变系数椭圆型方程定解问题的一种数值解法

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1. 引言
目前关于常系数椭圆型方程定解问题的数值解法已有很多差分格式[1]-[6]。 而变系数椭圆型方程定解 问题的数值解法相对比较复杂，数值解的精度一般比较低，因此构造求解变系数椭圆型方程定解问题的 高精度差分格式具有实际意义。在文献[7]中讨论了变系数பைடு நூலகம்圆型方程的紧致差分格式，证明了差分格式 解的存在唯一性，稳定性和收敛性。在文献[8]中考虑了狄利克雷边界条件的椭圆型方程定解问题。在文 献[9]中提出了椭圆型方程定解问题的自适应网格的紧凑差分格式， 此方法加密网格时大大增加了计算量， 而本文利用极坐标下的差分格式建立了一种差分格式–交错五点差分格式，对于求解一类变系数椭圆型 方程的定解问题，减少了计算量，得到了相应的误差估计，并进行了数值模拟。我们讨论的问题如下：
{U
1i
ij
0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n}
其中
= U ij
{u ( x , x ) 0 ≤ i ≤ m, 0 ≤ j ≤ n}.
2j
2.1. 交错五点差分格式
把问题(1)用极坐标下的差分格式：
DOI: 10.12677/aam.2018.710151 1300 应用数学进展
朱多薇 等
(2) r 1 u ri+1,θ j − ri+ 1 + ri− 1 u ri ,θ j + ri− 1 u ri−1,θ j i+ 2 2 2 2 x 2 = r x12 + x2 离 散 [10] ， 其 中 ， tan (θ ) = 2 ， 整 个 x1 , x2 平 面 映 射 为 r , θ 平 面 上 的 半 带 型 域 x1 = Θ {( r , θ ) 0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ 2 π} 分两步离散： ∂u ( x1 , x2 ) ∂ ∂ 先把括号外面的一阶微分 用半个步长的中心差 第一步， 对问题(1)中的 aij ( x1 , x2 ) ， ∂xi ∂x j ∂xi 分代替。即 1 ∂ ∂u 1 r ∂r r ∂r ≈ 2 ij ri ( ∆r )
Keywords
Variable Coefficient Elliptic Equation, Numerical Solution, The Error Analysis
变系数椭圆型方程定解问题的一种数值解法
朱多薇1，娜扎开提·阿迪力1，伊马木·麦麦提2，阿不都热西提·阿不都外力1
1 2
新疆大学，数学与系统科学学院，新疆 乌鲁木齐 陕西师范大学，数学与信息学院，陕西 西安
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2018, 7(10), 1299-1307 Published Online October 2018 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2018.710151
a11 1 , a12 1 , a 21 1 , a 22 1 , a111 , a121 , a 21 1 , a 22 1 .
i+ , j 2 i+ , j 2 i, j + 2 i, j + 2 i− , j 2 i− , j 2 i, j − 2 i, j − 2
以上离散格式(3)，(4)，(5)，(6)略去高阶项后代入到问题(1)得到如下差分格式：
A Numerical Solution to a Solution Problem for Elliptic Equation with Variable Coefficients
Duowei Zhu1, Adil Nazakat1, Mamat Imam2, Abduwali Abdirixit1
域 = Ω
(1)
其中 aij > 0, ( i, j = 1, 2 ) 是关于 x1 , x2 的变系数函数， f ( x1 , x2 ) , g ( x1 , x2 ) 是 x1 , x2 的足够光滑的函数，求解区
[ a, b] × [c, d ] ，其边界 Γ 为分段光滑曲线。
2. 差分格式的建立
2 2 ∂ ∂u ( x1 , x2 ) aij ( x1 , x2 ) = f ( xi , x j ) , ∀ ( x1 , x2 ) ∈ Ω, −∑∑ ∂x ∂x j j 1 i =i 1 = x1 , x2 ) Γ g ( x1 , x2 ) , ∀ ( x1 , x2 ) ∈ Γ. u (=
(
)
( )
(
)
∂u ( x1 , x2 ) aij ( x1 , x2 ) ∂x j
1 i+ , j 2
∂u ( x1 , x2 ) − aij ( x1 , x2 ) ∂x j h
1 i− , j 2
为了推导差分格式，取沿 x1 方向和 x2 方向的步长 h 和 k，做两族分别 x1 轴和 x2 轴平行的直线：
, i 0,1, 2, , m, = x1i ih =
= x2 j jk = , j 0,1, 2, n,
两族直线的交点 ( x1i , x2 j ) 称为节点。若两个节点沿 x1 轴方向(或 x2 轴方向)只相差一个步长时，称两个
= Ωh 节点是相邻的。以
以 Γ h 表示网格线 x1 = x1i 或 x2 = x2 j 与 Γ 的交点的集合，并称此类点为边界节点。 记 Ω h 上的网格函数为：
= U
{( x , x ) ( x , x ) ∈ Ω} 表示所有属于 Ω 内部的节点集合，并称此类点为内节点。
1i 2j 1i 2j
(4)
(5)
∂ ∂u = a22 ∂x2 ∂x2
a 22
i, j+
1 2
(u
i , j +1
− ui , j ) − a 22 k2
i, j−
1 2
(u
i, j
− ui , j −1 )
+ O k2 ,
( )
(6)
其中变系数函数 a11 , a12 , a21 , a22 在半个步长上的值为
收稿日期：2018年10月1日；录用日期：2018年10月17日；发布日期：2018年10月24日
摘
要
本文提出了一种求变系数椭圆型方程定解问题的数值解法，并进行了误差分析，通过数值实验验证了该 方法收敛速度快，误差小，在时间和空间上能达到二阶精度。
文章引用: 朱多薇, 娜扎开提·阿迪力, 伊马木·麦麦提, 阿不都热西提·阿不都外力. 变系数椭圆型方程定解问题的一 种数值解法[J]. 应用数学进展, 2018, 7(10): 1299-1307. DOI: 10.12677/aam.2018.710151
st th th
Received: Oct. 1 , 2018; accepted: Oct. 17 , 2018; published: Oct. 24 , 2018
Abstract
This paper proposes a numerical solution for solving that problem of fixed solution of the variable coefficient elliptic equation, and we get the corresponding error analysis, the method is verified by numerical experiments; convergence speed and small error, in time and space can achieve second-order accuracy.
+ O h2 ,
( )
(3)
12 −a 1 a121 u 1 1 −u 1 1 u 1 1 −u 1 1 i+ , j i+ , j + i+ , ji− , j i− , j + i− , j − ∂ ∂u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + O ( kh ) , a 12 ∂x1 ∂x2 h2 21 −a 1 a 21 1 u 1 1 −u 1 1 u 1 1 −u 1 1 i j + i + j + i − j + i j − i + j − i − j − , , , , , , ∂ ∂u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + O ( kh ) , a21 2 ∂x 2 ∂x1 h
(称为网格的中心点)交错得到的，从节点的角度看，用了五个节点 xi , j +1 , xi , j −1 , xi , j , xi−1, j , xi+1, j ，但是计 算的时候我们用到了网格的中心点，又可以看作是九个点的差分格式。因此，我们称差分格式(7)为交错 五点差分格式。
i+ , j 2 2
(7)
DOI: 10.12677/aam.2018.710151
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朱多薇 等
其中 fi , j = f ( xi , x j ) 。 差分格式(7)是由节点和剖分所形成的网格的中心
1 1 1 1 1 1 1 1 i − , j − ,i − , j + ,i + , j − ,i + , j + 2 2 2 2 2 2 2 2
a111 + a111 a 22 1 + a 22 1 a111 a 22 1 i j i j i j i j i j i, j+ , , , , , + − + − − 2 2 2 2 ui+1, j + 2 2 2 + − ui , j − 2 ui −1, j − 2 ui , j +1 2 h h k h k 22 12 21 12 a 1 +a 1 a 1 + a 21 1 a 1 i, j− i+ , j i, j+ i, j− i+ 2, j 2 2 − 2 2 ui , j −1 − 2 ui+ 1 , j − 1 ui + 1 , j + 1 + kh kh k 2 2 2 2 a121 + a 21 1 a121 + a 21 1 i, j+ i , j- i− , j i- 2 , j 2 2 fi , j + 2 ui− 1 , j + 1 − ui− 1 , j − 1 = kh kh 2 2 2 2 a111