋，，且2a ，3a ，5a 成等比数列．(1)求p ，q 的值；(2)若数列{}n b 满足22log log n n a n b ＋＝，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解】(1)当n ＝1时，111a S p q ＝＝＋＋， 当2n ≥时，1n n n a S S -－＝＝22[(1)(1)]n pn q n p n q ---＋＋＋＋ ＝21n p -＋. ∵{}n a 是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又23a p ＝＋，35a p ＝＋，59a p ＝＋， ∵2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即2(5)(3)(9)p p p ＋＝＋＋，解得p ＝－1.(2)由(1)得22n a n -＝.∵22log log n n a n b ＋＝，∴221224n an n n b n n n --⋅⋅⋅＝＝＝. ∴1231n n n T b b b b b -＝＋＋＋＋＋0122142434(1)44n n n n --⨯⨯⋅⋅＝＋＋＋＋－＋，① 1231442434(1)44n n n T n n -⨯⨯-⋅⋅＝＋＋＋＋＋，② ①－②得0121344444n n n T n ---⋅＝＋＋＋＋ 14(13)414143n n n n n --⋅-=-⋅=-. ∴1[(31)41]9n n T n =-⋅＋．。
高中数学一轮复习之数列求和之倒序相加与错位相减法
cn＋1－ cn＝ 2.
所以数列 { cn} 是以首项 c1＝1，公差 d＝ 2 的等差数列，故 cn＝2n－ 1.
(2)由 bn＝ 3n－1 知 an＝ cnbn＝ (2n－ 1)3n－1 ， 于是数列 { an} 前 n 项和 Sn＝ 1·30＋3·31＋ 5·32＋ … ＋ (2n－ 1) ·3n－1 ， 3Sn＝ 1·31＋ 3·32＋ … ＋ (2n－ 3) ·3n －1＋ (2n－ 1) ·3n， 相减得－ 2Sn＝ 1＋ 2·(31＋ 32＋ … ＋3n－ 1)－ (2n－ 1) ·3n＝－ 2－(2n－ 2)3n，所以 Sn＝ (n－ 1)3n＋ 1.
（Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn
1 ， Tn 是数列 {bn} 的前 n 项和，求使得 Tn
an an 1
m 对所有 n
20
N 都成立的
最小正整数 m；
6、 求数列 { 2n 1 3n} 前n项和 .
【变式探究】 数列 { an} 满足 a1＝ 1， nan＋ 1＝( n＋ 1)an＋ n(n＋ 1)， n∈ N*.
(1)证明：数列
an n
是等差数列；
(2)设 bn＝ 3n· an，求数列 { bn} 的前 n 项和 Sn.
【例
2】
பைடு நூலகம்
求证：
C
0 n
3C
1 n
5
C
2 n
(2n
1)
C
n n
(n 1)2 n
（Ⅰ）求
an 及 Sn ；（Ⅱ）令
1 bn= an 2
(n
1
N * ) ，求数列
bn 的前 n 项和 Tn ．
5、已知二次函数 y f ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为 f '( x) 6x 2 ，数列 { an } 的 前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn )( n N ) 均在函数 y f ( x) 的图像上。