吉林大学材料力学第10章 能量法
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材料力学第10章 能量法及其应用
杆件的应变能的计算 1．变形后横截面仍为平面 扭转 拉压变形
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
∆l ε= l
弯曲
ε =−
y
dϕ γ= r dx
ρ
2．静力学平衡方程 拉压 扭转 弯曲
F = ∫σdA N
A
Mx = ∫ rτdA
A
Mz = −∫ yσdA
A
10.2 杆件变形能计算
线弹性杆的应变能计算 •轴向受力 轴向受力
dx
dx)位移下 外力功： Δ(dx)位移下, 基本概念
卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能V 卡氏第二定理：线弹性杆件或杆系的应变能 ε对作用于该 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。 杆上的某一荷载之变化，等于与该荷载相应的位移。
Vε =V (F 1, F 2,LF ,LF ) ε P P Pi Pn
P1 ∆12
∆11
P2
1）虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)。 虚设两者之一。注意虚位移(符合约束条件的微小位移)
10.1 基本概念
外力虚功的计算 问题：Pi作用，K原因（与Pi无关）引起位 移，求Pi所作虚功Tik。
P1
Tik=Pi∆ik
∆12
∆11 ∆21=θ1 ∆22=θ2
P2=M
1 u = τγ 2
10.2 杆件变形能计算
弯曲 dx段两截面相对弯曲dθ,外力功： = 1 Mdθ dx段两截面相对弯曲 外力功： 段两 dW
dθ
应变能： 应变能： dθ 与弯矩的关系： 弯矩的关系： 总应变能： 总应变能：
1 dU = M θ d 2
2
d2w M dθ = 2 dx = dx EI dx
定性：能量变化的度量。 定性：能量变化的度量。 定量：常力作功： 定量：常力作功：T = P Δ •量纲：[力][长度] 单位：焦耳 N·m 量纲： ][长度] 单位： m 量纲 长度
第十章 能量法 材料力学课件
§10.2 杆件变形能计算
一. 杆件基本变形的变形能 U=W
F
F
线弹性 U W 1F
2
特殊情况
F
F UW1Fl FN2l
2
2EA
Me
Me UW12Me2M Gx2Ilp
Me 广义表达式
Me UW12Me2M E2lI
UW
1F
2
内力2
2刚度
l
注意：当内力或刚度发生变化时要用
积分或分段计算
(内力)2(x)
必须强调 U W 1F 只适用于线弹性结构 2
面积= 1 底高 2
对非线性材料 U=W=曲线下的面积
可利用积分计算
U uW 0d0Fd
未作特殊说明,均假定材料在 线弹性范围内
F
F
例10.2 已知d F E G
解
求 fc=? 1 U W 2Ffc
2U
A
2a
F
C
a
B
fc F
UUCBUBA
aM 1 2(x)d x2aM 2 2(x)d x2aM x2(x)d
l M x M x dx tan l xM x dx
tan x c
M c
Mx
C•
x
Mx
l
M
lMxMxdx
tanxM(x)dx
l
tanxc
M
x xc
.c
dx
x
M M ( x) M c xc l
lM xE M Ixdx E M cI
lM xE M Ixdx E M cI
若需要分段,则: i Mci
M(x) ql x qx2(0 x l) 22
A1
。。。
材料力学能量法
按二种方式加载
(2)先作用 i，再作用 1，P2，…，Pi，…，则 先作用dP 再作用P 先作用 ， ，
(3)由于 1=U2，略去二阶微量，则有 由于U 略去二阶微量， 由于 2.用卡氏定理计算基本变形 用卡氏定理计算基本变形 (1)拉压变形 拉压变形
为分段常量时： 当N(x)为分段常量时： 为分段常量时
广义力及单位广义力共同作用下，结构的变形能： 广义力及单位广义力共同作用下，结构的变形能： (1)先作用单位力 0(=1)，再作用 1，P2，…，Pi，…，结构变形能为： 先作用单位力P 先作用单位力 ，再作用P ， ，结构变形能为：
？U+U0
P1
P2 f
Pn
△1
△2
△n
P1
P2
δ
1
Pn
△1
f
△2 △n
U1= P1δ11/2 + ( P2δ22/2 + P1δ12 )
U1= P1δ11/2 + ( P2δ22/2 + P1δ12 )
作用方式2： 再作用P 作用方式 ：先作用 P2,再作用 1： 再作用
U2= P2δ22/2
两种作用方式结果相同： 两种作用方式结果相同： 功的互等定理： 功的互等定理：
1.证明 证明 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为 广义)， 设线弹性结构在约束情况下，无刚体位移，外力为P1，P2，…，Pi，…(广义 ， ， 广义 相应在力方向的位移为d 相应在力方向的位移为 1，d2，…，di…。则变形能是广义力的函数： ， 。则变形能是广义力的函数：
变形能的微分是： 变形能的微分是： (1)同时作用 1，P2，…，Pi+dPi，…，则 同时作用P 同时作用 ， ，
第10章 能量法 (材料力学)
(Energy Method)
T 2 ( ρ) 2 Ip η Vε d Ad x d Ad x l A 2G l A 2G l T 2 T 2l ( ) ρ 2dA 2G I p A 2GI p
Me l Vε 2GI p
2
Me Tl Mel 将 代入上式得 Vε 2 GI p GI p
1 1 1 F 2 l 3 M e 2 l M e Fl 2 Vε F 1 M e 2 ( ) 2 2 EI 96 6 16
共1页 17
(Energy Method)
先加力 F 后,再加力偶 Me （1）先加力F后,C 点的位移
l/2 l/2
F
A
C B
Fl 1 48 EI
1 1 Vε W FΔl FN Δl 2 2
Fl FN l Δl EA EA
2 F 2l FN l Vε 2 EA 2 EA
当轴力或截面发生变化时:
共1页
2 FNi li Vε i 1 2 E i Ai n
6
(Energy Method)
2 FN ( x )dx 当轴力或截面连续变化时： ε V 0 2 EA( x ) l
l
2
2
2 3
F
B
x
l
14
(Energy Method) 例题2
解：
试求图示梁的变形能,并利用功能原理求C截
F
A C x1 a l x2 b B
面的挠度.
M 2 ( x) Vε dx l 2 EI Fb 2 Fa ( x1 ) ( x2 )2 a b l dx1 l dx 2 0 0 2 EI 2 EI F 2b 2 a 3 F 2a 2 b 3 F 2a 2b 2 2 2 6 EIl 2 EIl 3 2 EIl 3
材料力学中的能量法
记为 M,F 。 S ,F N ,T
（3）单位力所做的外力虚功为 We =1·
杆件的内力虚功为
* * * * W ( M d F d F d d T d) j i S N l 0
单位力法的虚位移原理表达式为
* * * * (10-16) 1 Δ ( M d F d F d d T d) j S N l 0
解：如图11-4b所示，在点 C及点D应加一对大小相等， 方向相反，且均垂直于杆CD的力。 根据功的互等定理： F B F F l F 0 .0 8 k N B C D lC D
§10-4、10-5 虚位移原理及单位力法
. 虚位移原理 （1）刚体 虚位移 —— 满足约束条件的假想的任意微小位移。 虚位移原理 ——作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的 总功等于零（平衡的必要和充分条件）。
由于以上分析中没有涉及材料的物理性质， (11-15)式适用于弹性体和非弹性体问题。式中Fi为广义力，M ,
Δi FS , FN , T是由荷载产生的内力，
d , dd ,
* *
* d j 为广义虚位移，d* ,
为微段的变形虚位移。
Ⅱ. 单位力法（单位载荷法）
(1) 因为由荷载引起的位移，满足约束条件和变形连续条
(c)
(d) 将(a),(d)式代入（11-14）式 ，得梁的虚位移原理表达式为
* * F Δ ( M d F d ) 0 i i S l n 0
即
i 1
* * F Δ ( M d F d ) i i S l i 1 0
n
外力虚功=内力在微段变形虚位移上的虚功(或虚应变能)
2 2 lM M ( x ) ( x ) 1 2 U d x d x (3) l 0 2 EI EI 2 2 l 2
材料力学(能量方法)
代入莫尔积分公式
δy = ∫
0
x2
M ( x1 ) = − Px1 , M ( x2 ) = − Pa
B
x1 1
A
C
AB段 BC段
M ( x1 ) = − Px1 , M ( x2 ) = − Pa
a
M ( x1 ) = − x1 , M ( x2 ) = − a
代入莫尔积分公式
l M ( x )M ( x ) M ( x1 ) M ( x1 ) 2 2 δy = ∫ d x1 + ∫ d x2 0 0 EI1 EI 2 1 a 1 l = ∫0 (− x1 )(−Px1 ) d x1 + EI2 ∫0 (−a)(−Pa) d x2 EI1 2 3 Pa l Pa + = 3EI1 EI 2
a
=0
例2：用单位力法求C点的水平位移。（EI、EA 已知） x2 x2 b 解：1 加单位载荷 A B A B 2 求内力方程 a 3 积分 x1 x1 C F C F=1
BC :
BA :
M ( x1 ) = − Fx1 ;
M ( x1 ) = − x1
M ( x2 ) = − Fa; FN ( x2 ) = − F ;
F1
δ2
F3 F2
δ3
δiβ
Fi β
广义外力的中间值 相应的广义位移中间值 广义力（位移）的相应增量
Fi (δ i )dβ
b 外力在位移增量上作的功为
d W = ∑ ( Fi β + Fi dβ ) • (δ i dβ ) ≈ (
外力总功
∑ F δ )βdβ
i i
W = ∫ d W = (∑
1 Fiδ i ) β dβ = ∑ ( Fiδ i ) 0 2
【材料力学】第十章能量法
即 D 11 后的最终值，所
以是常数。
其中 是与荷载无关的常数。
设各外荷载按相同的比例l，从零开始缓慢增加到最终
值。即加载过程中任一时刻各荷载的大小为：
F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中l 从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
材料力学
中南大学土木工程学院
球形滚珠外表作用均匀的法向压力q时，其内部 任意一点的应力状态相同，均承受三向等值压缩， 即s1= s2= s3 =－q。根据广义胡克定理有
(Dd )q
1 E
[1
( 2
3)]d
q E
(1 2 )d
所以
(DV )F
F E
(1 2 )d
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F q
23
五、 (线弹性体)位移互等定理
解：工件解除C处的约束简化为悬
F
臂梁，F、FC作为第一组力。悬 臂梁在C处加单位力1作为第二组 力。 悬臂梁在单位力作用下，分
别求C、B处的挠度。
得
wC
l3 3EI
wB
a3 3EI
(l a)a2 2EI
3l a a2
6EI
A
B
C
a
l FC
1
A
a
B wB
C
wC
l
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组 力引起的位移上所作的功，显然第二组力在第一组力引起的位移上 所作的功为零（C为铰支位移为零）。
（1）考虑物理方程得
F F3l F12l F22l F32l
EA EAcos EAcos EA
（2）、（3）代入上式并化简得F3cos2a =F1
材料力学第十章杆件计算的能量法
力F0，然后与其他广义力一起计算弹性体的应变能，求得
偏导数后，令F0=0，即可求得该点的广义位移：
Δ Vε
F0
F0 0
例 求图示支架中A点的铅垂位移。
解：
FNAB F / sin FNAC F / tan
Vε
F l 2 NAB
Vε
l FN2 (x) dx 0 2EA
l M 2 (x) dx 0 2EI
l
FQ2 (x)
dx
0 2GA
l M x2 (x) dx 0 2GIP
三、应变能的一般计算式
Vε
W
1 2
F1Δ1
1 2
F2Δ2
1 2
FiΔi
1 2
FnΔn
1 2
n i 1
FiΔi
——克拉贝依隆
（B.P.E.Clapeyron）原理。
余功
WC
F1ΔdF
0
W WC F1Δ1
F F1 Wc dF
△
F
W
△
F
o△
△1
d△
余应变能
VC WC
F1ΔdF
0
二、虚力原理
处于平衡状态的弹性体，若在外力作用下产生变形， 则在各外力作用点沿外力作用方向有相应的位移。若保持 位移不变，使力有一微小的改变余功，dWC。
WM
WFM
1（F 2l3 EI 96
M 2l 6
MFl 2 ） 16
M
F
3.标准式
M（2 x）
Vε l
2EI
dx
A θA
l/2
C
△C
l
B
M
x
M
F 2