倒序相加法

倒序相加法（对偶原理）.,一倒序相加法对偶原理的来源.二使用倒序相加的常用类型及常见对偶量 .三常用构造对偶量的方法 .四双倒序相加法,Gauss 说到对偶原理首先我们想到的是伟大数学家在十岁的时候123...100:++++计算123...100(1100)(5051)501015050++++=+++=⨯=,1,2,3,Gauss 通过配对的方法把这些变化量的累加变成常量的和.从而大大减小了运算量,.而这种配对的方法我们把它称作对偶原理,,:n n S 事实上在高中数学的数列部分我们推导过等差数列的前项和12111111,:,(),()2()(),2n n n n m p q n n n nn n k n k n n k S a a a a a a a a n m p q S a a a n a a S a a n a a S --+==+++=++=++++=+=+=∑为等差数列我们把改写成那么., 这种方法称为倒叙相加法事实上倒序相加也为对偶原理其关键在 ,,.于通过合理的配对使得某两项相加为定值使得计算简化,, 我们把某两项和为定值的量称为对偶量那自然就要问有哪些常见,,()n m p q a a a a n m p q +=++=+的对偶量比如前面提到的:这里我们直接给出一些常见对偶量 2211(),,:()()1111x x f x f x f x x x x =+=+++4()()(1)124x xx f x f x f x =+-=+22sin sin ()12x x π+-=:,()n m p q a a a a m n p q +=++=+等差数列2221.sin 1sin 2sin 89++例求042.(),,()24x n n nx k kf x S S f n ===+∑例求01,()()(),()(1)1n nS f f f f x f x n n n =+++-=事实上我们可以验证010()()(),2()()nn n k n n k n k S f f f S f f n nn n n =--=++=+∑那么12(1)1,2n n n S n S +=+⋅=则11113.(),,(1)(2)(2014)()()()1122014n n f x S S f f f f f f x ==++++++例求 1112221214.(),(,)(,),42x f x P x y P x y PP Q=+例和为函数上两点记中点为12(1)1,x x Q +=证明当时的纵坐标为定值(2)(),n n na f a n m=求前项的和5.,426,4110,187,n n a S n=例等差数列前项和为末项和为所有项之和求 2121006.(),(1)(2)(100)()()()1222x f x f f f f f f x =+++++++例求123100()()()()100100100100f f f f ++++1217.:22nn n n n C C nC n -++=例求证1213218.()(),n n n p n p f x f a x b a a a a a a a a a---++-=+=+=+==+=例已知1(),2nn k n k nbS f a S ===∑求证,(),事实上该例总结了可用倒序相加法对偶原理的一类问题我们特地给出证明 12:()()()n n S f a f a f a =++证明11()()()n n n S f a f a f a -=++112132112()(),nn k n k n n n p n p k S f a f a a a a a a a a a a-+---+==++=+=+==+=∑则而112()(),()()nn n k S f a f a f x f a x b==++-=∑得到考虑到2,2n n nb S nb S ==那么.其余例题的解答留给读者,, 以上内容中我们介绍了哪些问题可以使用倒序相加或对偶原理或者 ,.,,说哪些问题比较容易看出来用倒序相加法但是往往有些问题用倒序相加 ,.对偶原理来解决比较容易但是如何使用这种方法才是真正的难点通常情 ,,.,况下不知道对偶量使得我们无法解题通俗的讲不容易把那些相加为定值 .,,的量找出来因此在下面的内容中我们主要解决这个问题其中很重要的方法.就是构造对偶量22:sin 10cos 40sin10cos 40++ 我们先引入一个例子求 22:sin 10cos 40sin10cos 40M =++此处我们将正弦与余弦对偶令22cos 10sin 40cos10sin 40N =++ :2sin104010sin 402sin 50M N cos cos +=++=+那么得到12080sin104010sin 40sin 502M N cos cos cos cos -=-++-=--2sin 503,14sin 502M N M M N ⎧+=+⎪=⎨-=--⎪⎩因此, 下面我们介绍一些常见的构造对偶量的方法使得我们可以使用倒序相加或.,,,者对偶原理事实上构造对偶量十分灵活的因此我们不给出通性通解只给出典型:;;的类别利用三角函数构造对偶量利用共轭与和差关系构造对偶量直接倒序相加;.型轮换变量构造对偶量1.三角函数对偶2211:sin cos 1,sin cos sin 2,(ln sin ln cos ln sin 2)22x x x x x x x x +==+=主要利用cos cos sin sin cos(),cos cos sin sin cos()x y x y x y x y x y x y +=--=+ 2221.:cos cos 2cos 31,0,2x x x x π⎡⎤++=∈⎢⎥⎣⎦例解方程222222cos cos 2cos 3,sin sin 2sin 3M x x x N x x x =++=++令3,(1)M N +=那么立即得到2cos 2cos 4cos62cos cos32cos 31M N x x x x x x -=++=+- 2cos3(cos cos3)14cos cos 2cos31,(2)x x x x x x =+-=-1(1)(2):cos cos 2cos3(22),14x x x M M +=-=而cos cos 2cos30,cos 0cos 20cos30x x x x x x ====那么或或0,,,,2642x x ππππ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦考虑到 222.cos 10cos 50sin 40sin80+-例求2222:cos 10cos 50sin 40sin80sin 40sin 80sin 40sin80M =+-=+-构造对偶量令22cos 40cos 80cos 40cos80N =++32cos1202M N +=-=那么cos80cos160cos 402cos120cos 40cos 400N M -=++=+=33,240M N M N M ⎧+=⎪=⎨⎪-=⎩得23453.cos cos cos cos cos1111111111πππππ例求 23452345cos cos cos cos cos ,sin sin sin sin sin11111111111111111111M N ππππππππππ==令 12468101sin sin sin sin sin 32111111111132MN Nπππππ==10,32N M ≠=所以,,.该例子表面上是倒序相乘但原理和倒序相加一样都是先构造对偶量再配对 224.sin 10cos 40sin10cos 40++例求2315.(,1963):coscoscos 7772IMO πππ-+=例证明2323(:cos cos cos ,sin sin sin )777777A B ππππππ=-+=-+提示令解答留给读者2.()(),()(),(,),:f x g x f x g x z a bi a b R z a bi +-=+∈=-利用共轭与和差关系构造对偶对于可以构造对偶式对于可以构造共轭将构造出的对偶式与原来的关系联立1.例一个比较容易的例子(0,),3sin 4cos 5,tan 2x x x xπ∈+=求3sin 4cos ,3sin 4cos M x x N x x =+=-令5sin 3sin 4cos 56,3sin 4cos 5cos 8N x x x x x N Nx ⎧+⎧=⎪⎪+=⎪⎪⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪⎩⎩得到 2273sin cos 1,,tan 54x x N x +==-=22:sin cos ,tan sin cos ,sin ,cos sin cos sin cos 1,sin ,cos ,tan a x b x M xa xb x Mx x N a x b x N x x x x x +=+=⎧⎨-=⎩+=一般的求解出关于的表达式最后利用求出222222101010,(1)210,(2)21(1)(2):242(100)2(1)(2):1610103aaa a x a x ax ====⎪⎩+=-=++=+-==±例利用和差构造对偶得到得到,,M =一般的N =M N ==3.,313z C zz iz i ∈-=+例解方程313zz iz i +=-构造对偶式313,:113313zz iz iz i zz iz i ⎧-=+⎪=--⎨+=-⎪⎩解得或14.,||1,1,:1z z C z z z -∈=≠±+例且证明为纯虚数1111,,01111z z z z M N M N z z z z ----==+=+=++++则110,11z z z z --≠++又所以为纯虚数,z a bi =+相比我们设计算量要少,, 以上三个例子我们可以发现利用和差或者共轭对偶入手比较容易并且在上,,,面几个例子过程也不太复杂下面我们给出几个过程稍微困难的例子但思路还是,.很自然仍为构造对偶量65.(1?+=例,当然可以直接计算但是运算量会比较大66:(1,1),A B ==构造对偶量设416A B +=那么很容易算出,,A B +事实上计算时运算量直接减少一半读者可自行验证:011,:415A <-<=同时注意到那么6.,,n n n a n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦例为正整数讨论的奇偶性33,22a b ==同样我们构造对偶量并且我们注意到2:320a b x x --=和为为二次方程的两根:,n n n n x a b x =+我们写出对偶量之和同时也要找出的性质221121()()()32n n n n n n n n n x a b a b a b ab a b x x ++++++=+=++-+=+22123,13x a b x a b =+==+=为奇数:.n x 那么根据递推我们可得出为奇数:10,b -<<注意到(1):01,1n n n n n n b x a b a ⎡⎤<<=+=+⎣⎦为偶数时 ,nn x a ⎡⎤⎣⎦为奇数则为偶数 (2):10,n n n n n n b x a b a ⎡⎤-<<=+=⎣⎦为奇数时 n a ⎡⎤⎣⎦故为奇数:n a n 综上所述的奇偶性与相同1007.,,(1,a b N a ab +∈+=+例则的个位数为多少100(::(1a -=-提示利用对偶立即可以得出100100(3),)ab =+--之后类似于上例解答留给读者,这一类主要应用在证明不等式上我们特地把它总结于此 ,主要是考虑不等式的结构然后轮换字母构造对偶式221.:1,1,811a b a b b a >>+≥--例证明对任意实数 2222,1111a b b a M N b a b b =+=+----令22222()()0,11(1)(1)a b b a a b a b M N M Nb a b a --+--=+=≥≥----则即1111114(1)(1)81111N b a b a b a b a =+++++=+-++-+≥----8,8,2M N M a b ≥≥≥==所以当且仅当时成立2222.,,,:2a b c a b ca b c R a b b c c a +++∈++≥+++例求证222222,a b c b c a M N a b b c c a a b b c c a =++=++++++++设222222222a b b c c a a b b c c aM N a b ca b b c c a +++++++=++≥++=+++++那么0,2a b cM N M N ++-==≥1233.:1:,,,n a a a a 例证明对于和为的正数有如下不等式222121223112n n a a a A a a a a a a =++≥+++22232121321(::)n a a a B a a a a a a =+++++提示构造对偶量22224.1,:a b c d +++≤例设求证444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤ 44(:()().)B a b c d =-+-提示考虑对偶式.最后我们介绍双倒序相加法,,双倒序相加顾名思义就是两次倒叙我们最终要得出两个结论 n a n 等差数列的前项和组成的数列求和可以用双倒序相加法,n n a na n 为等差数列则的前项和可以用双倒序相加::1,12,123,,12n ++++++我们从一个例子引入求数列的和1(12)(123)(123),(1)n S n =+++++++++++n S 我们对做如下的恒等变换1(21)(321)((1)1),(2)n S n n =++++++++-+((1)(1))((2)(2)(2))(111),(3)n S n n n n n n =+-+-+-+-+-+++++(1)(2)(3)++得到3(2)2(2)3(2)(2)n S n n n n n =+++++++1(2)(123)(1)(2)2n n n n n =+++++=++(1)(2)6n n n n S ++=那么21(1)(21):6nn k n n n S k =++==∑我们再尝试用此方法解决另一个经典的求和2222123n S n =++++2135(21)n n =++++-注意到1(13)(135)(13521)n S n =++++++++++-1(31)(531)((21)(23)1)n S n n =+++++++-+-+(21)((23)(23))(1111)n S n n n =-+-+-+++++相加得到3(21)2(21)3(21)(21)n S n n n n n =+++++++;(1)(21)6n n n n S ++=:现在我们要得出一般的结论12,,,n na a bn n S S S =+对于等差数列他的前项和组成的数列(1)(3(2)),6n n n n n a n b n T T T +++==前和为则:()(()(2))(()(2)(3))(()())n T a b a b a b a b a b a b a b a nb =+++++++++++++++证明:两次倒序()((2)())((3)(2)())(()())n T a b a b a b a b a b a b a nb a b =+++++++++++++++()2((1))()n T a bn a n b n a b =+++-++3(3(2))2(3(2))(3(2))(12)(3(2))n T a n b a n b n a n b n a n b =++++++++=++++相加得(1)(3(2))6n n n a n b T +++=所以,为了证明我们的第二个结论我们还是从例子引入 :1427310(31)n n ⨯+⨯+⨯+++求和4(77)(101010)((31)(31))n S n n =++++++++++(31)((31)(32))((31)(32)74))n S n n n n n =++++-++++-+++(31)((32)(31))(47(32)(31))n S n n n n n =++-+++++++-++23(66)(123)3(1)n S n n n n =+++++=+那么2(1)n S n n =+则,和上面的情形几乎一样都是采用的双倒序相加法:接着我们给出一般的结论123:,:1,2,3,n na a bn a a a n T =+对于等差数列数列的前项和(32)(123)3n a b bn n T +++++=:()((2)(2))(()())n T a b a b a b a bn a bn =+++++++++证明 ()(()((1)))(()())n T a bn a bn a b n a bn a b =+++++-+++++ ()(((1))())(()())n T a bn a b n a bn a b a bn =+++-+++++++3(32)(123)n T a b bn n =+++++则(32)(123)3n a b bn n T +++++=。