不等式易错点分析
使用“基本不等式”解题时易错点分析
使 用 “基 本 不 等 式 ”解 题 时 易 错 点 分 析
黄翠花
摘 要:作者结合多年的教学实践,在阐述基本不等式内容的基础上,阐述了基本 不 等 式 解 题 的 易 错 点,然 后 典 型 例 题 分 析 了 基 本 不 等 式 的 正 确 解 法 ,以 期 为 学 生 提 供 些 许 指 导 .
关 键 词 :基 本 不 等 式 ;易 错 点 ;解 题 方 法
基本不等式是 高 中 数 学 的 重 要 内 容,许 多 函 数 最 值、较 为复杂的不等式、数列极限等问题都能找 到 基 本 不 等 式 的 影
子,并通过使用基本不等式的性质来 得 到 解 答. 基 本 不 等 式
内容简单,但变式多样,而且在满足特 定 限 制 条 件,即“一 正,
３ x
)
≤
－２
－x������
３ －x
＝－２ ３,
只
有
当
－x＝
－
３ x
时 ,也 即 x＝ －
３才 能 相 等 .
所以函数的最大值是２ ３,最小值是－２ ３.
现 场 纠 错 :１
函
数
y
＝８－
x ２
－
２ x
(x
＞０)的
最
大
值
是 .
(二 )忽 视 “二 定 ”条 件
例２ 若正 数 x,y 满 足x＋３y＝５xy,则 ３x＋４y 的 最
二定,三相等”时才能够使用,许多学生 由 于 对 基 本 不 等 式 的
使 用 条 件 理 解 不 透 彻 ,导 致 做 题 过 程 中 出 现 错 误 .
一 、基 本 不 等 式 的 内 容
(一)基本不等式:a２＋b≥ ab 成立条件:a＞０,b＞０,当且仅当a＝b 时取等号. (二 )利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 问 题 :
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
分析高中数学不等式易错题型及解题技巧
-081-2020年第27期（总第227期）摘 要：文章以分析高中数学不等式易错题型及解题技巧为主要内容，以当下高中数学新课程标准需求为主要依据，从和线性规划结合问题、高次不等式的解答方法、不等式等价转化问题、含参不等式问题、绝对值不等式问题、不等式恒成立问题这几方面进行深入探讨和分析，其目的在于更好地解答高中数学不等式易错题，使得学生掌握一定技巧，旨在为相关研究提供参考资料。
关键词：高中数学知识；不等式问题；易错题；解题技巧中图分类号：G633.6文章编号：2095-624X（2020）27-0081-02一、逐渐引入不等式概念不等式概念中，包含了数学思考，但多数教师只是根据教学参考书以及大纲来安排教学，直接进入不等式的内容讲解。
笔者认为在引入不等式概念时一定要逐渐引进。
在接触不等式知识前，学生习惯用等号来连接式子两端，突然要用“＞”“＜”符号连接式子，学生一下难以适应。
这时可让学生体会世上的万物都有正、反两面，对于数学而言，数学中有等式，也有不等式，在学习时难免会有较为“别扭”的感觉，认为不等式就是数学内容中的不和谐因素。
实际上不等式也是数学的一种表达式，其以相似确定形式描述了一种无穷及不确定的数学状态。
故教师在对这部分内容讲解时，引入概念时要平缓，这样才能自然衔接，纠正学生对不等式的看法。
二、解题中所体现的数学思想为了更好地帮助学生掌握不等式的有关解题方法，很多教师都绞尽脑汁，总结了很多技巧。
例如，“解不等式的方法是利用函数性质，将无理不等式化成有理不等式。
高向低次代，转化步步等价……”对于这类技巧，学生如果可以掌握自然是好，但如果无法掌握也不能让学生死记，因此硬背的方式是不可取的。
只有真正掌握了不等式推导的起始过程，学生才能牢记于心里。
很多教师在讲解不等式内容时，容易把这一节的内容孤立起来。
事实上，不等式就是一个简单函数，需要学生快速联想起函数的定义域、值域等因素，特别要培养学生在遇到根号下整式、分式下分母、底数函数等不等式时，其脑中马上就要想到先求出这些数学因子的定义域，在此范围内再去寻求不等式的解。
均值不等式等号成立的常见错误及解决途径
均值不等式等号成立的常见错误及解决途径第一篇：均值不等式等号成立的常见错误及解决途径均值不等式等号成立的常见错误及解决途径湖北省郭松不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。
由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。
一、常见错误１.不能正确判断公式中的a,b例1：已知x∈(0,值？错解：y=x(1-2x)=当x=1-2x即x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x+1-2x212x(1-2x)≤()= 22281时等号成立31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。
解答应为当2x=1-2x,当x=立2.错误理解a=b时等号成立例2：已知函数y=x+1(x∈R)求函数的值域错解：y=x+1≥2x,当x=1时等号成立，故y≥2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。
首先y=x+1≥2x,当x=1时等号成立是正确的。
但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=2222+15时y=>1=2x。
如右图，我们可以 24发现y=x+1≥2x，当x=1时等号成立。
但正确解答为y>1二、解决途径1.利用单调性例3：已知函数y=sinx+解：Θ函数y=x+24,求函数的值域sin2x42在x∈(0,2)函数单调递减，且044∴函数y=sin2x+2≥1+=5 1sinx∴ y∈[5,+∞)因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。
函数y=x+a(a为正常x数,x>0)。
x∈（0，a函数单调递减，x∈]a,+∞函数单调递增。
利用函数的单调性证)明不等式是证明不等式的一种通法。
理论上说不等式都能用函数单调性解答。
2.通过配系数同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx≥5 ≥22sinxsinx413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+≥≥5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键3.利用换元法例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值错解：10= a+b+m+n≥2（am+bn）得：am+bn≤5显然等号不能成立正解：设：a=sinα,b=cosα,m=3sinβ,n=3cosβ得am+bn=3cos(α-β)≤34.构造向量利用向量的性质z1z2≥z1z2同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得z1z2=am+bn≤z1z2=a2+b222222222m2+n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。
初一不等式经典易错题解析
初一不等式经典易错题解析初一不等式经典易错题解析初一学生在学习不等式时，难免会遇到一些经典易错题，这在一定程度上也给学习带来了一些困扰。
在本文中，我们将对初一不等式中一些经典易错题进行解析，希望对同学们的学习有所帮助。
一、乘方不等式易错点在不等式中，乘方往往是初一学生们考试时经常遇到的问题，其中特别容易发生的错误包括：1. 未进行“正负性”分析乘方在不等式中的作用是使变量的取值范围变广，但我们必须检查其“正负性”，否则就会出现错误的答案。
比如，当我们遇到以下不等式时：（1）x^2-6x+5>0（2）x^2+6x+5>0根据情况，我们可以把这两个不等式转化为因式分解的形式。
对于第一个式子，我们可以得到x在0到5之外或者在1到正无穷之间；而对于第二个式子，我们可以得到x在正无穷到-1或者在-5到正无穷之外。
在情况（1）中，我们需要特别注意的是，当x在1到5之间时，式子的取值就会变为负数，因此其“正负性”分析对于解题至关重要。
2. 公因数舍去的问题在乘方问题中，如果变量被约分后就会导致解题出现偏差。
例如：对于以下不等式而言：（3）2x^2+3x-2<0当我们对其进行因式分解，会得到2(x+1)(x-2)<0，但我们需要注意，当x=-1时，x+1=0，此时2(x+1)(x-2)的分子是0，不符合数学逻辑规律，我们需要忽略掉这种情况。
因此，正确的解题思路应该是用区间法将不等式的解空间分为三段，分别为x<-1、-1<x<2、2<x。
二、加减不等式易错点在初一不等式题型中，加减不等式也经常出现。
在处理这类问题中，需要注意以下问题：1. 未进行化简，直接求解很多时候，初一学生在解加减不等式时直接将式子简化，导致解题出现了较大偏差。
事实上，在处理不等式问题时，我们需要把含有常数的项先整合。
例如：对于以下不等式而言：（4）2x+1<3x-4如果我们直接拆方程，化简后得到x>5，但这种做法是错误的，因为我们在拆方程之前必须将常数加起来，然后再消元，即：（5）-x<-5x>5因此，式子的解空间是x>5。
不等式及其基本性质易错点剖析
）
D. ①②④⑤
错解：因为 c2 是正数，所以③正确，故选 B． 错解分析： 本题的条件是 a＞b， 变形是在不等式的两边同乘 （或除以） c 或 c2，变形正确与否的关键是看 c 或 c2 的取值情况．而本题中 c 为不确定大小的
有理数，故很容易判断①②⑤变形错误．因为 c2 大于等于零，而其在分母中， 故只能大于 0，所以④正确．故选 A． 例 5．已知 am＞bm（m≠0） ，下面结论中，正确的是（ A. a＞b B. a＜b C.
2a－b＝7， a＝5， 字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出 解得 从而错 5b－a＝10， b＝3．
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞ ． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜ ，得5b－a 10 解 7 ＝ ， 2a－b 7
A. ①④
错解：5＜3 不成立，故选 B． 错解分析：不等式是指用“＜” ， “＞” ， “≤” ， “≥”或“≠”来表示不等 关系的式子，不受其是否成立的影响．5＜3 虽然不成立，但它仍然是不等式， 故选 D．
6
二、性质类错误 例 3．命题“若 a＜b，c＜d，则 ac＜bd”是否成立？ 错解：成立．因为两个较小数的积一定小于两个较大数的积，例如 2＜3， 4＜5，则有 2×4＜3×5． 错解分析：此题的错误在于对概念的理解模糊不清，若 a，c 为负数，例如 -3＜2，-4＜1，显然（-3）×（-4）不小于 2×1，故该命题不成立． 例 4．若 a＞b， c 为有理数，则下列式子中正确的是（ ①ac＞bc；②ac＜bc；③ac2＞bc2；④ A. ④ B. ③ C. ①②⑤
一元一次不等式易错点分析
不等式（组）常见错解剖析河南师大附中 刘晨曦不等式（组）是初中数学的重要内容之一，是以后学习函数等知识的基础,因此学好这部分内容对以后的学习起着非常重要的作用. 但初学者，由于对其定义、性质、解法等理解不透，而导致许多错误．现就平时作业和检测中常出现的错误进行剖析，以提高同学们的解题能力.1 忽视因式为0例1 若a b >，则22____ac bc ．错解 因为20c >，且a b >，所以22ac bc >，故填＞.剖析 上面的解法错在忽视了0c =.当0c =时，22ac bc =.正解 因为20c ≥，且a b >，所以22ac bc ≥,故应填≥.2 忽视系数0a ≠例2 若(1)20m m x ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的取值是 ． 错解 由题意，得1m =，∴1m =±.故填1±.剖析 当1m =-时，10m +=，此时得到不等式2＞0. 一元一次不等式应满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是1；③是不等式. 一元一次不等式的一般形式是：000ax b ax b a +>+<≠或（），在解题时切不可忽视0a ≠的条件. 正解 由题意，得1m =，且10m +≠，即1m =±且1m ≠-，∴1m =.故应填1. 3 忽视移项要变号例3 解不等式61431x x +>-．错解 移项，得63114x x +>-+，合并同类项，得 913x >，系数化为1，得 139x >． 剖析 移项是解不等式时的常用步骤，可以说它是不等式性质1的直接推论.但要注意移项必须变号，而上面的解法就错在移项时忘记了变号.正解 移项，得63114x x ->--，合并同类项，得 315x >-，系数化为1，得 5x >-．4 忽视括号前的负号例4 解不等式()53216x x -->-.错解 去括号，得5636x x -->-，解得3x <.剖析 错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号，忽视了括号前的负号.去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号. 正解 去括号，得5636x x -+>-，解得9x <.5 忽视分数线的括号作用例5 解不等式125164x x +--≥． 错解 去分母，得2261512x x +--≥，移项，得2612215x x -≥-+，合并同类项，得425x -≥，系数化为1，得 254x ≤-． 剖析 分数线具有“括号”的作用，故在去分母时，分数线上面的多项式应作为一个整体，加上括号．上面的解法就错在忽视分数线的括号作用.正解 去分母，得2(1)3(25)12x x +--≥，去括号，得2261512x x +-+≥，移项，得 2612215x x -≥--，合并同类项，得45x -≥-，系数化为1，得54x ≤． 6 忽视分类讨论例6 代数式1x -与2x -的值符号相同，则x 的取值范围________．错解 由题意，得1020x x ->⎧⎨->⎩，解之，得2x >，故填2x >. 剖析 上面的解法错在忽视了对符号相同的分类讨论.由题意知，符号相同，两代数式可以均是正数，也可以均是负数，应分大于0和小于0进行探究.正解 由题意，得10102020x x x x ->-<⎧⎧⎨⎨->-<⎩⎩或，解之，得21x x ><或， 故应填21x x ><或.7 忽视隐含条件例7 关于x 的不等式组()()()233113224x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，求a 的取值范围. 错解 由（1）得8x >,由（2）得24x a <-,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故2413a -≤，解得114a ≥-. 剖析 上面的解法错在忽视隐含条件2412a ->而致错，当有多个限制条件时，对不等式关系的发掘不全面，会导致未知数范围扩大，因此解决这方面的问题时一定要细心留意隐含条件.正解 由（1）得8x >,由（2）得24x a <-,因不等式组有四个整数解，故中的整数解有4个，即9、10、11、12，故122413a <-≤，解得11542a -≤<-. 8 用数轴表示解集时，忽视虚、实点例8 不等式组()()()523111317222x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把它的解集在数轴表示出来. 错解 解不等式（1），得52x >，解不等式（2），得4x ≤， 在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，原不等式组的解集是如图1图1剖析 本题的解集没有错，错在用数轴表示解集时，忽视了虚、实点.不等式的解集在数轴上表示时，没有等号的要画虚点，有等号的要画实点.正解 解不等式（1），得52x >，解不等式（2），得4x ≤，在同一条数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，如图2，原不等式组的解集是.图29 忽视题中条件例9 有学生若干人,住若干间宿舍,若每间住4人,则有20人无法安排住宿；若每间住8 人,则有一间宿舍不满也不空,问宿舍间数是多少?错解 设宿舍间数为x ，学生人数为420x +，由题意，得()420818x x +--<，解得5x >，∵x 是正整数 ∴ x = 6，7,8……答：至少有6间宿舍.剖析 错解的原因在于对题意不够理解，忽视题中的“一间宿舍不满也不空”这一条件.审清题意是解决这类问题的关键.正解 设宿舍间数为x ，学生人数为420x +，由题意，得()0420818x x <+--<，解得57x <<，∵x 是正整数 ∴6x =.答：有6间宿舍.。
必学五基本不等式的题型与易错点
高考基本不等式专题典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)=31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1•=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x-1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+•+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1•=2,当且仅当t=t1,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9=1，求x+y 的最小值.思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y 9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+yx x y 9+. ∵x＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2y x x y 9•=6. 当且仅当y x x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y 9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y 9=1，得x=9-y y . ∵x＞0,y ＞0,∴y＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y＞9,∴y -9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-•-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y 9=1，得y+9x=xy,∴(x -1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x -1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y 9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的X 围对另外一个变量的X 围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy 6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y 9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(yb x a +)=a+x ay y bx ++b=10+x ay y bx +. ∵x,y＞0,a,b ＞0， ∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+x lg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx＜0,xlg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数. 解：∵0＜x ＜1,∴lgx＜0,x lg 4＜0.∴-x lg 4＞0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x＜45,∴4x -5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x451-］+3 ≤-2xx 451)45(-•-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x 451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时，函数的最大值是1.变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（xx 238223-+-）+23,再求最值. 解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23，∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-•-=4，当且仅当xx 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1 （1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大. 方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y. ∵x＞0,∴0＜y ＜6.S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大. (2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:∵2x+3y≥2y x 32•=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y 24.∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x200+80×200. =800(x+x 324)+16 000≥800×2xx 324•+16 000=44 800, 当且仅当x=x 324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］ =800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可. 探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n8. ∵n+n8≥2248=⨯n n , 当且仅当n=n 8,即n=22时取等号. 但考虑到n∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。
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不等式易错点分析
易错点一：忽视字母之间的联系性，使字母范围扩大
例1.已知函数c ax x f -=2
)(满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的最大值与最小值．
典型错解：由题意得⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ⎩⎨
⎧≤-≤-≤-≤=5414
1c a a c ，同向不等式相加可得 930≤≤a ，即30≤≤a ，又由41≤-≤a c ，可得71≤≤c ．
∴2790≤≤a ，17-≤-≤-c ，即2697≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(， ∴)3(f 的最大值是26，最小值是 —7．
错因分析：在26)3(7≤≤-f 中，当且仅当1,3==c a 时，右等号成立；当且仅当
7,0==c a 时，
左等号成立，这两组字值均不满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-5
411
4c a c a ，因此26)3(7≤≤-f 中的左右等号均不能成立，故26、－7不是要求的最值．究其原因，是将a 、c 的范围扩大了．
正确解答：由c a f -=)1(，c a f -=4)2(，c a f -=9)3(， 可设)2()1()3(nf mf f +=，则c a c a n c a m -=-+-9)4()(，
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=--=+38
35194n m n m n m ，∴)2(38)1(35)3(f f f +-=，
而1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ， ∴
320)1(3535≤
-≤f ，340)2(3838≤≤-f ，∴20)2(3
8)1(351≤+-≤-f f ， 即20)3(1≤≤-f ，
当⎩⎨
⎧=--=-544c a c a ，即⎩⎨⎧==7
3
c a 时，右边等号成立；
当⎩⎨⎧-=--=-141c a c a ，即⎩
⎨⎧==10c a 时，左边等号成立；两组值均满足⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-54114c a c a ，
故)3(f 的最大值是20，最小值是1-.
易错点二：忽视一元二次不等式中二次项系数的符号 例 1.已知不等式02
≥++c bx ax 的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤-
231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）
A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧
<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>
-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<
<-213|x x D ．⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
>-<213|x x x 或 典型错解：由题意知，3
1-，2是方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根，因此由根与系数的关系得a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 3
2
-=．
∴不等式02
<++a bx cx 可化为03
5322<+--a ax ax ，
即0135322>-+x x ，解得2
1
3>-<x x 或，故选D ． 错因分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的
判断．
根据给出的解集，除知道3
1-
和2是方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．
正确解答：由于不等式02
≥++c bx ax 的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤-
231|x x ，可知0<a ，且3
1
-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 3
2-=．
∴不等式02
<++a bx cx 可化为03
5322<+--a ax ax ，由于0<a
∴0135322<-+x x ，即03522
<-+x x ，解得2
13<<-x ． ∴所求解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
<
<-213|x x ，选C ． 易错点三：忽视基本不等式中定值的条件
例2.已知正数a ，b 满足322
2
=+b a ，求12+b a 的最大值．
典型错解：∵)1(2
1122
2
++≤
+b a b a ，等号成立的条件是12+=b a ，
122+=b a ，又3222=+b a ，∴342=
a ，312
=b ，∴12+b a 的最大值为3
4． 错因分析：)1(2
1
2
2++b a 并不是定植，利用基本不等式求定值时，定值是前提，先有定值后相等，并不是先相等后求值．
正确解答：)12(2
122122212222
++⨯≤+⨯=
+b a b a b a 2)13(4
2
=+⨯=
，当且仅当122+=b a ，且3222=+b a 时，等号成立． 解得12=a ，12
=b ，即1==b a 时，12+b a 有最大值2．
易错点四：忽视基本不等式中等号成立的一致性 例3. 已知0,0x y >>，且12=+y x ，求
y
x 1
1+的最小值． 典型错解：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴
)2)(1111y x y
x y x ++=+（ 24221
12
=⋅⋅≥xy y
x ，∴y x 11+的最小值为24．
错因分析：错解的原因是连续两次使用基本不等式时，忽视了等号成立的一致性．实际上，第一个取“＝”的条件为y
x 1
1=，即y x =，而第二个取“＝”的条件为y x 2=，这样前后就矛盾了．
正确解答：∵0,0x y >>，且12=+y x ，∴
)2)(1111y x y
x y x ++=+（ 22322323+=⋅+≥++
=y
x
x y y x x y ，当且仅当y x x y =2，且12=+y x ， 即12-=x ，221-
=y 时，等号成立，y
x 1
1+的最小值为223+． 易错点五：该分类讨论的不分类讨论，或能分类讨论但不能做到“不重不漏”
例4.已知关于x 的不等式01)2()4(2
2
≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围．
典型错解：根据“三个二次”之间的关系，结合题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0
)4(4)2(0
42
22
a a a
解得562<
<-a ，∴所求的实数a 的取值范围是5
62<<-a ． 错因分析：只把不等式当做x 的一元二次不等式，而忽视其它情形，也就是对2
x 的系数该分类的不分类，也就使得解法有漏洞．
正确解答：当2=a 时，不等式为014≥-x ，解集非空； 当2-=a 时，不等式为01≥-，解集为空集；
当2±≠a 时，根据“三个二次”之间的关系，结合题意得
⎪⎩⎪⎨⎧<-++=∆<-0
)4(4)2(0
42
22a a a ，解得562<<-a ． 综上可得，所求的实数a 的取值范围是5
62<
≤-a ． 不等式问题常见思维误区的归纳与总结：
在解决不等式的问题时，易错点还是比较多的，除了上述五个易错点外，易错点还有：不能正确运用不等式的性质；在解不等式或证明不等式时不能对不等式进行等价转化；线性规划中不能正确画图、识图，找不准最优解；利用基本不等式时忽视应用的三个条件缺一不可，等等．了解这些易错点可以帮助我们引以为戒、拨乱反正、健步前冲．。