2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：程序框图
高考理科数学试题分类汇编12：程序框图
高考理科数学试题分类汇编12：程序框图一、选择题1 ．）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．610987【答案】C2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则 （ ）A ．4=aB ．5=aC ．6=aD ．7=a【答案】A3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（第5题图）（ ）A ．16B ．2524 C ．34D ．1112【答案】D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））执行如题(8)图所示的程序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是（ ）A ．6k ≤B ．7k ≤C ．8k ≤D ．9k ≤【答案】B5 ．（2013年高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）A ．2*2S i =-B ．2*1S i =-C ．2*S i =D ．2*4S i =+【答案】C6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））阅读如图所示的程序框图,若输入的10k =,则该算法的功能是 （ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和 [来源:]C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】A7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））执行右面的程序框图,如果输入的10N=,那么输出的S=（）A．1111+2310+++……B．1111+2310+++……！！！C．1111+2311+++……D．1111+2311+++……！！！【答案】B8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））执行如图所示的程序框图,若输入10,n S==则输出的（）A．511B．1011C．3655D．7255【答案】A9 ．（2013年高考新课标1（理））运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于（ ）A ．[3,4]-B ．[5,2]-C ．[4,3]-D ．[2,5]-【答案】A10, 当输入x 为60时, 输出y 的值为（ ）A ．25B ．30C ．31D ．61【答案】C11．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为（）A．64 B．73 C．512 D．585【答案】B二、填空题12．（2013年高考湖南卷（理））执行如图3所示的程序框图,如果输入==则输出的的值为_____9_____.1,2,a b a【答案】913．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WO RD版含附加题））下图是一个算法的流程图,则输出的n的值是________.【答案】314．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______.【答案】715．（2013年高考湖北卷（理））阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=___________.【答案】 516．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））执行右图的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n的值为_____.【答案】3。
北京市各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(16)算法框图
北京市各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编（16）算法框图一、选择题:（4）(北京市东城区2013年4月高三综合练习一文）执行如图所示的程序框图，输出的结果是56，则判断框内应填入的条件是（A）5?n≤（B）5?n<（C）5?n>（D）5?n≥【答案】A3. (北京市房山区2013年4月高三第一次模拟理)执行如图所示的程序框图．若输出15S=，则框图中①处可以填入 ( B )A. 4n>B. 8n>C. 16n>D. 16n<3．(北京市西城区2013年4月高三一模文)执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ（A ）π6（B ）π6- （C ）π3（D ）π3- 【答案】D3. (北京市海淀区2013年4月高三第二学期期中练习理)某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.2- B. 1- C. 12D.2 【答案】C4. （北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习一文）执行右边的程序框图所得的结果是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ） 6【答案】A开始输出y结束输入x 2-=x x 0≤x x y 2=是 否二、填空题:（11）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习理)执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .【答案】20（10）(北京市朝阳区2013年4月高三第一次综合练习文)执行如图所示的程序框图，输出结果S= .【答案】20（12）（北京市昌平区2013年1月高三期末考试理）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．。
专题三：程序框图2013-2016高考数学全国卷(文)
1、（2016全国I 卷10题）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：0,1,2x y n ===， 第二次循环：1,2,32x y n ===， 第三次循环：3,6,32x y n ===，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足4y x =．故选C2、（2015全国I 卷9题）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8解析：故答案选C3、（2014全国I 卷9题）执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===； 4n =时：输出158M = . 选D.4、（2013全国I 卷7题）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S 属于（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-5、（2016全国II卷9题）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7（B）12（C）17（D）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n;⨯+=，k=2，不满足k>n;第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=3，满足k>n，第三次运算，a=5，s=62517输出s=17，故选C．6、（2015全国II卷8题）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b分别为14,18,则输出的a为（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B.考点：1. 更相减损术；2.程序框图.7、（2014全国II 卷8题）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S=（A ）4（B ）5（C ）6（D ）7【答案】 D【解析】.3 7 22 5 2 13 1 ,2,2D KS M t x 故选变量变化情况如下：== 8、（2013全国II 卷7题）执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =（ ）（A ）1111234+++ （B ）1111232432+++⨯⨯⨯ （C ）111112345++++ （D ）111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，选B. 9、（2016全国III 卷8题）执行右面的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6【答案】B。
2013年(全国卷II)(含答案)高考理科数学
2013年(全国卷II)(含答案)高考理科数学2013年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）数学(理)试题一、选择题( 本大题共12 题, 共计60 分)1．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()．A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i3．等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()．A．13B．13-C．19D．19-4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则()．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()．A．1111+2310+++B．1111+2!3!10!+++C．1111+2311+++D．1111+2!3!11!+++7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为()．8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()．A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c9．已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()．A．14B．12C．1 D．210．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是()．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()．A．(0,1) B．211,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭C．211,23⎛⎤-⎥⎝⎦D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1 x ya b+(a＞b＞0)右焦点的直线30x y+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD 面积的最大值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F 分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)2221a b cb c a++≥.2013年普通高等学校招生全国统一考试（2新课标Ⅱ卷）数学(理)试题答案解析:一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.2．答案：A 解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i. 3．答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q--＝a 1·q ＋10a 1， ∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.4．答案：D解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β. 又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.5．答案：D解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5，r ∈Z)，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.6．答案：B解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1； 当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯； 当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，所以B 正确．7．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A.8．答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c ＜b ＜a .故选D.9．答案：B 解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得12a =，所以12a =.10．答案：C解析：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．11．答案：C解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p .又点F 的坐标为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y －y 0)y ＝0. 将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即202y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 12．答案：B解析：情形1：直线y = a x +b 与AC 、BC 相交时，如图所示，设MC= m, NC = n,由条件知S△MNC = 12⇒mn = 1显然0 < n ≤ 2 ⇒m = 1n≥22又知0 <m ≤ 2 , m≠n所以22≤m ≤ 2 且m≠1D到AC、BC的距离为t, 则tm+ tn=DNMN+DMMN= 1⇒t =mnm+n⇒1t= m +1mf (m) = m + 1m(22≤m ≤ 2 且m≠1)的值域为(2,322] ⇒2 < 1t≤322⇒23≤t <12因为b =1-CD =1- 2 t ，所以1-22< b≤13情形2：直线y = a x +b与AB、BC相交时，如图所示，易求得x M= -ba,y N=a+ba+1,由条件知(1+ba)a+ba+1= 1⇒b21-2b= aM在线段OA上⇒0< ba<1 ⇒0 < a < bt txym nDCoNMA BxyCo BA MNN 在线段BC 上⇒0< a +ba +1 <1 ⇒b < 1解不等式：0 < b 21-2b < b 得 13 < b < 12综上：1-22 < b < 12第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.14．答案：8解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得n ＝8.15．答案：10 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ.将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210cos 19θ=. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝31010-，sin θ＝1010，sin θ＋cos θ＝105-. 16．答案：－49解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，①S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =， 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ， 又B ∈(0，π)，所以π4B =. (2)△ABC 的面积12sin 24S ac B ac ==. 由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4ac . 又a 2＋c 2≥2ac ，故422ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2+1.18．解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB 2AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则10,0,CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩可取n ＝(1，－1，－1)． 同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10,0,CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝3||||=·n m n m sin 〈n ，m 6即二面角D －A 1C －E 619．解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000，当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150. 由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以ET ＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.20．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y yx x ---， 由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012y x =，所以a 2＝2b 2. 又由题意知，M 的右焦点为30)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为22=163x y +.(2)由2230,1,63x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩解得4333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,3.x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 因此|AB |46.由题意可设直线CD 的方程为y ＝533x n n ⎛+<< ⎝，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由22,163y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,42229n n -±(-).因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝24342|93x x n -=-.由已知，四边形ACBD 的面积2186||||929S CD AB n =⋅=-当n ＝0时，S 86. 所以四边形ACBD 86. 21．解：(1)f ′(x )＝1e x x m-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1x x -+. 函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2x x -+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得0e x ＝012x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FA EA=， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离2222cos d x y α=+=+＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．24．解：（Ⅰ）由a 2 + b 2 ≥2ab ，b 2 + c 2 ≥2bc ，a 2 + c 2 ≥2ac 得a 2 +b 2 +c 2≥ab + bc + ac ⇒ (a + b + c )2 = (a 2 + b 2 + c 2) + 2(ab + bc + ac ) ≥3(ab + bc + ac ) ⇒ 1≥3(ab + bc + ac )⇒ab + bc + ac ≤ 13. （Ⅱ）证法一：因为 a 2b + b ≥2a ，b 2c + c ≥2b ，c 2a + a ≥2c所以 ( a 2b + b 2c + c 2a )+(a + b + c ) ≥ 2(a + b + c )⇒ a 2b + b 2c + c 2a + 1 ≥ 2⇒ a 2b + b 2c + c 2a ≥1证法二：由柯西不等式得：( a 2b+ b 2c + c 2a )( b + c + a )≥ (a + b + c )2 ⇒ a 2b + b 2c + c 2a ≥1。
2013高考数学各省题目分类整理：算法
2013高考：算法【2013高考题组】1、（2013北京，文6理4）执行如图所示程序框图，输出的S 值为（ ）A 、1B 、23C 、1321D 、610987 第1题图 第2题图 第3、4题图 第5题图2、（2013全国课标I ，文7理5）执行下面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的s 属于（ ）A 、[3,4]-B 、[5,2]-C 、[4,3]-D 、[2,5]-3、（2013全国课标II ，文7）执行如图所示程序框图，如果输入4N =，那么输出的S =（ ）A 、1111234+++B 、1111232432+++⨯⨯⨯ C 、111112345++++ D 、111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 是否结束输出Si ≥2i=i +1S=S 2+12S +1开始i=0,S=14、（2013全国课标II ，理6）执行如图所示程序框图，如果输入10N =，那么输出的S =（ ）A 、11112310++++L B 、11112!3!10!++++L C 、11112311++++L D 、11112!3!11!++++L 5、（2013山东，文6）执行两次如图所示程序框图，若第一次输入的a 的值为 1.2-，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次、第二次输出的a 的值为（ ）A 、0.2，0.2B 、0.2，0.8C 、0.8，0.2D 、0.8，0.86、（2013山东，理12）执行如图所示程序框图，若输入ε的值为0.25，则输出的n 的值为 。
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图7、（2013江苏，5）右图是一个算法的程序框图，则输出的n 的值为 。
8、（2013安徽，文3理2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为（ ）A 、34 B 、16 C 、1112 D 、25249、（2013浙江，理5）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值为95，则A 、4a =B 、5a =C 、6a =D 、7a =10、（2013浙江，文14）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 。
2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．复数的1i 1z =-模为 ( ) A.12B.22C.2D.2【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数，利用2i 1=-对复数进行化简，然后再求模.【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】111112i,i i 12222z z ==--∴=--=-. 2．已知集合{}4|0log 1A x x =<<，{}|2B x x =，则 A B = （ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了对数不等式及交集运算. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】{}{}4|0log 1|14A x x x x =<<=<<，{}|2B x x =，{}{}{}14212A B x x x x x x ∴=<<=<.3．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB 同方向的单位向量为 （ ）A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【测量目标】向量的基本概念.【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】()3,4AB =-，则与其同方向的单位向量34(,)55ABAB==-e . 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列；3p ：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； 4p ：数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为 （ ）A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出d >0的等差数列，求数列的增减性. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据等差数列的性质判定.0d >,∴1n n a a +>,∴1p 是真命题， （步骤1）1n n +>,但是n a 的符号不知道，∴2p 是假命题. （步骤2）同理3p 是假命题.13(1)340n n a n d a nd d +++--=>,∴4p 是真命题. （步骤3）5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[)[)20,40,40,60， [)[)60,80,80,100，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ） A.45 B.50 C.55 D.60第5题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是00050012003...+⨯=（），所以该班的学生人数是15500.3=. 6．在ABC △上，角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且,a b >则B ∠= ( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.【考查方式】给出三角形各边长及角和边长的公式，求角. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得sin sin cos A B C +1sin sin cos sin 2C B A B =, （步骤1）又sin 0B ≠,∴ sin cos A C +1sin cos 2C A =,∴1sin sin 2(A C )B +==.（步骤2）a b >,∴π6B ∠=. （步骤3） 7．使得()3nx n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中含有常数项的最小的n 为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】二项式定理.【考查方式】考查了二项展开式的通项公式. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.()521=C 3C 3rn r n rr r n r r nn T x x x x ---+= ⎪⎝⎭，当1r T +是 常数项时，502n r -=，当2r =，5n =时成立. 8．执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A ．511B ．1011C ．3655D ．7255第8题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出输入值10n =，求输出值S . 【难易程度】中等 【参考答案】A 【试题解析】13S =，410i =<， 21123415S ∴=+=-，610i =<，（步骤1）22135617S ∴=+=-， 8<10i =，23147819S ∴=+=-，1010i ==，2415910111S ∴=+=-，1210i =>，输出S . （步骤2）9．已知点()()()30,0,0,,,.O A b B a a 若OAB △为直角三角形，则必有 （ ）A ．3b a =B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= 【测量目标】直线的倾斜角与斜率.【考查方式】给出三点坐标，由三角形l 的边的性质，求出,a b 之间的关系.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；（步骤1）若π2A ∠=，则30b a =≠，若π2B ∠=，根据斜率关系可知 321a b a a -=-，3()1a a b ∴-=-，即310b a a--=.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件.（步骤2）10．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为（ ）A．2 B ．．132D ．【测量目标】立体几何的综合问题.【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据球的接三棱柱的性质求解.直三棱柱中13412AB ,AC ,AA ,===AB AC ⊥,∴5BC =,且BC 为过底面ABC 是截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面11BCC B ，矩形11BCC B 的对角线长即为球直径，∴213R =,即132R =.11．已知函数()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+.设1()H x ()(){}max ,f x g x =，()()(){}2min ,H x f x g x =，{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最小值为B ，则A B -=( )A.2216a a --B.2216a a +- C.16- D.16【测量目标】二次函数的图象与性质.【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由()()f x g x =，得2()4x a -= ， （步骤1）∴当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等.()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()H x =()(2),()(22),()(2),f x x ag x a x a f x x a -⎧⎪-<<+⎨⎪+⎩2()(2),()()(22),()(2),g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩ （步骤2）∴1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，∴16.A B -=-（步骤3）12．设函数()f x 满足()()2e 2x xf x xf x x '+=，()2e 28f =，则0x >时，()f x （ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意知2'33e 2()e 2()()x x f x x f x f x x x x-=-=.（步骤1） 令2()e 2()x g x x f x =-，则()222e 2()e 2()4()e 2()2()e e 1x xxxx g x x f x xf x x f x xf x x x ⎛⎫'''=--=-+=-=- ⎪⎝⎭.（步骤2）由()0g x '=得2x =，当2x =时，222mine ()e 2208g x =-⨯⨯=，即()0g x ，则当0x >时，3()()0g x f x x'=，（步骤3） 故()f x 在()0,+∞上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .第13题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出三视图，求体积. 【难易程度】容易 【参考答案】16π16-【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π16.- 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前n 项和.【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】63 【试题分析】13,a a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列｛}n a 是递增的等比数列，∴131,4,2,a a q ===661263.12S -==-15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F 椭圆C 与过原点的直线相交于,A B 两点，连接,AF BF ，若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则C 的离心率e = . 【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.【难易程度】中等 【参考答案】57【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为1F ，直线过原点，16AF BF ∴==,BO AO =.（步骤1）在ABF △中，设BF x =，由余弦定理得24361002105x x =+-⨯⨯，（步骤2） 解得8x =，即8BF =.90BFA ∴∠=,ABF ∴△是直角三角形，（步骤3）26814a ∴=+=,即7a =.（步骤4）又在Rt ABF △中，BO AO =，152OF AB ∴==，即5c =，（步骤5） 57e ∴=.（步骤6） 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值. 【难易程度】较难 【参考答案】10【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知2222212345123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个整数的平方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）设向量)()π,sin ,cos ,sin ,0,.2x x x x x ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦a b（I ）若=a b 求x 的值； （Ⅱ）设函数()f x =a b ，求()f x 的最大值.【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值. 【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求x 的值，函数的最大值. 【难易程度】容易 【试题解析】（Ⅰ）2222222(3sin )sin 4sin ,cos sin 1,x x x x x =+==+=a b ,=a b∴24sin 1.x = （步骤1）又x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,2x =∴π6x =. （步骤2）（Ⅱ）()3sin f x x ==a b 2311π1cos sin sin 2cos 2sin(2),2262x x x x x +=-+=-+ ∴当π3x =∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πsin(2)6x -取最大值1. （步骤3） ∴()f x 的最大值为32. （步骤4）18．（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点. （I ）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（II ）若2AB AC PA ===，1，1,求证：二面角C PB A --的余弦值.第18题图【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)由AB 是圆的直径,得AC BC ⊥,（步骤1） 由PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得PA BC ⊥,又PA AC A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BC ∴⊥平面PAC BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PAC .（步骤2）(Ⅱ)解法一：如图（1），以点C 为坐标原点，分别以直线CB ,CA ,CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 在Rt ABC △中,2AB =,1AC =,3BC ∴=又1PA =,()0,1,0A ∴,)3,0,0B,()0,1,1P .（步骤3）故()3,0,0CB =,()0,1,1CP =.设平面BCP 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0,CB CP ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n 11130,0,x y z ⎧=⎪∴⎨+=⎪⎩不妨令11y =，则()10,1,1=-n .（步骤4）()0,0,1AP =,()3,1,0AB =-,设平面ABP 的法向量为()2222,,x y z =n ,则220,0,AP AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 2220,30,z x y =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩（步骤5） 不妨令21x =，则()21,3,0=n . 于是1236cos ,422==n n . 由图（1）知二面角C —PB —A 为锐角，故二面角C —PB —A 的余弦值为64.（步骤6）第18题图（1）解法二：如图（2），过C 作CM AB ⊥于M ，PA ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,PA CM ∴⊥.又PA AB A =,且PA ⊂平面PAB ,AB ⊂平面PAB ,CM ∴⊥平面PAB . 过M 作MN PB ⊥于N ,连接NC ,由三垂线定理得CN PB ⊥ CNM ∴∠为二面角C —PB —A 的平面角.（步骤3） 在Rt ABC △中,由2AB =,1AC =,得3BC =,32CM =,32BM =. 在Rt PAB △中,由2AB =,1PA =,得5PB =.Rt BNM △∽Rt BAP △,3215MN∴=,35MN ∴=.（步骤4） ∴在Rt CNM △中,30CN =,6cos CNM ∴∠=,∴二面角C —PB —A 的余弦值为6.（步骤5）第18题图（2）19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，同学从中任取3道题解答.（I ）求同学至少取到1道乙类题的概率；（II ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立.用X 表示同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望.【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力. 【难易程度】中等【试题解析】 (1)设事件A =“同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A = “同学所取的3道题都是甲类题”．()36310C 1C 6P A ==，()()516P A P A ∴=-=.（步骤1）(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.（步骤2）()020232140=C 555125P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（步骤3） ()11021022321324281C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤4） ()2112122321324572C +C 555555125P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（步骤5） ()222324363C 555125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤6） X ∴的分布列为：X 0 12 3P4125 28125 5712536125（步骤7）()428573601232125125125125E X ∴⨯⨯⨯⨯=＝＋＋＋.（步骤8）20．（本小题满分12分）如图，抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->，点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为,A B （M 为原点O 时，,A B 重合于O ），012x =-，切线MA的斜率为12-.（I ）求p 的值；（II ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程.(),,.A B O O 重合于时中点为第20题图【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）抛物线21:4C x y =上任意一点（,)x y 的切线斜率为'2xy =，且切线MA 的斜率为12-，∴A 点坐标为（1-，14）， （步骤1） ∴切线MA 的方程为11(1)24y x =-++. (步骤2).点M （01)y 在切线MA 及抛物线2C 上，∴0113(2244y -=--+=-①20(1322y p p-=-=-② （步骤3）由①②得2p =. （步骤4）（Ⅱ）设22121212(,),(,),(,),,44x x N x y A x B x x x ≠N 为线段AB 中点∴122x x x +=，③22128x x y +=.④ （步骤5） ∴切线MA,MB 的方程为2111()24x x y x x =-+，⑤2222()24x x y x x =-+.⑥ （步骤6）由⑤⑥得MA,MB 的交点M （00,)x y 的坐标为121200,.24x x x xx y +== （步骤7）点M （00,)x y 在2C 上，即200,4x y =-∴221212.6x x x x +=-⑦ （步骤8） 由③④⑦得24,0.3x y x =≠ （步骤9）当12x x =时，A,B 重合于原点O,AB 中点N 为O ，坐标满足24.3x y =∴AB 中点N 的轨迹方程为24.3x y = （步骤10）21．（本小题满分12分）已知函数()()21e xf x x -=+，()312cos 2x g x ax x x =+++.当[]0,1x ∈时， （I ）求证：()111x f x x-+ ；（II ）若()()f x g x 恒成立，数a 取值围.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)证明：要证[]0,1x ∈时，()21e 1xx x -+-，只需证明()()1e 1e x x x x -+-.（步骤1） 记()()(1)e 1e xx h x x x -=--＋，则()()e e x x h x x -'=-，（步骤2） 当()0,1x ∈时，()0h x '>，因此()h x 在[]0,1上是增函数，（步骤3） 故()()00h x h =.所以()[]10,1f x x x ∈－，．（步骤4） 要证[]0,1x ∈时，21(1)e 1xx x-+＋，只需证明e1x x ＋.（步骤5）记()e 1x K x x =--，则()e 1x K x '=-，（步骤6）当()0,1x ∈时，()0K x '>，因此()K x 在[]0,1上是增函数，（步骤7） 故()()00K x K =.所以()11f x x+，[]0,1x ∈．（步骤8） 综上，()111xf x x-+，[]0,1x ∈．（步骤9） (Ⅱ)解法一：()()32(1)e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭＋3112cos 2x x ax x x -----2(12cos )2x x a x =-＋＋＋．（步骤10）设()22cos 2x G x x =＋，则()2sin G x x x '=-.（步骤11） 记()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，（步骤12）当()0,1x ∈时，()0H x '<，于是()G x '在[]0,1上是减函数，（步骤13）从而当()0,1x ∈时，()()00G x G ''<=，故()G x 在[]0,1上是减函数．（步骤14） 于是()()02G x G =，从而()13a G x a ＋＋＋.（步骤15）所以，当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤16） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()3112cos 12x f x g x ax x x x -----+ 32cos 12x x ax x x x -=---+ 212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，（步骤17）记()2112cos ()121x I x a x a G x x x =+++=++++， 则()21()(1)I x G x x -''=++，（步骤18） 当()0,1x ∈时，()0I x '<，故()I x 在[]0,1上是减函数，（步骤19）于是()I x 在[]0,1上的值域为[12cos 13]a a ＋＋，＋．（步骤20）因为当3a >-时，3>0a ＋，()00,1x ∴∃∈，使得()00I x >，（步骤21） 此时()()00f x g x <，即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22） 综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23） 解法二：先证当[]0,1x ∈时，22111cos 124x xx --.（步骤10）记()21cos 12F x x x =-＋，则()sin F x x x '=-＋.（步骤11）记()sin G x x x =-＋，则()cos 1G x x '=-＋，（步骤12） 当()0,1x ∈时，()0G x '>，于是()G x 在[]0,1上是增函数，（步骤13）因此当()0,1x ∈时，()()00G x G >=，从而()F x 在[]0,1上是增函数．（步骤14）因此()()00F x F =，所以当[]0,1x ∈时，211cos 2x x -.（步骤15）同理可证，当[]0,1x ∈时，21cos 14x x -.（步骤16）综上，当[]0,1x ∈时，22111cos 124x x x --.（步骤17）当[]0,1x ∈时，()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭321(1)12124x x ax x x ⎛⎫------ ⎪⎝⎭()3a x =-+.（步骤18）所以当3a-时，()()f x g x 在[]0,1上恒成立．（步骤19） 下面证明当3a >-时，()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．()()()321e 12cos 2xx f x g x x ax x x -⎛⎫-=+-+++ ⎪⎝⎭3211121122x ax x x x ⎛⎫----- ⎪+⎝⎭ 23(3)12x x a x x =+-++ 32(3)23x x a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（步骤20） ()00,1x ∴∃∈ (例如0x 取33a +和12中的较小值)满足()()00f x g x <．（步骤21） 即()()f x g x 在[]0,1上不恒成立．（步骤22）综上，实数a 的取值围是(],3-∞-．（步骤23）请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为半圆O 的直径，直线CD 与半圆O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 与F ，连接,AE BE .证明：（I ）FEB CEB ∠=∠； （II ）2.EF AD BC =⋅第22题图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解. 【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)直线CD 与⊙O 相切，∴.CEB EAB ∠=∠ （步骤1）AB 为⊙O 的直径，∴AE EB ⊥,∴π2EAB EBF ∠+∠=； （步骤2） 又EF AB ⊥,∴π2FEB EBF ∠+∠=. （步骤3） ∴FEB EAB ∠=∠.∴.FEB CEB ∠=∠ （步骤4）（Ⅱ）BC CE ⊥,EF AB ⊥,,FEB CEB BE ∠=∠是公共边， ∴Rt BCE △≌Rt BFE △,∴BC BF =. （步骤5）类似可证Rt ADE △≌Rt AFE △,得AD AF =. （步骤6）又在Rt AEB △中，EF AB ⊥,∴2EF AF BF =，∴2EF AD BC =. （步骤7）23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为π4sin ,cos 2 2.4ρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（I ）求1C 与2C 交点的极坐标；（II ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为3312x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t ∈R 为参数），求,a b 的值.【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立1C 与2C 方程求交点；由参数方程的性质求 解.【难易程度】容易【试题解析】(Ⅰ)圆1C 的直角坐标方程为2224x y +-=（），直线2C 的直角坐标方程为40x y -+=. 解222440x y x y ⎧+-=⎨+-=⎩（），，得1104x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=⎩， (步骤1) ∴1C 与2C 交点的极坐标为ππ42224⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，. （步骤2） 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为()()0213，，，.∴直线PQ 的直角坐标方程为20x y -+=， (步骤3)由参数方程可得b aby x 22=-+1. （步骤4）∴12122b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，，解得12a b =-⎧⎨=⎩，. （步骤5）24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，其中1a >. （I ）当=2a 时，求不等式()fx 4x a --的解集；（II ）已知关于x 的不等式(2)2()f x a f x +-2的解集为{1xx}2，求a 的值.【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数a 的值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）当2a =时，2624224264x x fx x x x x .-+⎧⎪+-=<<⎨⎪-⎩，，（），，， (步骤1) 当2x时，由4f x x -（）4-得264x -+，解得1x ； （步骤2） 当24x <<时，44f x x --（）无解； （步骤3） 当4x时，由44f x x --（）得264x -，解得5x. （步骤4）∴44f x x --（） 的解集为{1x x或}5x. （步骤5）（2）记22h x f x a f x =+-（）（）（），则204202a x h x x a x a a x a.-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，，（），，， （步骤6）由2h x （），解得1122a a x-+. （步骤7） 又2h x （）的解集为{}12x x ，∴112122a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，， ∴3a =. （步骤8）。
2013年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。
2013年高考试题分类汇编(程序框图)
2013年高考试题分类汇编（程序框图）1.（2013·全国卷Ⅰ·文理科）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t∈-，则输出的S属于A.[3,4]- B.[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-2.（2013·全国卷Ⅱ·理科）执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S=A.11112310++++ B.11112!3!10!++++C.11112311++++ D.11112!3!11!++++3.（2013·全国卷Ⅱ·文科）执行右面的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S =A.1111234+++B.1111232432+++⨯⨯⨯ C.111112345++++111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯4.（2013·山东卷·理科）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为025，则输出的n 的值为 .5.（2013·安徽卷·文理科）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是A.16B.25C.3D.11126.（2013·浙江卷·理科）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则aA．4 B．5 C．6 D．77.（2013·浙江卷·文科）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于______.8.（2013·北京卷·文理科）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A.1B.23C.1321 D.6109879.（2013·天津卷·文理科）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为A ．7B ．6C ．5D ．410.（2013·福建卷·文科）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数n后，输出的(10,20)S∈那么n的值是A．3 B．4 C．5 D．611.（2013·辽宁卷·理科）执行如图所示的程序框图，若输入10n=，则输出S=A．511B．1011C．3655D．725512.（2013·辽宁卷·文科）执行如图所示的程序框图，若输入8n=，则输出S=A．511B．1011C．3655D．725513.（2013·湖南卷·文理科）执行如图所示的程序框图，如果输入1a =，2b =，则输出a 的值是 .14.（2013·江西卷·文理科）阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.22s i =-B.21s i =-C.2s i =D.24s i =+S15.（2013·湖北卷·理科）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i= .入m的值为2，则输出的结果i= .17.（2013·重庆卷·理科）执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是A.6k ≤B.k 8k ≤ D.9k ≤18.（2013·广东卷·文理科）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 .。
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2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：程序框图
一、选择题
1 ．（2013年高考北京卷（理））执行如图所示的程序框图,输出的S 值为
（
） A ．1
B ．
2
3
C ．
1321
D ．
610
987
【答案】C
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））某程序框图如图所示,
若该程序运行后输出的值是
5
9,则
（
） A ．4=a
B ．5=a
C ．6=a
D ． 7=a
【答案】A
3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图所示,程序框图(算
法流程图)的输出结果是
（
） A ．
16
B ．
2524
C ．
34
D ．
1112
【答案】D
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））执行如题(8)图所示的程序
框图,如果输出
3s ,那么判断框内应填入的条件是
（
）
（第5题图）
A ．6k ≤
B ．7k ≤
C ．8k ≤
D ．9k ≤
【答案】B
5 ．（2013年高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i
=,那么在空白矩形框中应填入的
语句为
（
）
A ．2*2S i =-
B ．2*1S i =-
C ．2*S i =
D ．2*4S i =+
【答案】C 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））阅读如图所示的程序框
图,若
输
入的
10
k =,则该算法的功能
是
（
）
A ．计算数列{}
12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和
D ．计算数列{
}
21n -的前9项和
【答案】A
7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））执行右面的程序
框图,如果输入的10
N=,那么输出的S=
（）
A．
111
1+
2310
+++……B
．
111
1+
2310
+++……
！！！
C．
111
1+
2311
+++……D
．
111
1+
2311
+++……
！！！
【答案】B
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））执行如图所示的程序框图,
若输入10,n S ==则输出的
（
） A ．
511
B ．
1011
C ．
3655
D ．
7255
【答案】A
9 ．（2013年高考新课标1（理））运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于
（
） A ．[3,4]-
B ．[5,2]-
C ．[4,3]-
D ．[2,5]-
【答案】A
10．（2013年高考陕西卷（理））根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为
（
） A ．25
B ．30
C ．31
D ．61
【答案】C
11．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））阅读右边的程序框图, 运行
相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为
（
） A ．64
B ．73
C ．512
D ．585
【答案】B 二、填空题
12．（ 2013年高考湖南卷（理））执行如图3所示的程序框图,如果输入
1,2,a b a ==则输出的的值为_____9_____.
【答案】9
13．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））下图是一个算法的流程图,则输出的n的值是
________.
【答案】3
14．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为______.
7
【答案】
15．（ 2013年高考湖北卷（理））阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i=___________.
【答案】 5
16．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））执行右图的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n的值为_____.
【答案】3。