几何说理
激趣拓思效评
激趣拓思效评【摘要】平面几何的教学始终是初中数学中教师困惑，学生较难学好的一块内容。
本文借助浙教版八上《特殊三角形》内容的学习，利用“小班化”的教学模式教学中从多方面激发学生兴趣，多途径获得解题思路方法，多维度有效的评价等方面探索如何让每位学生学会几何说理。
【关键词】小班化兴趣思路面批一、问题的提出七、八年级的学生的年龄一般都在十三、四岁左右，从心理学角度来看，正是直观思维向逻辑思维的过度阶段。
因此，几何证明的入门，也就是学生逻辑思维的起步。
这种思维方式学生才接触，肯定会遇到一些困难。
从自己多年的教学实践来看，清晰地察觉到有的学生在这时“跌倒了”，就丧失了信心，以至于几何越学越糟，最终成了几何“门外汉”。
但有的学生，在这时遇到了一些困难，失败了，却信心十足，不断地去总结，认真思考，最后越学越有兴趣。
随着小班化教学在我校的全面推广落实，教师拥有了更多的机会去关注每一个个体，也为啃下几何这块硬骨头提供了有利的条件。
那么利用小班化教学的优势如何使学生攻克几何说理的难关呢？（一）目前初中数学几何说理教学的现状及存在的问题几何是整个初中阶段教学内容的重要组成部分。
几何说理是整个课程的难点，是瓶颈。
现行几何说理教学中存在如下几个问题：1、在教学中不善于联系实际，漠视周围丰富的几何素材，从书本到书本，枯燥无味使学生对几何始终爱不起来。
2、在教学过程中，多是由教师讲解问题，重在对解题思路的分析与探讨，而学生缺少语言实践的机会，或是教师对学生数学语言的理解与运用的目的要求与学生逻辑思维能力发展水平不协调，反而又制约了学生思维的发展.3、过分专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无法逾越语言叙述的障碍，使得会表达的意思却被几何语言搅糊涂了或害怕几何说理，对说理无从下手，不知到哪算说理结束。
4、作业的布置和评价采用统一的标准使得中弱生学的很辛苦。
（二）初中“小班化”教学的推广为几何说理教学提供了良好的平台1.基于对初中数学几何教学现状的思考。
“如何提高学生的几何说理能力”教研记录 第十八期 正定镇中学 数学 刘敬坤
“如何提高学生的几何说理能力”教研记录冯翠珍：几何是整个中学数学教学内容的重要部分。
几何课在整个初中课程中是难点，是瓶颈。
几何说理题的教学是难中之难，学生对几何说理题也通常是束手无策，从而从开始学习几何后，数学成绩开始大幅度滑坡。
由此看出，几何说理题教学是值得每一位数学教师重视的话题。
下面请每位教师谈谈自己在几何说理部分教学的方法与技巧吧。
刘艳玲：1、做好说理铺垫，培养学生用恰当的数学符号语言进行几何说理的能力。
正确解答一道几何说理题，清晰的思路是很重要的，但不能把思路用恰当的数学符号语言表达出来，也达不到说理的目的。
因此，做好数学符号语言的教学就是很关键的了。
例如：已知点M是线段AB的中点，AB=10，求AM=?学生的回答：因为点M是线段AB的中点，AB=10，所以AM=5.学生的推理过程不恰当，应为：因为点M是线段AB的中点，AB=10，所以AM=BM=1/2AB=5.这样以后的多点说理才能步步正确，句句清楚。
我在开始本章教学时，定义教学、定理教学都辅以相应的数学符号语言的表达。
要求学生边写边读，记住图形、性质及相应的书写。
这样以后的多步说理才可能步步明确，句句清楚。
高芳：培养学生学习推理论证的兴趣和信心兴趣是最好的老师，而几何学习中的推理论证多为抽象、枯燥的数字符号，学生学起来感到枯燥无味，这会影响学生的学习兴趣。
因而在教学中，我尽量将书本上的知识变为生动有趣的问题，通过提问、讨论、归纳等多种方法，引导学生积极参与教学活动，把教学过程变成学生自己动手操作、发现规律的过程。
如：把三角形分成面积相等的两等份，利用小明分蛋糕（三角形）的问题，激发兴趣。
师：怎样把三角形蛋糕分成面积相等的两份呢？从而转化为几何问题：利用三角形的中线把面积分为两等份。
师：均分成三份、四份呢？同样，可以把一条边分为三等份，四等份，进而利用三角形等底同高来解决此类问题。
这样，既让学生可以感受到发现的快乐，又让学生品尝到学习的乐趣和获得成功的愉快，从而激发了他们的学习兴趣。
说理题ppt
例1：金鱼因鳔充气而上浮，为什 么？
1.审清 • 知识点：影响浮力因素、物体的沉浮条件； 题意 • 条件：鱼鳔充气。
• 结果：鱼上浮。
鱼鳔 充气 鱼受的 重力不变
体积 变大
浮力 变大
顺推
鱼上浮
2.分析 条件 逆推
浮力 大于重力
例2：镁带在空气中燃烧后，生成物的质量 比镁带的质量增加了，为什么？
【解答】根据质量守恒定律，反应后生成物 的质量总和一定等于参加反应的反应物的 质量总和（知识点）。镁带在空气里燃烧， 是镁和氧气反应生成了氧化镁（条件）， 所以，生成物的质量比镁带的质量增加了 （结论）。
3.用如图装置测定氧气的密度， 如果实验装置的气密性不良， 则对测定收集到的氧气密度值 有何影响?请说明理由。
答：测定的氧气密度值偏大。 因为ρ＝m/v, 氧气体积v可以根据集气瓶上标 记测量，氧气质量m只能根据Ｈ2Ｏ2质量通过 化学方程式计算求得，由于漏气会导致收集 一定体积氧气时消耗的Ｈ 2 Ｏ 2 质量增加，所 以计算得到的氧气质量m偏大，但氧气体积v 不变，因而测定的氧气密度值偏大。
亩产/千克 900 800 700 600 植株所占面积/米2 0 0.04 0.12 0.20 0.28 0.36
方案
1
2
3
4
5
6
7
植株所占面积/米2
亩产/千克
0.32
650
0.28
700
0.24
750
0.2
800
0.16
760
0.12
730
0.08
690
答：由光合作用表达式为： 二氧化碳+水光、叶绿体 有机物+氧气 可知光合作用进行的场所是叶绿体。要使亩 产增加，就要使光合作用产生的有机物增加， 就要使阳光尽量多地照在玉米叶上。 当玉米植株间距过大时，部分阳光就照在 空地上，光能没有得到利用，所以亩产不高。 当玉米植株间距过小时，玉米的部分叶片 重叠，造成光照不足，所以亩产也不高。
七年级上册数学冀教版【教案】第二章 几何图形的初步认识
一、单元学习主题本单元是“图形与几何”领域“图形的性质”主题中的“几何图形的初步认识”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段图形与几何领域包括“图形的性质”“图形的变化”和“图形与坐标”三个主题.学生将进一步学习点、线、面、角、三角形、多边形和圆等几何图形,从演绎证明、运动变化、量化分析三个方面研究这些图形的基本性质和相互关系.“图形的性质”是“图形与几何”领域的主要内容,它在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位.图形的性质的教学,需要引导学生理解欧几里得平面几何的基本思想,感悟几何体系的基本框架:通过定义确定论证的对象,通过基本事实确定论证的起点,通过证明确定论证的逻辑,通过命题确定论证的结果.要组织学生经历图形分析与比较的过程,引导学生学会关注事物的共性、分辨事物的差异、形成合适的类,会用准确的语言描述研究对象的概念,提升抽象能力,会用数学的眼光观察现实世界;要通过生活中的或者数学中的现实情境,引导学生感悟基本事实的意义,经历几何命题发现和证明的过程,感悟归纳推理过程和演绎推理过程的传递性,增强推理能力,会用数学的思维思考现实世界;要引导学生经历针对图形性质、关系、变化确立几何命题的过程,体会数学命题中条件和结论的表述,感悟数学表达的准确性和严谨性,会借助图形分析问题,形成解决问题的思路,发展模型观念,会用数学的语言表达现实世界.2.本单元教学内容分析冀教版教材七年级上册第二章“几何图形的初步认识”,本章包括八个小节:2.1从生活中认识几何图形;2.2线段、射线、直线;2.3线段长短的比较;2.4线段的和与差;2.5角和角的度量;2.6角大小的比较;2.7角的和与差;2.8平面图形的旋转.“图形的性质”主题通过学习图形的概念,观察图形的特征,经历观察→猜想→验证等过程,以基本图形点、线、面展开研究.认识几何图形,了解线与角、线段与角的有关性质并学会计算,认识平面图形的旋转.本章的基本技能是画一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作两个角的和与差.能进行角的度数和线段长度的计算.由于是初中几何入门课,要注重对学生良好学习习惯的培养,一般按照“事物或模型→几何图形→文字表示→符号表示”的教学程序,让学生先理解符号或文字所表达的图形及关系,并把它们用图形直观表示出来,化“无形”为“有形”.“图形与几何”教学的一个重要目标是发展学生的空间观念,培养空间想象力,为了达到教学目标,本章教学要重视让学生从事动手操作、观察、想象、交流等活动,为学生提供有意义、有一定挑战性的学习任务,引导学生获得几何图形的知识和有关技能,为后期学习三角形、平行四边形、圆的相关概念、定理的证明以及几何综合问题等内容的教学起到铺垫作用.同时注意,本章中的一些抽象几何概念只要求学生有一些初步直观的认识,一些基本结论、基本事实也仅要求通过观察、思考、探究等活动归纳得出,仅作“说理”和“简单推理”,不要求达到很高的科学严密程度,这为以后教学逐步提高推理要求做了准备.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学七年级上册第二章几何图形的初步认识,学生在小学阶段对立体图形和平面图形有了初步的认识,掌握了简单图形的周长、面积、体积的计算方法,初步认识了图形的平移、旋转和轴对称,形成了初步的空间观念和几何直观.这使得本单元的学习之初容易理解,学生的学习兴趣也会很大.但随着学习的深入,对数学的探究意识、数学的抽象能力、推理能力的要求都不断提高.七年级的学生刚从小学过渡到初中,对新知识充满好奇,但还未经历过真正的数学观察、猜想、操作、思考、说理等数学活动,小组合作意识和交流、表达的能力都较弱,所以在教学过程中,要耐心引导,多鼓励学生大胆猜想,勇于表达,初步培养学生积极探索,发现问题,分析问题和解决问题的能力,逐步提高推理能力.本单元难点是对几何问题进行分析并有条理地表达,老师要利用课上多让学生交流,表达,并不断规范,在作业处理中,指出不规范表达的地方,耐心指导学生改正,增强学习信心.四、单元学习目标1.通过对丰富的实物和实例的抽象,进一步认识几何图形,尤其是点、线段、射线、直线和角,并会表示它们,发展学生抽象能力.2.经历观察、测量、画图、折纸等活动,了解点、线段、射线、直线和角的有关性质,初步形成空间观念.3.会比较线段的长短和角的大小,掌握判定线段长短和角大小的方法,发展空间观念和几何直观.4.认识角的度量单位,会进行角的换算.5.会计算线段的和与差、角的和与差,并学会用数学知识解决简单几何问题,培养学生的模型观念、应用意识.6.能使用直尺(无刻度)和圆规作线段和角,培养学生的动手能力.7.通过和角的认识相结合认识平面图形的旋转,提高学生的探究力和想象力.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.自主性原则:学生可以根据自己的学习能力自主选择,每课时留下拓展性练习或自主编写自己的易错题类型.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典40几何计算说理与说理计算问题
几何计算说理与说理计算问题
1 ．如图 1 ，在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ ax 2 ＋ 6 x ＋ c 的图像经 过点 A (4, 0) 、 B ( － 1,0) ，与 y 轴交于点 C ，点 D 在线段 OC 上， OD ＝ t ，点 E 在第二象限，∠ ADE ＝ 90 °， tan DAE （ 1 ）求这个二次函数的解析式； （ 2 ）求线段 EF 、 OF 的长（用含 t 的代数式表示） ； （ 3 ）当∠ ECA ＝∠ OAC 时，求 t 的值．
图3
4 ．在 Rt △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 4 ，∠ B ＝ 90 °，将一直角三角板的直 角顶点放在斜边 AC 的中点 M 处，将三角板绕点 M 旋转，三角板的两直角 边分别与边 AB 、BC 或其延长线上交于 D 、E 两点 ( 假设三角板的两直角边 足够长 ) ，如图 4 、图 5 表示三角板旋转过程中的两种情形． （ 1 ）直角三角板绕点 M 旋转过程中，当 BE ＝ 腰三角形； 时，△ MEC 是等
（ 2 ）直角三角板绕点 M 旋转到图 1 的情形时，求证： MD ＝ ME ； （ 3 ）如图 6 ，若将直角三角板的直角顶点 M 在 斜边 AC 上移动，设 AM ∶ MC ＝ m ∶ n ( m 、 n 为正数 ) ，试判断 MD 、 ME 的数量关系，并说明 理由．图4图5 Nhomakorabea图6
C
CD CD 的值是否 发生变 AC BC 化，若不变，试求出这个不变的值，若变化， 试说明理由．
BC 的长度 变化 时，
A
B
图2
3 ．在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90 °， AB ＜ AC ， M 是 BC 边的中点， MN ⊥ BC 交 AC 于点 N ．动点 P 从点 B 出发沿射线 BA 以每秒 3 厘米的速度运 动．同时动点 Q 从点 N 出发沿射线 NC 运动，且始终保持 MQ ⊥ MP ．设运 动时间为 t 秒（ t ＞ 0 ） ． （ 1 ）△ PBM 与△ QNM 相似吗？以图 3 为例说明理由； （ 2 ）若∠ ABC ＝ 60 °， AB 4 3 厘米． ①求动点 Q 的运动速度； ②设△ APQ 的面积为 S ( 平方厘米 ) ，求 S 与 t 的 函数关系式； （ 3 ）探求 BP 2 、 PQ 2 、 CQ 2 三者之间的数量关系，以图 3 为例说明理 由．
如何解小学数学说理题
如何解小学数学说理题摘要：在数学的学习中，培养学生的思维能力具有重要的地位，在数学的练习中出现了越来越多的说理题，不仅强调学生对知识和技能的掌握，更强调思维的过程和知识的迁移。
关键词：小学数学；说理题在小学数学的练习中出现了越来越多的说理题。
要做好说理题并不容易，学生不仅要能够深刻理解题目所包含的基础知识，会计算，推理，还要能够联系实际，说明解题的依据及其思想方法。
在解答说理题时要根据题目选择不同的方法，下面举例说明如何进行解题说明。
一、根据代数计算来说理代数计算说理题一般是以实际问题为背景，应用四则运算得到结论，为进行合理的决策提供依据。
例1.按下面的步骤计算，再把最后的结果与开始的数比较，你能发现什么？你能说明理由吗？分析：这道题考查的主要内容是分数的乘除计算，学生先按步骤计算，正确解答并不难，进而发现规律，但是在说理时要能够找到中间计算的奥秘，把中间的数放到一起先进行计算，经过乘除计算后得1。
解：从上图发现：最后的得数等于原式的第一个数，因为：例2.下面是小明想坐出租车从家去八仙山，有2条路线，刚好形成3个大小不同的等边三角形。
已知出租车在3千米以内(含3千米)按起步价10元计算，以后每增加1千米车费就增加2元。
请你按图中提供的信息算一算，小明走哪条路最近?小明从家到八仙山最少要花多少元出租车费?请说明你的理由。
分析：这道题来源生活，是数型结合的题目，学生要先看懂题意，找出题中的数量关系，正确解答并不难。
在说理时根据代数计算方法，先算出哪条路最近，再算出从家到八仙山最少要花多少元出租车费。
解：第①条路（千米）第②条路（千米）10-3=7（千米）7×2=14（元）14+10=24（元）答：两条路一样近。
小明从家到八仙山最少要花24元出租车费。
二、运用几何知识说明理由在小学数学中，几何内容主要涉及常见的图形及其特征，简单图形周长，面积和体积的计算等。
学生在进行几何说理时要会利用题目中图形的特征来说理，或进行简单的计算说理。
2020-2021学年中考数学压轴题的满分攻略-几何计算域说理计算问题
几何计算说理与说理计算问题【真题典藏】1. （2007年上海市第24题）参见《考典35 梯形的存在性问题》第1题，如图1．2. （2008年上海市第24题）如图2，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像经过点A (－1,0)，顶点为B ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标；（2）如果点C 的坐标为(4,0)，AE ⊥BC ，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，DE ＝1，求点D 的坐标．图1 图23．（2010年上海市第24题）如图3，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 过点A (4,0)、B (1,3)．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ,n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值．图34．（2012年上海市第24题）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A (4, 0)、B (－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图4【满分攻略】我们用三种方法证明第1题（2007年上海市第24题）的第（2）题DC //AB ：方法一，由于点(,)B a b 在双曲线4y x =上，所以4b a=． 因为1A B x DE DB x a ==，414E A y CE a CA y a ===，所以DE CE DB CA=，因此DC //AB ． 这里依据“三角形一边的平行线判定定理推论”． 方法二，因为4tan E E y CE CDE DE x a ∠===，444tan 1A E B E y y AE a ABE BE x x a a --∠====--， 所以CDE ABE ∠=∠，因此DC //AB ．方法三，如图6，由反比例函数的图形与性质，知△AOC 与△BOD 的面积相等．图5中的△ADC 与图6中的△AOC 的面积相等，图5中的△BCD 与图6中的△BOD 的面积相等，经过等量代换，图5中的△ACD 与△BCD 的面积相等．因为这两个三角形是同底CD 的，因此它们是同底等高的三角形，所以DC //AB ．图5 图6 图7其中方法一和方法二是通过计算进行说理，方法三是说理证明．第2题（2008年上海市第24题）的第（2）题求点D的坐标是几何计算．准备动作：222y x x x x x=-++=--+-=--+．23(214)(1)4罗列点：A(－1,0)，B(1,4)，C(4,0)．画图：先画直线BC，过点A向BC画垂线，垂足为E．拿起圆规，以E为圆心，1长为半径画圆，圆与直线AE有几个交点？这就是行动体现思想，你画图的过程已经体现了分类讨论思想，点D有两个（如图7）．试问有必要画抛物线吗？解题的过程反复用到数形结合思想——不要问为什么——拿来就用．示范一下：注意标志性语句的引领作用，体现书写的层次性，吸引阅卷老师的注意力．第3题（2010年上海市第24题）的第（1）题做完之后停一停，确认无误之后再作第（2）题，否则就是徒劳无益．第（1）题用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求抛物线的对称轴和顶点坐标，无需画图．抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2,4)．第（2）题的最大障碍就是画示意图了，事实上，无需画出抛物线，如图8，只要顺次画出点A、对称轴、点P的大概位置（在点A的右下方）、点E、点F，就可以直观感受到，四边形OAPE是等腰梯形，四边形OAPF是平行四边形．说理是关键的一步：平行四边形OAPF的底边OA＝4是确定的，高是点P到x轴的距离，用点P的纵坐标表示为－n，列方程－4 n＝20容易求的n＝－5．解方程－m2＋4m＝－5，会得到m有两个解，根据题目条件“点P(m,n)在第四象限”舍去不合题意的解．如果不用上述几何说理的方法，我们也可以根据点的坐标特征进行说理：这个说理方法的最大困难是用m表示点F的坐标(4－m,n)．图8第4题（2012年上海市第24题），DE和AD横看成岭侧成峰，DE∶AD＝1∶2，既是Rt△ADE 的两条直角边的比，也是两个相似的△DEF和△ADO的斜边比．第（1）题求得抛物线的解析式y＝－2x2＋6x＋8，与y轴交于点C(0，8)．第（2）题，如图9，在Rt △ADE 中，已知1tan 2DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角．因此∠DEF ＝∠ADO ．所以△DEF ∽△ADO ．因此12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12EF t =．所以2OF t =-．图9 图10第（3）题难在示意图怎么画？在森林中认识树木：当∠ECA ＝∠OAC 时，如果延长CE 与x 轴交于点M ，根据等角对等边，那么△MAC 是等腰三角形，MA ＝MC ．这样我们作AC 的垂直平分线先找到点M ，在MC 的适当位置画一个点E ，这样示意图就画好了．如图10，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ． 当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上．由于12cos AC AO A AC MA==，而OA ＝4，OC ＝8，所以5AC = 因此2102AC MA AO==．所以MO ＝6． 由EF //MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268t t --=．解得t ＝6．考典40几何计算说理与说理计算问题1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋6x ＋c 的图像经过点A (4, 0)、B (－1,0)，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD ＝t ，点E 在第二象限，∠ADE ＝90°，1tan 2DAE ∠=，EF ⊥OD ，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当∠ECA ＝∠OAC 时，求t 的值．图12．如图2，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 到∠ACB 两边的距离相等，且PA ＝PB ．（1）先用尺规作出符合要求的点P （保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP 的形状，并说明理由；（2）设PA ＝m ，PC ＝n ，试用m 、n 的代数式表示△ABC 的周长和面积；（3）设CP 与AB 交于点D ，试探索当边AC 、BC 的长度变化时，BCCD AC CD +的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．C B A图23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒3厘米的速度运动．同时动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）△PBM与△QNM相似吗？以图3为例说明理由；（2）若∠ABC＝60°，43AB 厘米．①求动点Q的运动速度；②设△APQ的面积为S(平方厘米)，求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图3为例说明理由．图34．在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，∠B＝90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点M处，将三角板绕点M旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点(假设三角板的两直角边足够长)，如图4、图5表示三角板旋转过程中的两种情形．（1）直角三角板绕点M旋转过程中，当BE＝时，△MEC是等腰三角形；（2）直角三角板绕点M旋转到图1的情形时，求证：MD＝ME；（3）如图6，若将直角三角板的直角顶点M在斜边AC上移动，设AM∶MC＝m∶n(m、n 为正数)，试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．图4 图5 图6考典40几何计算说理与说理计算问题1．（1）y ＝－2x 2＋6x ＋8．（2）如图1，在Rt △ADE 中，已知1tan 2DAE ∠=，所以12DE AD =． 已知∠ADE ＝∠EFD ＝90°，所以∠DEF 与∠ADO 都是∠EDF 的余角．因此∠DEF ＝∠ADO ．所以△DEF ∽△ADO ．因此12DF EF DE AO DO AD ===，即142DF EF t ==． 于是得到2DF =，12EF t =．所以2OF t =-．图1 图2（3）如图2，设AC 的垂直平分线与x 轴交于点M ，那么MA ＝MC ，∠MCA ＝∠MAC ． 当∠ECA ＝∠OAC 时，点E 在MC 上．由于12cos AC AO A AC MA==，而OA ＝4，OC ＝8，所以5AC = 因此2102AC MA AO==．所以MO ＝6． 由EF //MO ，得EF CF MO CO =，即18(2)268t t --=．解得t ＝6． 2．（1）求作点P 的作图痕迹如图3所示．△PAB 是等腰直角三角形，证明如下： 作PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ．因为点P 在∠ACB 的平分线上，所以PM ＝PN ．又因为PA ＝PB ，所以Rt △APM ≌Rt △BPN （HL ）．因此∠1＝∠2．又因为∠2与∠BPM 互余，所以∠1与∠BPM 互余，即∠APB ＝90°．所以△PAB 是等腰直角三角形．（2）如图4，在等腰直角三角形PAB 中，PA ＝m ，所以AB ＝2m ． 在等腰直角三角形MPC 中，PC ＝n ，所以CM ＝22n ． 由Rt △APM ≌Rt △BPN ，得AM ＝BN ．所以CA ＋CB ＝2CM ＝2n ．因此△ABC 的周长＝AB ＋CA ＋CB ＝2m ＋2n ．△ABC 的面积可以这样割补：S △ABC ＝S 正方形MPNC －S △PAB 221122n m =-． （3）如图5，作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，那么四边形CEDF 是正方形，CD ＝2DE ＝2DF ．设AD ＝x ，BD ＝y ．由DF BD y AC BA x y ==+，DE AD x BC AB x y==+，两式相加，得1DF DE AC BC +=． 于是得到2CD CD AC BC +=．图3 图4 图53．（1）如图6，∠B 与∠1都是∠C 的余角，所以∠B ＝∠1．∠BMP 与∠NMQ 都是∠PMN 的余角，所以∠BMP ＝∠NMQ ．所以△PBM ∽△QNM ．（2）①当∠ABC ＝60°时，∠C ＝30°，cot 3CM C NM ∠== 由△PBM ∽△QNM ，得BM BP NM NQ =． 而已知BM ＝CM ，所以3BP NQ= 因为3BP t =，所以NQ ＝t ．因此点Q 的运动速度为每秒1厘米．②在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，3AB =AC ＝12，83BC =在Rt △CMN 中，43BC =C ＝30°，所以CN ＝8．因此AN ＝4，AQ ＝4＋t ．如图7，当P 在BA 上时，0≤t ≤4，433AP t =-． 此时2113(433)(4)8322S AP AQ t t t =⋅=-+=-+． 如图8，当P 在BA 的延长线上时， t ＞4，343AP t =-． 此时2113(343)(4)8322S AP AQ t t t =⋅=-+=-．图6 图7 图8（3）如图9，过点C 作AB 的平行线交BM 的延长线于P ′， 那么△QCP ′是直角三角形，P ′Q 2＝P ′C 2＋CQ 2．因为P ′C //AB ，M 是BC 的中点，所以BP ＝CP ′，PM ＝P ′M ． 所以QM 垂直平分PP ′，PQ ＝P ′Q ．于是得到PQ 2＝BP 2＋CQ 2．图9第（3）题容易想到代数方法，通过计算得到结论：22222233)(4)41664PQ AP AQ t t t t =+=++=-+， 222(3)3BP t t ==，222(124)1664CQ t t t =--=-+．所以PQ 2＝BP 2＋CQ 2．4．（1）0，2，422-422+．（2）如图10，△MGD ≌△MHE ，MD ＝ME ．（3）如图11，△AGM 和△MHC 都是等腰直角三角形，Rt △AGM ∽Rt △MHC ． 因此MG MA m MH MC n==．又因为△MGD ∽△MHE ，所以MD MG m ME MH n ==．图10 图11后叙一、这不是一本中考的试题集，这是一本关于中考解题策略的书，如叙家常．二、本书分三部分，我们把每一部分概论中的第一句话摘录如下：简单题错失一道将悔恨不已，因此要加强简单题的准确性训练．简答题丢失一步将满分无望，因此要加强简答题的规范性训练．压轴题多练一道就自信一分，因此要加强压轴题的规律性训练．三、我们摘录每一部分的高频词语和经典语句：第一部分的高频词语有：粗心，不要口算，即刻回头检查．第二部分的经典语句有：没有不会的，只有不对的；重温课本；想好了再写——时间诚可贵，答对价更高；标志性语句的引领，表明书写的层次，吸引阅卷老师的眼球；踩分点；中考的版面有限，不能写到框外，要注意扑捉命题意图哦！第三部分的经典语句有：导航仪不代表体力——想的对不等于能做对；拿起尺、规画图，答案就在图形中；你的思想还不成熟——数形结合思想，分类讨论思想；歇歇脚再走，否则徒劳无益．四、一位上高一的学生来看我，说他离梦想的那所市重点高中就差0.5分，要是再降1分，他肯定被录取了．我笑笑．他纳闷．我解释说，例如数学，上海考生约10万人，减去极端高分和极端低分2万人，那么分数集中在100—140分之间的40分，平均每分2000人．中考1分意味着什么呢？五、这本书剖析近6年的中考数学题目——应该注意的问题、容易出现的失误、思维的出发点、书写的规范——你标记了多少认同的地方？六、本书最牛的一句话——选择放弃也是一种好的策略，保证其他题目准确无误也是高分——压轴题中你不会的那道小题，可能绝大多数人都不会．例如2012年最后两道压轴题皆因辅助线而难倒众生，其实第25题第（2）题需要添加的辅助线，本来是常见的联结两个中点构造三角形的中位线，但是因为图形中其它线条的干扰，使众多考生没有发现这条辅助线．如果添加了这条辅助线，那么问题一下子就解决了．七、或许你做对了，但是你写的字让人误解或者费解，吃亏的不是别人．这句话开始说过，这里再说一次；这句话语文老师一定也说过，理化和英语老师同样说过．八、好运留给有准备的人——祝你好运！。
小班化教学中平面几何说理能力的培养策略
小班化教学中平面几何说理能力的培养策略目前小班化教学盛行，这是一种在班级人数较少的前提下有利于学生自主、合作、探究学习和个性充分发展的教育组织形式，学生在课堂上平均占有的时间成倍增加。
师生之间、生生之间有更充分的时间进行讨论和交流，有利于课堂互动的充分展开。
可在几何教学中彰显其优势，在互动中，充分发挥主体的积极性和创造性，暴露思维过程，促进学生自觉主动地将思维引向纵深处。
教师在这样的教学氛围下，会为学生提供更多的质疑，表达自己独立见解，以及动手实践的机会，更有利于逻辑思维的培养。
由此可见，小班化为课程改革创造了极为有利的条件，同时也为在几何教学中培养学生的说理能力提供了优越的环境。
下面我结合教学实践和感悟，谈谈小班化教学中对平面几何说理能力的培养策略。
一、入门阶段教师应该首先激发学生学习几何的兴趣，然后从概念、作图、几何语言的理解、表述和翻译及推理技能的训练等环节着手，重视逻辑思维能力的启蒙，帮助学生打好学习几何的基础。
这个阶段要求学生学会用几何语言说理，注意体会逻辑推理的表达方法。
这样一方面可以使学生巩固和加深理解概念、公理和定理，另一方面让学生初步了解推理是怎么一回事。
在平面几何入门教学中要重点关注学生从“数”的学习转入对“形”的研究阶段的特点和变化方式，充分利用实验几何的教学方法和学习方法，引导学生由实验几何向理论几何过渡，再培养学生用几何理论进行说理论证的能力，逐步培养学生的逻辑推理能力，防止学生以直观代替论证。
为此，在小班化教学中教师可采用创设问题情境等方式，小步子、多层次，由易到难、由浅入深地逐步引发学生思考，调动学生学习的积极性，启发学生观察事物，突出概念的本质属性与性质的运用，在此过程中要特别加强几何符号语言的训练。
二、模仿书写阶段在举例示范和学生填空练习的同时，补充少量的由两步至三步推理组成的说明题，让学生模仿着书写，可组织巡批、组内批改、实物投影等灵活多样的交流和纠错方式。
通过填空写推理依据和简单论证过程的反复交替练习，使学生能基本建构出对简单的说明题进行说理的过程框架。
用图想事 借图促思 据图说理
教海寻理教育实践2019-08·湖北教育几何直观是课程标准提出的数学十大核心素养之一，主要是指利用图形来描述和分析问题。
小学生的思维发展正处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡期，离不开具体事物的支撑。
几何直观可以将抽象的数学语言与形象的图形语言有机结合起来，把复杂的数学问题变得简明，帮助学生突破难点。
一、用图想事，发展学生的模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,是重要的数学核心素养之一。
建立数学模型的过程是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。
教学人教版数学一年级上册《加减混合》时，要引导学生经历从实际情境中抽象出加减混合运算这类数学问题的过程，掌握加减混合运算的计算顺序，能正确地进行10以内数的加减混合计算。
为了帮助学生直观理解加减混合运算的意义和计算顺序，建立运算意义计算顺序模型。
首先出示完整的主题图：再呈现分解的主题图：教师通过先完整地播放分解的主题图，让学生在看动画的过程中思考：“湖面上原来有一些天鹅，飞来了几只，又飞走了几只？”初步感知天鹅只数连续变化的过程。
接着，分步播放分解的主题图，伴随动画提问：“多美的天鹅啊！快数一数有几只？你看到了什么？”让学生在问题的指引下，进一步明晰天鹅数量的具体变化——原来有4只天鹅，飞来了3只，又飞走了2只，从而从图中抽象出3条数学信息，在观察思考的过程中学会了观察和收集信息的方法。
最后，出示完整的主题图，学生在看动态图的基础上看静态图，教师通过看静态图完整清晰地表述数学信息并根据信息提出一个数学问题：“现在有几只天鹅？”主题图化静为动是为了帮助学生明晰天鹅数量具体的变化情况，但实际上学生平时见到的不可能是动态的分解图，因此最后静态呈现完整的主题图，以此来培养学生观察、理解、表达、建模的能力。
二、借图促思，发展学生的思维能力在小学概念教学中，教师应努力构建数学思考的课堂教学模式：创设问题情境组织探究活动；结合过程教学寻找合适切入点，完成相应的数学思维活动。
【2014中考复习必备】数学考前50天配套练习考典27几何证明、说理题
考典27 几何证明、说理题1．已知：如图1，梯形ABCD中，AD//BC，E
是BC的中点，∠BEA＝∠DEA，联结AE、BD相交
于点F，BD⊥CD．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：四边形ABED是菱形．图1
2．如图2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点
O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作
AB的平行线，交DO的延长线于点E．
（1）证明：四边形ADCE为平行四边形；
（2）当四边形ADCE为怎样的四边形时，
AD＝BD，并加以证明．图2
3．如图3，已知△ABC中，点D、E、F分别是
线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长
线交ED的延长线于点G，联结GC．
求证：四边形CEFG为梯形．
图3
4．如图4，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD
的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ．
（1）求证：四边形BFDE 是菱形；
（2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD . 图4
5．已知：如图5，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，
DE 是直角边AB 的垂直平分线，∠DBA ＝∠ABC ，连接AD ．
求证：(1) 四边形ABCD 是梯形；
（2）BC AD 21
．
图5
6．如图6，AB 是⊙O 的弦，点D 是AB 的中点，
过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ．
求证：AD ＝DC ．
图6。