高三数学极限与探索性问题的解题技巧

专题九极限与探索性问题的解题技巧

【命题趋向】

综观历届全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点：1．数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意．

2. 数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．

②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.

③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型．

3．函数的极限

①此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限．

②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算．

③利用两个重要极限求函数的极限．

④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.

4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间．

5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，

因而极限题是高考中的得分点． 6.注意掌握以下思想方法

①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；

②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.

此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高． 【考点透视】

1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．

3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.

2.几个常用的极限：①∞

→n lim C =C （C 为常数）;②∞

→n lim n

1=0;③∞

→n lim q n =0（|q |＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞

→n lim a n =a , ∞

→n lim b n =b 时，∞

→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;

例1. ( 2006年湖南卷）数列{n a }满足:113

a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=?,则

12lim()n n a a a →∞

+++=L ( )

A.12

B.23

C.32

D.2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞

=< 的应用.

[解答过程]由113

a =和m n m n a a a +=?得23111,,.9273

n n

a a a ==∴=

1211(1)

13

3lim()lim .1213

n n x x a a a →∞→∞-∴++???+==-

故选A.

例2．（2006年安徽卷）设常数0a >

，4

2ax ? ?

展开式中3x 的系数为32，则

2lim()n n a a a →∞

++???+=_____.

[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程] 14822

14

r r

r

r

r T C a

x

x

---+=，由18232

,2,r r

x

x

x r --==得4431=22

r r C a -由知a=，所以21

2lim()11

12

n n a a a →∞++???+==-，所以为1. 例3. （2007年福建卷理）把21(1)(1)(1)n x x x +++++++L 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1

n n n a a ∞

-+→等于( )

（ ）

A ．14

B ．12

C ．1

D ．2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞

=< 的应用.

[解答过程] 22121,1(1)(1)(1)122221,12

n

n n n n x a x x x -==+++++++=++++==--L L 当时

1212211211lim lim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n n

a a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D

例 4. (2007年天津卷理)设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则

2

2lim n n n

a n S →∞-= ． 思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为n S 和通项n a ． [解答过程] 221222,,2

n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1)

22

22

2

2

222122lim lim lim 3.1n

n n n n a

a n n a n n n a S n a n n

→∞→∞→∞-+---+-===-+-+

()()∴1(1) 故填3 小结:

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：

（1）各数列的极限必须存在；

（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞

→n lim C =C （C 为常数）;

（2） ∞

→n lim （n

1）p =0（p ＞0）;

（3） ∞

→n lim d cn b an k k

++=c

a （k ∈N *,a 、

b 、

c 、

d ∈R 且c ≠0）;

（4） ∞

→n lim q n =0（|q |＜1）.

例5. (2007年重庆卷理)设正数a , b 满足4)(2

2

lim

=-+→b ax x x 则=

++--+∞

→n

n n n n b a ab a 2111

lim （ ）

（A ）0

（B ）41

（C ）2

1

（D ）1

解

:

221

lim()4,24,.2

x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴1111

11111112lim

lim lim .

1224222

n n n n n n

x x x n n a a a a ab

a b a a b b b b

b --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]

则()() 故选B

小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：

（1）如果+∞

→x lim f （x ）=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极

限是a ,记作∞

→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.

（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0

lim x x →f （x ）=a ,也可记作

当x →x 0时，f （x ）→a .

（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0

lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧

（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0

lim x x f （x ）=a .

2.极限的四则运算法则：

如果0

lim x x → f （x ）=a , 0

lim x x →g （x ）=b ,那么

lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0

lim x x →[f （x ）

·g （x ）]=a ·b ; 0

lim x x →)

()

(x g x f =b

a （

b ≠0）.

例6．(2007年江西卷理) 1

lim 2

31

--→x x x x =( )

A ．等于0

B ．等于l

C ．等于3

D ．不存

在

[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.

[解答过程] 322

21

1

1

1lim lim lim 1.1

1

x x x x x x x x x x →→→--===--()故选B

例7．(2007年四川卷理) =---→1

21

lim 221x x x n ( )

（A ）0

（B ）1

（C ）2

1

（D ）3

2

[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 2211111112lim lim lim .

211113

n n n x x x x x x x x x →→→--++===--+-+()()(2)()2

故选D

例8.若f （x ）=1

1113

-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.

思路启迪：利用逆向思维球解.

解答过程：∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0

lim →x f （x ）,

lim →x f （x ）= 0

lim

→x 1

1113

-+-+x x =

lim

→x 1

111)1(33

2++++++x x x =23.

答案: 2

3

例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1

lim →x f （x ）=0,2

lim -→x f （x ）=－3,求这一函

数最大值..

思路启迪：由函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,利用f （－x ）=f （x ）构造方程,求出b 的值.

解答过程：∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）,即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .

又1

lim →x f （x ）= 1

lim →x ax 2+c =a +c =0, 2

lim -→x f （x ）=2

lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,

∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1.

例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知a

x 2lim →=a

x x f 2)(-=a

x 4lim

→a

x x f 4)(-=1. 求a

x 3lim →a

x x f 3)(-的值（a 为非零常数）.

解答过程：由于a

x 2lim

→a

x x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ① 同理f （4a ）=0. ②

由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）. 这里A 、C 均为待定的常数. 由a

x 2lim

→a

x x f 2)(-=1,即

a

x 2lim

→a

x C x a x a x A 2))(4)(2(----=a x 2lim →A （x －4a ）

（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,

即4a 2A －2aCA =－1. ③ 同理，由于a

x 4lim

→a

x x f 4)(-=1,

得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,

即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =2

21a ,

因而f （x ）=2

21a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.

∴a

x 3lim

→a x x f 3)(-=a x 3lim →2

21a （x －2a ）（x －4a ）

=2

21a ·a ·（－a ）=－2

1.

例11 a 为常数，若+∞

→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________..

思路启迪：先对括号内的的式子变形.

解答过程：∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞

→x lim ax

x x a x +---1122

22=+∞

→x lim ax

x x a +---11)1(222=0,

∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0,

∴a =1.

考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性.

一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：

（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0

lim x x →f （x ）存在；（3）0

lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果

函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0

lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点

x 0处连续.

2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.

3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,)

()(x g x f （g （x ）≠0）

也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.

例12..f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 思路启迪：说明问题即可.

解答过程：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A

例13.f （x ）=x

x

πcos

πcos

的不连续点为( )

A.x =0

B.x =

1

22+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =1

22+k （k =0,±1,±2,…）

思路启迪：由条件出发列方程解之.

解答过程：由cos x

π=0,得x

π=k π+2

π（k ∈Z ）,∴x =)(1

22Z ∈+k k .

又x =0也不是连续点,故选D 答案：D

例14. 设f （x ）=??

?≥+<),

0(),0(e x x

a x x

当a 为________时,函数f （x ）是连续的.